Tính đơn điệu của hàm số - Lý thuyết và bài tập

Ngày 22/8/2012 GV soạn : Đinh Quang Đạo
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 tính đơn điệu của hàm số
I.Tính đơn điệu của hàm số :
1.Kiến thức cơ bản:
 Cho hàm số có đạo hàm trên tập D.
Nếu thì hàm số đồng biến.
Nếu thì hàm số nghịch biến.
2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
 a) ; b).
Giải: a)Tập xác định : .
 Ta có ; 
 ; không xác định tại ;
 Bảng biến thiên
 Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và ; hàm số nghịch
 biến trên các khoảng và .
 b)Tập xác định : .
 Ta có ; 
 ; 
 Bảng biến thiên
 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ; hàm số nghịch
 biến trên khoảng .
Ví dụ 2: Chứng minh hàm số 
 a) đồng biến trên ;
 b) đồng biến trên ;
 c) đồng biến trên ;
 d) đồng biến trên .
Giải: a)Hàm số có đạo hàm trên .
 Ta có ; 
 Vì nên suy ra 
 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên .
 b)Hàm số có đạo hàm trên .
 Ta có ; 
 Xét hàm số trên , ta thấy: 
 ,( khi ).
 Suy ra đông biến trên .
 Do đó , 
 hay ,( khi ).
 Suy ra . 
 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên .
 c)Hàm số có đạo hàm trên .
 Ta có ; 
 ; 
 .
 Suy ra đồng biến trên 
 hay ( khi ).
 Suy ra đồng biến trên 
 hay ( khi ).
 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên .
 d) Hàm số có đạo hàm trên .
 Ta có ; 
 ; 
 ;
 ; 
 ,( khi ).
 Suy ra đồng biến trên 
 hay ( khi ).
 Suy ra đồng biến trên 
 hay ( khi ).
 Suy ra đồng biến trên 
 hay ( khi ).
 Suy ra đồng biến trên 
 hay ( khi ).
 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên .
Ví dụ 3: Xác định m để hàm số
 a) đồng biến trên khoảng .
 b) nghịch biến trên khoảng .
Giải: a)Tập xác định của hàm số là .
 Ta có , ().
 +Với thì . Suy ra hàm số đồng biến trên .
 + Với thì () và
 (với , là hai nghiệm của phương trình ) .
 Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và , hàm số nghịch
 biến trên khoảng .
 Khi đó: Để hàm số đồng biến trên khoảng thì ()
 .
 Kết luận: với thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
 b)Tập xác định của hàm số là .
 Ta có , ().
 +Với thì . Suy ra hàm số đồng biến trên .
 + Với thì () và
 (với , là hai nghiệm của phương trình ) .
 Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và , hàm số nghịch
 biến trên khoảng .
 Khi đó: Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì 
 .
 Kết luận: với thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Bài tập: 
Câu 1.Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
 a) ; b).
Câu 2.Chứng minh hàm số 
 a) nghịch biến trên ;
 b) đồng biến trên ;
 c) đồng biến trên ;
 d) đồng biến trên .
Câu 3.Xách định m để hàm số
 a) nghịch biến trên .(ĐH Nông nghiệp-2001B)
 b) đồng biến trên .(ĐH Dược HN-2001)
II.ứng dụng tính đơn điệu: (8 tiết)
1.Giải phương trình: 
a)Dạng I: Giải phương trình .
Xét hàm số trên tập D.
Trên khoảng (nửa khoảng, đoạn ) KD ta có 
 Nếu thì là một nghiệm của phương trình đã cho.
Và nếu hàm số đơn điệu thì là một nghiệm duy nhất.
Chú ý : Những phương trình nhẩm được nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình .
 Giải: Với điều kiện . 
 Xét hàm số trên .
 Ta có . Suy ra là một nghiệm của phương trình đã cho.
 Và .
 Suy ra hàm số đồng biến trên và . 
 Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2: (HSG12-NA :2010-2011)
 Giải phương trình: 
 Giải: Với điều kiện .
 Xét hàm số trên khoảng .
 Ta có và . Suy ra x=0 và x=1 là hai nghiệm của phương trình.
 Và ; 
 .
 Bảng biến thiên
 Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên ; và
 .
 Vậy phương trình có đúng hai nghiệm là x=0 và x=1 .
b)Dạng II: Giải phương trình (với ).
Xét hàm số trên tập D (khoảng ,nửa khoảng, đoạn ) .
Nếu hàm số đơn điệu thì .
Ví dụ 3: Giải phương trình .
 Giải: Với điều kiện . 
 Xét hàm số trên . 
 Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên .
 Suy ra .
 Vậy nghiệm của phương trình là .
Chú ý: Đối với bài tập dạng này ta cần phải xác định đúng biểu thức u, v và điều kiện của nó.
2.Giải bất phương trình:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình . 
 Giải: Với điều kiện . Ta có 
 Xét hàm số ,với , ta có .
 Suy ra hàm số đồng biến trên .
 Suy ra .
 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình .
 Giải: Với điều kiện . 
 Xét hàm số , với . Ta có .
 Với , ta có . 
 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và .
 Suy ra . 
 Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .
Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của hàm số .
 Giải: Ta có . Xét hàm số .
 Ta có hàm số đồng biến trên R. Suy ra .
 Suy ra .Và ; .
 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .
3.Giải hệ phương trình:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình .(ĐH2010A)
Giải: Với điều kiện . 
Ta có .
Xét hàm số . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên R.
Suy ra . Thay vào phương trình 
 ta được .
Xét hàm số . Ta có .
Với , ta có . Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn và .
Suy ra .
Suy ra là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình .
Giải: Xét hàm số . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên R. Do đó: 
Nếu thì . Mà . Suy ra : Mâu thuẩn với giả thiết.
Nếu thì . Suy ra : Mâu thuẩn với giả thiết.
Suy ra .
Hay . Vậy các nghiệm của hệ phương trình là (2;2), (1;1), (-1;-1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình .
Giải: Với điều kiện . Ta có 
Hệ PT. 
Xét hàm số ,. Với ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).
Mà với x=0 suy ra y=0. Với x=2 suy ra y=2.
Suy ra .
Suy ra hoặc .
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình .
Giải: Với điều kiện . Ta có 
Hệ PT.
Với x=1, y=0 không phải là nghiệm của hệ phương trình.
Xét hàm số , với . 
Ta có . 
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và .
Suy ra .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;1).
4.Chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1: Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng :
 . 
Giải: Xét hàm số , với . 
Ta có (vì nên )
Suy ra hàm số đồng biến trên nửa khoảng .
Suy ra hay .
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Giải: 
Ta có .
Xét hàm số , với . Ta có . 
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .
Do đó với , suy ra hay .
Bài tập : 
Câu 4.Giải các phương trình sau : 
a);(HVNH2001D) b);
c) ; d) ;
Câu 5.Giải các phương trình sau: 
a) ; b) .
c) ; d) 
Câu 6.Giải các phương trình sau:
a) (ĐH2006D); b) ;
c); d) ;
e); 
f) ; g); h) ;
i); k) ;
l); m) .
n) (HSG12-NA:2011);
Hướng dẫn: n)Xét hàm số với x thuộc .
Câu 7.Giải các phương trình sau: 
a);
b) .
Câu 8.
a)Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm .
b)Chứng minh phương trình có đúng một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương .
 Hướng dẫn: 
 b)Ta có .
 Xét hàm số . 
 Ta có , đồng biến trên .
 Mà và . Suy ra có đúng một nghiệm trên .
 Bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên suy ra có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó
 nhận giá trị dương.
Câu 9.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a>b>c. Chứng minh rằng có duy nhất nghiệm.
Hướng dẫn: 
 . Xét hàm số .
 Ta có hàm số đồng biến trên .Mà và . 
 Suy ra có nghiệm duy nhất .
Câu 9.1. Chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
Câu 10. Giải bất phương trình: 
a)(HSG12-NA:2011);
b) (ĐH2012B).
Câu 11.Xét tính đơn điệu của hàm số .(ĐH2010D)
Câu 12.Giải hệ phương trình: 
a).(HSG Tỉnh NA2010A).
b); c);
d) ; (ĐH2012A)
e) .
Câu 13.Giải hệ phương trình: .
 (HSG Bình Định 2009-2010).
Hướng dẫn:
.
Câu 14.Giải hệ phương trình: 
a) ; b) ; c) .
Hướng dẫn: 
a)Xét hàm số .
c)Xét hàm số ; ;
Trên có duy nhất nghiệm y=-1; Trên có duy nhất nghiệm y=2.
Giải hệ phương trình dạng: , trong đó f(x;y) đẳng cấp đối với x và y.
Câu 15. Giải các hệ phương trình: 
a) ; b) ; 
c) .
d)Tỡm cỏc số (x;y) thuộc khoảng thỏa món .
Câu 16.Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Câu 17.Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng :
a) ; b) .
Câu 18.Cho x, y là các số thực thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Câu 19.Cho các số thực x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 . (HSG Tỉnh NA 2006).
Hướng dẫn: Ta có .
Xét hàm số , với , ta có :.
Xét hàm số , với .
. Suy ra hàm số đồng biến và . Suy ra .
Suy ra . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .
Mà . Suy ra hay .
Câu 20.(HSG NA-2007)
Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : .
Hướng dẫn: Xét hàm số trên ;