Toạ độ trong không gian

TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

BAØI 1 : VEÙC TÔ
veùc tô trong khoâng gian:
Caùc khaùi nieäm , ñn, caùc pheùp toaùn veà veùctô…. Gioáng nhö trong maët phaúng .
Veùc tô ñoàng phaúng :
Ñlí 1 , Ñlí 2, Ñlí 3. ( SGK ).
Moät soá ñaúng thöùc veùctô :
Qui taéc 3 ñieåm , heä thöùc trung tuyeán , heä thöùc troïng taâm tam giaùc 
BAØI 2 : HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ – TOAÏ ÑOÄ VEÙC TÔ – TOAÏ ÑOÄ MOÄT ÑIEÅM 
Heätruïc toaï ñoä :
Toaï ñoä cuaû veùctô :
-Cho ta coù : 
Tính chaát : Coäng , tröø , k. , cuøng phöông .
VD : Cho : 
Toaï ñoä cuaû moät ñieåm :
 .
Ñònh Lí : Toaï ñoä : 
Toaï ñoä moät soá ñieåm :
M chia AB theo tæ soá K 
I trung ñieåm AB .
G troïng taâm tam giaùc ABC.
G troïng taâm töù dieän ABCD .
VD : Cho M(1;3;-2) .Tìm toaï ñoä hình chieáu cuaû ñieåm M treân : 
	- mp toaï ñoä : xOy , yOz , xOz .
	- treân truïc : 0x ,oy ,oz .




BAØI 3 : TÍCH VOÂ HÖÔÙNG – TÍCH COÙ HÖÔÙNG CUÛA HAI VEÙCTÔ .

Tích voâ höôùng :

ÑN : 
TC :

AB=


VD: Cho tgiaùc ABC coù : 
A(2;1;-1); B(3;2;-1) vaø C( 3;1;0)
Tính chu vi vaø goùc A cuaû tgiaùc ABC .
Tích coù höôùng :
a-ÑN :
b-TC :( boán T/C )
VÍ DUÏ: Choba vec tô :
 
CMR : Ba vectô treân ñoàng phaúng 
c- ÖÙng duïng :
UD1: Tính dieän tích tam giaùc ABC.
UD2: Tính theå tích töù dieän 
UD3: Tính theå tích hình hoäp .
Ví duï :Cho boánñieåm : 
A(1;0;0) ; B(0;1;0) ; C( 0;0;1)vaø 
 D(-2;0;2)
CMR : A,B,C,D laø boán ñænh töù dieän .
Tính theå tích vaø ñöôøng cao AH cuaû töù dieän.

BAØI TAÄP :

Cho A(1;0;0) ;B( 0;0;1) C(2;1;1)
a-Tìm chu vi vaø tính dieän tích tgiaùc ABC
b- Tìm toaï ñieåm D ñeå ABCD laø hình bình haønh .
c- Tính goùc A cuaû tgiaùc ABC .

Cho : A(1;2;1) ; B( 5;3;4) vaø C(8;-3;2) .
CMR: Tam giaùc ABC vuoâng . 
Tính dieän tích tgiaùc ABC .
Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi , noäi tieáp R , r cuûa tgiaùc ABC .
Tìm toaï ñoä chaân ñöôøng phaân giaùc trong BE cuaû tam giaùc ABC .
 3- Cho : A(0;1;0) ; B(2;3;1) ; C(-2;2;2) vaø D( 1;-1;2) .
a-CMR : ABCD laø moät töù dieän coù coù 3 maët vuoäng taïi A .
b-Tính theå tích töù dieän ABCD.
c-Goïi G laø troïng taâm tam giaùc BCD .CMR: AG vuoâng goùc mp( BCD ) .





























BAØI 4 : PHÖÔNG TRÌNH
MAËT PHAÚNG
1-vtpt – caëp vtcp cuaû mp :
*Vt : Goïi laø vtpt cuaû mp() ,neáu noù vuoâng goùcvôùi mp().
* goïi laø caëp VTCP cuaû mp()neáu chuùng khoâng cuøng phöông vaø ssong hoaëc naèm trong mp().
*Neáu mp() coù caëp vtct thìmp() coù vtpt laø 
2-Pt toång quaùt cuaû maët phaúng:
*Ñònh nghiaõ : Pt cuaû mp coù daïng : 
mp() : Ax + By + CZ+D = 0
Vôùi : VTpt .
** Ñònh lí :Mp() ñi qua M(x0;y0;z0)vaø coù vtpt laø : 
 mp() A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)= 0
*** Chuù yù:
-mp() qua goác O: Ax+By+Cz = 0. 
Mp(xOy) : z=0
Mp(xOz) : y=0
Mp(yOz) : x=0
-mp() qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) vaø C(0;0;c) : 
-Hai mp ssong: Vtpt mp naày laø moät vtpt cuaû mp kia . 
- Hai mp vuoâng goùc : VTpt mp naày laø moät vtcp cuaû mp kia . 
VÍ Duï vaø Baøi taäp :
Vieátpt mp() trong caùctröôøng hoïp sau :
1- () qua A(1;-2;3) vaø coù vtpt 
2-() coù Caëp VTCP vaø qua M(1;-2;3)
3-() qua 3ñieåm : A(1;0;3) ; B(-1;2;-2) vaø C(2;-3;1) 
4-() qua A(-1;3;2) vaø vuoâng goùc vôùi truïc 0z.
5-() qua A(-3;2;-2) vaø chöùa ox . 
6- () qua hình chieáu cuaû A(1;-2;3) leân caùc truïc Ox,Oy,Oz . 
7-Cho : A(2;-1;4) ; B(-1;0;2) , C(1;1;-1) ; D(0;3;-1) 
Vieát ptmp(ABC) . Suy ra ABCD töù dieän 
Vieát ptmp() qua D vaø vuoâng goùc DC . 
 BAØI 5 : VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI HAI MP – CHUØM MP 
Vò trí töông ñoái hai maët phaúng :
Cho hai mp : (1) A1x +B1y+C1=0
 (2) A2x +B2y+C2=0
* (1) caét(2) 
 *(1) ssong (2) 
 * (1) (2) 
 
Chuøm maët phaúng : 
Ñònh Nghiaõ :
Ñònh lí :
Ví duï vaø baøi taäp : 
1- Cho hai mp (1 ) x+y+5z = 0 
 (2) 2x+3y-z = 0 
 a- CMR : (1 ) vaø (2 ) caét nhau theo giao tuyeán (d ) . 
b-Vieát pt mp ( ) ñi qua M(3;2;1) vaø chöùa gtuyeán (d ) .ÑS : 5x+14y-74z +31 = 0 .
 
Baøi taäp : Vieát ptmp( ) qua gioa tuyeá cuaû haimp : 
 2x – z = 0 ; x+y-z + 5 = 0
 vaø vuoâng goùc mp : 7x –y +4z – 3 = 0 . 










BAØI 6 : PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNGTHAÚNG 

1 – Pt tham soá cuaû ñöôøng thaúng :
Ñònh lí :
-Ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M ( x0;y0;z0) vaø coù vtcp thì ptts cuûa (d) coù daïng: 
(d)

2-Pt chính taéc cuaû ñöôûng thaúng ( d ) :
 Ñònh lí :
-Ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M ( x0;y0;z0) vaø coù vtcp thì ptctaéc cuaû (d) coù daïng: 
 (d) 
 
** Chuù yù : 
-Hai mp ssong :VTcp 
-mp vuoâng goùc vôùi ñthaúng: VTcp 
VD : Vieát ptts vaø ptct cuûa ñöôøng thaúng AB : 
 Vôùi A(3;5;7) vaø B( 1;2;3) . 
Ptrình toång quaùt cuaû ñöôøng thaúng : 
-Trong khoâng gian hai mp (1 ) vaø (2 ) caét nhau theo giao tuyeán (d ) thì pt toång quaùt cuaû (d) coù daïng . 
(d) 
Chuù yù : 
Tìm ñieåm M thuoäc (d) ta cho 1 aån roài giaøi hpt tìm hai aån coøn laïi : M(x;y;z) . 
Veùc tô chæ phöông cuaû ( d) :
 
pttq caùc truïc toaï ñoä laø :
 Ox ; Oy ; OZ 

VD: Vieát ptts vaø PTCT cuaû ( D ) bieát : 
 (D) 


BAØI TAÄP : ÑÖÔØNG THAÚNG 
1-Vieát pt : ts , ctaéc , pttq cuûa AB: Vôùi A(-1;2;-2) 
 vaø B( 2;-3;4 ) . 
2-Vieát PTTS vaø PTTQ cuaû ñöôøng thaúng (d) bieát : 
Qua A(-1;2;-3) vaø ssong truïc Ox . 
Qua M( 2;-4;-2)vaø vuoâng goùc vôùi mp(Oxy).
Qua M (2;3;5) vaø ssong vôùi ñöôøng thaúng :
(D) 
Qua A(3;2;1) vaø vuoâng goùc vôùi ñt:
 vaø caét () .
3-Cho mp() P: x+y+z-1= 0 vaø ñt(d1)
 Vieát ptñt (d2) qua ñieåm M(1;1;-1) ,bieát (d2) naèm trong mp() vaø d2 vuoâng goùc d1 .
4-Vieát ptñt(d’) laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt (d) leân mp () : 
Cho (d) : 
 Vaø mp() 2x + y + z – 8 = 0
Cho
 Vaø () x-y +2z-1 = 0 .











BAØI 7 : VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUAÛ ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG

Toaïñoä giao ñieåm cuaû ñöôøng thaúng vaû mphaúng :
TH1 : Cho (d) 
 Vaø mp() : Ax+By+cz+D = 0
-Ta theá (d) vaoø pt mp() giaûi tìm t = ?. 
-Theá t = ? vaøo pt (d) tìm : x;y;z . 

TH2 :Cho (d) 
 Vaø mp() : Ax+By+cz+D = 0
-Duøng maùy tính,giaûi pt 3 aån tìm toaï ñoä giao ñieåm x;y;z . 
Ví duï- Baøi taäp :
Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuaû (d) vaø mp():
a-Cho (d) 
b-Cho: 
Cho ñt (d) : 
 Vaø mp() x+y+z = 0 .
a-Tìm toaï giao ñieåm A cuaû (d) vaø mp() .
b-Vieátptñt ( D ) qua A vuoâng goùc (d) vaø naèm trong mp() . 

2-Vò tí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 
Caùch 1: 
-Goïi VTcp (d) laø : 
Neáu 
Neáu 

Caùch2: 
Giaûi hpt giöaõ (d) vaø mp() : 
+ Heä coù nghieäm duy nhaát : (d) caét () .
+ Heäpt voâ nghieäm : (d) // mp() .
+ Heäpt voâ soá nghieäm : (d) mp().

Ví duï- Baøi taäp :
1-Xeùt vò trí töông ñoái (d) vaøcaùc mp() :
Cho (d) vaø caùc mp() laø :
	(1) x+y+z+2 = 0
	(2) 4x+8y+2z – 7 =0
	(3) 2x-2y+4z –10 = 0 
	(4) x-y+2z+5 = 0 .
2-Cho (d) : (d) : 
 vaø mp() : x+2y +z –1 = 0 .
CMR : d caét mp() vaø tìm toaï ñoä giao ñieåm naày.
 ÑS : I( 7/3;-1/3;-2/3)
Vòtrí töông ñoái ñthaúng vaø ñthaúng :
* Caùch 1 :
-(d1) qua M(x0;y0;z0) , coù vtcp .
- (d2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp . 
Tính : .
+ 
+ 

** Caùch 2 :
-Giaûi heä pt goàm hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 .
Ví duï1 : Cho (d1) 
(d2) 
CMR: d1d2 vaø d1 caét d2 .
Ví duï2 : Xeùt vòtrí töông ñoái cuûa:
(d) vôùi d1, d2, d3 vaø d4 :
 































BAØI 8 : KHOAÛNG CAÙCH 

1-khoaûng caùch giöaõ hai ñieåm :

AB = 
2-Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán maët phaúng : 

d=(M;) = 
3-Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng :
-Tính kcaùch töø : M(x0;y0;z0) ñeán (d) .
- Goïi : N(x0;y0;z0) thuoäc d ,vtcp d : 

thì : t= d(M,d) = 
4-Khoaûng caùch giöaõ hai ñöôøng thaúng cheùo nhau 
- d1) qua M(x0;y0;z0) , coù vtcp .
-(d2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp . 
 
 d= d(d1;d2 ) = 

Ví duï : Tính kcaùch töø ñieåm ñeán ñthaúng : 
Cho M(1;2;1) vaø (d) 
Cho M(2;3;1) vaø (d) 
Víduï : Tính kc hai ñöôøng : 

Cho (d1) , (d2) 
 ÑS : .


BAØI 9 : GOÙC 

Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng :
- d1) qua M(x0;y0;z0) , coù vtcp .
-(d2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp . 
Goïi : thì :


d1 d2 
2-Goùc giöõa hai maët thaúng: 
- (P1) qua M(x0;y0;z0) , coù vtcp .
-(P2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp . 
Goïi : thì :


P1 P2 
3-Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët thaúng:

- (d) coù vtcp .
-(P) coù vtpt . 
Goïi : thì :

(d) (P) 
Ví duï : Tính goùc giöaõ : 
 a) (d1) 
b) (d1 ) 
c)(p) x - 





BµI 10 : MAËT CAÀU 

Ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu : 
 §Þnh lÝ 1 : pt mÆt cÇu t©m I(a;b;c)
 b¸n kÝnh R.

 ( S ) (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2 

- NÕu I trïng O : (S) x2+y2+z2= R2

 §Þnh lÝ 2: Trong kh«ng gian PT : 
 ( S ) x2+y2+z2-2ax-2by-2cz +d = 0
 víi : a2+b2+c2- d = 0 lµ pt mÆt cÇu ( S ) cã t©m 
 I ( a;b;c) vµ cã b¸n kÝnh R=.
VÝdô-BµI tËp : ViÕt pt ®­êng ( S ) :
a)– Cã t©m I ( 2;-1;1) vµ qua A(3;1;-1).
b) – Cã ®­êng kÝnh AB víi A(1;0;2) ; B(3;-2;2) .
c) - Cho mÆt cÇu (S) x2+y2+z2-3x+4y-z –1= 0.
 T×m I ; R=? .
Giao cña mÆt cÇu vµ mÆt ph¼ng :
-Cho mp( ) Ax+By+Cz + D = 0 vµ 
MÆt cÇu (s) x2+y2+z2-2ax-2by-2cz +d = o
 Gäi : - (S) cã t©m I vµ R vµ d = (I, ) .

d> R : mp() vµ (S) kh«ng cã ®IÓm chung .
d=R : mp() tiÕp xóc (S) t¹i H .Khi ®ã () gäilµ tiÕp diÖn cña (S) vµ H lµ tiÕp ®IÓm cña (s) .
d< R : MÆt ph¼ng () c¾t (S) theo mét ®­êng trßn ( C ) .

Chó ý : Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn :
 
 ( C ) 

-(C ) cã t©m H lµ h×nh chiÕu cña I lªn () .
-( C ) cã b¸n kÝnh .

VÝ dô : Cho mp() 2x-y-2z+6=0
 Vµ mÆt cÇu (S) x2+y2+z2-2x-4y+6z-11=0
T×m I , R cña (S) .
CMR : Mp() c¾t (S) . ViÕtpt ®­êng trßn giao tuyÕn ,t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn nÇy .

…………………………………………….

BµI TËP : ¤N TËP