Toán - Bất đẳng thức - Bất phương trình

Bất đẳng thức - Bất phương trình 
Trần Sĩ Tùng 
CHƯƠNG IV 
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
I. BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Tính chất 
Điều kiện 
c > 0 
c < 0 
a > 0, c > 0 
n nguyên dương 
a > 0 
Nội dung 
a < b ⇔ a + c < b + c 
a < b ⇔ ac < bc 
a bc 
a < b và c < d ⇒ a + c < b + d 
a < b và c < d ⇒ ac < bd 
2n+1 2n+1 
0 < a < b ⇒ a 2n < b2n 
a < b ⇔ a < b 
a < b ⇔ 3 a < 3 b 
a < b ⇔ a 
< b 
(1) 
(2a) 
(2b) 
(3) 
(4) 
(5a) 
(5b) 
(6a) 
(6b) 
2. Một số bất đẳng thức thông dụng 
a) a 2 ³ 0, "a . 
b) Bất đẳng thức Cô-si: 
+ Với a, b ³ 0, ta có: 
a2 
+ b 2 ³ 2ab . 
a + b 
2 
³ ab . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b. 
+ Với a, b, c ³ 0, ta có: 
a + b + c 
3 
³ 3 abc . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c. 
Hệ quả: - Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. 
- Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. 
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 
Điều kiện 
Nội dung 
x ³ 0, x ³ x, x ³ -x 
x £ a ⇔ - a £ x £ a 
x ³ a ⇔ 
x £ -a 
 
x ³ a 
a > 0 
a - b £ a + b ³ a + b 
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác 
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: 
+ a, b, c > 0. 
+ a - b < c < a + b ; b - c < a < b + c ; c - a < b < c + a . 
e) Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki 
Với a, b, x, y Î R, ta có: (ax + by 2) £ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) . Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx. 
Trang 30 
Trần Sĩ Tùng 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản 
• Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: 
- Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. 
- Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. 
• Một số BĐT thường dùng: 
2 
+ A ³ 0 
Chú ý: 
+ A + B ³ 0 
2 
2 
+ A.B ³ 0 với A, B ³ 0. 
+ A + B ³ 2AB 
2 
2 
- Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. 
- Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có 
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 
Bài 1. 
Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) a 2 + b + c ³ ab + bc + ca 
c) a 2 + b + c + 3 ³ 2(a + b + c) 
e) a 4 + b + c +1 ³ 2a(ab - a + c +1) 
g) a 2(1+ b ) + b (1+ c ) + c (1+ a ) ³ 6abc 
2 
2 
4 
2 
2 
2 
2 
i) 
1 
a 
+ 
1 
b 
2 
1 
+ ³ 
c 
2 
1 
ab 
+ 
2 
1 
bc 
+ 
1 
ca 
với a, b, c > 0 
2 
2 
b) a 2 + b +1 ³ ab + a + b 
d) a 2 + b + c ³ 2(ab + bc - ca) 
2 
2 
f) 
a2 
4 
+ b 2 + c ³ ab - ac + 2bc 
2 
2 
h) a 2 + b + c + d + e ³ a(b + c + d + e) 
2 
2 
2 
2 
k) a + b + c ³ ab + bc + ca với a, b, c ³ 0 
HD: a) ⇔ (a - b 2) + (b - c) + (c - a) ³ 0 
c) ⇔ (a -1) 2 + (b -1) + (c -1) ³ 0 
e) ⇔ (a 2 - b ) + (a - c) + (a -1) ³ 0 
g) ⇔ (a - bc 2) + (b - ca) + (c - ab) ³ 0 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
h)⇔ 
i) ⇔ 
 a 
 2 
 
 
 
- b  
 
 
+  
 a 
 2 
- c  
2 
2 
 
 
1 
+  
 a 
 2 
- d  
 
+  
 a 
 2 
b) ⇔ (a - b 2) + (a -1) + (b -1) ³ 0 
d) ⇔ (a - b + c 2) ³ 0 
2 
f) ⇔  
 a 
 2 
- (b - c) 
 
 
³ 0 
2 
2 
1 
- 
 a 
1  
 
b  
2 
+  
 
- 
 b 
1  
 
c  
2 
 
 
+  
- e 
 
 
2 
1 
- 
 c 
1  
 
a  
³ 0 
2 
³ 0 
k) ⇔ ( 
a - b) 
2 
+( 
b - c) 
2 
+( 
c - a) 
2 
³ 0 
Bài 2. 
a) 
Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a3 
+ b3 
2 
3 
³ 
 a + b  
 
 
2 
; với a, b ³ 0 
b) a 4 + b ³ a b + ab 
d) a 3 + b + c ³ 3abc , với a, b, c > 0. 
3 
+ 
f) 
1 
1 + a 
2 
3 
1 
1 + b 
2 
³ 
2 
1 + ab 
; với ab ³ 1. 
c) a 4 + 3 ³ 4a 
e) a + b £ 
a2 + 3 
a 
2 
+ 2 
g) 
4 4 
a 
b 
6 
2 
+ 
b 
a 
 
 
6 
2 
4 
3 
3 
; với a, b ¹ 0. 
HD: a) ⇔ (a + b)(a - b) ³ 0 
8 
> 2 
3 
h) (a 5 + b )(a + b) ³ (a + b )(a + b ) ; với ab > 0. 
b) ⇔ (a 3 - b )(a - b) ³ 0 
Trang 31 
3 
5 
4 
4 
2 
2 
2 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
c) ⇔ (a -1) 2(a + 2a + 3) ³ 0 
d) Sử dụng hằng đẳng thức a 3 + b = (a + b) - 3a b - 3ab . 
2 2 2 
BĐT ⇔ (a + b + c) a + b + c - (ab + bc + ca) ³ 0 . 
2 
3 
3 
2 
2 
e) ⇔ (a 2 - b ) (a + a b + b ) ³ 0 
g) ⇔ (a 2 +1) > 0 
2 
2 
2 
4 
2 
2 
4 
 
 
f) ⇔ 
Trần Sĩ Tùng 
2 
(b - a) (ab -1) 
(1+ ab)(1+ a 2 )(1+ b ) 
2 
³ 0 
h) ⇔ ab(a - b)(a 3 - b ) ³ 0 . 
3 
Bài 3. 
Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng a 2 + b ³ 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất 
2 
đảng thức sau: 
a) a 4 + b + c + d ³ 4abcd 
c) (a 2 + 4)(b + 4)(c + 4)(d + 4) ³ 256abcd 
4 
4 
4 
2 
2 
2 
b) (a 2 +1)(b +1)(c +1) ³ 8abc 
2 
2 
HD: a) a 4 + b ³ 2a b ; c + d ³ 2c d ; a b + c d ³ 2abcd 
b) a 2 +1 ³ 2a; b +1 ³ 2b; c +1 ³ 2c 
c) a 2 + 4 ³ 4a;b + 4 ³ 4b;c + 4 ³ 4c; d + 4 ³ 4d 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
Bài 4. 
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu 
minh các bất đảng thức sau: 
a 
a + b 
+ 
b 
b + c 
c 
c + a 
< 2 
b) 1 < 
c + d 
c + d + a 
+ 
a 
b 
+ 
< 1 thì 
a 
b 
+ 
< 
4 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
a) 
c) 2 < 
a + b 
a + b + c 
+ 
+ 
b + c 
b + c + d 
+ 
a 
a + b + c 
d + a 
d + a + b 
b 
b + c + d 
a + c 
b + c 
c 
(1). Áp dụng chứng 
c + d + a 
+ 
d 
d + a + b 
< 2 
< 3 
HD: BĐT (1) ⇔ (a - b)c < 0. 
a) Sử dụng (1), ta được: 
a 
a + b 
< 
a + c 
a + b + c 
, 
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: 
Tương tự, 
b 
a + b + c + d 
c 
a + b + c + d 
d 
a + b + c + d 
< 
< 
< 
a + b + c + d 
b 
b + c 
a 
< 
b + a 
a + b + c 
, 
c 
c + a 
< 
< 
c + b 
a + b + c 
. 
< 
a 
a + b + c 
a 
a + c 
b 
b + c + d 
c 
c + d + a 
d 
d + a + b 
< 
< 
< 
b 
b + d 
c 
a + c 
d 
d + b 
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: 
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. 
a + b 
a + b + c + d 
< 
a + b 
a + b + c 
< 
a + b + d 
a + b + c + d 
Bài 5. 
Cho a, b, c Î R. Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b + c ³ ab + bc + ca (1). Áp dụng 
2 
2 
chứng minh các bất đảng thức sau: 
a) (a + b + c 2) £ 3(a + b + c ) 
c) (a + b + c 2) ³ 3(ab + bc + ca) 
Trang 32 
2 
2 
2 
a2 
b) 
+ b 2 + c 
3 
2 
³  
 
 a + b + c  
3 
 
 
2 
d) a 4 + b + c ³ abc(a + b + c) 
4 
4 
Trần Sĩ Tùng 
e) 
a + b + c 
3 
³ 
ab + bc + ca 
3 
với a,b,c>0. 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
f) a 4 + b + c ³ abc nếu a + b + c = 1 
4 
4 
HD: ⇔ (a - b 2) + (b - c) + (c - a) ³ 0 . 
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) 
d) Sử dụng (1) hai lần 
f) Sử dụng d) 
Bài 6. 
2 
2 
b, c) Vận dụng a) 
e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) 
Cho a, b ³ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a 3 + b ³ a b + b a = ab(a + b) (1). Áp 
dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 
3 
1 
3 
+ b + abc 
1 
3 
+ b +1 
1 
+ 
+ 
+ 
£ 
; 
với a, b, c > 0. 
b 
3 
1 
3 
+ c + abc 
c 
3 
1 
3 
+ a + abc 
1 
abc 
3 
2 
2 
a) 
b) 
c) 
a 
a 
3 
b 
3 
1 
+ c +1 
a + b +1 
+ 
1 
b + c +1 
3 
+ 
+ 
1 
c 
3 
1 
+ a +1 
c + a +1 
3 
£ 1 ; 
£ 1; 
với a, b, c > 0 và abc = 1. 
với a, b, c > 0 và abc = 1. 
d) 3 
4(a 3 + b ) + 4(b + c ) + 4(c + a ) ³ 2(a + b + c) ; 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
e*) 3 sin A + sin B + sinC £ 3 cos 
HD: (1) ⇔ (a 2 - b )(a - b) ³ 0 . 
2 
3 
3 
A 
2 
+ 3 cos 
B 
2 
+ 3 cos 
C 
2 
; 
với a, b, c ³ 0 . 
với ABC là một tam giác. 
a) Từ (1) ⇒ a 3 + b + abc ³ ab(a + b + c) ⇒ 
3 
a 
3 
1 
3 
+ b + abc 
£ 
1 
ab(a + b + c) 
. 
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
b, c) Sử dụng a). 
d) Từ (1) ⇔ 3(a 3 + b ) ³ 3(a b + ab ) ⇔ 4(a + b ) ³ (a + b) (2). 
Từ đó: VT ³ (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c) . 
3 
2 
2 
3 
3 
3 
e) Ta có: sin A + sin B = 2 cos 
C 
2 
.cos 
A - B 
2 
£ 2 cos 
C 
2 
. 
Sử dụng (2) ta được: a + b £ 3 4(a + b ) . 
⇒ 3 sin A + sin B £ 3 4(sin A + sin B) £ 4.2.cos 
3 
3 
3 
Tương tự, 
3 sin B + sin C £ 2 3 cos 
3 
3 
A 
2 
C 
2 
= 2 3 cos 
C 
2 
, 
3 sin C + sin A £ 2 3 cos 
3 
B 
2 
Bài 7. 
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-cốp-xki): 
a2 + x 2 + b + y ³ (a + b) + (x + y) 
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 
a) Cho a, b ³ 0 thoả a + b = 1. Chứng minh: 
b) Tìm GTNN của biểu thức P = a 
2 
+ 
1 
b 
2 
2 
2 
2 
2 
(1) 
1 + a + 1+ b ³ 5 . 
2 
2 
. 
2 
+ b + 
1 
a 
2 
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh: 
x2 + 
1 
x2 
+ y 2 + 
1 
y2 
+ z 2 + 
1 
z2 
³ 82 . 
Trang 33 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của biểu thức: 
P = 223 + x 2 + 223 + y + 223 + z . 
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔ (a 2 + b )(x + y ) ³ ab + xy 
2 
2 
2 
2 
2 
Trần Sĩ Tùng 
(*) 
• Nếu ab + xy < 0 thì (*) hiển nhiên đúng. 
• Nếu ab + xy ³ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ (bx - ay 2) ³ 0 (đúng). 
a) Sử dụng (1). Ta có: 1+ a 2 + 1+ b ³ (1+1) + (a + b) = 5 . 
2 
2 
2 
2 
2 
b) Sử dụng (1). P ³ (a + b 2) + 
Chú ý: 
1 
a 
1 
+ ³ 
b 
4 
a + b 
 1 
 
 a 
+ 
1  
 
b  
³ 
(a + b) +  
2 
 
4 
= 17 
 a + b  
 
 
(với a, b > 0). 
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 
x2 + 
1 
x2 
+ y 2 + 
1 
y2 
+ z 2 + 
1 
z2 
³ 
(x + y + z 2) +  
 1 
³ 
(x + y + z 2) +  
 x 
 
 x 
+ 
1 
y 
+ 
1  
z  
 
2 
2 
9 
+ y + z  
 
 
= 82 . 
Chú ý: 
1 
x 
+ 
1 
y 
1 
+ ³ 
z 
9 
x + y + z 
(với x, y, z > 0). 
(3 223) 
2 
+ (x + y + z) = 2010 . 
d) Tương tự câu c). Ta có: P ³ 
2 
Bài 8. 
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 
a) ab + bc + ca £ a 2 +b + c <2(ab + bc + ca) 
b) abc ³ (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) 
c) 2a 2b + 2b c + 2c a - a - b - c > 0 
d) a(b - c 2) + b(c - a) + c(a + b) > a + b + c 
2 
2 
2 
2 
2 
4 
4 
4 
2 
2 
3 
3 
2 
2 
3 
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > b - c ⇒ a 2 > b - 2bc + c . 
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
b) Ta có: a 2 > a - (b - c) ⇒ a > (a + b - c)(a - b + c) . 
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
c) ⇔ (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0 . 
d) ⇔ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0 . 
Bài 9. 
a) 
2 
2 
2 
2 
2 
Trang 34 
Trần Sĩ Tùng 
1. Bất đẳng thức Cô-si: 
+ Với a, b ³ 0, ta có: 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô-si 
a + b 
2 
³ ab . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b. 
+ Với a, b, c ³ 0, ta có: 
 a + b  
 
 
2 
 
 
2 
a + b + c 
3 
³ 3 abc . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c. 
3 
 a + b + c  
+  
 
3 
 
 
³ abc 
³ ab 
2. Hệ quả: 
+ 
3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: 
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. 
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. 
Bài 1. Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc 
c) (1+ a)(1+ b)(1+ c) ³ (1+ 3 abc) 
b) (a + b + c)(a 2 + b + c ) ³ 9abc 
d) 
bc 
a 
+ 
ca 
b 
+ 
ab 
c 
³ a + b + c ; với a, b, c > 0. 
2 
2 
3 
e) a 2(1+ b ) + b (1+ c ) + c (1+ a ) ³ 6abc 
f) 
g) 
ab 
a + b 
a 
b + c 
+ 
+ 
+ 
+ 
ca 
c + a 
c 
a + b 
£ 
³ 
; với a, b, c > 0. 
2 
bc 
b + c 
b 
c + a 
2 
2 
2 
a + b + c 
2 
3 
2 
2 
; với a, b, c > 0. 
HD: a) a + b ³ 2 ab; b + c ³ 2 bc; c + a ³ 2 ca ⇒ đpcm. 
b) a + b + c ³ 3 3 abc; a + b + c ³ 3 a b c 
c) 
2 
2 
2 
3 
2 
2 
2 
⇒ đpcm. 
• (1+ a)(1+ b)(1+ c) = 1+ a + b + c + ab + bc + ca + abc 
• a + b + c ³ 3 3 abc 
• ab + bc + ca ³ 3 a 2b c 
3 
2 
2 
⇒ (1+ a)(1+ b)(1+ c) ³ 1+ 3 3 abc + 3 a b c + abc = (1+ abc 
3 
2 
2 
2 
3 
d) 
bc 
a 
+ 
ca 
b 
³ 2 
abc2 
ab 
= 2c , 
+ 
ab 
c 
³ 2 
a 2bc 
bc 
= 2a , 
ab 
c 
+ 
bc 
a 
3 
) 
e) VT ³ 2(a 2b + b c + c a) ³ 6 a b c = 6abc . 
f) Vì a + b ³ 2 ab nên 
⇒ 
ab 
a + b 
+ 
bc 
b + c 
+ 
ca 
c + a 
ab 
a + b 
£ 
£ 
= 
2 
2 
ca 
b 
3 
³ 2 
ab 2c 
ac 
= 2b ⇒đpcm 
3 
ab 
3 
3 
2 ab 
ab 
2 
ab + bc + ca 
2 
£ 
. Tương tự: 
a + b + c 
2 
bc 
b + c 
£ 
bc 
2 
; 
ca 
c + a 
£ 
ca 
2 
. 
g) VT = 
= 
 a 
 
 b + c 
1 
2 
[ 
+1 
  b 
 +  
  c + a 
+1 
  c 
 +  
  a + b 
+1  - 3 
 
+ 
1 
c + a 
(vì 
 
ab + bc + ca £ a + b + c ) 
(a + b) + (b + c) + (c + a) 
] 
 
 
1 
 b + c 
+ 
1 
 
a + b  
 - 3 ³ 
9 
2 
- 3 = 
3 
2 
. 
• Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. 
1  x 
 
2  y 
Khi đó, VT = + 
y   z 
x  
  
 x 
+ 
+ 
x   z 
z  
  
+ 
 y 
+ 
y  
z  
 - 3 ³ (2 + 2 + 2 - 3) = . 
 
 
2 
2 
 
1 
3 
Trang 35 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) (a + b + c ) 
3 3 3 
 1 
 
 a 
+ 
1 
b 
+ 
1  
c  
 ³ (a + b + c) 
2 
Trần Sĩ Tùng 
b) 3(a 3 + b + c ) ³ (a + b + c)(a + b + c ) 
HD: a) VT = a 2 + b + c +  
2 
2 
 a 
 b 
+ 
3 
3 
2 
3 
2 
b3 
2 
  b 
c) 9(a 3 + b + c ) ³ (a + b + c) 
c3   c 
3 
+ 
a3  
c  
3 
3 
3 
3 
a   c 
 +  
+ 
b   a 
 +  
 . 
Chú ý: 
a3 
b 
+ 
b3 
a 
³ 2 a b = 2ab . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 
2 
2 
b) ⇔ 2(a 3 + b + c ) ³ (a b + b a + b c + bc 
3 
3 
2 
2 ) 
( 2 
2) 
+ ( 2c a + ca ).2 
Chú ý: a 3 + b ³ ab(a + b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 
c) Áp dụng b) ta có: 9(a 3 + b + c ) ³ 3(a + b + c)(a + b + c ) . 
Dễ chứng minh được: 3(a 2 + b + c ) ³ (a + b + c) ⇒ đpcm. 
3 
3 
2 
2 
2 
2 
4 
a + b 
2 
Cho a, b > 0. Chứng minh 
+ 
1 
1 
b 
1 
+ ³ 2 
c 
+ 
1 
b + c 
 
 
1 
+ 
+ 
1 
a 
2 
1 
+ ³ 
b 
1  
c + a  
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 
3 
Bài 3. 
a) 
b) 
1 
a 
 a + b 
+ 
1 
c + a 
1 
b + c 
 ; với a, b, c > 0. 
a + b 
³ 2 
 
1 
 2a + b + c 
+ 
1 
a + 2b + c 
+ 
1 
 
a + b + 2c  
1 
2a + b + c 
 ; với a, b, c > 0. 
+ 
1 
a + 2b + c 
+ 
1 
a + b + 2c 
c) Cho a, b, c > 0 thoả 
d) 
ab 
a + b 
+ 
bc 
b + c 
+ 
ca 
c + a 
1 
a 
£ 
+ 
1 
b 
+ 
1 
c 
= 4 . Chứng minh: 
£ 1 
a + b + c 
2 
; với a, b, c > 0. 
e) Cho x, y, z > 0 thoả x + 2y + 4z = 12 . Chứng minh: 
2xy 
x + 2y 
+ 
8yz 
2y + 4z 
+ 
4xz 
4z + x 
£ 6 . 
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 
1 
p - a 
HD: (1) ⇔ (a + b) 
 1 
 
 a 
+ 
1 
p - b 
+ 
1 
p - c 
³ 2 
 1 
 a 
+ 
1 
b 
+ 
1  
c  
 . 
+ 
1  
b  
 ³ 
4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô-si. 
4 
1 
4 
a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 
1 
a 
1 
+ ³ 
b 
a + b b 
; 
1 
+ ³ 
c 
b + c c 
; 
1 
1 
+ ³ 
a 
4 
c + a 
. 
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
b) Tương tự câu a). 
c) Áp dụng a) và b) ta được: 
d) Theo (1): 
1 
a + b 
£ 
1  1 
 
4  a 
+ 
1 
a 
+ 
1 
b 
1 
+ ³ 4 
c 
ab 
a + b 
£ 
 
 
1 
 2a + b + c 
1 
4 
(a + b) . 
+ 
1 
a + 2b + c 
+ 
1 
 
a + b + 2c  
 . 
1  
 
b  
⇔ 
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. 
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 ⇒ đpcm. 
f) Nhận xét: (p -a) + (p - b) = 2p - (a + b) = c. 
Áp dụng (1) ta được: 
1 
p - a 
+ 
1 
p - b 
³ 
4 
( p - a) + (p - b) 
= 
4 
c 
. 
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 
Trang 36 
Trần Sĩ Tùng 
Bài 4. 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
BĐT sau: 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
9 
a + b + c 
(1). Áp dụng chứng minh các 
a) (a + b + c ) 
2 
2 
2 
 
 
1 
+ 
 a + b 
1 
b + c 
+ 
1 
1 
a 
 
+ 
c + a  2 
 ³ 
1 
b 
3 
1 
+ ³ 
c 
(a + b + c) . 
b) Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = 
c) Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c £ 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
P = + + . 
a 
2 
1 
+ 2bc 
b 
2 
1 
+ 2ac 
c 
2 
1 
+ 2ab 
d) Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 
e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
HD: Ta có: (1) ⇔ (a + b + c) 
a) Áp dụng (1) ta được: 
2 
⇒ VT ³ 
 1 
 
 a 
1 
+ 
1 
b 
+ 
1 
2 + cos2A 
1  
c  
 ³ 
+ 
+ 
x 
x +1 
+ 
y 
y +1 
+ 
z 
z +1 
. 
a 
2 
1 
2 
+ b + c 
1 
2 + cos2B 
2 
+ 
1 
ab 
+ 
1 
1 
bc 
+ 
1 
ca 
2 - cos2C 
³ 
6 
5 
³ 30 . 
. 
9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô-si. 
a + b 
+ 
1 
b + c 
+ 
1 
c + a 
³ 
9 
2(a + b + c) 
³ 
3 
2 
. 
9(a 2 + b + c ) 
2(a + b + c) 
2 
= 
3 3(a 2 + b + c ) 
2 
. 
a + b + c 
2 
2 
(a + b + c) 
Chú ý: (a + b + c 2) £ 3(a + b + c ) . 
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: 
P = 
x + 1-1 
x +1 
+ 
y + 1-1 
y +1 
+ 
1 
z +1 
³ 
+ 
= 3 - 
2 
2 
2 
Ta có: 
1 
x +1 
+ 
1 
y +1 
z + 1-1 
z +1 
9 
 
 
1 
 x +1 
+ 
1 
y +1 
+ 
1  
 
x + y + z + 3 
= 
9 
4 
. Suy ra: P £ 3 - = . 
4 4 
z +1  
9 
3 
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: 
Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN 
của biểu thức: P = + 
c) Ta có: P ³ 
d) VT ³ 
x 
kx +1 
9 
y 
ky +1 
+ 
z 
kz +1 
= 
. 
a 
= 
³ 
2 
 
 
+ b + c 
1 
a2 
1 
2 
2 
2 
+ 2bc + b + 2ca + c + 2ab 
2 
+ 
9 
ab + bc + ca 
1 
+ 
ab + bc + ca 
³ 
9 
(a + b + c 2) 
³ 9 . 
 a + b + c 
9 
(a + b + c 2) 
+ 
Chú ý: ab + bc + ca £ (a + b + c) = . 
1 
e) Áp dụng (1): 
3 
2 + cos2A 
+ 
1 
2 + cos2B 
3 
+ 
7 
ab + bc + ca 
1 
+ 
9 
1 
1 
2 
2 
2 
ab + bc + ca  
+ 
7 
1 
3 
= 30 
 
 + 
7 
ab + bc + ca 
2 
1 
1 
2 - cos2C 
³ 
9 
6 + cos2A + cos2B - cos2C 
Trang 37 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
Trần Sĩ Tùng 
³ 
9 
6 + 
3 
2 
= 
6 
5 
. 
Bài 5. 
3 
Chú ý: cos2A + cos2B - cos2C £ . 
2 
Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của các biểu thức sau: 
x 
a) y = + 
2 
c) y = 
e) y = 
g) y = 
3x 
2 
x 
18 
x 
; x > 0 . 
+ 
1 
x +1 
+ 
5 
x 
; x > -1. 
x 
b) y = + 
2 
x 
d) y = + 
3 
f) y = 
2 
x -1 
5 
; x > 1. 
2x -1 
; x > 
1 
2 
1- x 
x2 
; 0 
+ 4x + 4 
x 
< x < 1 
; x > 0 
x3 +1 
2 
HD: a) Miny = 6 khi x = 6 
c) Miny = 6 - 
3 
2 
khi x = 
6 
3 
-1 
h) y = x + 
b) Miny = 
d) Miny = 
f) Miny = 
h) Miny = 
x 
2 
; x > 0 
2 
x 
3 
2 
3 
; x > 0 
khi x = 3 
30 +1 
3 
3 
3 4 
5 
khi x = 
30 +1 
2 
e) Miny = 2 5 + 5 khi x = 
g) Miny = 8 khi x = 2 
5 - 5 
4 
5 27 
khi x = 3 2 
khi x = 5 3 
Bài 6. 
Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTLN của các biểu thức sau: 
a) y = (x + 3)(5 - x); - 3 £ x £ 5 
c) y = (x + 3)(5 - 2x); - 3 £ x £ 
1 
5 
2 
b) y = x(6 - x); 0 £ x £ 6 
5 
d) y = (2x + 5)(5 - x); - £ x £ 5 
2 
f) y = ; x > 0 
x 
2 
x 
+ 2 
e) y = (6x + 3)(5 - 2x); - £ x £ 
2 
g) y = 
x2 
(x2 + 2) 
3 
5 
2 
HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 
c) Maxy = 
121 
8 
khi x = - 
b) Maxy = 9 khi x = 3 
d) Maxy = 
f) Maxy = 
625 
8 
1 
2 2 
khi x = 
khi x = 
1 
4 
e) Maxy = 9 khi x = 1 
g) Ta có: x 2 + 2 = x +1+1 ³ 3 x 
2 
3 
⇒ Maxy = 
1 
27 
khi x = ±1. 
5 
4 
2 
⇔ (x + 2) ³ 27x 
2 
3 
2 
⇔ 
2 
x 
( 2 
2 
2 
+ x ³ 2 2x ) 
£ 
(x 2 + 2) 
3 
1 
27 
Bài 7. 
a) 
Trang 38 
Trần Sĩ Tùng 
1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: (B) 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu-nhia-cốp-xki 
• Với a, b, x, y Î R, ta có: (ax + by 2) £ (a + b )(x + y ) . Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx. 
• Với a, b, c, x, y, z Î R, ta có: (ax + by + cz 2) £ (a + b + c )(x + y + z ) 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
Hệ quả: 
• (a + b) £ 2(a + b ) 
2 
2 
2 
• (a + b + c) £ 3(a + b + c ) 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
Bài 1. 
Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) 3a 2 + 4b ³ 7 , với 3a + 4b = 7 
c) 7a +11b ³ 
2 2 
2464 
137 
, với 3a - 5b = 8 
2 
b) 3a + 5b ³ 
2 
2 
735 
47 
, với 2a - 3b = 7 
d) a + b ³ , với a + 2b = 2 
5 
2 
2 
4 
e) 2a 2 + 3b ³ 5 , với 2a + 3b = 5 
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 
2 
3 
3 
7 
2 
f) (x - 2y +1) + (2x - 4y + 5) ³ 
3, 4, 3a, 4b . 
,- 
,- 
3 
5 
5 
, 
2 
2 
9 
5 
, 
3a, 5b . 
7a, 11b . 
11 
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2,a, b . 
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2, 3, 2a, 3b . 
9 
f) Đặt a = x - 2y + 1, b = 2x - 4y + 5, ta có: 2a - b = -3 và BĐT ⇔ a + b ³ . 
5 
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; -1; a; b ta được đpcm. 
Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
2 2 
Bài 2. 
a) a + b ³ , với a + b ³ 1 . 
2 
1 
c) a + b ³ , với a + b ³ 1 . 
8 
4 4 
2 
2 
1 
b) a + b ³ , với a + b ³ 1 . 
4 
d) a 4 + b ³ 2 , với a + b = 2 . 
4 
3 
3 
1 
HD: a) 1 £ (1a +1b 2) £ (1 +1 )(a + b ) ⇒ đpcm. 
b) a + b ³ 1 ⇒ b ³ 1- a ⇒ b 3 ³ (1- a) = 1- 3a + 3a - a 
3 
2 
3 
2 
⇒ b + a ³ 3 a - 
 
 
3 3 
 
1  
 
2  
+ ³ . 
1 
1 
2 
2 
2 
2 
c) (1 +1 )(a + b ) ³ (a + b ) ³ 
2 
2 
4 
4 
2 
4 
2 
4 
2 
1 
4 
⇒ đpcm. 
d) (1 2 +1 )(a + b ) ³ (a + b) = 4 ⇒ a + b ³ 2 . 
(1 2 +1 )(a + b ) ³ (a + b ) ³ 4 ⇒ a + b ³ 2 
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
P = 1- x + 1- y + 1- z . 
2 
2 
2 
4 
4 
2 
2 
2 
4 
4 
2 
2 
2 
2 
Bài 3. 
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 
P £ 1+1+1. (1- x) + (1- y) + (1- z) £ 6 
Trang 39 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
Dấu "=" xảy ra ⇔ 1- x = 1- y = 1- z ⇔ x = y = z = . 
1 
3 
Vậy Max P = 
1 
6 khi x = y = z = . 
3 
Trần Sĩ Tùng 
Bài 4. 
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: 
x2 + 
1 
x 
2 
+ y 2 + 
1 
y 
2 
+ z 2 + 
1 
z 
2 
³ 82 
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 
 
 x 
 
2 
+ 
1  
2  
x  
(1 + 9 ) ³  x + 
 
2 
2 
 
1 
y 
2 
9  
 
x  
2 
2 
⇒ x + 
1 
x 
2 
³ 
1  
82  
2 
Tương tự ta có: 
y2 + 
³ 
y  
z 
+ 
³ 
(3) 
1  
 y + 
82  
9  
 (2), 
 x + 
1 
z 
2 
9  
 
x  
(1) 
1  
 z + 
82  
9  
 
z  
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
P ³ 
³ 
1  
82  
(x + y + z) + 9 
 1 
 x 
+ 
1 
2 
82 3 
 
(x + y + z) 
 1 
 
 x 
+ 
1 
y 
1 
y 
+ 
1  
z  
 = 
1  
82  
9 
+ 
1  80 
z  
 + 
9 x + y + z 
. 
(x + y + z) + 
1  1 
 
9  x 
+ 
1 
y 
+ 
1  80  1 
z  
 + 
9  x 
 
+ 
1 
y 
+ 
1  
 
z  
 
 ³ 82 . 
1 
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = . 
3 
Bài 5. Cho a, b, c ³ - 
1 
4 
(1) 
7 < 
thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 
(2) 
4a +1 + 4b +1 + 4c +1 £ 21 . 
HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a +1; 4b +1; 4c +1 ⇒ (2). 
Chú ý: x + y + z £ x + y + z . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 0. Từ đó ⇒ (1) 
Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
4 
a) A = + 
x 
1 
4y 
, với x + y = 1 
2 
b) B = x + y , với 
2 
x 
+ 
3 
y 
= 6 
HD: a) Chú ý: A = 
 
 
 x  
2  
 
+  
 
2 
1  
2 y  
 
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: 
25 
4 
£ 
 
 
 
x. 
2 
x 
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = ; y = . Vậy minA = 
5 
2 
5 
3  
y  
x; 
2 
 
+ y. 
4 
2  
x; 
1  
 
2 y  
1 
. 
2 
x 
2 
; y; 
1 
2 y 
ta được: 
£ (x + y) 
 4 
 
 x 
+ 
25 
1  
 
4y  
khi x = ; y = . 
5 5 
b) Chú ý: 
+ 
 
=  
2 
x 
3 
y 
 x  
 
 
+  
 
 
4 
4 
1 
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: 
. 
y; 
2 
x 
; 
3 
y 
ta được: 
Trang 40 
Bất đẳng thức - Bất phương trình 
2 
( 
2 + 
3) 
⇒ x + y ³ 
( 
2 + 
6 
2 
) 
 
 x 
+ 
y   
 ³  x. 
 
+ y. 
y  
 
2 
= ( 
(x + y) 
3  
2 
 2 
3  
2 
x 
3) 
3 
2 
. 
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 
2 
3 + 3 
6 3 
2 
; y = 
3 + 3 
6 2 
2 
. Vậy minB = 
2 + 
6 
. 
Bài 7. 
Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
a) A = x 1+ y + y 1+ x , với mọi x, y thoả x 2 + y = 1. 
HD: a) Chú ý: x + y £ 2(x 2 + y ) = 2 . 
A £ (x 2 + y )(1+ y +1+ x) = x + y + 2 £ 2 + 2 . 
2 
2 
2 
2 
. 
2 
Bài 8. 
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = 
Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau: 
a) A = 7 - x + 2 + x , với -2 £ x £ 7 b) B = 6 x -1 + 8 3 - x , với 1 £ x £ 3 
c) C = y - 2x + 5 , với 36x 2 +16y = 9 
2 
d) D = 2x - y - 2 , với 
x2 
4 
+ 
= 1. 
HD: a) • A £ (1 2 +1 )(7 - x + x + 2) = 3 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = . 
2 
• A ³ (7 - x) + (x + 2) = 3 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = -2 hoặc x = 7. 
5 
⇒ maxA = 3 2 khi x = ; 
2 
minA = 3 khi x = -2 hoặc x = 7. 
2 
y2 
9 
5 
b)• B £ (6 2 + 8 )(x -1+ 3 - x) = 10 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 
2 
43 
25 
. 
• B ³ 6 (x -1) + (3 - x) + 2 3 - x ³ 6 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3. 
⇒ maxB = 10 2 khi x = 
43 
25 
; 
minB = 6 2 khi x = 3. 
c) Chú ý: 36x 2 +16y = (6x) + (4y) . Từ đó: y - 2x = .4y - .6x . 
3 
⇒ y - 2x = .4y - .6x £ 
4 
⇒ - £ y - 2x £ 
5 
4 
⇒ minC = 
d) Chú ý: 
x2 
4 
15 
4 
+ 
5 
4 
3 
⇒ 
1 1 