Toán - Bất phương trình lượng giác

 213 
VẤN ĐỀ 8 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC 
 214 
Vấn đề 8 
Bất PhươngTrình Lượng Giác 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu 
vào các bpt lượng giác . 
• Từng bước đưa về dạng uv hoặc 
v
u
 sau đó xét dấu của các hàm 
số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy 
được trực tiếp . 
• Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao  
hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc  
• Có thể đưa về dạng đối lập . 
• Có thể dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào . 
• Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghịch biến 
của các hàm số thông dụng  
• Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm 
m để bpt có nghiệm trên tập xác định của nó , vô nghiệm ,hoặc 
có ít nhất nghiệm,  
• Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán 
• Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia – 
cốp xki và các bấtđẳng thức khác .Nhờ đó các bài toán được giải 
quyết gọn gành và nhanh chóng . 
• Có thể dùng phương pháp đổi biến số 
Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau : 
- Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn 
số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên 
tập xác định D1 thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác định D của 
bất phương trình đã cho 
- Kết hợp tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác để đua 
ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu 
 215 
Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có 
thể tham khảo .. 
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI 
Bài 1 
Giải bất phương trình : sin x ( cos x - 
2
1
) > 0 
Giải 
Ta có : 
sin 0
(1)1cos
2
sin 0
(2)1cos
2
x
x
x
x
⎡ >⎧⎪⎢⎨⎢ >⎪⎢⎩⎢ <⎧⎢⎪⎢⎨ <⎢⎪⎢⎩⎣
 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
π+π<<+π
π+π<<π
2k
3
5x)1k2(
2k
3
x2k
Bài 2 
Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*) 
Giải 
(*) ⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
2
1cos
0sin
x
x
 ∨ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
<
2
1cos
0sin
x
x
⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+<<+
+<<
ππππ
πππ
2
3
22
2
3
2
lxl
kxk
 (k,l ∈ Z) 
 216 
Bài 3 
Giải bất phương trình : cos3x - 3 sin3x ≥ 1 (1) 
Giải 
(1) ⇔ 
2
13sin
2
33cos
2
1 ≥− xx ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
3
3cos πx ≥ 
2
1
 (1) 
Dựa vào đường tròn lượng giác : 
(1) ⇔ 
3
π− + k2π ≤ 3x + 
3
π− ≤ 
3
π− + k2π 
 ⇔ 
3
2
3
2
9
2 πππ kxk ≤≤+− 
Bài 4 
Giải bất phương trình : 2x2 sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*) 
Giải 
(*) ⇔ 2x2sinx – 1 ≤ 2sin2x – 2sinx + 2 – 2sin2x 
⇔ (2x2 + 2)sinx ≤ 2 ⇔ (x2 + 1)sinx ≤ 1 
⇔ sinx ≤ 1 (vì x2 + 1 > 0 ∀x ∈ R) ⇔ x ∈ R 
Bài 5 
Giải bất phương trính : cos2x + 3 sinx.cosx < 1 (1) 
Giải 
(1)⇔ cos2x + 3 sin2x < 1 
⇔ sin
2
1
6
2 <⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + πx ⇔ πππππ 2
6
13
6
22
6
5 kxk +<+<+ 
⇔ ππππ kxk +<+
3
Bài 6 
Giải bất phương trình : cosx + 
xcos
1
 ≥ 
2
5
(*) 
Giải 
(*) ⇔ 0
cos
1cos
2
5cos2
≥
+−
x
x
 217 
⇔ ( )( )
x
xx
cos
1cos22cos −−
 ≥ 0 ⇔ 
x
x
cos
1cos2 −
 ≤ 0 (do cosx < 2 , ∀x) 
⇔ 0 < cosx ≤ 
2
1
 ∨ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥
0cos
2
1cos
x
x
 ⇔ 0 < cosx ≤ 
2
1
⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+≤<+
+<<+
ππππ
ππππ
2
2
52
2
3
2
3
2
2
kxk
kxk
Bài 7 
Giải bất phương trình : 
x2cos1
x2sin
− ≤ 0 (1) 
Giải 
 (1) ⇔ 
xsin2
x2sin
2 ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ ) 
 ⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ ) 
 ⇔ π+π≤≤π+π kxk
2
 loại trừ x = kπ 
Bài 8 
Định m để bất phương trình vô nghiệm : sin (2x - 
3
π
) ≥ m - 
2
3
Chú ý : 
• f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x ∈ D 
• f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x ∈ D 
Ta có : sin (2x - 
3
π
) [ ]1,1−∈ 
Từ đó suy ra : sin (2x - 
3
π
) có max bằng 1 
Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m - 
2
3
 > 1 ⇔ m > 1 + 
2
3
 218 
Bài 9 
Định m để bất phương trình có nghiệm : 
sin2x – sinx ≥ m2 – 2m , x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π∈
4
,0 
Giải 
 Khi x 0,
4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ thì ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
=
2
2t0
xsint
Xét f(t) = t2 – t ; f’(t) = 2t – 1 
 t 0 
2
1
2
2
 f’(t) 1 _ 0 + 1 
 f(t) 0 
2
21−
4
1− 
Bảng biến thiên cho ta : maxf(x) = 0 , với x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈
2
2,0 
Bất phương trình có nghiệm ⇔ m2 – 2m ≤ maxf(x) , 
⇔ m2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2. 
Bài 10 
Giải bất phương trình : 
cos3x.cos3x – sin3x.sinx ≤ 
8
5
 (1) 
Giải 
(1) ⇔ cos3x(4cos3x – 3cosx) – sin3x(3sinx – 4sin3x) ≤ 
8
5
⇔ 4(cos6 + sin6) – 3(sin4x + cos4x) ≤ 
8
5
 219 
⇔ 4(1 – 3sin2x.cos2x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x) ≤ 
8
5
⇔ 1 – 6sin2x.cos2x ≤ 
8
5
 ⇔ sin22x ≥ 
4
1
⇔ sin2x ≤ -
2
1
 ∨ sin2x ≥ 
2
1
⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+≤≤+
+≤≤+
ππππ
ππππ
2
3
222
3
2
3
522
3
4
kxk
kxk
 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+≤≤+
+≤≤+
ππππ
ππππ
kxk
kxk
36
6
5
3
2
Bài 11 
1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình : 
sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4 sin2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π
2
x
4
thoả mãn hệ bất phương trình : ⎪⎩
⎪⎨⎧ −>+
<−
x3x
31x
2
2-\ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 
f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ππ−
4
;
4
(Đại học An ninh 2001) 
Giải 
1-\ Ta có : 
sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4sin2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π
2
x
4
⇔ sinxcos4x + 1 – cos4x = 1 - 2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π− x
2
cos1 
⇔ cos4x(sinx – 1) = 2(sinx – 1) 
⇔ (sinx – 1) (cos4x – 2) = 0 ⇔ ⎢⎣
⎡
=
=
2x4cos
1xsin
 ( vô nghiệm) 
 220 
Vậy sinx = 1 ⇔ x = 
2
π
 + k2π ; k ∈ Z 
2
| 1| 3
3
x
x x
− −⎩
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++
−>−
<−
03xx
31x
31x
2
⇔ ⎩⎨
⎧
−>
<
2x
4x
 ⇔ -2 < x < 4 
Điều kiện của bài toán được thoả mãn ⇔ k = 0 
Khi đó nghiệm của phương trình : x = 
2
π
2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ππ−∈
4
;
4
f’(x) = -5sinx + 5sin5x 
f’(x) = 0 ⇔ sin5x = sinx ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
∈π+π=
π=
Zk;
3
k
6
x
2
kx
Vì x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ππ−∈
4
;
4
 , ta thấy x = 0 ; x = 
6
π
 ; x = 
6
π
Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x 
 f”(x) = 20 > 0 
 f” ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π±
6
 = -15 3 < 0. 
Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại x = ±
6
π
 và giá trị cực đại là f ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π±
6
= 
3 3 
Ngoài ra : f 23
4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π− ; f 23
4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π 
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) là 3 3 (khi x= ±
6
π
 ) 
 221 
Bài 12 
Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm : 
mxx ≥+ 2sin
2
1sin3 2 (*) 
Giải 
(*) ⇔ 3 (1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
3
2 πx ≥ 
2
32 −m
Để bất phương trình vô nghiệm thì : 
2
32 −m
 > 1 ⇔ m > 
2
23 +
Bài 13 
Giải bất phương trình 
 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx)(1) 
Giải 
(1) ⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0 
Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] 
• f(x) = 0 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
=−−+
=+
2
02
2
12
0cossin
2
t
tt
xx
 với t = cosx – sinx 
⇔ ⎢⎣
⎡
=−
=+
1sincos
0cossin
xx
xx
 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=∨=
=∨=
2
30
4
7
4
3
π
ππ
xx
xx
Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2π] 
Trong 1 chu kỳ [0 ; 2π] nghiệm là : 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
<<
<<
ππ
ππ
2
4
7
2
3
4
3
x
x
Vậy nghiệm của bất phương trình là : 
 222 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+<<+
+<<+
ππππ
ππππ
222
4
7
2
2
32
4
3
kxk
kxk
 (k ∈ Z) 
Bài 14 
Giải bất phương trình : (sinx + cosx)2 ≥ (tgx + cotgx)2 (1) 
Giải 
Ta có : 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
≤+
(BCS) 4cot
(Cauchy) 2cossin
2
2
gxtgx
xx
Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập 
Vậy (1) vô nghiệm 
Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập 
nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô 
nghiệm dể dàng . 
Bài 15 
Giải bất phương trình : 
4sin3sin
62cossin4
10cossinlog 2
2
5 −+>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−
+− xx
xx
xx
(*) 
Giải 
(*) ⇔ 4sin3sin
5sin4sin2
9sinsinlog 22
2
5 −+>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
++ xx
xx
xx
 (1) 
Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1) 
(1) ⇔ 43
542
9log 22
2
5 −+>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
++ tt
tt
tt
Đặt a = 2t2 + 4t + 5 ; b = t2 + t + 9 
(1) ⇔ ba
a
b −>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
5log ⇔ log5a – log5b > a – b 
• Với a > b ⇒ 
⎩⎨
⎧
>−
<−
0
0loglog 55
ba
ba
 ⇒ (1) vô nghiệm 
• Với a < b ⇔ 2t2 + 4t + 5 < t2 + t + 9 ⇔ -4 < t < 1 
 223 
⇒ 
⎩⎨
⎧
<−
>−
0
0loglog 55
ba
ab
 ⇒ (1) có nghiệm –4 < t < 1 
⇔ -4 < sinx < 1 ⇔ x ∈ R 
Bài 16 
Giải bất phương trình : 2cos2x + 4sinx – cosx ≥ 4 (*) 
Giải 
(*)⇔ 2 – 4sin2x + 4sinx – cosx ≥ 4 
⇔ 4sin2x – 4sinx + 1 + cosx + 1 ≤ 0 ⇔ (2sinx – 1)2 + cosx + 1 ≤ 0 (1) 
mà (2sinx – 1)2 ≥ 0 ; (cosx + 1) ≥ 0 ⇒ vế trái ≥ 0 
(1) có nghiệm khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
2
1sin
1cos
x
x
 ⇒ vô nghiệm ⇒ (*) vô nghiệm . 
Bài 17 
Giải bất phương trình : α
α
αα
α
3
3
3
2
2
sin
sin28
sin
2
sin
sin4 −≤+− (*) 
Giải 
Đặt x = αsin
2
 với ⏐t⏐ ≥ 2 
Bpt (*) ⇔ 21 33 2 −≤+− xxx ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤+−
≥
2
3
3
2111
2
x
x
xx
x
 (1) 
Đặt f(x) = VT = 1113 3 +− xx ; 
f’(x) = 
( )
4
23
2
342
3
2
3
311
2
13111
2
1
x
x
xxxxxx
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
−−
 < 0 
với x ≥ 2 
 224 
g(x) = VP = 2
2
x
x − ; g’(x) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−
3
2
41
22
1
x
x
x
 > 0 
⇒ f(x) giảm và g(x) tăng ∀x ≥ 2 
Với x = 3 thì f(x) = g(x) 
Vậy (1) ⇔ x ≥ 3 ⇔ αsin
2
 ≥ 3 ⇔ α
α
sin
sin32 −
 ≥ 0 ⇔ 0 < sinα ≤ 
3
2
Bài 18 
Giải bất phương trình : 9
cos
1cos
sin
1sin
22
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
x
x
x
x 
Giải 
Điều kiện : x ≠ 
2
πk 
VT = 2
cos
1cos2
sin
1sin 2
2
2
2 +++++
x
x
x
x 
= 
xx
xx
22
22
cossin
cossin5 ++ = 
x2sin
45 2+ 
Ta có : 0 < sin22x ≤ 1 ⇒ 4
2sin
4
2 ≥x ⇒ VT ≥ 9 
bpt ⇔ sin22x = 1 ⇔ sin2x = ± 1 ⇔ 2x = 
2
π
 + kπ ⇔ x = 
4
π
 + k
2
π
Bài 19 
Cho bất phương trình : 92
cos
12 ++++ m
x
mxtg ≥ 0 (1) 
Tìm m để (1) luôn đúng với mọi m ∈ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
;0 π 
Giải 
Đặt t = 
xcos
1
 với 0 < x < 
2
π
 ⇒ t > 1 
(1) ⇔ t2 + 1 + (m + 1)t + 2m + 9 ≥ 0 ∀t > 1 
 225 
⇔ m(t + 2) ≥ -t2 – t – 10 ∀t > 1 ⇔ m ≥ 
2
102
+
−−−
t
tt
 = f(t) ∀t > 1 
(do t > 1 ⇒ t > -2 ⇒ t + 2 > 0) 
D = (1 ; +∞) 
f’(t) = 2
2
)2(
84
+
+−−
t
tt
 f’(t) = 0 ⇔ t = 322 ±− 
t 1 -2+2 2 +∞ 
f’(t) + 0 - 
f(t) 3-4 3 
-4 (+) -∞ 
Vậy m ≥ 343− 
Bài 20 
Giải bất phương trình : 
1sin2cos
2
sin2 2 ≥++ xxx trên [0 ; 2π] (*) 
Giải 
(*) ⇔ 2sin2t + cos2t + 2sin2t ≥ 1 (đặt t = 
2
x
) 
⇔ 2sin2t + cos2t + 1 + 2sin2t ≥ 2 ⇔ sin2t + 
2
12cos +t
 + sin2t ≥ 1 
⇔ sin2t + cos2t + sin2t ≥ 1 ⇔ sin2t ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 0 ⇔ x ∈ [0 ; π] 
Bài 21 
Giải bất phương trình : cos2x + sinx –1 < 0 (1) 
Giải 
(1)⇔ -2sin2x + sinx < 0 ⇔ sinx(1 – 2sinx) < 0 
⇔ ⎩⎨
⎧
<−
>∨⎩⎨
⎧
>−
<
0sin21
0sin
0sin21
0sin
x
x
x
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
∨
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
<
2
1sin
0sin
2
1sin
0sin
x
x
x
x
⇔ sinx 
2
1
 ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
+<<+
+<<+
ππππ
ππππ
2
6
52
6
222
kxk
kxk
 (k ∈ Z) 
 226 
Bài 22 
Định a để bất phương trình sau cóâ nghiệm : 
sin2x – (a + 2)sinx + a – 3 > 0(*) 
Giải 
(*) ⇔ (sinx – 1)a < sinx – 2sinx – 3 
Đặt t = sinx , t ∈[-1 ; 1] 
Bpt ⇔ (t – 1)a < t2 – 2t – 3 
• t > 1 : a < 
1
322
−
−−
t
tt
 : a ∈ ∅ 
• t = 1 : bpt ⇔ 0.a < -4 (vô lý) : a ∈ ∅ 
• -1 ≤ t < 1 
Bpt ⇔ a > 
1
322
−
−−
t
tt
Đặt f(t) = 
1
322
−
−−
t
tt
 với –1 ≤ t ≤ 1 
f’(t) = ( )2
2
1
52
−
+−
t
tt
 > 0; ∀t 
t -1 1 
f’(t) + || 
f(t) || 
0 
YCBT ⇔ a > 0 
Bài 23 
Giải bất phương trình sau : 
2
cos
1.2
2cos1
2cos1
2 −≥+
−
xx
x
(*) 
Giải 
(*) ⇔ 2
cos
1.2
cos
sin
22
2
−≥
xx
x
⇔ 1
cos
1.21 2
2 −≥+
x
tg ⇔ 1
cos
1.2
cos
1
22 −≥ xx 
 227 
⇔ 
x2cos
1
 ≤ 1 ⇔ cos2x = 1 ⇔ cosx = 1 ∨ cosx = -1 
⇔ x = k2π ∨ x = π + k2π 
Bài 24 
Tìm m để bất phương trìh có nghiệm : 
m
xx
x −≥+
−
2cos
1.2
2cos1
2cos1
 (*) 
Giải 
Theo trên ta có : 
Bpt (*) ⇔ 1
cos
1.2
cos
1
22 +−≥ mxx ⇔ 1cos
1
2 −≤ mx 
• m – 1 > 0 ⇔ m > 1 : bpt ⇔ cos2x ≥ 
1
1
−m 
YCBT ⇔ 
1
1
−m ≤ 1 ⇔ 1 ≤ m – 1 ⇔ m ≥ 2 (thoả điều kiện m > 1) 
• m –1 < 0 ⇔ m < 1 : bpt ⇔ cos2x ≤ 
1
1
−m 
YCBT ⇔ 
1
1
−m ≥ 0 ⇔ 1 ≤ 0 (vô lý) ⇔ m ∈ ∅ 
• m = 1 : bpt ⇔ 
x2cos
1
 ≤ 0 : vô nghiệm 
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2 
Bài 25 
Giải bất phương trình : cosx > cotgx(*) 
Giải 
(*) ⇔ cosx > 
x
x
sin
cos
 ⇔ cosx 0
sin
11 >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
x
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<
∨
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>
1
sin
1
0cos
1
sin
1
0cos
x
x
x
x
(Bạn đọc tiếp tục tự giải ) 
 228 
Bài 26 
Định m để bất phương trình có nghiệm : 
2cos2x + x
2sin4 + 5 – m ≤ 0 (*) 
Giải 
(*) ⇔ 542 2
2cos1
2cos ++
− x
x ≤ m 
Đặt t = 2cos2x với t ∈ [
2
1
 ; 2] 
Bpt ⇔ t + 52 +
t
 ≤ m ⇔ 
t
tt 252 ++
 ≤ m 
Đặt f(t) = 
t
tt 252 ++
 với t ∈ [
2
1
 ; 2] 
f’(t) = 2
2 2
t
t −
f’(t) = 0 ⇔ t = 2± 
t 
1
2
 -2+2 2 2 
f’(t) - 0 + 
f(t) 
19
2
 8 
 2 2 +5 
Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 522 + 
Bài 27 
Giải bất phương trình : 
x
x
x
x
sin1
sin1
sin1
sin1
+
−+−
+
 ≤ a (*) 
Giải 
Điều kiện x ≠ nπ , n nguyên 
Ta có : 
(*) ⇔ 
x
x
x
x
sin1
sin1
sin1
sin1
+
−+−
+
 ≤ a ⇔ 
x
xx
2cos1
cossin22
−
−
 ≤ a 
 229 
⇔ gx
x
cot2
sin
2
2 − ≤ a ⇔ 2cotg2x – 2cotgx + 2 – a ≤ a (1) 
∆’ = 2a – 3 
• a ≥ 
2
3
 ⇒ ∆’ ≥ 0 
Khi đó (1) ⇔ 
2
321cot
2
321 −+≤≤−− agxa 
Vậy kπ + α và kπ + β (k ∈ Z) với -
2
π
 < α < 
2
π
 và -
2
π
 < β < 
2
π
 và 
cotgα = 
2
321 −+ a
 và cotg β = 
2
321 −− a
Bài 28 
Giải bất phương trình : 
2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx) (1) 
Giải 
Ta có : 
(1) ⇔ 2(sinx + cosx) < 2(cos2x – sin2x) + sinxcosx(sinx + cosx) 
⇔ (sinx + cosx)[2(cosx – sinx) + sinxcosx – 2] > 0 
Đặt t = cosx – sinx ⇒ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−=
2
4
cos2
1sin 2
t
xt
tx
π
Khi đó ta có : 
( ) 021
2
12
4
cos2 2 >⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − ttx π 
⇔ 0)3)(1(
2
1
4
cos2 >−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− ttx π 
Do t – 3 < ∀x 
⇒ (1) ⇔ 0)1(
4
cos >−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − tx π 
 230 
⇔ (a) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
1
4
cos
0
4
cos
π
π
x
x
 ∨ (b) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
1
4
cos
0
4
cos
π
π
x
x
Giải a) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có : 
• cos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4
πx > 0 ⇔ 
242
πππ <−<− x ⇔ 
4
3
4
ππ <<− x 
• cos
2
1
4
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + πx ⇔ 
444
πππ <+<− x ⇔ 0
2
<<− xπ 
Kết hợp nghiệm ta được : 
4
π− + k2π < x < 2(k + 1)π (k ∈ Z) 
Giải : b) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có : 
• cos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4
πx < 0 ⇔ 
2
3
62
πππ <−< x ⇔ 
4
7
4
3 ππ << x 
• cos
2
1
4
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + πx ⇔ 
4
7
44
πππ <+< x ⇔ 
2
30 π<< x 
Kết hợp nghiệm ta được : 
4
3π
 + k2π < x < 
2
3π
 + k2π (k ∈ Z) 
Bài 29 
Giải bất phương trình : 4(sin4x + cos4x) > 2sinx.cosx + 3 (1) 
Giải 
Ta có : 
(1) ⇔ 32sin
2
2cos1
2
2cos14
22
+>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − xxx 
⇔ 2sin22x + sin2x –1 > 0 ⇔ 2(sin2x + 1)(sin2x - 
2
1
) < 0 
⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≠
<
12sin
2
12sin
x
x
 ⇔ 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+≠
++<<+
ππ
ππππ
2
2
32
12
6
22
6
5
kx
kxk
 231 
⇔ 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+≠
++<<+
ππ
ππππ
kx
kxk
4
3
1
1212
5
Bài 30 
Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình : 
a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a > 0 có tập nghiệm là R 
Giải 
Giả sử a thoả mãn đề bài .Vì bất phương trình có nghiệm là R nên 
x = 
2
π
 là nghiệm , do đó ta phải có 
a 0
2
cos3
2
sin4 2
4
>++−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − aππ ⇔ 82a – 3 > 0 ⇔ a > 
82
3
Vậy là mọi a thoả mãn đề bài đều nằm trong khoảng a > 
82
3
Giả sử a > 
82
3
 .Vì cos2x ≥ 0 
Nên 4 – sinx ≥ 3 ⇔ (4 – sinx)4 ≥ 81 ∀x 
Vì a > 0 nên ta có : 
a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a ≥ 81a – 3 + a = 82a – 3 > 0 
Vậy khi a > 
82
3
 thì bất phương trình có tập nghiệm là R 
Bài 31 
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : 
a2 + 2a – sin2x = 2acosx nghiệm đúng ∀x 
Giải 
Vì sin2x = 1 – cos2x nên đặt t = cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1 và bất phương trình 
trở thành : 
y = t2 – 2at + a2 – 2a – 3 > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] 
Đây là 1 parabol quay bề lõm về phía trên , có đỉnh tại điểm t = a , 
nên già trị bé nhất ymin cùa nó trên [-1 , 1] là : 
 232 
ymin = 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−=
<<−=
≤−+=−
1a khi 21
1a1- khi 32)(
-1a khi 241
2
2
ay
aay
aay
y > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] ⇔ ymin > 0 khi t ∈ [-1 ; 1] 
• Khi a ≤ -1 : a2 + 4a – 2 > 0 ⇔ a < -2 - 6 
• Khi –1 0 ⇔ a > 
2
3
 (loại) 
• Khi a ≥ 1 : a2 – 2 > 0 ⇔ a > 2 
Vậy bất phương trình nghiệm đúng ∀x khi a > 2 hoặc a < -2 - 6 
Bài 32 
Giải bất phương trình : cos2x + 5cooxsx + 3 ≥ 0 (*) 
Giải 
(*) ⇔ 2cos2x + 5cosx + 3 ≥ 0 (1) 
Đặt t = cosx với –1 ≤ t ≤ 1 
(1) ⇔ 2t2 + 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ -2 ∨ t ≥ -
2
1
So sánh điều kiện ta có : 
2
1− ≤ t ≤ 1 
⇔ 
2
1− ≤ cosx ≤ 1 ⇔ -
3
2π
 + k2π ≤ x ≤ 
3
2π
+ k2π 
Bài 33 
Giải bất phương trình : sinx + cosx – 3sinxcosx ≤ 1 (1) 
Giải 
Đặt t = sinx + cosx , ⏐t⏐ ≤ 2 
⇒ t2 = 1 + 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx = 
2
12 −t
(1) ⇔ t – 3(
2
12 −t
) ≤ 1 ⇔ 2t – 3(t2 –1) ≤ 2 
⇔ -3t2 + 2t + 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ -
3
1
 ∨ t ≥ 1 
 233 
So điều kiện nhận : 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−≤≤−
≤≤
3
12
21
t
t
• 1 ≤ t ≤ 2 
⇔ 1 ≤ sinx + cosx ≤ 2 ⇔ 1 ≤ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4
cos2 πx ≤ 2 
⇔ 
2
2
 ≤ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4
cos πx ≤ 1 ⇔ ππ 2
4
k+− ≤ x - 
4
π
 ≤ ππ 2
4
k+ 
⇔ k2π ≤ x ≤ 
2
π
 + k2π 
• - 2 ≤ t ≤ 
3
1− 
⇔ - 2 ≤ sinx + cosx ≤ -
3
1
 ⇔ 
3
1
4
cos2 −≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤− πx 
⇔ -1 ≤ 
23
1
4
cos −≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − πx (*) 
Đặt cosα = 
23
1− 
(*) ⇔ α + k2π ≤ x - 
4
π
 ≤ 2π - α + k2π 
 ⇔ α + 
4
π
 + k2π ≤ x ≤ 
4
9π
 - α + k2π 
 234 
Bài 34 
1-\ Tìm k để bất phương trình sau có nghiệm : 
3 .sinx + 2sin2 
2
x ≥ k 
2-\ Tìm nghiệm của bất phương trình : 
3 .sinx + 2sin2 
2
x ≥ 1 
 Thoả điều kiện : log2 (x2 – x +2) ≤ 2 
(Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM ) 
Giải 
1-\ 3 .sinx + 2sin2 
2
x ≥ k ⇔ xcos1xsin3 −+ ≥ k 
⇔ 
2
1kxcos
2
1xsin
2
3 −≥− ⇔ 
2
1k
6
xsin −≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π− 
Bất phương trình vô nghiệm khhi và chỉ khi 
2
1k − ≥ 1 ⇔ k ≥ 3 
2-\ theo trên với k = 1 , ta có : 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−
6
xsin ≥ 0 ⇔ π+π≤π−≤π k2
6
xk2 
⇔ k2
6
7xk2
6
π+π≤≤π+π (1) 
Mặt khác : 
log2 (x2 – x +2 ) ≤ 2 ⇔ x2 – x + 2 ≤ 4 ( vì x2 – x + 2 > 0 , x∀ ) 
 ⇔ x2 – x + 2 = 0 ⇔ 1− ≤ x ≤ 2 (2) 
Trong (1) , với k = 1− thì : 
6
x
6
5 π≤≤π− . Khi đó , giao với (2) , ta lấy 
6
x1 π≤≤− . 
Với k = 0 thì 
6
7x
6
π≤≤π ; giao với (2) ta lấy 2x
6
≤≤π . 
Vậy các giá trị x được lấùy trong (1) để thoả mãn (2) là : 
 1− ≤ x≤ 2. 
 235 
Bài 35 
Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x : 
ysinysinycosx2ycosx 2 +− ≥ 0 
(Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán ) 
Giải 
ysinysinycosx2ycosx 2 +− ≥ 0 , ∀ x . 
π+π=⇔⎩⎨
⎧ ≥=• k22x0ysin
0ycos 
•cos y ≠ 0 , bất phương trình nghiệm đúng ∀ x ⇔ 
Bài 36 
Chứng minh rằng bất phương trình : 
sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x 
Được thoả mãn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π∈∀
3
;0x 
(Đề Đại Học Y Dược TP HCM) 
Giải 
Ta có : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x ; x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π∈
2
;0 
⇔ sinxcos2x + 2sin2xcosx +3sinx – 4sin3x < 9cos3x ; x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π∈
2
;0 
Khi x = 
2
π , bất phương trình có dạng : 1− < 0 ( đúng ) 
Khi x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π∈
2
;0 ⇒ cosx > 0 
Chia hai vế bất phương trình cho cos3x > 0 , ta được : 
tgx + 2tg2x + 3tgx(1 + tg2x) – 4tg3x 0 
Đặt t = tgx ; với x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π∈
2
;0 ⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0 
Xét hàm số : f(t) = t3 – 2t2 –4t +9 ; t [ ]+∞∈ ;0 
f’(t) = 3t2 – 4t – 4 ; f’(t) = 0 ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
−=
=
3
2t
2t
 236 
Bài 37 
Cho phương trình : 4cos5xsinx – 4sin5xcosx = sin24x + m (1) 
1-\ Biết rằng x = π là 1 nghiệm của (1) . Hãy giải phương trình (1) 
trong trường hợp đó. 
2-\ Cho biết x = 
8
π− là 1 nghiệm của (1) . Hãy tìm tất cả các nghiệm 
của phương trình (1) thoả mãn : 2x3x 24 +− < 0 . 
(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) 
Giải 
Ta có (1) ⇔ mx4sin)xsinx(cosxcosxsin4 244 +=− 
⇔ mx4sin)xsinx)(cosxsinx(cosx2sin2 22222 +=−+ 
⇔ mx4sinx4sin 2 =− (2) 
1-\ x = π là nghiệm của (1) nên cũng là nghiệm của (2) . 
m4sin4sin 2 =π−π ⇒ m = 0 
Do đó (2) : ⇔ 0x4sinx4sin 2 =− 
⇔ ⎢⎣
⎡ ==1x4sin 0x4sin ⇔ ⎢⎢
⎢
⎣
⎡
∈π+π=
∈π=
⇔⎢⎢⎣
⎡
∈π+π=
∈π=
)Z(
28
x
)Zk(
4
kx
)Z(2
2
x4
)Zk(kx4
AAAA
2-\ . x = 
8
π− là nghiệm cùa (2) : 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−
2
sin
2
sin 2 = m ⇔ m = 2− 
Vậy (1) ⇔ 2x4sinx4sin 2 −=− ⇔ ⎢⎣
⎡ −== 1x4sin )loai(2x4sin 
⇔ )Zk(
2
k
8
x)Zk(2k
2
x4 ∈π+π−=⇔∈π+π−= 
* Mặt khác : 2x3x 24 +− < 0 
⇔ ⎢⎣
⎡
−<<−
<<⇔<<⇔<−−
1x2
2x12x10)2x)(1x( 222 
∈<π+π−< k,2
2
k
8
1 Z xảy ra ⇔ k = 1 
 237 
2− <
2
k
8
π+π− < 1− , k ∈ Z không xảy ra . 
Vậy cỉ có x = 
8
3
28
π=π+π− là thoả mãn bài toán . 
Bài 38 
Xác định m để bất phương trình sau vô nghiệm : 
mxx ≥+ 2sin
2
1sin3 2 
 (Đại học dân lập Lạc Hồng , năm 1998 – 1999) 
Giải 
mxx ≥+ 2sin
2
1sin3 2 
⇔ mxx ≥+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 2sin
2
1
2
2cos13 
⇔ 
2
32
2
32cos
2
32sin
2
1 −=−≥− mmxx 
⇔ 
2
322cos
3
sin2sin
3
cos −≥− mxx ππ 
⇔ 
2
32
3
2sin −≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − mx π 
Bất phương trình vô nghiệm khi 1
2
32 >−m hay m > 
2
32 +
Bài 39 
Giải bất phương trình : [ ]cos x 3 sin x 2, x 0;2 + < ∈ π 
Giải 
cos x 3 sin x 2 cos x 3 sin x 2 0 + < ⇔ + − < 
Đặt f (x) cos x 3 sin x 2. = + − ta có f xác định và liên tục trên 
0; 2 π 
f (x) 0 cos x 3 sin x 2= ⇔ + = cos cos x sin sin x cos
3 3 4
π π π⇔ + = 
 238 
cos(x ) cos
3 4
π π⇔ − = 
7x
12
x
12
π⎡ =⎢⇔ ⎢ π⎢ =⎢⎣
x 0 
12
π 
2
π 
12
7π 2π 
f(x) - 0 + 0 - 
Vậy trong [ ]0; 2 , π f(x) chỉ có 2 nghiệm là 
12
π và 7 .
12
π Ta có : 
. f (0) 1 2 0= − < 
. f ( ) 3 2 0
2
π = − > 
. f (2 ) 1 2 0π = − < 
Vậy : Tập nghiệm của bất phương trình là 70; ; 2
12 12
 π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤∪ π⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ 
 239 
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI 
Bài 1 
sinx.(cosx - 
1
2
) > 0 
Đáp số : 
k2 x k2
3
5(2k 1) x k2
3
π⎡ π < < + π⎢⎢ π⎢π + < < + π⎢⎣
Bài 2 
sin 2x
1 cos2x− ≤ 0 
Đáp số : k x k
2
π + π ≤ ≤ π+ π 
Bài 3 
Định m để bất phương trình vô nghiệm : 
sin 2x
3
π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ m - 
3
2
Đáp số : m > 1 + 
3
2
Bài 4 
sin2x – sinx ≥ m2 – 2m , x ∈ [0 , 
4
π
] 
Đáp số : 0 ≤ m ≤ 2 
Bài 5 
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm : 
22 cos x cos x 1
cos x 2
− +
− ≤ m – 1, x ∈ [0 , π ] 
Đáp số : m ≥ -1 
Bài 6 
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 
 240 
2xcos
1xcosxcos2 2
−
+−
 ≤ m – 1 ,x [ ]π∈ ,0 
Nhắc lại : 
1) f(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ min f(x) , x ∈ D 
2) f(x) ≤ m vô nghiệm khi m < min f(x) , x ∈ D 
Đặt t = cosx , t [ ]1,1−∈ 
f(t) = 
2t
1tt2 2
−
+−
 ; f’(t) = 2
2
)2t(
1t8t2
−
+−
f’(t) = 0 ⇔ 
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−=
−−=
2
144t
2
144t
t 
 -1 
2
144 −
 1 
2
144 +
f’(t) + 0 - 
f(t) 
3
4− f ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
2
144
 -2 
Bài 7. 
Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm : 
(m2 – 3m + 2)cos2x = m(m -1)