Toán - Chuyên đề 9: Hệ thức lượng trong tam giác

Chuyên đề 9: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
 TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I. Các ký hiệu: 
• A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C 
• a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C 
• ha, hb, hc : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C 
• ma, mb, mc : là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C 
• la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C 
• R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
• r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
• p = 
2
1 (a+b+c) : là nữa chu vi tam giác ABC 
• S : là diện tích tam giác ABC 
c
a
b
malaha
H D MB
A
C
II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông : 
Trong tam giác vuông ABC . Gọi b', c' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có 
các hệ thức: 
⎩⎨
⎧
==
==
⎩⎨
⎧
==
===
+=
=
+=
==
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cbha
cbh
cbh
cba
cabab
cot..
cot..
.7
cos.sin.
cos.sin.
.6...5
111.4
..3
.2
...1
222
''2
222
''2
c & 2
 46
c b
a
h
c' b'
H
A
B C
II. Các hệ thức lượng trong tam giác thường 
1. Định lý hàm số CÔSIN: 
 Trong tam giác ABC ta luôn có : 
Cabbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=
 47
c b
a
A
B C
Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai 
 lần tích hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa chúng. 
Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có : 
bc
acbA
2
cos
222 −+= , 
ac
bcaB
2
cos
222 −+= , 
ab
cbaC
2
cos
222 −+= 
2. Định lý hàm số SIN: 
 Trong tam giác ABC ta có : 
 R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
=== 
 Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có: 
 CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === 
ca
b
O
A
B C
Ghi nhớ: 
Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường 
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
3. Định lý về đường trung tuyến: 
 Trong tam giác ABC ta có : 
42
42
42
222
2
222
2
222
2
cbam
bcam
acbm
c
b
a
−+=
−+=
−+=
 48
4. Định lý về diện tích tam giác: 
Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau: 
))()((.5
.4
4
.3
sin
2
1sin
2
1sin
2
1.2
2
1
2
1
2
1.1
cpbpappS
prS
R
abcS
AbcBacAabS
chbhahS cba
−−−=
=
=
===
===
c
a
b
ma
MB
A
C
ca
bha
HB
A
C
5. Định lý về đường phân giác: 
ba
Cab
l
ca
Bac
l
cb
Abc
l cba +=+=+=
2
cos2
;2
cos.2
;2
cos.2
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 
Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau 
Phương pháp 1: Biến đổi vế này thành vế kia 
Phương pháp 2: Xuất phát từ một một hệ thức đúng đã biết để suy ra đẳng thức cần chứng minh 
VÍ DỤ MINH HỌA: 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) A Bsin A sin B sin C 4.cos .cos .cos
2 2
+ + = C
2
b) 2 2 2sin A sin B sin C 2 2 cosA.cosB.cosC+ + = +
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) (tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = ΔABC không vuông) 
b) A B B C C Atg .tg tg .tg tg .tg 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 
I. Bất đẳng thức trong tam giác : 
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : 
• a > 0, b > 0, c > 0 
• b c a b c− < < + 
• c a b c a− < < + 
• a b c a b− < < + 
• a b c A B C> > ⇔ > >
II. Các bất đẳng thức cơ bản : 
1. Bất đẳng thức Cauchy: 
 49
 Cho hai số không âm a; b ta có : 
2
a b ab+ ≥ 
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b 
Tổng quát : 
Cho n số không âm a1,a2,...an ta có : 
 1 2 1 2
... . ...n n n
a a a
a a a
n
+ + + ≥ 
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an 
2 . Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : 
 2 2 2 2 2( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx 
Tổng quát : 
Cho hai bộ số ( , và ta có : 1 2 ,... )na a a 1 2( , ,..., )nb b b
 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ... )( ... )n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = = với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 
3) Bất đẳng thức cơ bản: 
1 1 1 1( )
4
≤ ++x y x y a) Cho hai số dương x, y ta luôn có: 
 Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y 
 b) Với mọi số thực x, y ta luôn có: xyyx 222 ≥+
 Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y 
III. Bất đẳng thức JENSEN : 
 1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < 0 );( bax∈∀ (f là hàm lồi) thì 
 Với mọi ta có: );(,...,, 21 baxxx n ∈
 )
...
(
)(...)()( 2121
n
xxx
f
n
xfxfxf nn ++≤+++ )2( ≥n
 Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi nxxx === ...21 
 2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > 0 );( bax∈∀ (f là hàm lõm) thì 
 Với mọi ta có: );(,...,, 21 baxxx n ∈
 50
 )
...
(
)(...)()( 2121
n
xxx
f
n
xfxfxf nn ++≥+++ )2( ≥n
 Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi nxxx === ...21 
Để chứng minh đẳng thức lượng giác A, ≥≤, ) ta có thể thực hiện theo một trong các phương 
pháp sau: 
Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến một bất đẳng thức hiển nhiên đúng 
Phương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết (Cô si, BCS,...) để suy ra bất đẳng thức cần 
chứng minh 
VÍ DỤ MINH HỌA: 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
8
1
2
sin.
2
sin.
2
sin ≤CBA 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 a) 
2
33
2
cos
2
cos
2
cos ≤++ CBA 
 b) 
2
33sinsinsin ≤++ CBA 
 c) 3
222
≥++ CtgBtgAtg 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 a) 
8
33
2
cos.
2
cos.
2
cos ≤CBA 
 b) 33≥++ tgCtgBtgA 
 c) 
33
1
2
.
2
.
2
≤CtgBtgAtg 
Dạng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC 
KIỂU ĐỀ TOÁN 1: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 biệt....đặc góc có giác tamlà 
đều giác tamlà 
cân giác tamlà 
cân vuông giác tamlà 
vuông giác tamlà 
ABC 
 trước" cho kiệnĐiều" 
mãn thỏa ABC giác tam Cho
THÌ
KIỂU ĐỀ TOÁN 2: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 biệt....đặc góc có giác tamlà 
đều giác tamlà 
cân giác tamlà 
cân vuông giác tamlà 
vuông giác tamlà 
ABC 
 trước" cho kiệnĐiều" 
mãn thỏa ABC giác tam Cho
VÀ ĐỦ CẦN
 51
"Điều kiện cho trước" có thể là: 
• Đẳng thức lượng giác về góc 
• Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác,...) 
• Đẳng thức độ dài 
• Hệ đẳng thức 
1) Nhận dạng tam giác vuông
 Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho 
 trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác 
2) Nhận dạng tam giác cân
 Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho 
 trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác 
3) Nhận dạng tam giác đều 
 Ngoài phương pháp đã nêu trên ta có thể giải quyết bài toán theo cách sau 
 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm 2 bước (áp dụng khi "Điều kiện cho trước" có dạng 
 đẳng thức A = B 
 Bước 1: CM bất đẳng thức BA ≥ hoặc BA ≤ (1) 
 Bước 2: Lập luận để đẳng thức ở (1) xãy ra mà khi đẳng thức (1) xảy ra thì tam giác ABC đều 
VÍ DỤ MINH HỌA: 
Ví dụ 1: Tam giác ABC có tgA
AB
BA =+
+
cossin
cossin . Chứng minh rằng ΔABC vuông 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu thỏa mãn điều kiện ABCΔ 012cos2cos2cos =+++ CBA thì tam 
 giác đó là tam giác vuông 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác cân 
 1) CtgA tgB 2.cot g
2
+ = 2) sin A sin B sin C A Ccot g .cot g
sin A sin B sin C 2 2
+ + =+ − 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác đều 
 2) 
A B Ccos cos cos
2 2 2 3
1 cosA 1 cosB 1 cosC
+ + =+ + + 
 52
 1) 1cosA.cosB.cosC
8
=
 3) A BcosA cosB cosC sin sin sin
2 2
+ + = + + C
2
 4) 1 1 1 1 1 1
A BcosA cosB cosC sin sin sin
2 2
+ + = + + C
2
Ví dụ 5: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 
 1) Ca b tg (a.tgA b.tgB)
2
+ = + 
 2) b c a
cosB cosC sin B.sin C
+ = 
 3) b ccosB cosC
a
++ = 
 4) a.cosA b.cosB c.cosC 1
a b c 2
+ + =+ + 
Ví dụ 6: Hãy tính các góc của tam giác ABC nếu trong tam giác đó ta có : 
 2 2 2 9sin A sin B sin C 3cosC cos C
4
+ + = + + 2 
Ví dụ 7: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
≤−
8
332
2
sin
2
sin
2
sin
)(4
CBA
bcapp
 trong đó BC = a, AB = c, 
2
cbap ++= 
--------------------------------Hết--------------------------- 
 53