Toán học - Bài 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực
Bạn đang xem nội dung tài liệu Toán học - Bài 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 1: Phương trình lượng giác Năm học 2006 – 2007 41 BA I 3: PHƯƠNG TRINH LƯƠNG GIAC KHƠNG MÂ U MƯC Trong gia i toa n ta thương găp mơt sơ phương trinh ma ca ch gia i tuy đăc thu cua tưng phương tri nh, co thê goi đo la như ng phương tri nh khơng mâ u mưc. Mơt sơ PTLG thê hiê n tinh khơng mâ u mưc ơ ngay da ng cua chung, nhưng cu ng co như ng phương trinh ma thoat trơng thâ y râ t binh thương nhưng ca ch gia i lai khơng mâu mưc (hay cach gia i khơng mâ u mưc thương hay hơn, gon hơn cach giai mâ u mưc) Trong da ng phương trinh na y phương pha p đa nh gia bâ t đăng thưc râ t thương găp. No gơm mơt sơ da ng nho sau: I. PHƯƠNG PHAP TƠNG BINH PHƯƠNG: 2 2 A = 0A + B 0 B= 0 = ⇔ Hê qua: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 2 i=1 f 0 f 0 f 0 .... f 0 i n x x x x = = = ⇔ = ∑ Vơi ( )f 0, 1,i x i n≥ = Bài tốn 1: Giai phương trinh: ( ) ( )2 2 sin 1 0 1x x xy+ + = Giai ( ) ( )2 2 sin 1 0 1x x xy+ + = ( ) 2 2sin cos 0x xy x⇔ + + = ( ) ( ) 1 0 sin 1 1 0 sin 1 x xy x xy + = = ⇔ − = = − 1 2 2 1 2 x y k x y l pi pi pi = − = − + ⇔ = = − + ∈ Vơi ( ),k l ∈Z Nhân xe t: đơi vơi bài tốn na y ta dê nhin thâ y dang cua no cho nên no trơ nên dê da ng. Do đo mơt kinh nghiê m trong gia i toan loa i nay co le la cân thâ n nhân da ng no. Thưc hiên đươc bươc na y ba i toan xem như đươc giai khoang 7 phâ n. Bài tốn 2: Giai phương tri nh: 4cos 2cos 2 cos 4 7x x x+ + = − Giai 4cos 2cos 2 cos 4 7x x x+ + = − ( ) ( ) ( )4 cos 1 2 cos 2 2 cos 4 1 0x x x⇔ + + + + + = Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng Nhóm học sinh lớp 11A1 42 1 cos 0 1 cos 2 0 1 cos 4 0 x x x + = ⇔ + = + = vơ nghiê m Vâ y phương trinh đa cho vơ nghiê m. Nhân xe t: Trong bài tốn nay ta đa sư dung mơt bâ t đang thưc quen thuơc cua lương gia c: cos 1x ≤ Mơt sơ BðT lương gia c thương dung đê ươc lương: sin 1x ≤ , cos 1x ≤ , 2 2sin cosa x b x a b+ ≤ + . Nê u m, n la cac sơ tư nhiên lơn hơn 2 thi 2 2sin cos sin cos 1m mx x x x± ≤ + = II. PHƯƠNG PHAP ðƠI LÂ P: (Con co tên goi la phương phap găp nhau ơ cưa-chăn trên chăn dươi 2 vê ): A M A = M B M B= M A=B ≥ ≤ ⇔ Bài tốn 1: Giai phương tri nh: 5 2cos 0x x+ = Giai 5 2cos 0x x+ = 2 5cosx x⇔ = − Vi 21 cos 1 0 1 1 1x x x− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ Ma [ ]1,1 ; cos >0 2 2 x pi pi − ⊂ − ⇒ vơi 1 1x− ≤ ≤ 5cos <0x⇒ − vơi 1 1x− ≤ ≤ Do đo ta co 2 0x ≥ va 5cos <0x− nên phương trinh 5 2cos 0x x+ = vơ nghiêm. Bài tốn 2: Giai phương trinh: sin .sin 2 1x x = − Giai sin .sin 2 1x x = − sin 1 sin 2 1 sin 1 sin 2 1 x x x x = = −⇔ = − = 1 2 1 2 2 2 4 2 2 4 x k x k x k x k pi pi pi pi pi pi pi pi = + = − + ⇔ = − + = + vơ nghiê m Chương 1: Phương trình lượng giác Năm học 2006 – 2007 43 Nhân xe t: Bài tốn nay co thê xem như mơt ba i toa n mâ u. Băng ca ch lâp luâ n tương tư ta gia i đươc ca c phương trinh co dang tương tư: sin .sin 1 sin .sin 1 ax bx ax bx = = − cos .cos 1 cos .cos 1 ax bx ax bx = = − Bài tốn 3: Giai phương trinh: 2sin 1x x x= + + Giai Ta xe t hai trương hơp: - Nê u [ ]1,0 ,0 sin 0 2 x x pi ∈ − ⊂ − ⇒ ≤ Ma 2 1>0x x+ + ,suy ra vơ nghiê m. - Nê u ( ) ( ), 1 0,x ∈ −∞ − ±∞∪ thi sin 1x ≤ Ma 2 2 1 3 1 31 > 1 2 4 4 4 x x x + + = + + + = , suy ra phương trinh vơ nghiê m. Kê t luâ n: phương tinh đa cho vơ nghiê m. Nhân xe t: Bài tốn nay đa sư dung mơt phương pha p ti m nghiê m trong đa i sơ. ðo la phương phap chia khoang. Phương pha p na y thương đươc dung trong ca c ba i toa n gia i phương trinh co tri tuyêr đơi, co miê n gia tri lơn xơn, hay trong ca c ba i toa n bâ t phương tri nh.đơi vơi phương pha p na y ta chia miê n xac đinh ra tưng khoa ng ma trên khoa ng đo ham f khơng đơi dâu. Bài tốn 4: Giai phương trinh: 1 cot cos sin 4 n n ntgx gx x x + = + ( ); >1n n∈Z Giai ðiêu kiê n: cos 0 sin 0 2 x k x x pi≠ ⇔ ≠ ≠ Do tg va cotg luơn cung dâu nên cot1 1 cot cot 2 1 4 4 4 nn n tgx gx tgx gx tgx gx + = + ≥ = Dâ u đăng thưc xa y ra khi va vhi khi 21 1 1 1cot 4 4 2 2 tgx gx tg x tgx x arctg kpi = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + Vơi ; >1n n∈Z ta xet vê phai : 2 22 sin cos sin cos 1n nn x x= ⇒ + = + = Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng Nhóm học sinh lớp 11A1 44 1 1 cot 1 4 2 n tgx gx x arctg kpi ⇒ + = ⇔ = ± + >2n ta co: 2cos cosn x x≤ 2sin sinn x x≤ 2 2cos sin cos sin cos sin 1n n n nx x x x x x⇒ + ≤ + ≤ + = ' ' 2 k x pi = ⇔ = (loa i) Vâ y cos sin <1, 2 n n kx x x pi+ ∀ ≠ va 1 cot 1 4 n tgx gx+ ≥ Cho nên vơi >2n phương trinh vơ nghiêm., Kê t luâ n: nghiê m cua phương trinh la: 1 2 x arctg kpi = ± + , k ∈Z Nhân xe t: qua bài tốn na y ta thâ y viê c sư dung bâ t đăng thưc kinh điê n trong ca c bai toa n giup ta tim đươc gia tri lơn nhâ t (hay nho nhâ t) cua mơt biê u thưc đê chăn no la i va đem a p dung va o phương trinh bơi vi thơng thương điê u kiê n xa y ra đăng thưc khơng nhiê u giup ta co thê gia i nhanh cac phương trinh. Phương pha p sư dung bâ t đăng thưc la mơt phương pha p kinh điê n đươc sư dung rất phơ biên. Bài tốn 5: Giai phương trinh: ( )cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1x x x x x x+ = Giai Sư dung bâ t đăng thưc BCS ta co: ( )cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1x x x x x x+ = cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3x x x x x x⇔ + ( )( )2 2 2 2 2 2cos cos 2 sin sin 2 cos 3 sin 3x x x x x x≤ + + ( )2 2 2 2 2 2cos cos 2 sin sin 2 cos sin 1x x x x x x= + ≤ + = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cos cos 2 sin 3 sin sin 2 cos3 0 2 ' ' cos cos 2 sin sin 2 cos sin 3 x x x x x x x x x x x x = ≥ = ⇔ + = + Ta xe t ( )3 sin 0x x kpi⇔ = ⇔ = thoa (2) Vâ y nghiê m cua (1) la: ,x k kpi= ∈Z Nhân xe t: Bài tốn na y la m ta nhơ đê n ca c tổng hư u ha n ơ bai trươc. Ta cu ng co thê ap dung bât đăng thưc BCS (như Bài tốn nay) hay bâ t đăng thưc Cauchy đê tim đươc gia tri nho nhâ t hay lơn nhât cua tơng đo. Chương 1: Phương trình lượng giác Năm học 2006 – 2007 45 III. PHƯƠNG PHAP PHAN CHƯNG: (Nguyên ly cưc biên) 1 1 1 1 1 1 A A A=A B B B=B A+B=A B ≤ ≤ ⇔ + Bài tốn1: Giai phương trinh: 12 16sin cos 1x x+ = Giai Ta co: 12 2sin sinx x≤ ; 16 2cos cosx x≤ 12 16sin cos 1x x x⇒ + ≤ ∀ Vi thê 12 16sin cos 1x x+ = ( ) 12 2 16 2 sin sin 2cos cos x x k x k x x pi = ⇔ ⇔ = ∈ = Z Nhân xe t: Bài tốn nay thuơc dang phương trinh tơng qua t sau: sin cos 1m nx x+ = vơi m ,n tư nhiên. Ta co: ( ) ( ) 22 2 2 sin sin 1sin sin cos cos cos cos 2 mm n n x xx x x x x x = ≤ ⇒ ≤ = Tư đo ta xe t 4 kha năng cho dang toa n nay: 1.Nê u m,n cung chă n. Khi đo: ( )( ) ( ) sin 0 sin 1 1 2 2cos 0 cos 1 x x k x k x x pi = = ± ⇔ ⇔ = ∈ = = ± Z 2. Nêu m,n cung le. Khi đo: ( )( ) ( ) sin 0 2 sin 1 1 2 2cos 0 2 cos 1 x x k x k x kx x pi pi pi = = = ⇔ ⇔ ∈ = += = Z 3. Nêu mchă n, n le . Khi đo: ( )( ) ( ) sin 0 2 sin 1 1 2 2cos 0 2 cos 1 x x k x k x kx x pi pi pi = = = ± ⇔ ⇔ ∈ = += = Z 4. Nêu m le, n chă n. Khi đo: Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng Nhóm học sinh lớp 11A1 46 ( )( ) ( ) sin 0 sin 1 1 2 2cos 0 2 cos 1 x x k x k x kx x pi pi pi = = = ⇔ ⇔ ∈ = += = ± Z Bài tốn 2: Gia i phương trinh: 1 1 1 2 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6x x x + + = + + − Giai ðiêu kiê n: ( ) ( ) ( ) cos 2 1 1 cos 4 1 2 cos6 1 3 x x x ≠ − ≠ − ≠ 1 cos 2 ,1 cos 4 ,1 cos6 >0x x x⇒ + + − Theo bâ t đăng thưc Cauchy: ( ) ( )1 1 11 cos 2 1 cos 4 1 cos6 . 9 4 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6 x x x x x x + + + + − + + ≥ + + − ðăt 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6S x x x= + + + + − 23 1 2sin 2 2sin 4 sin 2x x x= + − = ( )2 2 23 13 sin 4 cos 4 2sin 2 2sin 4 sin 22 2 x x x x x= + − + − − ( )2 29 1 1sin 4 2sin 2 cos 4 2 2 2 x x x= − + − ( )9 5 2 S⇒ ≤ Dâ u đăng thưc xa y ra ( ) ( ) ( ) 2sin 2 1 cos 2 0 6sin 4 2sin 2 0 sin 2 0 cos 4 0 cos 4 0cos 4 0 7 x xx x x x xx + =+ = = ⇔ ⇔ ⇔ = == Hê phương trinh nay vơ nghiê m 9< 2 S⇒ Tưc la 1 1 1 >2 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6x x x + + + + − Vâ y phương trinh đa cho vơ nghiê m.
File đính kèm:
- pt luong giac ko mau muc.pdf