Toán học - Bài toán tìm điểm – góc – khoảng cách

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
1) Bài toán tìm điểm thuộcđường thẳng 
Bài 1. Cho đường thẳng d: 2x + y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho 
a) 2 5MA = với A(3; −1) 
b) 2
19
MA
MB
= , với A(0; 1) và B(3; −1). 
c) 2 22 3.M Mx y+ = 
Đ/s: a) M(1; −5) b) M(−2; 1) c) M(−1; −1) 
Bài 2. Cho đường thẳng d: x – 3y + 1 = 0. tìm điểm M trên d sao cho 
a) ( ); 3 2d M ∆ = với ∆: x + y + 3 = 0. 
b) ( ) ( )1 2; ;d M d M∆ = ∆ , với ∆1: x + 2y – 1 = 0; ∆1: 2x + y + 4 = 0; 
Đ/s: a) M(2; 1) và M(–7; –2) b) M(–1; 0) và M(–7; –2) 
Bài 3. Cho 2 điểm A(–1; 0), B(2; 3), đường thẳng 1 2:
3
x t
d
y t
= +

= − −
. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho tam giác ABC 
vuông tại A. 
Bài 4. Cho 2 điểm M(–1; 4); N(5; –4), đường thẳng 1:
2 3
x t
d
y t
= −

= −
. Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho tam giác AMN 
vuông tại A. 
Bài 5. Cho đường thẳng 
1 2
:
1 3
x t
d
y t
= −

= − +
, B(3; –1), C(–1; –3). Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho A, B, C thẳng hàng. 
Bài 6. Cho 2 đường thẳng 
2 2
: ; ' :
3 4 5
x t x u
d d
y t y u
= + = + 
 
= + = + 
, A(2; 0), B(1; –4). Tìm trên d điểm G, trên d’ điểm C sao cho 
G là trọng tâm tam giác ABC. 
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – 3y + 1 = 0, d2: 4x + y – 5 = 0. A là giao điểm của d1 và d2. 
Tìm điểm B thuộc d1, điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5). 
Bài 8. Cho 2 điểm A(3; 2), B(3; –6), đường thẳng 
1 2
: 5
2
x t
d
y t
= − −


= − +
. Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho tam giác ABM 
cân tại M. 
Bài 9. Cho đường thẳng 
2 2
:
1 2
x t
y t
= − −∆ 
= +
 và điểm M(3; 1). Tìm điểm B trên ∆ sao cho MB ngắn nhất. 
Đ/s: 1 3; .
2 2
B − 
 
Bài 10. Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( )1;0 , 2;3 , 3; 6A B C− − và đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0. 
Tìm điểm M trên d sao cho MA MB MC+ +



 


 




 nhỏ nhất. 
Đ/s: 19 13; .
15 15
M  − 
 
Bài 11. Cho hai điểm A(2; 1), B( –1; –3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2 : x – 5y – 16 = 0. 
02. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM – GÓC – KHOẢNG CÁCH 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Tìm tọa độ các điểm C, D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y − 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(−3; 4). Tìm tọa độ 
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. 
2) Một số bài toán về góc; khoảng cách và diện tích 
Bài 1. (Khối B - 2003). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1; −1) là trung điểm cạnh 
BC và 2 ;0
3
G   
 
 là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 
Đ/s: B(4; 0); C(−2 ; −2) 
Bài 2. (Khối B - 2007). Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 2) và các đường thẳng 1
2
: 2 0
: 8 0
d x y
d x y
+ − =

+ − =
 . Tìm điểm B, C lần 
lượt thuộc d1; d2 sao cho tam giỏc ABC vuông cân tại A. 
Đ/s:
( ) ( )
( ) ( )
1;3 , 3;5
3; 1 , 5;3
B C
B C
 −

−
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I có diện tích S = 2. Biết A(1; 0), B(2 ; 0), tâm I thuộc phân giác y = x. Xác định 
toạ độ C, D. 
Đ/s: C(3; 4), D(2 ; 4) hoặc C(–5; –4), D(–6 ;–4) 
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy có A(2; –1), B(1; –2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm 
tọa độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng 3 .
2
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với (2; 1) , (1; 2)A B− − , trọng tâm G của tam giác nằm 
trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27 .
2
Bài 6. Cho 4 điểm A(1; 0), B(–2; 4), C(–1; 4), D(3; 5). Tìm điểm M thuộc đường thẳng 3x – y – 5 = 0 sao cho hai tam 
giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau 
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với (1;1) , ( 2;5)A B − , đỉnh C nằm trên đường thẳng x = 4, và 
trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2x – 3y + 6 = 0. Tính diện tích tam giác ABC. 
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là y = 2x. Phương trình 
đường thẳng chứa cạnh AC là x + 4y – 9 = 0; trọng tâm 8 7;
3 3
G   
 
. Tính diện tích tam giác ABC. 
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; –1) và đường thẳng d: x – 2y –1 = 0. Tìm tọa độ 
điểm C thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. 
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; –5 ) và đường thẳng : 3 4 4 0d x y− + = . Tìm trên d hai 
điểm A và B đối xứng nhau qua 52;
2
I   
 
 sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. 
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(–2; 0), B(2; 0) và khoảng cách từ 
trọng tâm G đến trục hoành bằng 1
3
. Tìm tọa độ đỉnh C.