Toán học - Biểu diễn cơ sở phương pháp SOS

0.1. BIỂU DIỄN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP SOS 1
0.1 Biểu diễn cơ sở phương pháp SOS
Mở đầu
Trong các bài toán được dẫn ra ở các mục trước hẳn các bạn đã nhận thấy sự
lặp đi lặp lại của biểu diễn dạng F (a, b, c) = Sa(b− c)2+Sb(c−a)2+Sc(a− b)2.
Các định lý sau đây sẽ cho thấy sự tồn tại của biểu diễn đó. Chúng tôi tự giới
hạn mình trong lớp các bất đẳng thức 3 biến đối xứng, tuy nhiên điều đó sẽ
không làm hạn chế tầm ứng dụng của phương pháp này. Các bạn có thể sử dụng
các ví dụ để kiểm chứng rằng với cùng tư tưởng dưới đây, hầu hết các bất đẳng
thức hoán vị 3 cũng có những biểu diễn tương tự. Chúc các bạn may mắn !
0.1.1 Các khái niệm cơ bản
i) Tập xác định (TXĐ)
Từ đây trở đi nếu không có gì thay đổi, để cho bài toán rõ ràng và tránh những
phiền phức không đáng có, TXĐ của tất cả các hàm số và bất đẳng thứuc sẽ
giới hạn trong tập các số thực không âm R3+ hơn nữa đôi khi để hợp lý chúng
ta sẽ bỏ đi điểm (0, 0, 0).
ii) Định nghĩa 1: về hàm đối xứng ba biến
Một hàm phân thức ba biến F (a, b, c) được gọi là đối xứng nếu và chỉ nếu đồng
nhất thức sau F (a, b, c) = F (x, y, z) đúng với mọi hoán vị (x, y, z) của (a, b, c).
Hơn nữa nếu với mọi số thực dương x mà F (x, x, x) = 0 thì F (a, b, c) được gọi
là hàm đối xứng ba biến chuẩn.
iii) Định nghĩa 2: về hàm nửa đối xứng ba biến
Một hàm phân thức ba biến G(a, b, c) được gọi là nửa đối xứng nếu và chỉ nếu
đồng nhất thức sau G(a, b, c) = G(a, c, b) đúng với mọi bộ ba số thực dương
(a, b, c). Hơn nữa nếu với mọi cặp hai số thực dương x, y mà G(x, y, y) = 0 thì
G(a, b, c) được gọi là hàm nửa đối xứng ba biến chuẩn.
0.1.2 Các định lý cơ sở
i) Định lý 1: về cơ sở của phương pháp SOS
Giả sử F (a, b, c) là một đa thức đối xứng ba biến chuẩn thì tồn tại một đa thức
nửa đối xứng ba biến G(a, b, c) sao cho đồng nhất thức sau là đúng
F (a, b, c) = G(a, b, c)(b− c)2 +G(b, c, a)(c− a)2 + G(c, a, b)(a− b)2
Trước khi đưa ra một chứng minh của định lý này dựa trên một số hiểu biết
đơn giản về không gian vecto chúng tôi muốn nhấn mạnh với các bạn rằng định
lý trên là đủ để áp dụng đối với tất cả các hàm phân thức đối xứng ba biến.
2Bởi vì định lý 1 hạn chế trong lớp các đa thức ba biến nên có có thể nói
tới bậc của đa thức. Trong đa thức ba biến a, b, c sẽ chứa (và chỉ chứa !) các
hạng tử dạng tm,n,pambncp trong đó m,n, p là các số nguyên không âm. Nếu
tm,n,p 6= 0 thì m + n + p được gọi là bậc của hạng tử này. Trong trường hợp
ngược lại ta quy ước bậc của hạng tử này bằng 0. Số m + n+ p lớn nhất được
gọi là bậc của đa thức đó.
Chứng minh định lý 1
Ta chứng minh định lý 1 cho lớp các đa thức bậc n.
Ký hiệu S(F ) là tập hợp tất cả các đa thức ba biến F (a, b, c) đối xứng chuẩn
bậc n, S(Q) là tập hợp tất cả các đa thức Q(a, b, c) đối xứng ba biến chuẩn bậc
n có dạng Q(a, b, c) = G(a, b, c)(b− c)2+G(b, c, a)(c− a)2+G(c, a, b)(a− b)2, ở
đây G(a, b, c) là đa thức nửa đối xứng ba biến bậc n−2 (ta xét n ≥ 2 vì với n=1
thì định lý hiển nhiên đúng). Rõ ràng S(Q) là không gian vecto con của không
gian vecto F (a, b, c). Và do đó số chiều của S(Q) không vượt quá số chiều của
S(F ). (∗)
Với các số nguyên không âm α, β, γ xét các đa thức đặc biệt sau đây
i) Fα,β,γ(a, b, c) =
∑
aα
′
bβ
′
cγ
′
(tổng được lấy trên tất cả các hoán vị (α′, β′, γ′)
của (α, β, γ))
ii) Gα,β,γ(a, b, c) = aαbβcγ + aαbγcβ
iii)Qα,β,γ(a, b, c) = Gα,β,γ(a, b, c)(b−c)2+Gα,β,γ(b, c, a)(c−a)2+Gα,β,γ(c, a, b)(a−
b)2
Ký hiệu fn là tập hợp tất cả các bộ số (α, β, γ) thoả mãn các điều kiện
α+ β + γ = n, α ≥ β ≥ γ. Rõ ràng tập hợp tất cả các đa thức Fα,β,γ(a, b, c) với
(α, β, γ) ∈ fn là hệ sinh độc lập tuyến tính của S(F ) do đó số chiều của S(F )
bằng số phần tử của fn (1)
Ký hiệu qn là tập hợp tất cả các bộ số (α, β, γ) thoả mãn các điều kiện
α + β + γ = n − 2, α + 2 ≥ β ≥ γ. Rõ ràng tập hợp tất cả các đa thức
Qα,β,γ(a, b, c) với (α, β, γ) ∈ qn là hệ vecto độc lập tuyến tính của S(Q) do đó
số chiều của S(Q) không nhỏ hơn số phần tử của qn (2)
Từ các kết quả (1), (2) với chú ý là fn và qn có cùng số phần tử ta suy ra
số chiều của S(Q) không nhỏ hơn số chiều của S(F ) (∗∗)
Vậy từ các kết quả (∗), (∗∗) suy ra số chiều của hai không gian S(Q), S(F )
là bằng nhau, từ đó suy ra mọi phần tử của không gian S(F ) đều có thể biểu
diễn qua các phần tử của không gian S(Q). Đây là kết quả cần phải chứng minh.
Từ định lý này có thể nhận thấy một thuật toán tìm biểu diễn cơ sở, đó là
tìm ma trận chuyển giữa hai không gian vecto S(Q) và S(F ). Dưới đây là một
thuật toán sơ cấp hơn
0.1. BIỂU DIỄN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP SOS 3
ii) Định lý 2: về thuật toán tìm biểu diễn cơ sở
Giả sử M (a, b, c), N (a, b, c) là hai đa thưc nửa đối xứng ba biến, hơn nữa với
mọi số thực dương x thì phân số M (x, x, x)/N (x, x,x) là một hằng số t. Khi đó
tồn tại hàm số nửa đối xứng ba biến G(a, b, c) sao cho đồng nhất thức sau là
đúng
F (a, b, c) =
M (a, b, c)
N (a, b, c)
+
M (b, c, a)
N (b, c, a)
+
M (c, a, b)
N (c, a, b)
− 3t
= G(a, b, c)(b− c)2 + G(b, c, a)(c− a)2 + G(c, a, b)(a− b)2
Chứng minh định lý 2
Đối với hàm nửa đối xứng G(a, b, c) chúng ta tiến hành ghép cặp các hạng tử
nửa đối xứng ambncp + ambpcn. Sau đó nhóm tất cả các hạng tử có cùng bậc
vào một nhóm. Bộ số (n1, n2, ..., nk) với n1 > n2 > ... > nk gồm tất cả các giá
trị bậc của đa thức đó sắp theo thứ tự giảm dần gọi là bộ chỉ thị cho đa thức
đó. Lúc này ta có thể viết
G(a, b, c) =
k∑
i=1
∑
m+n+p=ni ,n≥p
gm,n,p.a
m(bncp + bpcn)
Rõ ràng điều kiện M (x, x, x)/N (x,x, x) là hằng số với mọi số thực dương x
tương đương với sự kiện bộ chỉ thị của các đa thức M (a, b, c), N (a, b, c) là giống
hệt nhau. Và do đó ta xét hiệu
M (a, b, c)/n(a, b, c)− t = [
k∑
i=1
∑
m+n+p=ni ,n≥p
αm,n,p.a
m(bncp + bpcn)]/N (a, b, c)
trong đó αm,n,p = mm,n,p − tnm,n,p và do đó∑
m+n+p=ni ,n≥p
αm,n,p = 0, ∀i = 1, n
Bây giờ đối với mỗi tổng bên trong ứng với mỗi giá trị ni của tử số chúng ta
tiến hành sắp xếp lại thứ tự các hạng tử trong tử số của phân số trên sau đó sẽ
dùng một biến đổi nhỏ để làm xuất hiện các nhân tử a− b, b− c, c− a.
Trước hết ta chia các nghiệm nguyên không âm (m,n, p) thoả mãn n gep của
phương trình m + n + p = ni thành ni nhóm theo các giá trị của m. Sắp xếp
lại thứ tự các nhóm đó theo độ giảm dần của m. Trong mỗi nhóm thì giá trị
của m là cố định, ta sắp xếp lại các nghiệm nguyên không âm của phương trình
n+ p = ni −m theo độ giảm dần của n nếu ni −m lẻ và theo độ tăng dần của
n nếu ni − m chẵn. Sau khi đã sắp thứ tụ xong, chúng ta có một thứ tự mới
của tập các nghiệm ban đầu, mà ta sẽ ký hiệu là {(mj , nj, pj)|j = 1, l}, ở đây l
là một hàm số phụ thuộc ni. Để đơn giản ta ký hiệu
aj = amj (bnjcpj + bpj cnj ), bj = αmj ,nj ,pj
4Khi đó mẫu số có thể viết lại một các đơn giản là a1b1 + a2b2 + ... + albl =
(a1− a2)b1+(a2− a3)(b1+ b2)+ ...+(al−1− al)(b1+ b2+ ...+ bl). Sử dụng điều
kiện b1+ b2+ ...bl = 0 và chia các hiệu a1 − a2, a2− a3, ..., al−1− al vào ba loại
sau
i)am(bn+1cp + bncp+1)− am(bncp+1 + bn+1cp) = ambncp. b
n−p − cn−p
b− c .(b− c)
2
ii)am+1(bncn + bncn)− am(bn+1cn + bncn+1) = ambncn[(a− b)− (c− a)]
Xét biểu thức
ambncn[(a− b)− (c− a)]
N (a, b, c)
+
bmcnan[(b− c) − (a− b)]
N (b, c, a)
+
cmanbn[(c− a)− (b − c)]
N (c, a, b)
Tiến hành ghép từng phần trong ba hạng tử trong biểu thức này thành ba cặp
theo các nhân tử a− b, b− c, c− a. Một trong ba hạng tử mới sẽ là
(a− b)anbncn[ a
m−n
N (a, b, c)
− b
m−n
N (b, c, a)
] = (a− b)2.G(c, a, b)
Trong đó
G(c, a, b) =
cnanbn
N (a, b, c).N (b, c, a)
.
am−nN (a, b, c)− bm−nN (b, c, a)
a− b
ở đây ta đã sử dụng N (b, c, a) = N (b, a, c). Do cả tử số và mẫu số của phân số
trên đều là những đã thức nửa đối xứng ba biến a, b, c và dối xứng hai biến a, b
nên G(c, a, b) là hàm nửa đối xứng ba biến.
iii)am+1(bn+1cn + bncn+1) − am(bn+1cn+1 + bn+1cn+1) = ambncn[c(a − b) −
b(c − a)]
Xét biểu thức ambncn[c(a − b)− b(c − a)]/N (a, b, c) + bmcnan[a(b − c)− c(a −
b)]/N (b, c, a) + cmanbn[b(c − a) − a(b − c)]/N (c, a, b). Tiến hành ghép từng
phần trong ba hạng tử trong biểu thức này thành ba cặp theo các nhân tử
a − b, b− c, c− a. Một trong ba hạng tử mới sẽ là
(a− b)anbncn+1[ a
m−n
N (a, b, c)
− b
m−n
N (b, c, a)
] = (a− b)2.G(c, a, b)
Trong đó
G(c, a, b) =
cn+1anbn
N (a, b, c).N (b, c, a)
.
am−nN (a, b, c)− bm−nN (b, c, a)
a− b
ở đây ta đã sử dụng N (b, c, a) = N (b, a, c). Do cả tử số và mẫu số của phân số
trên đều là những đã thức nửa đối xứng ba biến a, b, c và dối xứng hai biến a, b
nên G(c, a, b) là hàm nửa đối xứng ba biến.
Vậy trong cả ba trường hợp ta đều đã chỉ ra cách biến đổi thích hợp để đưa
biểu thức về dạng biểu diễn cần thiết. Điều này hoàn thành việc chứng minh
định lý 2. Niềm tin về sự tồn tại biểu diễn cơ sở đã được khẳng định.