Toán học - Bồi dưỡng học sinh giỏi về đa thức

ĐA THỨC
Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải các phương trình đại số. 
Bài giảng này sẽ hệ thống hoá lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến, các dạng toán thường gặp về đa thức. Ở cuối bài sẽ đề cập 1 cách sơ lược nhất về đa thức nhiều biến.
1. Đa thức và các phép toán trên đa thức
1.1. Định nghĩa. Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng
P(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0, trong đó ai Î R và an ¹ 0.
ai được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó an được gọi là hệ số cao nhất và a0 được gọi là hệ số tự do. 
	n được gọi là bậc của đa thức và ký kiệu là n = deg(P). Ta quy ước bậc của đa thức hằng P(x) = a0 với mọi x là bằng 0 nếu a0 ¹ 0 và bằng nếu a0 = 0.
Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức P(x) bậc n thì vẫn có các hệ số ak với k > n, nhưng chúng đều bằng 0. 
Tập hợp tất cả các đa thức 1 biến trên trường các số thực được ký hiệu là R[x]. Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp Q[x], Z[x].
1.2. Đa thức bằng nhau
Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi m = n và ak = bk với mọi k=0, 1, 2, , m.
1.3. Phép cộng, trừ đa thức.
	Cho hai đa thức . Khi đó phép cộng và trừ hai đa thức P(x) và Q(x) được thực hiện theo từng hệ số của xk, tức là 
Ví dụ: (x3 + 3x2 – x + 2) + (x2 + x – 1) = x3 + 4x2 + 1.
1.4. Phép nhân đa thức. 
	Cho hai đa thức . Khi đó P(x).Q(x) là một đa thức có bậc m+n và có các hệ số được xác định bởi
	.
Ví dụ: (x3 + x2 + 3x + 2)(x2+3x+1) = (1.1)x5 + (1.3 + 1.1)x4 + (1.1 + 1.3 + 3.1)x3 + (1.1 + 3.3 + 2.1)x2 + (3.1 + 2.3)x + (2.1) = x5 + 4x4 + 7x3 + 12x2 + 9x + 1. 
1.5. Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức
Từ các định nghĩa trên đây, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây
Định lý 1. Cho P(x), Q(x) là các đa thức bậc m, n tương ứng. Khi đó
	a) deg(P±Q) £ max{m, n} trong đó nếu deg(P) ¹ deg(Q) thì dấu bằng xảy ra. Trong trường hợp m = n thì deg(P±Q) có thể nhận bất cứ giá trị nào £ m. 
	b) deg(P.Q) = m + n.
1.6. Phép chia có dư.
Định lý 2. Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ, trong đó deg(Q) ³ 1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:
P(x) = Q(x).S(x) + R(x)
deg(R) < deg(Q)
Chứng minh. Tồn tại. Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = deg(P). Nếu deg(P) < deg(Q) thì ta có thể chọn S(x) º 0 và R(x) = P(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện i) và ii). Giả sử m ³ n và định lý đã được chứng minh với các đa thức có bậc nhỏ hơn m. Ta chứng minh định lý đúng với các đa thức bậc m. Giả sử
Xét đa thức
Do hệ số của xm ở hai đa thức bị triệt tiêu nên bậc của H(x) không vượt quá m-1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức S*(x), R*(x) sao cho
	H(x) = S*(x).Q(x) + R*(x)
Nhưng khi đó
Vậy đặt S(x) = (am/bn)xm-n + S*(x) và R(x) = R*(x) ta được biểu diễn cần tìm cho P(x). 
Duy nhất. Giả sử ta có hai biểu diễn P(x) = S(x).Q(x) + R(x) và P(x) = S*(x).Q(x) + R*(x) thoả mãn điều kiện ii). Khi đó Q(x).(S(x)-S*(x)) = R*(x) – R(x). Ta có, theo điều kiện ii) và định lý 1 thì ded(R*(x) – R(x)) < deg(Q). Mặt khác, nếu S(x) – S*(x) không đồng nhất bằng 0 thì deg(Q(x).(S(x)-S*(x))) = deg(Q(x)) + deg(S(x)-S*(x)) ³ deg(Q). Mâu thuẫn vì hai vế bằng nhau.
Theo ký hiệu của định lý thì S(x) được gọi là thương số và R(x) được gọi là dư số trong phép chia P(x) cho Q(x). 
Phép chứng minh nói trên cũng cho chúng ta thuật toán tìm thương số và dư số của phép chia hai đa thức, gọi là phép chia dài (long division) hay sơ đồ Horner.
Ví dụ: Thực hiện phép chia 3x3 – 2x2 + 4x + 7 cho x2 + 2x
	3x3 – 2x2 + 4x + 7 | x2 + 2x
 3x3 + 6x2 | 3x - 8	
 - 8x2 + 4x + 7 
 - 8x2 + 16 
 20x + 7 
Vậy ta có 3x3 – 2x2 + 4x + 7 chia x2 + 2x được 3x – 8, dư 20x + 7.
1.7. Sự chia hết. Ước và bội.
	Trong phép chia P(x) cho Q(x), nếu dư số R(x) đồng nhất bằng 0 thì ta nói rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Như vậy, P(x) chia hết cho Q(x) nếu tồn tại đa thức S(x) sao cho P(x) = Q(x).S(x). Trong trường hợp này ta cũng nói Q(x) chia hết P(x), Q(x) là ước của P(x) hoặc P(x) là bội của Q(x). Ký hiệu tương ứng là Q(x) | P(x) và 
Cho P(x) và Q(x) là các đa thức khác 0. Ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x) là đa thức D(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
D(x) là đa thức đơn khởi, tức là có hệ số cao nhất bằng 1
D(x) là ước chung của P(x) và Q(x), tức là D(x) | P(x) và D(x) | Q(x)
Nếu D’(x) cũng là ước chung của P(x) và Q(x) thì D(x) cũng là ước của D’(x).
Tương tự, ta có khái niệm bội chung nhỏ nhất của hai đa thức. 
Cho P(x) và Q(x) là các đa thức khác 0. Bội chung lớn nhất của P(x) và Q(x) là đa thức M(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
M(x) là đa thức đơn khởi, tức là có hệ số cao nhất bằng 1
M(x) là bội chung của P(x) và Q(x), tức là P(x) | M(x) và Q(x) | M(x)
Nếu M’(x) cũng là bội chung của P(x) và Q(x) thì M’(x) cũng là bội của M(x).
Ký hiệu UCLN và BCNN của hai đa thức P(x), Q(x) là GCD(P(x), Q(x)), LCM(P(x), Q(x)) hay đơn giản hơn là (P(x), Q(x)), [P(x), Q(x)].
Hai đa thức P(x), Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (P(x), Q(x)) = 1.
1.8. Thuật toán Euclide
Để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức P(x), Q(x), ta sử dụng thuật toán Euclide sau đây:
Định lý 3. Giả sử có hai đa thức P(x), Q(x), trong đó deg(P) ³ degQ. Thực hiện phép chia P(x) cho Q(x) được thương số là S(x) và dư số là R(x). Khi đó
	Nếu R(x) = 0 thì (P(x), Q(x)) = q*-1Q(x), trong đó q* là hệ số cao nhất của đa thức Q(x) 
	Nếu R(x) ¹ 0 thì (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x))
Chứng minh. Nếu R(x) = 0 thì P(x) = Q(x).S(x). Khi đó đa thức q*-1Q(x) rõ ràng thoả mãn tất cả các điều kiện của UCLN. 
Nếu R(x) ¹ 0, đặt D(x) = (P(x), Q(x)), D’(x) = (Q(x), R(x)). Ta có D(x) | P(x) – Q(x).S(x) = R(x), suy ra D(x) là ước chung của Q(x), R(x), theo định nghĩa của D’(x), ta có D’(x) là ước của D(x). Mặt khác D’(x) | Q(x)S(x) + R(x) = P(x), suy ra D’(x) là ước chung của P(x), Q(x), theo định nghĩa của D(x), ta có D(x) là ước của D’(x). Từ đây, do D và D’ đều là các đa thức đơn khởi, ta suy ra D = D’.
Định lý trên giải thích cho thuật toán Euclide để tìm UCLN của hai đa thức theo như ví dụ dưới đây:
Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức x5 – 5x + 4 và x3 – 3x2 + 2.
Ta lần lượt thực hiện các phép chia
	x5 – 5x + 4 cho x3 – 3x2 + 2 được x2 + 3x + 9 dư 25x2 – 11x – 14 
	x3 – 3x2 + 2 cho 25x2 – 11x – 14 được (25x – 64)/625, dư (354/625)(x-1)
	25x2 – 11x – 14 cho x-1 được 25x + 14 dư 0
Vậy (x5 – 5x + 4, x3 – 3x2 + 2) = x – 1.
Lưu ý, trong quá trình thực hiện, ta có thể nhân các đa thức với các hằng số khác 0. Ví dụ trong phép chia cuối cùng, thay vì chia 25x2 – 11x – 14 cho (354/625)(x-1) ta đã chia cho x – 1.
1.9. Tính chất của phép chia hết	
Nhắc lại, hai đa thức P(x), Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (P(x), Q(x)) = 1. Ta có định lý thú vị và có nhiều ứng dụng sau về các đa thức nguyên tố cùng nhau:
Định lý 4. (Bezout) Hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các đa thức U(x), V(x) sao cho P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1.
Chứng minh. Giả sử tồn tại các đa thức U(x) và V(x) thoả mãn điều kiện P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1. Đặt D(x) = (P(x), Q(x)) thì D(x) | P(x), D(x) | Q(x) suy ra D(x) | 1 = P(x).U(x) + Q(x).V(x). Suy ra D(x) = 1.
Ngược lại, giả sử (P(x), Q(x)) = 1. Ta chứng minh tồn tại các đa thức U(x) và V(x) sao cho P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1. Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = min{deg(P), deg(Q)}. 
Nếu m = 0 thì điều cần chứng minh là hiển nhiên. Chẳng hạn nếu deg(Q) = 0 thì Q = q là hằng số và ta chỉ cần chọn U(x) = 0, V(x) = q-1 thì ta được P(x).U(x) + Q(x).V(x) = 1.
Giả sử ta đã chứng minh định lý đúng đến m. Xét hai đa thức P(x), Q(x) có min{deg(P), deg(Q)} = m+1. Không mất tính tổng quát, giả sử m+1 = deg(Q). Thực hiện phép chia P(x) cho Q(x) được thương là S(x) và dư là R(x). Không thể xảy ra trường hợp R(x) = 0 vì khi đó 1 = (P(x), Q(x)) = q*-1Q(x). Vì vậy, ta có
	1 = (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x))
Lúc này, do min(deg(Q), deg(R)) = deg(R) < m +1 nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức U*(x), V*(x) sao cho Q(x)V*(x) + R(x)U*(x) = 1. Thay R(x) = P(x) – Q(x).S(x), ta được
	Q(x)V*(x) + (P(x) – Q(x)S(x))U*(x) = 1
Hay
	P(x)U*(x) + Q(x)(V*(x) – S(x)U*(x)) = 1
Đặt U(x) = U*(x), V(x) = V*(x) – S(x)U*(x) ta được đpcm.
Tính chất của phép chia hết
i) Q | P, Q | R suy ra Q | P + R hay tổng quát hơn Q | P.U + R.V với U, V là các đa thức bất kỳ. 
ii) Q | P, P | R suy ra Q | R (tính bắc cầu)
iii) Q | P, P | Q suy ra tồn tại số thực khác 0 a sao cho Q = aP (ta gọi P và Q là các đa thức đồng dạng)
iv) Nếu Q1 | P1 và Q2 | P2 thì Q1.Q2 | P1.P2.
v) Nếu Q | P.R và (P, Q) = 1 thì Q | R.
vi) Nếu Q | P, R | P và (Q, R) = 1 thì Q.R | P 
Chứng minh. Các tính chất i-iv) là hiển nhiên xuất phát từ định nghĩa Q | P ó tồn tại S sao cho P = Q.S. 
Để chứng minh các tính chất v) và vi), ta sẽ áp dụng định Bezout. 
v) Từ giả thiết Q | P.R và (P,Q) = 1 suy ra tồn tại S sao cho P.R = Q.S và U, V sao cho P.U + Q.V = 1
Khi đó R = (P.U+Q.V).R = (P.R)U + Q.V.R = Q.S.U + Q.V.R = Q.(SU+VR) suy ra Q | R.
vii) Từ giả thiết Q | P, R | P và (Q, R) = 1 suy ra P = Q.S. Vì P = Q.S chia hết cho R, mà (Q, R) = 1 nên theo v) suy ra S chia hết cho R, tức là S = R.S1. Vậy P = Q.S = (Q.R).S1 suy ra P chia hết cho Q.R.
1.10. Các ví dụ có lời giải
Bài toán 1. Tìm tất cả các cặp số a, b sao cho x4 + 4x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức. 
Giải: Nếu x4 + 4x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức thì đa thức đó phải có bậc 2. Giả sử
 	x4 + 4x3 + ax2 + bx + 1 = (Ax2 + Bx + C)2 
ó	x4 + 4x3 + ax2 + bx + 1 = A2x4 + 2ABx3 + (2AC + B2)x2 + 2BCx + C2
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được
	A2 = 1, 2AB = 4, 2AC + B2 = a, 2BC = b, C2 = 1.
Không mất tính tổng quát, có thể giả sử A = 1, suy ra B = 2. C có thể bằng 1 hoặc -1. Nếu C = 1 thì a = 6, b = 4. Nếu C = -1 thì a = 2, b = -4.
Vậy có hai cặp số (a, b) thoả mãn yêu cầu bài toán là (6, 4) và (2, -4).
Bài toán 2. Cho đa thức P(x) và hai số a, b phân biệt. Biết rằng P(x) chia cho x-a dư A, P(x) chia cho x-b dư B. Hãy tìm dư của phép chia P(x) cho (x-a)(x-b).
Giải: Giả sử P(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + Cx + D. Lần lượt thay x = a, b, ta được
	A = Ca + D, B = Cb + D
Từ đó suy ra C = (A-B)/(a-b), D = A – (A-B)a/(a-b) = (aB – bA)/(a-b).
Bài toán 3. Tìm dư trong phép chia x100 cho (x – 1)2. 
Giải: Giả sử x100 = (x-1)2Q(x) + Ax + B. Thay x = 1, ta được
	1 = A + B.
Lấy đạo hàm hai vế rồi cho x = 1, ta được
	100 = A
Từ đó suy ra dư là 100x – 99.
Bài toán 4. Tìm a, b, c biết rằng đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c chia hết cho x-2 và chia x2 – 1 dư 2x.
Giải: Từ các điều kiện đề bài suy ra P(2) = 0, P(1) = 2 và P(-1) = -2, tức là
	8 + 4a + 2b + c = 0
	1 + a + b + c = 2
	–1 + a – b + c = -2
Từ đó suy ra b = 1, a = -10/3, c = 10/3. Từ đó P(x) = x3 – (10/3)x2 + x + 10/3. 
Bài toán 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của n, đa thức (x+1)2n+1 + xn+2 chia hết cho đa thức x2 + x + 1.
Giải: 
Cách 1. (Quy nạp theo n) Với n = 0, điều phải chứng minh là hiển nhiên. Giả sử ta đã có (x+1)2n+1 + xn+2 chia hết cho x2 + x + 1. Khi đó
	(x+1)2n+3 + xn+3 = (x2+2x+1)(x+1)2n+1 + xn+3 
 º x(x+1)2n+1 + xn+3 = x((x+1)2n+1 + xn+2) º 0 (mod (x2+x+1)
Cách 2. (Dùng số phức) Đa thức x2 + x + 1 có hai nghiệm là . Để chứng minh P(x) chia hết cho x2 + x + 1 ta chỉ cần chứng minh P(a) = 0. Điều này tương đương với việc chứng minh
Chuyển các số phức sang dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre, ta có điều này tương đương với
	.
Điều này đúng vì (2n+1)p/3 - (n+2)2p/3 = p.
Bài toán 6. Tìm tất cả các giá trị n sao cho x2n + xn + 1 chia hết cho x2 + x + 1.
Giải: 
Cách 1: Ta nhận thấy x3 º 1 mod x2 + x + 1. Do đó 
	x2(n+3) + xn+3 + 1 º x2n + xn + 1 (mod x2 + x + 1)
Do đó ta chỉ cần xét với n = 0, 1, 2. Rõ ràng 
	Với n = 0, 3 không chia hết cho x2 + x + 1
	Với n = 1, x2 + x + 1 chia hết cho x2 + x + 1
	Với n = 2, x4 + x2 + 1 º x + x2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 
Từ đó suy ra x2n + xn + 1 chia hết cho x2 + x + 1 khi và chỉ khi n có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
Cách 2: (Số phức) Tương tự như bài 5, ta có P(x) = x2n + xn + 1 chia hết cho x2 + x + 1 khi và chỉ khi P(a) = 0. Áp dụng công thức Moivre, ta có điều này tương đương với 
Điều này xảy ra khi n không chia hết cho 3.
Bài toán 7. Chứng minh rằng (xm – 1, xn – 1) = x(m,n) – 1.
Giải: Giả sử d = (m, n) thì rõ ràng xm – 1 = (xd)m’ – 1 chia hết cho xd – 1 và tương tự xn – 1 chia hết cho xd. Suy ra xd – 1 là ước chung của xm - 1, xn – 1. Giả sử D(x) là một ước chung của xm - 1, xn – 1. Vì d = (m, n) nên tồn tại các số nguyên dương u, v sao cho d = mu – nv. Khi đó D(x) là ước của (xmu – 1) – (xnv-1) = xnv(xd-1). Vì (xm-1, xnv) = 1 nên (D(x), xnv) = 1, suy ra D(x) là ước của xd – 1, suy ra xd – 1 là ước chung lớn nhất của xm – 1 và xn – 1. 
1.11. Bài tập
1. Chứng minh rằng mọi đa thức đơn khởi bậc 2n đều có thể viết dưới dạng q2 + r với q, r là các đa thức và deg(r) < n.
2. Tìm dư trong phép chia x100 – 2x51 + 1 cho x2 – 1.
3. Tìm a, b sao cho (x-1)2 | ax4 + bx3 + 1.
4. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên phân biệt a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a.
5. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Biết rằng P(2) chia hết cho 5 và P(5) chia hết cho 2. Chứng minh rằng P(7) chia hết cho 10.
6. (Rumani 1962) Cho a là số thức thoả mãn điều kiện sin(a) ¹ 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị n ³ 2, đa thức 
	P(x) = xnsin(a) – xsin(na) + sin(n-1)a
chia hết cho đa thức Q(x) = x2 – 2xcos(a) + 1.
7. (Mỹ 1976) Giả sử P(x), Q(x), R(x) và S(x) thoả mãn đồng nhất thức
	P(x5) + xQ(x5) + x2R(x5) = (x4+x3+x2+x+1)S(x) 
Chứng minh rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-1.
8. Với những giá trị nào của n ta có
	a) x2 + x + 1 | (x-1)n – xn – 1 	b) x2 + x + 1 | (x+1)n + xn + 1
2. Đa thức và nghiệm
Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số.
2.1. Ví dụ mở đầu
	Xét xem số là hữu tỷ hay vô tỷ.
Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:
	1) Nếu a vô tỷ thì vô tỷ
	2) Nếu a vô tỷ thì vô tỷ
	3) vô tỷ
Nhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau:
	1) Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận a làm nghiệm
	2) Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷ
Việc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận a làm nghiệm được tiến hành như sau
Vấn đề còn lại là chứng minh (*) không có nghiệm hữu tỷ. Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài.
2.2. Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.
Định nghĩa. Số thực a (trong một số trường hợp, ta xét cả các số phức) được gọi là nghiệm của đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 nếu P(a) = 0, tức là 
	anan + an-1an-1 + + a1a + a0 = 0.
Ta có định lý đơn giản nhưng rất có nhiều ứng dụng sau đây về nghiệm của đa thức:
Định lý 5. a là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x) chia hết cho x – a.
Định lý này là hệ quả của định lý sau:
Định lý 6. Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x – a là P(a).
Cả định lý 5 và định lý 6 đều được gọi là định lý Bezout. Để chứng minh định lý 6, ta chỉ cần chứng minh P(x) – P(a) chia hết cho x – a. Nhưng điều này là hiển nhiên vì
	P(x) – P(a) = an(xn-an) + an-1(xn-1-an-1) +  + a1(x-a)
và 
	xk – ak = (x-a)(xk-1 + xk-2a + + ak-1)
Từ định lý 5, ta có thể có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau: a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(x) = (x-a)Q(x) với Q(x) là một đa thức nào đó. Với định nghĩa này, ta có thể phát triển thành định nghĩa về nghiệm bội.
Định nghĩa. a được gọi là nghiệm bội r của đa thức P(x) nếu P(x) = (x-a)rQ(x) với Q(a) ¹ 0.
2.3. Định lý Vieta
Định lý 7. Xét đa thức P(x) Î R[x]. Nếu x1, x2, , xk là các nghiệm phân biệt của P(x) với các bội r1, r2, , rk tương ứng thì P(x) chia hết cho (x-x1)r1(x-x2)r2(x-xk)rk. 
Chứng minh: Điều này là hiển nhiên theo định nghĩa và do các đa thức (x-xi)ri đôi một nguyên tố cùng nhau. 
Hệ quả: 
Một đa thức bậc n với hệ số thực có không quá n nghiệm thực. 
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) có bậc nhỏ hơn hay bằng n bằng nhau tại n+1 điểm thì hai đa thức này bằng nhau. 
Định lý 8. Xét đa thức P(x) Î R[x] bậc n. Giả sử x1, x2, , xk là các nghiệm phân biệt của P(x) với các bội r1, r2, , rk tương ứng. Nếu r1 + r2 +  + rk = n thì 
 P(x) = an(x-x1)r1(x-x2)r2(x-xk)rk. 
Chứng minh: Dùng định lý 9, ta suy ra P(x) chia hết cho (x-x1)r1(x-x2)r2(x-xk)rk, suy ra P(x) = (x-x1)r1(x-x2)r2(x-xk)rkQ(x). So sánh bậc và hệ số cao nhất, ta suy ra Q(x) = an.
Định lý 9. (Định lý Vieta) Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +  + a1x + a0 có n nghiệm (trong đó có thể có các nghiệm bội) là x1, x2, , xn thì 
	P(x) = an(x-x1)(x-x2)(x-xn)
và như hệ quả, ta có 
	x1 + x2 +  + xn = -an-1/an ;
	x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x3 + + x2xn + +xn-1xn = an-2/an;
	x1x2xn = (-1)na0/an.
Định lý 10. (Định lý Vieta đảo)
	a) Nếu x + y = S, x.y = P thì x, y là 2 nghiệm của phương trình 
X2 – SX + P = 0
	b) Nếu x + y + z = S, xy + yz + zx = T, xyz = P thì x, y, z là 2 nghiệm của phương trình
	X3 – SX2 + TX – P = 0
Từ định lý 8 ta suy ra hai hệ quả đơn giản nhưng rất hiệu quả trong giải toán sau:
Hệ quả 1. Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm.
Hệ quả 2. Nếu P(x) và Q(x) là các đa thức bậc không quá n, trùng nhau tại n+1 điểm phân biệt thì hai đa thức này trùng nhau. 
2.4. Bài tập có lời giải
Bài 1. Cho a, b, c là ba nghiệm của phương trình x3 – 3x + 1 = 0. Lập phương trình bậc ba có nghiệm là
	a) a2, b2, c2;
Lời giải. 
Theo định lý Vieta, ta có 
	a + b + c = 0, ab + bc + ca = -3, abc = -1.
Từ đó ta tính được 
a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 – 2(ab+bc+ca) = 02 -2(-3) = 6.	
a2b2 +b2c2 + c2a2 = (ab+bc+ca) – 2abc(a+b+c) = (-3)2 – 2.(-1).0 = 9
a2b2c2 = (abc)2 = 1
Áp dụng định lý Vieta đảo, suy ra a2, b2, c2 là ba nghiệm của phương trình
	x3 – 6x2 + 9x – 1 = 0.
Tương tự, ta tính được
Từ đó suy ra là 3 nghiệm của phương trình
	x3 + 3x2 – x – 1/3 = 0.
Bài 2. Rút gọn biểu thức
Lời giải.
	Xét đa thức 
Ta có F(a) = F(b) = F(c) = 0. Nhưng F(x) là đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng 2. Do đó F(x) phải đồng nhất 0.
Từ đó suy ra hệ số của x2 của F(x) bằng 0. Hệ số này bằng 
Suy ra A = 1.
Bài 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn đồng nhất thức xP(x-1) = (x-26)P(x).
Lời giải. Thay x = 0 vào đồng nhất thức, ta suy ra P(0) = 0. Suy ra P(x) chia hết cho x, tức là P(x) = xP1(x). Thay vào đồng nhất thức, ta được
	x(x-1)P1(x-1) = (x-26)xP1(x)
suy ra
	(x-1)P1(x-1) = (x-26)P1(x) 	(*)
Lại thay x = 1, ta được P1(1) = 0, suy ra P1(x) chia hết cho x-1, tức là P1(x) = (x-1)P2(x), thay vào (*), ta được
	(x-1)(x-2)P2(x-1) = (x-26)(x-1)P2(x)
Suy ra 
	(x-2)P2(x-1) = (x-26)P2(x) 
Cứ tiếp tục lý luận như thế, ta đi đến
	P(x) = x(x-1)(x-25)Q(x)
Và Q(x-1) = Q(x). 
Đặt Q(0) = a thì ta có Q(x) = a với x = 1, 2, 3,  suy ra Q(x) = a với mọi x.
Vậy P(x) = ax(x-1)(x-25) là tất cả các nghiệm của bài toán. 
Bài 4. Xét phương trình x2 – an-1xn-1 – an-2xn-2 -  - a1x – a0 = 0 với ai là các số thực dương. Chứng minh rằng phương trình này có không quá 1 nghiệm dương.
Lời giải. Viết phương trình đã cho dưới dạng 
Vế trái là một hàm số giảm trên (0, +¥ ) nên phương trình trên có không quá 1 nghiệm dương.
Bài 5. Với giá trị nào của A và B thì đa thức P(x) = Axn+1 + Bxn + 1 có x = 1 là nghiệm bội ít nhất là bậc 2?
Lời giải. Trước hết ta phải có P(1) = 0, tức là A + B + 1 = 0, suy ra B = – A – 1. Khi đó P(x) = Axn(x-1) – xn + 1 = (x-1)(Axn – xn-1 – xn-2 -  - 1) = (x-1)Q(x). Để 1 là nghiệm bội ít nhất là bậc 2 thì Q(x) chia hết cho x-1, tức là Q(1) = 0, suy ra A = n. Vậy a = n, b = -(n+1).
2.5. Bài tập tự giải
Bài 1. Biết rằng các nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0 đều thuộc (-1, 1). Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình 2x2 + (a+c)x + (b+d) = 0 cũng thuộc (-1, 1).
Bài 2. Chứng minh rằng đa thức P(x) = 1 + x + x2/2! +  + xn/n! không có nghiệm bội. 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau
Bài 4. Cho a < b < c là ba nghiệm của phương trình x3 – 3x + 1 = 0. Chứng minh rằng 
	a2 – c = b2 – a = c2 – b = 2.
Bài 5. Giải hệ phương trình
Bài 6. Tìm mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 biết rằng tích của hai nghiệm của phương trình này bằng tổng của chúng.
Bài 7. Chứng minh các khẳng định dưới đây
(a) Định lý về nghiệm nguyên. Cho f(x) = xn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 với an-1, , a1, a0 là các số nguyên và f(p) = 0 với p nguyên. Khi đó a0 chia hết cho p. 
(b) Định lý về nghiệm hữu tỷ. Cho f(x) = xn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 với an-1, , a1, a0 là các số nguyên và f(p/q) = 0 với p/q là phân số tối giản. Khi đó a0 chia hết cho p và an chia hết cho q. 
(c) Trong các ký hiệu của câu (b), với mọi số nguyên k số f(k) chia hết cho p – kq. 
Bài 8. Cho P(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 Î R[x]. Đặt 
	M = max{|an-1/an|, |an-2/an|, , |a1/an|, |a0/an|}
Khi đó mọi nghiệm a của P(x) thoả mãn bất đẳng thức |a| < M + 1. Hãy chứng minh. 
3. Đa thức bất khả quy
3.1. Đa thức với hệ số nguyên
Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 với ai là các số nguyên. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là Z[x].
Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên.
(1) Nếu P(x) có nghiệm nguyên x = a thì phân tích được P(x) = (x-a)Q(x) với Q(x) là đa thức với hệ số nguyên.
(2) Nếu a, b nguyên và a ¹ b thì P(a) – P(b) chia hết cho a – b.
(3) Nếu x = p/q là một nghiệm của P(x) (với (p, q) = 1) thì p là ước của a0 và q là ước của an. Đặc biệt nếu an = ± 1 thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên.
(4) Nếu x = m + là nghiệm của P(x) với m, n nguyên, n không chính phương thì x’ = m - cũng là nghiệm của P(x).
(5) Nếu x = m + với m, n nguyên, n không chính phương thì P(x) = M’ + N’ với M’, N’ nguyên.
Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều ngược lại không đúng, có những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nhưng các hệ số của nó không nguyên.
Ví dụ. Các đa thức (x2-x)/2, (x3-x)/6 nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi là đa thức nguyên. 
Một đa thức với hệ số hữu tỷ P(x) bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng 
	 với a, b là các số nguyên và Q(x) là đa thức với hệ số nguyên.
3.2. Đa thức bất khả quy
Định nghĩa. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi P(x) là bất khả quy trên Z[x] nếu P(x) không phân tích được thành tích hai đa thức thuộc Z[x] với bậc lớn hơn hay bằng 1.
Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên Q[x].
Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Eisenstein) 
Cho P(x) = anxn + an-1xn-1 + +a1x + a0. Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho
an không chia hết cho p
a0, a1, , an-1 chia hết cho p
a0 không chia hết cho p2
thì đa thức P(x) bất khả quy.
Định lý 3.2 (Quan hệ bất khả quy trên Z[x] và Q[x])
Nếu đa thức P(x) Î Z[x] bất khả quy trên Z[x] thì cũng bất khả quy trên Q[x].
Bổ đề Gauss. Ta gọi đa thức P Î Z[x] là nguyên bản nếu các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau. Ta có bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là nguyên bản.
Chứng minh bổ đề. Cho hai đa thức nguyên bản
	P(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0
	Q(x) = bmxm + bm-1xm-1 + + b1x + b0
thì
	P(x).Q(x) = cm+nxm+n + cm+n-1xm+n-1 + +c1x + c0 
Giả sử tích trên không nguyên bản thì tồn tại một số nguyên tố p là ước chung của các hệ số c0, c1, , cm+n. Vì P nguyên bản nên gọi i là số nhỏ nhất mà ai không chia hết cho p và j là số nhỏ nhất sao cho bj không chia hết cho p. Khi đó xét xi+j ta thấy hệ số tương ứng không chia hết cho p, vô lý. Vậy tích trên nguyên bản.
Chứng minh định lý. Cho P(x) bất khả quy trên Z[x]. Giả sử P(x) khả quy trên Q[x]: P(x) = P1(x).P2(x) với P1, P2 là các đa thức bậc nhỏ hơn bậc của P và có hệ số hữu tỷ.
	Đặt với (ai, bi) = 1 và Qi nguyên bản (i=1, 2). 
Khi đó với (p, q) = 1. Do P(x) Î Z[x] nên từ đây suy ra các hệ số của Q1(x)Q2(x) đều chia hết cho q, suy ra Q1(x)Q2(x) không nguyên bản, trái với bổ đề Gauss. Mâu thuẫn. Vậy P(x) bất khả quy trên Q[x].
3.3. Một số tính chất của đa thức bất khả quy
3.4. Một số bài tập có lời giải
Bài 1. Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Chứng minh rằng P(x) nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi c, a + b và 2a nguyên. 
Bài 2. a) Tìm tất cả các số nguyên a sao cho (x-a)(x-10) + 1 có thể phân tích được thành tích dạng (x+b)(x+c) với b, c là các số nguyên.
b) Tìm tất cả các số nguyên khác 0 và đôi một khác nhau a, b, c sao cho đa thức
	x(x-a)(x-b)(x-c) + 1
có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên.
Bài 3. Chứng minh các đa thức sau là bất khả quy
x3 + 5x2 + 35
x4 – x3 + 2x + 1 
Bài 4. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng đa thức xp-1 + xp-2 +  + x + 1 bất khả quy.
Bài 5. Cho n số ai thuộc Z. Chứng minh 
(x-a1)(x-a2)(x-an) – 1 bất khả quy
(x-a1)2(x-a2)2(x-an)2 + 1 bất khả quy
3.4. Bài tập
Bài 1. Đa thức P(x) bậc n có hệ số