Toán học - Các bài toán liên quan đến hàm số
Bạn đang xem nội dung tài liệu Toán học - Các bài toán liên quan đến hàm số, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG - ĐƯỜNG ĐI QUA ĐIỂM Bài toán: Cho (C) là đồ thị hàm số y = f(x) và một điểm A(xA ; yA). Hỏi (C) có đi qua A không Phương pháp giải: Đồ thị (C) đi qua A(xA ; yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phương trình của (C) - A (C) yA = f(xA) Do đ ó : T ính yA = f(xA) - N ếu f(xA) = yA th ì (C) đi qua A - N ếu f(xA) yA thì (C) kh ông đi qua A LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TOÁN 1: Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA; yA) và có hệ số góc bằng k Cách giải: - Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là: y = ax + b (*) + Xác định a: Theo giả thiết ta có : a = k => y = kx + b + Xác định b : (D) đi qua A(xA ; yA) yA = kxA + b => b = yA – kxA Thay a = k và b = yA – kxA vào (*) ta được phương trình của (D) BÀI TOÁN 2: Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB ; yB) Cách giải: - phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b (D) đi qua A và B nên ta có : A B ax ax A B y b y b Giải hệ phương trình tìm được a, b . Suy ra phương trình của (D) BÀI TOÁN 3 : Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (P) : y = f(x) Các giải : - Phương trình của (D) có dạng : y = ax + b - Phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là : f(x) = kx + b (1) - (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 Từ điều kiện này tìm được b .Suy ra hương trình của (D) www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 2 BÀI TOÁN 4 : Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(xA ; yA) và tiếp xúc với đường cong (P) : y = f(x) . Cách giải : - Phương trình đường thẳng của (D) là : y = ax + b - Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : f (x) = ax + b (1) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép.Từ điều kiện này tìm ra được hệ thức giữa a và b (2) Mặt khác : (D) đi qua A(xA ; yA) do đó ta có : yA = axA + b (3) Từ (2) và (3) suy ra a và b suy ra phương trình của (D) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán : Cho (C ) và (L) theo thứ tự là đồ thị của các hàm số: y = f(x) y = g(x) Khảo sát sự tương giao của hai đồ thị. Cách giải: Toạ độ giao điểm của (C ) và (L) là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) y f x y g x (I) Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (L) là: f(x) = g(x) (1) - Nếu (1) vô nghiệm (I) vô nghiệm (C) và (L) không có điểm chung - Nếu (1) có nghiệm kép (I) có nghiệm kép (C) và (L) tiếp xúc nhau - Nếu (1) có 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm (I) có 1 hoặc 2 nghiệm (C) và (L) có 1 hoặc hai điểm chung. BÀI TẬP Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A (-2 ; 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x + 1) a) Hỏi điểm A có thuộc (D) không b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đò thị (P) đi qua A Giải: a)Thay x = -2 vào vế phải của phương trình đường thẳng (D) ta có : y = -2(-2 + 1) = 2 Vậy điểm A(-2 ; 2) có thuộc đường thẳng (D) b) Vì đồ thị (P) đi qua A nên ta có : 2 = a (-2)2 => a = 1 2 Bài 2 : Cho parabol (P): y = x2 .Lập phương trình đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D/ ) : y = 2x và tiếp xúc với (P) Giải: Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = ax + b www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 3 Đường thẳng (D) song song với đường thẳng (D/) nên a = 2 => y = 2x + b Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) là: x2 = 2x + b x2 – 2x – b = 0 (1) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép / = 0 1 + b = 0 => b = -1 Vậy phương trình đường thẳng (D) là: y = 2x - 1 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho 2 đường thẳng (d1) : y = 2x – 7 và (d2): y = - x- 1 a) Vẽ đường thẳng (d1) và (d2) b) Tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) bằng đồ thị. Rồi kiểm tra lại bằng phép tính Giải: a) HS tự vẽ b) Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là M khi đó hoành độ của điểm m là nghiệm của phương trình: 2x – 7 = - x- 1 x = 2 Tung độ của điểm M là y = - 2 – 1 = - 3 Vậy toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) l à : M(2 ;-3) Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(0; - 1) và B( 1; 2) a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B b) Điểm C(- 1;- 4) có nằm trên đường thẳng đó không Giải: a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (D) : y = ax + b Đường thẳng (D) đi qua A và B nên ta có : 1 .0 2 .1 a b a b Giải hệ phương trình ta được : a = 3 ; b = -1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìn là (D) : y = 3x – 1 b) Với x = -1 thì y = 3(-1) – 1 = - 4 .Do đó điểm C(- 1;- 4) nằm trên đường thẳng (D) Bài 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng : (d1) : y = (m – 1)x ; (d2) : y = 3x – 1 a) song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau Gi ải: a) (d1) // (d2) m – 1 = 3 m = 4 b) (d1) cắt (d2) m – 1 3 m 4 c) (d1) vuông góc (d2) (m – 1).3 = -1 m = 2 3 Bài 6: Tìm giá trị của a để 3 đường thẳng : (d1): y = 2x – 5 ; (d2) : y = x +2 (d3) : y = ax – 12 . Đồng quy tại 1 điểm Giải: Ta thấy hai đường thẳng (d1) v à (d2) có hệ số góc khác nhau nên (d1) và (d2) chắc chắn cắt nhau. Gọi giao điểm của (d1) và (d2) l à M Hoành độ của điểm M là nghiệm của phương trình : 2x – 5 = x +2 => x = 7 www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 4 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10O A B C Tung độ của M là y = 7 + 2 = 9 .Do đó M( 7 ; 9) Đ ể 3 đ ường thẳng trên đồng quy tại 1 điểm thì dường thẳng (d3) phải đi qua điểm M(7 ;9) 9 = a.7 – 12 a = 3 Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( - 2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1) 1) Giải thích tại sao A nằm trên (d1) 2) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị(P) đi qua A 3) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1) 4) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung .Tìm toạ độ giao điểm của B và C .Tính diện tích tam giác ABC Giải: Câu 1) 2) xem bài 1 3) Gọi phương trình đường thẳng (d2) là : y = ax + b Vì đường thẳng (d2) vuông góc với (d1) => a.(-2) = -1 => a = 1 2 Mặt khác đường thẳng (d2) đi qua điểm A(- 2 ; 2) nên ta có x = -2 , y = 2 Thay a = 1 2 ; x = -2 ; y = 2 vào y = ax + b ta có : 2 = 1 2 (-2) + b => b = 3 Vậy phương trình đường thẳng (d2) là : y = 1 2 x + 3 4) Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình : 1 2 x2 = 1 2 x + 3 .giải phương trình này ta được x1 = 2 ( chính là hoành độ của điểm A) x2 = 3 là hoành độ điểm B.Khi đó tung độ điểm B là y = 1 2 .32 = 9 2 .Vậy toạ độ của điểm B( 3 ; 9 2 ) Toạ độ C(0 ; - 2) www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 5 Ta có AB = 2 29( 2 3) (2 ) 2 = 2525 4 = 125 4 = 5 5 2 AC = 2 2( 2 0) (2 2) = 20 = 2 5 SABC = 1 2 AB.AC = 1 2 . 5 5 2 .2 5 = 25 2 (đvdt) Bài 8 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + 2 a) Vẽ (P) và (D) b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tính. c) Tìm a và b trong hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị (d/) của hàm số này song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1 Giải: a) Vẽ (P) và (D): b)Dựa vào đồ thị ta có A( 2;4) , B( 1 ;2) .Kiểm tra bằng cách thay toạ độ của các điểm A và B vào 2 hàm số ta thấy đều thoả mãn. c) Đường thẳng (d/) song song với đường thẳng (D) nên a = -1. Mặt khác (d/) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 ,tức là (d/) đi qua điểm (-1; 1) => x = -1 , y = 1 Thay a = -1 . x = -1 , y = 1 vào phương trình của đường thẳng (d/) ta có : 1 = (-1)(-1) + b => b = 0 Vậy phương trình của đường thẳng (d/) là : y = - x 8 6 4 2 -2 -5 5O A B www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 6 -2 xO 1-1-2 2-3-4 3 4 y 1 2 3 4 -1 -3 -4 Bài 9: Cho hàm số : y = - 1 2 x2 (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt . Giải : a)Lập bảng giá trị : x -2 -1 0 1 2 y = - 1 2 x2 -2 - 1 2 0 - 1 2 -2 c) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 2x + m và parabol(P) l à : - 1 2 x2 = 2x + m x2 + 4x + 2m = 0 (1) Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt > 0 4 – 2m > 0 m < 2 Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình : (D) : y = k(x -1) (P) : y = x2- 3 x + 2 a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm. www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 7 Giải: a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là: x2 – 3x + 2 = k(x -1) x2 – (3+ k)x +2 + k = 0 (1) Phương trình (1) có : = ( 3 + k)2 – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k2 – 8 – 4k = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 0 với mọi k Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung b) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (k + 1)2 = 0 k = - 1 ,Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x = 3 2 k = 3 1 2 = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y = 0 Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 ) Bài 11: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1) a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm. b) Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ. Giải: a) Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)2 => a = 1 => (P) : y = x2 Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x2 có nghiệm kép x2 – (m -1)x + (m-1) = 0 có nghiệm kép = 0 (m -1)2 – 4(m-1) = 0 (m -1)(m-1- 4) = 0 (m – 1)(m – 5) = 0 1 0 5 0 m m 1 5 m m *)Với m = 1 => x = 1 2 m = 1 1 2 = 0 (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là: y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox *) Với m = 5 => x = 1 2 m = 5 1 2 = 2 (là hoành độ tiếp điểm ) ,tung độ tiếp điểm là: y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4) b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x2 . Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4 Có đồ thị như sau : 2-1-2-4 x43 -4 -1 -2 -3 3 4 3 1 y -3 O 1 5 8 6 7 www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 8 x y 2 -1 -4 -3 -2 -1 2 3 4 -2 O 1 1 -3 -4 -5 -6 Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x + m a) Vẽ P. b) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P) (Hướng dẫn : xem bài 11) Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số : y = - 2 4 x và y = x + 1 a) Vẽ (P) và (D) b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4 Giải: a) Vẽ (P) và (D): c) Phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 (1) - x2 = 4x + 4 - 2 4 x = x + 1 Đặt y = - 2 4 x => y = x + 1 là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2 d) Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = ax + b Vì (d) // (D) => a = 1 www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 9 Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có : - 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8. Bài 14: Cho hàm số : y = x2 và y = x + m a) Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B b) Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3 2 Giải : a) Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : x2 = x + m x2 – x – m = 0 (1) (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt > 0 (-1)2 – 4.1.(-m) > 0 1 + 4m > 0 m > - 1 4 b) Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b Vì (d ) (D) => a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x2 = - x + b x2 + x - b = 0 (2) Phương trình (2) có : = 1 + 4b (d) tiếp xúc (P) phương trình (2) có nghiệm kép = 1 + 4b = 0 => b = - 1 4 Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = - x - 1 4 c) Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) (Hình vẽ) Khoảng cách giữa hai điểm xA , xB trên trục Ox bằng B Ax x .Khoảng cách giữa hai điểm yA , yB trên trục Oy bằng B Ay y Trong tam giác vuông ABC ta có : AB2 = AC2 + BC2 = ( xB – xA) 2 + (yB – yA ) 2 x y yB C xBO A B xA yA www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 10 x y -2 2 2-3 4 4 1 O-2 6 1 M N -1-4-5 3 5 -1 3 5 => AB = 2 2( ) ( )B A B Ax x y y Theo câu a) ta có : Với m > - 1 4 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là: x1 = 1 1 4 2 m ; x2 = 1 1 4 2 m Với x1 = 1 1 4 2 m => y1 = 1 1 4 2 2 m m x2 = 1 1 4 2 m => y2 = 1 1 4 2 2 m m Gọi A(1 1 4 2 m ; 1 1 4 2 2 m m ) và B(1 1 4 2 m ; 1 1 4 2 2 m m ) Áp dụng công thức trên ta có : AB = 2 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 2 1 1 4 2 2 2 2 2 m m m m m m = 2 2 2 1 4 2 1 4 2 2 m m = 1 4 1 4m m = 2 8m AB = 3 2 2 8m = 3 2 2+ 8m = 18 m = 2 Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = 1 4 x2 , (D) là đồ thị hàm số :y = 1 2 x + 2 a) Vẽ (D) và (P) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán Giải: a)Vẽ (D) và (P) www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 11 b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4) Kiểm tra bằng phép tính : Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : 1 4 x2 = 1 2 x + 2 x2 – 2x – 8 = 0 (1) Có : = 1 + 8 = 9 => = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt : x1 = 1 – 3 = - 2 ; x2 = 1 + 3 = 4 Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2 , 4 Với x1 = - 2 => y1 = 1 4 (-2)2 = 1 => M(-2 ; 1) Với x2 = 4 => y2 = 1 4 . 42 = 4 => N( 4 ; 4) Bài 16: Cho parabol (P) : y = - 2 4 x và điểm M (1 ; -2) a) Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m b) Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi Giải : a) Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2 Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2 b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là : - 2 4 x = mx – m – 2 x2 + 4mx – 4m – 8 = 0 (1) Phương trình (1) có: = 4m2 + 4m + 8 = 4m2 + 4m + 1 + 7 = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi. Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - 1 4 x2 và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1 1) Vẽ (P) 2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) 3) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Giải : 1) Tự vẽ www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 12 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - 1 4 x2 = mx – 2m – 1 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (1) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 4m2 + 8m + 4 = 0 (2m + 2)2 = 0 2m + 2 = 0 m = -1 Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P) 3) Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua Khi đó phương trình : y0 = mx0 - 2m – 1 có nghiệm với mọi m (x0 – 2)m – (y0 + 1) = 0 có nghiệm với mọi m 0 0 2 0 1 0 x y 0 0 2 1 x y Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - 1 4 . 22 = - 1 Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1) cố định thuộc (P) Bài 18 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = 1 4 x2 và đường thẳng (D) : y = x – 1 a) Vẽ (P) và (D) b) Chứng tỏ (bằng phép toán ) (P) và (D) tiếp xúc nhau tại 1 điểm ,xác định toạ độ điểm này. Bài 20 : Trong cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = 2 4 x và đường thẳng (D) đi qua điểm I( 3 2 ; -1) có hệ số góc m 1) Vẽ (P) và viết phương trình của (D) 2) Tìm M sao cho (D) tiếp xúc với (P) 3) Tìm m sao cho (D) và (P) có 2 điểm chung phân biệt Bài 21 : Cho parabol (P) : y = 1 2 x2 và đường thẳng y = 1 2 x + 3 a) Xác định toạ độ giao điểm A, B của parabol và đường thẳng b) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài 22 : Cho hàm số : y = 1 2 x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số trên b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y = (m- 4)x + m + 1 cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A có hoành độ bằng 2 .Rồi tìm toạ độ thứ 2 khác A c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) và parsbol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. d) Gọi y1 ; y2 là tung độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) . Tìm m để y1 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 13 a) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 1 2 x2 = (m- 4)x + m + 1 x2 – 2 (m – 4)x – 2m – 2 = 0 (*) Vì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 nên là nghiệm của phương trình (*) => 4- 2(m -4).2 – 2m – 2 = 0 4 – 4m +16 – 2m – 2 = 0 - 6m + 18 = 0 m = 3 Vậy với m= 3 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 Hoành độ giao điểm thứ 2 khác A là nghiệm thứ 2 của phương trình (*) Theo Vi-et : x1.x2 = c a = -2m – 2 = -2.3 – 2 = -8. Mà x1= 2 => 2.x2 = - 8 => x2= - 4 Tung độ của điểm thứ hai là : y = 1 2 .(-4)2 = 8 Vậy toạ độ giao điểm thứ hai khác A là (- 4 ; 8) c) Phương trình (*) có : = (m – 4)2 + 2m + 2 = m2 – 6m + 18 = (m – 3)2 +9 > 0 với mọi m Suy ra điều phải chứng minh d) Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) tương ứng với tung độ y1 ; y2 y1 = (m -4)x1 + m + 1 y2 = ( m- 4)x2 + m + 1 => y1 + y2 = ( m -4) (x1 + x2) + 2 m + 2 = (m – 4). 2(m – 4) + 2m + 2 = 2m 2 – 14m + 34 = 2(m2 – 7m + 17) = 2( m2 - 2. 7 2 m + 49 4 + 19 4 ) = 2(m - 7 2 )2 + 19 2 19 2 Suy ra : Min (y1 + y2 ) = 19 2 khi m = 7 2 Bài 23 :Cho đường thẳng (d) : y = 4x + m và parabol (P) : y = 2x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm A , B và cắt trục tung Oy tại M . Sao cho MA = 3MB Giải : Xét phương trình : 2x2 = 4x + m 2x2 – 4x – m = 0 (1) (d) cắt (P) tại 2 điểm A và B phương trình (1) có 2 nghiệm = 4 + 2m 0 m -2 Hai giao điểm là : A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2) (ở đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) ) Theo Vi-et ta có : 1 2 1 2 2...........(2) . ..........(3) 2 x x m x x Theo giả thiết (d) trục Oy tại M sao cho MA = 3MB 2x = 3. 1x 2 1 2 1 3 3 x x x x Với x2 = 3x1 => x1 + 3x1 = 2 => x1 = 1 2 => x2 = 3 2 => x1x2 = 2 m 1 2 . 3 2 = 2 m => m = - 3 2 (Không thoả mãn điều kiện m -2 ) www.daykemquynhon.ucoz.com Trung tâm bồi dưỡng kiến thức văn hóa cho học sinh 1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn Nguyễn Thanh Tuấn 0905 77 9594 14 Với x2 = - 3x1 => x1 – 3x1 = 2 => x1 = - 1 => x2 = 3 => 2 m = x1.x2 = (-1) . 3 = -3 => m = 6 (Thoả mãn điều kiện m -2 ) Vậy m = 6 là giá trị cần tìm ChØ cã sù nç lùc cña chÝnh b¹n míi ®em l¹i thµnh c«ng x y M x2O B A x1 x y M x2O B A x1
File đính kèm:
hamso.pdf
