Toán học - Các phép toán một số hàm tính toán, rút gọn khác

Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 1 
CÁC PHÉP TOÁN 
MỘT SỐ HÀM TÍNH TOÁN, RÚT GỌN KHÁC. 
I. Các phép toán cơ bản (cộng ,trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn,) 
1) Phép cộng, trừ, nhân , chia, khai căn, 
Năm phép toán ‘cộng’, trừ’ , ‘nhân’, ‘chia’ , ‘lũy thừa’ được khai báo với các kí hiệu tương 
ứng là ‘+’ , ‘ – ’, ‘ * ’ , ‘ / ’ , ‘ ^ ’. 
Riêng phép khai căn phải dùng cú pháp khác. 
+ căn bậc hai của số a (thực hay phức) được khai báo bằng lệnh: 
> sqrt(a); hoặc > root(a,2); 
+ căn bậc n của số a (thực hay phức) được khai báo bằng lệnh: 
 > surd(a, n); hoặc > root( a, n); 
Các ví dụ: 
> 2+1/2; 
5
2
> x-3/5; 
 - x
3
5
> 12*5/7-3/2; 
99
14
> 2^6; 
64 
> (1/3+5)^4-753; 
4543
81
Chú ý: Maple có thể tính toán được các số rất lớn. Chẳng hạn: 
Số chữ số của số trên có thể tìm được bằng lệnh: 
> length(%); 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 2 
958 
Maple có thể tính toán trên các biểu thức chứa biến: 
> 3*x+5*y-2+x-y; 
 + - 4 x 4 y 2 
> (x+y)/(x^2-y^2); 
 + x y
 - x2 y2
Để rút gọn biểu thức trên ta dùng lệnh như sau: 
> simplify(%); 
-
1
 - y x 
* Tính 12345 : 
> sqrt(12345); 
12345 
+ Tính 123468 : 
> sqrt(123468); 
2 30867 
+ Tính 3 8- : 
- Nếu dùng lệnh surd thì được kết quả: 
> surd(-8,3); 
-2 
- Nếu dùng lệnh root thì được kết quả: 
> root(-8,3); 
+ Tính 3 8,0- : 
- Nếu dùng lệnh surd thì được kết quả: 
> surd(-8.0,3); 
-2.000000000 
- Nếu dùng lệnh root thì được kết quả: 
> root(-8.0,3); 
 + 1.000000000 1.732050807I 
2) Gán giá trị cho một biểu thức hay một biến. 
Gán giá trị của f(biểu thức, hàm, thủ tục, list,) cho a ta dùng cú pháp: 
Cú pháp: > a: = f; 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 3 
Ví dụ 1: 
Gán giá trị của kết quả 124
4
+ vào biến a, ta thực hiện như sau: 
> a:=sqrt(24)+1/4; 
 := a + 2 6
1
4
Sau khi gán giá trị vào một biến, ta có thể dùng các hàm, thủ tục khác để tác động lên biến 
đó. 
Chẳng hạn với a được xác định như ví dụ trên ta có thể tính 2a . 
> `a^2`:=a^2; 
 := a^2 æ
è
çç
ö
ø
÷÷ + 2 6
1
4
2
II. Một số hàm trên các phép toán. 
1) Kết hợp phép tính căn .a b thành ab . 
Cú pháp: [ > combine(); 
Thường thì khi nhập .a b thì Maple vẫn hiển thị kết quả như khi nhập. 
Xem các ví dụ: 
Nhập vào Maple 3. 6 : 
> sqrt(3)*sqrt(6); 
3 6 
+ Để nhân hai căn thức này ta dùng lệnh: 
> combine(%); 
18 
+ Để đổi căn số trên ra số thập phân ta dùng lệnh sau: 
> evalf(%); 
4.242640687 
2. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức chứa căn. 
Cú pháp: > rationalize(a) ; 
Ví dụ 1: 
Cho biểu thức 1
2 3 2
a =
+ +
. 
+Nhập a vào Maple: 
> a:=1/(2+sqrt(3)+sqrt(2)); 
 := a
1
 + + 2 3 2
+ Trục căn thức ở mẫu của a: 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 4 
> rationalize(a); 
( ) + - 2 2 3 ( )- + 3 4 2
23
Ví dụ 2: 
Trục căn thức ở mẫu của biểu thức 1
2
p
x
=
+
+ Nhập vào Maple: 
> p:=1/(sqrt(x)+2); 
 := p
1
 + x 2
+ Trục căn thức ở mẫu: 
> p:=rationalize(p); 
 := p
- + 2 x
- + 4 x 
3. Đơn giản một biểu thức chứa căn. 
Cú pháp: > simplify(a, ‘option’); 
Trong đó: - a là biểu thức chứa căn; 
 - option là các từ khóa như ‘radical’, ‘sqrt’, ‘power’, 
Ví dụ 1: 
Cho biểu thức 1 23
2 2 1
a = + -
+
. 
+ Nhập biểu thức trên vào Maple: 
> a:=1/sqrt(2)+3-2/(sqrt(2)+1); 
 := a + - 
2
2
3
2
 + 2 1
+ Đơn giản biểu thức trên: 
> simplify(a); 
 + 4 7 2
2 ( ) + 2 1
+ Trục căn thức ở mẫu, ta được 
> a:=rationalize(a); 
 := a
( ) + 4 7 2 ( )- + 1 2
2
+ Khai triển (bằng lệnh expand) ta được: 
> a:=expand(a); 
 := a - 5
3 2
2
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 5 
Ví dụ2: 
Cho biểu thức 2 6 2 2 1b x= - + . 
+Nhập biểu thức vào Maple: 
> b:=sqrt(2)*sqrt(6)-2*sqrt(2)*sqrt(x+1); 
 := b - 2 6 2 2 + x 1 
+ Nếu dùng lệnh simplify ta được kết quả: 
> b:=simplify(b); 
 := b - 2 3 2 2 + x 1 
+ Nếu muốn gộp các dấu căn ta phải dùng lệnh combine: 
> b:=combine(b,radical); 
 := b - 2 3 2 + 2 x 2 
Ví dụ 3: 
Cho biểu thức 3. 1 2 6 2c x x y x= + - . 
+ Nhập biểu thức vào Maple: 
> a:=sqrt(x)^3*sqrt(x+1)-2*sqrt(6)*sqrt(y)*sqrt(2*x); 
+ Đơn giản c bằng lệnh simplify ta được kết quả: 
> a:=simplify(a); 
+ Làm gọn c bằng lệnh combine (c, radical) ta được kết quả: 
> c:=combine(c,radical); 
+ Nếu khai báo thêm từ khóa “symbolic” trong câu lệnh, ta được kết quả: 
> a:=combine(a,radical,symbolic); 
 := a - x x ( ) + x 1 4 3 x y 
4. Biến đổi các biểu thức chứa căn về dạng đơn giản. 
Cú pháp: > radnormal(a); 
Ví dụ 1: 
Cho biểu thức ( )34 3 2a = - . 
+Nhập a vào Maple: 
> a:=(4-3*sqrt(2))^3; 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 6 
 := a ( ) - 4 3 2
3
+ Nếu đơn giản a bằng lệnh simplify, ta được kết quả: 
> a:=simplify(a); 
 := a -( )- + 4 3 2
3
+ Cũng dùng simplify nhưng thêm option ‘radical’, ta được kết quả: 
> a:=simplify(a, radical); 
 := a ( ) - 4 3 2
3
+ Nếu khai triển dùng lệnh ‘expand’, ta được kết quả: 
> a:=expand(a); 
 := a - 280 198 2 
+ Nếu dùng lệnh ‘radnormal’ ta cũng được kết quả: 
> a:=radnormal(a); 
 := a - 280 198 2 
Ví dụ 2: 
Cho biểu thức 59 30 2a = + . 
+Nhập vào Maple: 
> a:=(59+30*sqrt(2))^(1/2); 
 := a + 59 30 2 
+ Nếu khai triển bằng lệnh ‘expand’ , ta được kết quả: 
> a:=expand(a); 
 := a + 59 30 2 
+ Nếu dùng lệnh ‘radnormal’, ta được kết quả: 
> a:=radnormal(a); 
Ví dụ 4: 
Cho biểu thức 220 120 180b x x= + + . 
+Nhập biểu thức vào Maple: 
> b:=(20*x^2+120*x+180)^(1/2); 
 := b + + 20 x2 120 x 180 
+ Đơn giản bằng lệnh ‘radnormal’, ta được: 
> b:=radnormal(b); 
 := b 2 5 ( ) + x 3 2 
+ Đơn giản bẳng lệnh ‘simplify’ có option ‘sqrt’, ta được: 
> b:=simplify(b,sqrt); 
 := b 2 5 ( )csgn + x 3 ( ) + x 3 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 7 
+ Nếu giả sử 3x > - trước khi dùng lệnh trên, ta được: 
> assume(x>-3); 
 b:=simplify(b,sqrt); 
 := b 2 5 ( ) + x~ 3 
+ Nếu đơn giản biểu thức với ‘RealDomain’, ta được: 
> use RealDomain in simplify(b) end use; 
2 5 + x 3 
Chú ý: Với lệnh trên mà ta vẫn khai báo option ‘sqrt’ trong simplify thì kết quả là: 
> use RealDomain in simplify(b,sqrt) end use; 
2 5 ( )signum + x 3 ( ) + x 3 
§ Mong rằng, qua một số ví dụ trên quý bạn đọc nhận biết được chức năng cụ thể của mỗi 
lệnh để vận dụng có hiệu quả. Đặc biệt là tính ‘gần gủi’ của các lệnh rất khó phân biệt và 
các ‘option’ trong mỗi lệnh. 
. 
5) Hàm tính giá trị tuyệt đối của số thực x. 
Cú pháp: > abs(x); 
Ví dụ 1: 
> abs(2*x); 
2 x 
> abs(sqrt(3+2*sqrt(2))*x^2); 
( ) + 2 1 x 2 
> a:=abs(-5*x*y*z^2); 
 := a 5 x y z2 
Có thể dùng hàm ‘expand’ để phân tích kết quả trên: 
> a:=expand(a); 
 := a 5 x y z 2 
Ví dụ2: 
Cho biểu thức 25 . 1 .m x x y= - 
+ Nhập vào Maple: 
> m:=5*abs(x)*abs(x-1)*abs(y^2); 
 := m 5 x - x 1 y 2 
+ Có thể kết hợp các giá trị tuyệt đối trong kết quả trên dùng hàm ‘combine’ cùng với option 
‘abs’: 
> m:=combine(m,abs); 
 := m 5 x ( ) - x 1 y2 
6. Hàm cộng một chuổi các giá trị. 
a) Cú pháp 1: > add(i, i=m..n); 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 8 
b) Cú pháp 2: > add(i, i=[li]); 
c) Cú pháp 3: > add(i, i in x); 
Trong đó: : - m, n là các số nguyên dương; 
 - [li] là một tập hợp các số (thực); 
 - x là một biểu thức. 
Ví dụ 1: 
Tính tổng các số 3i biết { }1;2;...6i Î . 
+ Nhập biểu thức tính vào Maple: 
> add(i^3,i=1..6); 
441 
Có thể xây dựng tập hợp { }1;2;...6 sau đó tính tổng của 3i trong tập đó: 
+ Xây dựng tập hợp: 
> x:=[seq(i,i=1..6)]; 
 := x [ ], , , , ,1 2 3 4 5 6 
+ Tính tổng các số 3i với i thuộc tập hợp đó: 
> add(i^3, i = x); 
441 
+Cũng có thể dùng câu lệnh thứ ba như sau: 
> add(i^3, i in x); 
441 
@Vận dụng hàm này để xây dựng chương trình tính chu vi của một tam giác. 
Ví dụ 2: 
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ba điểm ( ) ( ) ( )1;2 , 1;1 , 0; 2A B C- - . 
Tính chu vi của tam giác ABC. 
+ Nhập các điểm A, B, C vào Maple và xác định tam giác ABC: 
> with(geometry): 
> point(A,1,1),point(B,-1,1), point(C,0,-2): 
> triangle(ABC,[A,B,C]); 
ABC 
+ Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC: 
> canh:=sides(ABC); 
 := canh [ ], ,4 10 10 
Làm gọn kết quả: 
> canh:=simplify(canh); 
 := canh [ ], ,2 10 10 
+ Tính chu vi của tam giác ABC: 
> add(i,i in canh); 
 + 2 2 10 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 9 
Ví dụ 5: 
Viết đa thức có dạng ( ) 2 80 1 2 8...P x a a x a x a x= + + + + . 
+ Dùng Maple để viết đa thức trên: 
> P(x):=add( a[i]*x^i, i=0..8 ); 
 := ( )P x + + + + + + + + a0 a1 x a2 x
2 a3 x
3 a4 x
4 a5 x
5 a6 x
6 a7 x
7 a8 x
8 
Chú ý: Hàm add chỉ có thể tính tổng trong khoảng chứa số cụ thể. Một khoảng chưa xác 
định (chứa biến) thì Maple không thực hiện được lệnh add. 
Chẳng hạn, tính tổng 1 2 3 ... n+ + + + : 
 > add( i, i=1..n ); 
Error, unable to execute add 
Ta thấy, Maple đã thông báo lỗi và không thể thực hiện lệnh ‘add’. 
§ Để khắc phục nhược điểm này ta có thể dùng hàm ‘sum’ như sau: 
> S:=Sum( i, i=1..n ); 
 := S å
 = i 1
n
i 
> S:=value(S); 
 := S - - 
( ) + n 1 2
2
n
2
1
2 
(Hàm sum sẽ được giới thiệu sau) 
7. Hàm nhân một chuổi các giá trị. 
a) Cú pháp 1: > mul(i, i=m..n); 
b) Cú pháp 2: > mul(i, i=[li]); 
c) Cú pháp 3: > mul(i, i in x); 
Trong đó: : - m, n là các số nguyên dương; 
 - [li] là một tập hợp các số (thực); 
 - x là một biểu thức. 
Ví dụ 1: 
Tính tích của 7 số tự nhiên đầu tiên (khác không): 
+ Nhập biểu thức tính vào Maple: 
> mul(i, i=1..7); 
5040 
Ví dụ 2: 
Tính tích 
1 1 1
1 1 ... 1
2 3 2008
P æ öæ ö æ ö= + + +ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
. 
+Nhập biểu thức tính vào Maple: 
> mul(1+1/i, i=2..2008); 
2009
2
8. Hàm sum , hàm product. 
Các ví dụ: 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 10 
Ví dụ 1: 
Tính tổng ( )1 1 3 5 ... 2 1S n= + + + + + . 
+ Nhập biểu thức vào Maple: 
> S1:=Sum(2*i+1, i=0..n); 
 := S1 å
 = i 0
n
( ) + 2 i 1 
+ Tính giá trị của biểu thức trên: 
> S1:=value(S1); 
 := S1 ( ) + n 1 2 
Nhận xét: Trong câu lệnh nhập biểu thức ta dùng hàm ‘Sum” _ kí tự S viết hoa. 
Maple quy định , hàm “Sum” cho hiện biểu thức của tổng cần xác định. Còn hàm “sum” _ 
chữ s viết thường_ tính giá trị của tổng cần xác định. 
Chẳng hạn với tổng ở Ví dụ 1 trên, ta dùng hàm ‘sum’ thì được kết quả: 
> S1:=sum(2*i+1,i=0..n); 
 := S1 ( ) + n 1 2 
Ví dụ 2: 
Tìm tổng các nghiệm của phương trình 3 22 3 1 0x x x- + - = . 
+Để giải bài toán trên ta tìm tổng của các số k với k thuộc tập nghiệm của phương trình trên 
( dùng hàm RootOf() để xác định tập nghiệm của phương trình ): 
> sum(k,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1)); 
3
2
+ Tìm tổng bình phương của các nghiệm của phương trình trên: 
> sum(k^2,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1)); 
5
4
+ Tìm tổng lập phương các nghiệm của phương trình trên: 
> sum(k^3,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1)); 
21
8
{Nếu dùng hàm ‘Sum’ thì kết quả là: 
> Sum(k^3,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1)); 
å
 = k ( )RootOf - + - 2 _Z3 3 _Z2 _Z 1
k3 
+Xem kết quả bằng lệnh: 
> value(%); 
21
8
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 11 
+Nếu dùng hàm ‘evalf’ để xem kết quả thì ta được: 
> evalf(%); 
 + 2.625000000 0. I 
Ta nhận thấy kết quả của hàm ‘evalf’ khôngtrực quan bằng kết của của ‘value’. 
Qua đây chúng tôi mong quý bạn đọc lưu ý cách dùng hàm ‘value’ hoặc ‘eval’ một cách phù 
hợp để tính giá trị của một kết quả nào đó}. 
Ví dụ 3: 
Tính tích các nghiệm số của phương trình 5 27 4 3 5 0x x x- + - = 
+ Lệnh tính tích các nghiệm: 
> product(x,x=RootOf(7*x^5-4*x^3+3*x-5)); 
5
7
Ví dụ 4: 
Xây dựng biểu thức ( ) ( )( )( )( )1 2 3 4f x x x x x= + + + + . 
+ Nhập vào Maple: 
> f(x):=product(x+i,i=1..4); 
 := ( )f x ( ) + x 1 ( ) + x 2 ( ) + x 3 ( ) + x 4 
@Nếu dùng thủ tục ‘Product’ thì kết quả hiển thị dưới dạng kí hiệu. 
Chẳng hạn: 
> Product(i+1,i=1..n); 
Õ
 = i 1
n
( ) + i 1 
Ví dụ 5: 
Gọi 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình 2 2 3 1 0x x- - + = 
Tính giá trị của biểu thức 1 22 2
1 21 2
1
3
x x
Q
x xx x
+
= -
+
. 
+ Xác định tập nghiệm của phương trình dùng lệnh RootOf: 
> T:=RootOf(x^2-sqrt(2)*x-sqrt(3)+1); 
 := T ( )RootOf - - + _Z 2 2 _Z 3 1 
+ Tính giá trị của tổng 2 21 2x x+ : 
> s1:=sum(x^2,x=T); 
 := s1 2 ( )RootOf , - _Z 2 3 = index 1 
Kết quả hiển thị chưa cụ thể. Để xem chi tiết giá trị của s1, ta dùng lệnh: 
> s1:=allvalues(%); 
 := s1 2 3 
{Nếu dùng lệnh ‘value’ hay ‘evalf’ thì kết quả không cụ thể bằng lệnh ‘allvalue’} 
+ Tính giá trị của tổng 1 2x x+ : 
> s2:=sum(x,x=T); 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 12 
s2:=allvalues(%); 
 := s2 ( )RootOf , - _Z 2 2 = index 1 
 := s2 2 
+ Tính tích 1 2x x : 
> s3:=product(x,x=T); 
 := s3 - + 3 1 
+ Từ các kết quả trên, suy ra giá trị của Q: 
> Q:=1/s1-s2/(3*s3); 
 := Q - 
3
6
2
3 ( )- + 3 1
> Q:=simplify(Q,radical); 
 := Q
 - + 3 3 2 2
6 ( ) - 3 1
> Q:=expand(Q,radical); 
 := Q + + 
3
6
2
6
2 3
6
9. Hàm eval, evalf, value, allvalues.(các hàm tính giá trị) 
a) Hàm value được sử dụng khi muốn tìm kết quả của các biểu thức như: Int (nguyên hàm, 
tích phân), Sum (tổng), Limit( giới hạn) , Diff (đạo hàm). 
Ví dụ 1: 
Tính giá trị của biểu thức ( ) 2 2
1
F x x dx
x
æ ö= +ç ÷
è øò . 
+ Nhập biểu thức tích phân vào Maple: 
> F(x) := Int(x^2+1/x^2, x); 
 := ( )F x d
ó
õ
ôôôô
 + x2
1
x2
x 
+ Tìm một kết quả của phép toán trên (dùng lệnh ‘value’): 
> F(x):=value(%); 
 := ( )F x - 
x3
3
1
x 
Ví dụ 2: 
Tìm giới hạn sau 
0
sin 2
lim
x
x
G
x®
= . 
+ Nhập biểu thức giới hạn vào Maple: 
> G := Limit(sin(2*x)/x, x=0); 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 13 
 := G lim
 ® x 0
( )sin 2 x
x
+ Tính giá trị của giới hạn trên: 
> G:=value(G); 
 := G 2 
Ví dụ 3: 
Tìm kết quả của tổng 1 2 ...S n= + + + . 
+ Nhập biểu thức S: 
> S:=Sum(i,i=1..n); 
 := S å
 = i 1
n
i 
+ Tìm kết qủa của tổng trên: 
> S:=value(S); 
 := S - - 
( ) + n 1 2
2
n
2
1
2 
Có thể dùng gộp hai lệnh trên như sau: 
> S:=value(Sum(i,i=1..n)); 
 := S - - 
( ) + n 1 2
2
n
2
1
2 
2) Hàm eval dùng để tính giá trị của một biểu thức với điều kiện cho trước. 
Ví dụ 1: 
Tính giá trị của biểu thức 23 3P x x= - - khi 53 1; 6
2
x x= + = - + . 
+ Nhập biểu thức vào Maple: 
> f:=3*x^2-x-sqrt(3); 
 := f - - 3 x2 x 3 
+ Tính giá trị của f khi 3 1x = + : 
> eval(f,x=sqrt(3)+1); 
 - - 3 ( ) + 1 3
2
1 2 3 
Làm gọn kết quả bằng lệnh ‘radnormal’: 
> radnormal(%); 
 + 11 4 3 
+ Tính giá trị của f khi 5 6
2
x = - + : 
> eval(f,x=-5/2+sqrt(6)); 
 + - - 3 æ
è
çç
ö
ø
÷÷- + 
5
2
6
2
5
2
6 3 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 14 
> radnormal(%); 
 - - 
157
4
16 2 3 3 
Ví dụ 2: 
Tìm giá trị của biểu thức 2 1f x x= + - biết x là một nghiệm (thứ nhất) của phương trình 
2 1 0x x- - = . 
+ Xác định nghiệm thứ nhất của phương trình 2 1 0x x- - = bằng lệnh: 
> n1:=RootOf(x^2-x-1,index=1); 
 := n1 ( )RootOf , - - _Z 2 _Z 1 = index 1 
+ Tính giá trị của f khi 1x n= : 
> eval(x^2+x-1,x=n1); 
 + - ( )RootOf , - - _Z 2 _Z 1 = index 1
2
( )RootOf , - - _Z 2 _Z 1 = index 1 1 
+ Hiển thị giá trị cụ thể của kết quả trên bằng lệnh ‘allvalues’: 
> allvalues(%); 
 + - æ
è
çç
ö
ø
÷÷ + 
5
2
1
2
2
5
2
1
2 
Làm gọn kết quả trên: 
> radnormal(%); 
 + 5 1 
3. Hàm evalf dùng để tính giá trị gần đúng của một biểu thức, một phép toán. Kết quả hiển 
thị dưới dạng số thập phân . 
Cú pháp: > evalf( a, n) ; 
hoặc: > evalf[n](a); 
Để hiển thị kết quả của a với n chữ số (bao gồm cả phần thập phân). 
Ví dụ 1: 
Tính giá trị gần đúng của 3 đến 17 chữ số thập phân: 
+ Ta dùng lệnh trong Maple như sau : 
> evalf[18](sqrt(3)); 
1.73205080756887729 
+ hoặc 
> evalf(sqrt(3),18); 
1.73205080756887729 
Ví dụ 2: 
Tính giá trị gần đúng của số p : 
+ Tính gần đúng đến 46 chữ số thập phân: 
> evalf[47](Pi); 
3.1415926535897932384626433832795028841971693994 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 15 
+ Tính gần đúng đến 246 chữ số thập phân: 
> evalf[247](Pi); 
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164\
06286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231\
72535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881\
0975665933446128475648233786783165271202
@Ứng dụng lệnh này để minh họa số Pi là số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn) 
khi dạy bài số thực cho học sinh. Giáo viên có thể lấy một vài số hữ tỉ và số vô tỉ và tính gần 
đúng giá trị của các số đó đến hàng trăm chữ số để học sinh quan sát và rút ra kết luận cần 
đạt được. Rõ ràng, máy tính cầm tay không thực hiện được công việc này. 
* Chú ý: Nếu không khai báo số n thì Maple lấy kết quả mặc định với 10 chữ số (bao gồm cả 
phần thập phân). 
Chẳng hạn: 
> evalf(sqrt(1111)); 
33.33166662 
Ví dụ 3: 
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 2 3 7 0x x- - = . 
+ Giải phương trình : 
> eq:=x^2-sqrt(3)*x-7=0; 
 := eq = - - x2 3 x 7 0 
> solve(eq,{x}); 
,{ } = x + 
3
2
31
2
{ } = x - 
3
2
31
2
+ Tính gần đúng nghiệm đến 13 chữ số (kể cả phần thập phân): 
> evalf[13](%); 
,{ } = x 3.649907585200 { } = x -1.917856777630 
4) Hàm ‘allvalues’ được sử dụng khi muốn hiển thị các kết quả của một phép tính dưới dạng 
cụ thể (căn thức, lũy thừa,) và trực quan. 
Ví dụ 1: 
Tìm tập nghiệm của phương trình 4 1 0x x- - = . 
+ Giải phương trình : 
> Tn:=solve(x^4-x-1=0,x); 
Tn ( )RootOf , - - _Z 4 _Z 1 = index 1 ( )RootOf , - - _Z 4 _Z 1 = index 2, , := 
( )RootOf , - - _Z 4 _Z 1 = index 3 ( )RootOf , - - _Z 4 _Z 1 = index 4,
+ Hiển thị kết quả dưới dạng căn thức: 
> allvalues([Tn]); 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 16 
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
12
æ
è
çççç
æ
è
çççç
 + 
é
ë
êêêêêêê
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 ( ) + 108 12 849
( )/2 3
-
288
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 72 6 ( ) + 108 12 849
( )/1 3
 + + 
ö
ø
÷÷÷÷
æ
è
çççç
( ) + 108 12 849
( )/1 3 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
ö
ø
÷÷÷÷
ö
ø
÷÷÷÷
( )/1 2
12/ ,
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
12
1
12
I
æ
è
çççç
æ
è
çççç
- + 
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 ( ) + 108 12 849
( )/2 3
288
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 72 6 ( ) + 108 12 849
( )/1 3
 - + 
ö
ø
÷÷÷÷
æ
è
çççç
( ) + 108 12 849
( )/1 3 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
ö
ø
÷÷÷÷
ö
ø
÷÷÷÷
( )/1 2
,
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
12
æ
è
çççç
æ
è
çççç
 - 
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 ( ) + 108 12 849
( )/2 3
-
288
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 72 6 ( ) + 108 12 849
( )/1 3
 + + 
ö
ø
÷÷÷÷
æ
è
çççç
( ) + 108 12 849
( )/1 3 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
ö
ø
÷÷÷÷
ö
ø
÷÷÷÷
( )/1 2
12/ ,
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 17 
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
12
1
12
I
æ
è
çççç
æ
è
çççç
- - 
6
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 ( ) + 108 12 849
( )/2 3
288
 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3 72 6 ( ) + 108 12 849
( )/1 3
 - + 
ö
ø
÷÷÷÷
æ
è
çççç
( ) + 108 12 849
( )/1 3 - ( ) + 108 12 849
( )/2 3
48
( ) + 108 12 849
( )/1 3
ö
ø
÷÷÷÷
ö
ø
÷÷÷÷
( )/1 2
ù
û
úúúúúúú
Nhận xét: Nghiệm(gồm cả nghiệm thực và phức) hiển thị quá dài dòng. 
Ta dùng lệnh ‘evalf’ để xem kết quả gần đúng: 
> evalf(%); 
1.220744085 + -0.2481260627 1.033982062I -0.7244919598, , ,[
 - -0.2481260627 1.033982062I ] 
Qua kết quả này ta thấy, phương trình có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm phức. 
Chú ý: Hàm ‘allvalues’ thường kết hợp với hàm ‘RootOf’ để liệt kê và hiển thị các nghiệm 
của một đa thức, biểu thức dưới dạng căn thức, lũy thừa. 
10. Một số hàm lượng giác. 
·Đổi đơn vị: 
* Đổi độ sang radian. 
Đổi góc có số đo a0 sang ‘rađian’. 
Cú pháp: > convert( a*degrees, radians); 
Ví dụ 1: 
+Đổi số đo của góc 0123 sang radian: 
> convert(123*degrees, radians); 
41 p
60
+ Đổi số đo của góc 
012
23
æ ö
ç ÷
è ø
 sang radian: 
> convert((12/23)*degrees, radians); 
p
345
+ Đổi số do của góc 01,27 sang radian: 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 18 
> convert(1.27*degrees, radians); 
0.007055555556 p 
* Đổi radian sang độ. 
Đổi góc có số đo a (rađian) sang ‘độ’. 
Cú pháp: > convert( a , degrees); 
Ví dụ 2: 
+Đổi số đo của góc 15
7
p (rad) sang ‘độ’: 
> convert(15*Pi/7,degrees); 
2700 degrees
7
+ Đổi số đo của góc 5,23 (rad) sang ‘độ’: 
> convert(5.23,degrees); 
941.40 degrees
p 
· Một số hàm lượng giác thường gặp (trong chương trình toán phổ thông). 
Các hàm sin, cosin, tang của một cung (góc) a được khai báo trong Maple với từ khóa tương 
ứng là : > sin(a); > cos(a); > tan(a); 
Trong đó cung (góc) a luôn được đo bởi đơn vị ‘radian’. 
Ví dụ 3: 
+ Để tính 2sin
3
pæ ö
ç ÷
è ø
, ta nhập vào Maple như sau: 
> sin(2*Pi/3); 
3
2
Số ‘p’ trong Maple được khai báo bởi từ khóa ‘Pi’ hoặc ‘pi’. Nếu dùng ‘Pi’ thì Maple sẽ tính 
luôn giá trị của cung. Còn nếu dùng ‘pi’ thì sẽ thế nào, xin quý độc giả xem câu lệnh sau: 
> sin(2*pi/3); 
æ
è
çç
ö
ø
÷÷sin
2 p
3
Kết quả chỉ hiện thị dưới dạng biểu thức (kí hiệu). Do vậy quý độc giả cần chú ý khi sử dụng 
từ khóa của số p. 
+ Tính tan
12
pæ ö
ç ÷
è ø
: 
> bt:=tan(Pi/12); 
 := bt æ
è
çç
ö
ø
÷÷tan
p
12
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 19 
Kết quả hiển thị dưới dạng biểu thức. Để biểu diễn kết quả ở dạng cụ thể ta có thể dùng các 
hàm như sau: 
- Biểu diễn kết quả dưới dạng thập phân dùng hàm ‘evalf’: 
> evalf(bt); 
0.2679491924 
- Biểu diễn kết quả dưới dạng căn thức dùng hàm ‘convert(bt, ‘radical’)’: 
> convert(bt,'radical'); 
 - 2 3 
+ Tính ( )0cos 18 : 
Đầu tiên ta đổi đơn vị sang rađian: 
> a:=convert(18*degrees, radians); 
 := a
p
10
Tiếp theo ta tính cos(a): 
> t:=cos(a); 
 := t æ
è
çç
ö
ø
÷÷cos
p
10
Biểu diễn kết quả dưới dạng căn thức: 
> convert(t,'radical'); 
2 + 5 5
4
11. Biến đổi các biểu thức lượng giác. 
a) Dùng hàm ‘simplify(expr, trig)’ để đơn giản một biểu thức ‘expr’ dạng lượng giác. 
Nếu biểu thức ‘expr’ là một đa thức theo sin(x) và cos(x) thì kết quả của lệnh trên là một 
biểu thức dạng chứa các lũy thừa của sin(x) và cos(x) đã được rút gọn sử dụng kết quả 
2 2sin cos 1x x+ = . 
Kết quả thường có dạng: ( )sin .cos . sinA. Bn mx x x + , trong đó A , B là các đa thức theo 
cos(x). 
Ví dụ 1: 
Biểu diễn biểu thức 2cos2 sinA x x= - theo sin(x) và cos(x): 
+ Nhập biểu thức vào Maple: 
> A:=cos(2*x)-sin(x)^2; 
 := A - ( )cos 2 x ( )sin x 2 
+ Dùng lệnh trên ta được kết quả: 
> A:=simplify(A,trig); 
 := A - 3 ( )cos x 2 2 
+ Nếu muốn phân tích cos 2x (dùng công thức nhân đôi) ta dùng lệnh: 
Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 
Khám phá Maple 11 và Ứng dụng giải toán phổ thông 20 
> A:=simplify(A,[cos(2*x)]); 
 := A - - 2 ( )cos x 2 1 ( )sin x 2 
Ví dụ 2: 
Biến đổi biểu thức 2 3sin .cos cos cosg x x x x= - + thành tích. 
+ Nhập biểu thức vào Maple: 
> g := sin(x)*cos(x)^2-cos(x)^3+cos(x); 
 := g - + ( )sin x ( )cos x 2 ( )cos x 3 ( )cos x 
+ Dùng lệnh ‘simplify_trig để biến đổi: 
> g:=simplify(g,trig); 
 := g ( )sin x ( )cos x ( ) + ( )cos x ( )sin x 
Ví dụ 3: 
Biến đổi biểu thức sau về dạng tích: sin sin 2 sin 3f x x x= + + . 
+ Đối với các phép biến đổi lượng giác chúng ta cần khéo léo sử dụng các hàm một cách 
phù hợp để được kết quả như ý muốn. Trong ví dụ này tôi muốn phân