Toán học - Các phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

 Hà Nội, ngày 23 tháng 3 năm 2008. 
Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 
Email: nguyendunghus@gmail.com 
Số điện thoại: 0968.289158 
Các phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức 
Sau bài viết của bạn Thanh ở TTT2(61), tôi xin được tiếp tục giới thiệu với các bạn một số cách 
đổi biến quan trọng khác. 
Dạng 1. Phép thế Ravi 
Trong các bất đẳng thức 3 biến a,b,c có điều kiện là các cạnh tam giác. Khi đó sẽ tồn tại các số 
thực dương x,y,z sao cho , ,a y z b z x c x y= + = = = + . Các bạn có thể thấy rõ điều đó qua hình 
vẽ sau với tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác: 
y
x x
z
zy
I
B
C
A
Ví dụ 1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
 ( )( )( )abc b c a c a b a b c³ + - + - + - 
Giải: 
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có thể đặt 
, , ; , , 0a y z b z x c x y x y z= + = = = + > . 
Bất đẳng thức trên trở thành: ( )( )( ) 8x y y z z x xyz+ + + ³ 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được: 
( ) ( )( ) 2 .2 .2 8x y y z z x xy yz zx xyz+ + + ³ = 
Dấu đẳng thức đạt được khi và chỉ khi x y z a b c= = Û = = 
Ví dụ 2:(IMO 1968) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
 ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b a b b c b c c a c a- + - + - ³ 
Giải: 
Ta có thể đặt , , ; , , 0a y z b z x c x y x y z= + = = = + > . 
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành 
2 2 2
3 3 3 2 2 2 x y zx z y x z y x yz xy z xyz x y z
y z x
+ + ³ + + Û + + ³ + + . 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, ta được: 
2 2 2
2 ; 2 ; 2x y zy x z y x x
y z x
+ ³ + ³ + ³ 
Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. 
Dạng 2. Đối với một số bất đẳng thức 3 biến a,b,c có bậc lệch nhau hoặc có điều kiện đặc biệt 
giữa các biến số. Ta có thể đặt 1, 1, 1a x b y c z= + = + = + 
 Ví dụ 3:(TTT2) Cho a,b,c là các số thực không âm, chứng minh rằng: 
 ( )2 2 2 2 1 2a b c abc ab bc ca+ + + + ³ + + 
 Giải: 
Đặt 1, 1, 1; , , 1a x b y c z x y z= + = + = + ³ - 
Bất đẳng thức trên trở thành 
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
2 0
x y z x y z x y y z z x
x y z xyz
+ + + + + + + + + + ³ + + + + + + + +
Û + + + ³
Nhận xét rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0xy yz zx x y z= ³ nên trong 3 số , ,xy yz zx có ít nhất 1 số không âm. 
Không mất tính tổng quát, giả sử 0xy ³ . Khi đó: 
 ( ) 2 2 21 0; 2 ; 0xy z x y xy z+ ³ + ³ ³ 
Cộng tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 
 2 2 2 2 0x y z xyz xy+ + + ³ ³ 
Suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 0 1x y z a b c= = = Û = = = 
Ví dụ 4: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 2 2 2x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 
 ( )2 9xy yz zx x y z+ + ³ + + + 
Giải: 
Từ giả thiết suy ra 2x xyz x yz< Þ < , tương tự suy ra 
 2. 1 1xy yz zx z z Þ > 
Hoàn toàn tương tự ta có 1, 1x y> > . 
Do vậy ta có thể đặt 1, 1, 1; , , 0x a y b z c a b c= + = + = + > 
Điều kiện trở thành 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
a b c a b c
a b c a b c abc ab bc ca
+ + + + + = + + +
Û + + + + + + = + + +
Đặt 2 2 2; 3q ab bc ca a b c q a b c= + + £ + + £ + + 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được 
 ( )
3
2
2 2 2 33 2 2
27
q
q q a b c a b c abc ab bc ca q+ + £ + + + + + + = + + + £ + 
Đặt ( )( )
3
23 2 6 3 0
27
pp q p p p= Þ + £ Û - + ³ suy ra 
 ( )( ) ( ) ( ) ( )( )6 6 1 1 1 1 1 1 6p ab bc ca x y y z z x³ Û + + ³ Û - - + - - + - - ³ 
Hay ( )2 9xy yz zx x y z+ + ³ + + + . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3a b c= = = . 
Dạng 3. Một số dạng đổi biến khác: 
1. 2 1xy yz zx xyz+ + + = hoặc 4xy yz zx xyz+ + + = 
Ví dụ 5: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn 2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
 3
4
xy yz zx+ + ³ 
Giải: 
Từ giả thiết, tồn tại các số dương a,b,c sao cho 
 , ,a b cx y z
b c c a a b
= = =
+ + +
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
4
ab bc ca
a c b c b a c a c b a b
+ + ³
+ + + + + +
Quy đồng bất đẳng thức trên 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 2
4 3
6
0
ab a b bc b c ca c a a b b c c a
ab a b bc b c ca c a abc
a b c b c a c a b
+ + + + + ³ + + +
Û + + + + + ³
Û - + - + - ³
Luôn đúng. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
2
a b c x y z= = Û = = = 
Ví dụ 6( Ấn Độ 1996): Cho , , 0, 4x y z xy yz zx xyz³ + + + = . Chứng minh rằng 
 x y z xy yz zx+ + ³ + + 
Giải: 
Tương tự như ví dụ trên nhưng ở đây ta đặt 2 2 2, ,a b cx y z
b c c a a b
= = =
+ + +
Bất đẳng thức trên trở thành 
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2a b c ab bc ca
b c c a a b c a c b a b a c b a b c
+ + ³ + +
+ + + + + + + + +
Quy đồng 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
0
a a b a c b b c b a c c a c b ab a b bc b c ca c a
a a b a c b b c b a c c a c b
+ + + + + + + + ³ + + + + +
Û - - + - - + - - ³
Đây chính là bất đẳng thức Schur đã được nhắc đến ở THTT số tháng 6 năm 2006. 
2. 2x y z xyz+ + + = 
Ví dụ 7. Cho x,y,z>0 và 2x y z xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
 ( )2 6xy yz zx x y z+ + £ + + + 
Giải: 
Từ giả thiết ta có thể đặt , ,b c c a a bx y z
a b c
+ + +
= = = 
Khi đó bất đẳng thức trên tương đương với 
 2 3b c c a a b b c c a a b
a b c a b c
+ + + + + +æ ö+ + £ + + +ç ÷
è ø
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta được 
( ) 1 1 1 2 3b c c a a b b c c a a ba b b c c a
a b c a b c a b c
+ + + + + +æ ö æ ö+ + £ + + + + + + + = + + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2a b c x y z= = Û = = = . 
Nhận xét: Còn rất nhiều phép đổi biến khác trong chứng minh bất đẳng thức và các cách chứng 
minh bằng phép đổi biến trên không phải là duy nhất mà còn nhiều cách chứng minh khác hay 
hơn, độc đáo hơn nhưng tôi xin được nhấn manh đến sự tự nhiên của các cách đổi biến trên. Kết 
thúc bài viết, xin mời các bạn làm 1 số bài tập vận dụng sau: 
Bài tập 1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng 
a) 3 3 3 2 2 23 2 2 2a b c abc ab bc ca+ + + ³ + + 
b) 2 2 2 2 2 23 3 3 3 2 2 2a b b c c a abc ab bc ca+ + ³ + + + 
Bài tập 2 (Chào IMO, THTT số 355): Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
 ( ) ( )2 2 22 8 5xyz x y z x y z+ + + + ³ + + 
Bài tập 3. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn 2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
 1
8
xyz £ 
Bài tập 4. Cho x,y,z>0 và 2x y z xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
a) ( )2xy yz zx x y z+ + ³ + + 
b) 3
2
x y z xyz+ + £ 
Bài tập 5 (Nesbitt). Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
 9
2
b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
+ + +
+ + ³ + + +
+ + +
Bài tập 6. Cho x,y,z>0 thỏa mãn ( )2xy yz zx x y z+ + = + + . Chứng minh rằng 
 2xyz x y z£ + + +