Toán học - Chuyên đề 1: Các yếu tố tam giác

Bài tập luyện thi GV: Nguyễn Văn Trưởng
Trang 1
Chuyên đề 1: CÁC YẾU TỐ TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G( -2,-1) cạnh AB có phương trình : 4x + y + 15 = 0; (AC): 2x + 5y + 3= 0
a/ Tìm toạ độ đỉnh A và trung điểm M của BC. b/ Tìm toạ độ đỉnh B và phương trình cạnh BC.
Bài 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình: (d1): y – 1
= 0 và (d2) x – 2y + 1 = 0.
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( -4, -5) và hai đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại có
phương trình : 5x + 3y – 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0.
Bài 4: Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có
phương trình: 2x – 3y + 12 = 0; 2x + 3y = 0.
Bài 4: Cho tam giác ABC có B(2;-7), đường cao AH: 3x + y + 7 = 0, trung tuyến (CI): x + 2y + 7 =0. Viết phương
trình ba cạnh của tam giác.
Bài 5: Cho tam giác ABC với 


5
7
;
5
4A và hai đường phân giác là:
 (d1): x – 2y – 1 =0, (d2): x + 3y + 1= 0. Viết phương trình cạnh BC.
Bài 6 :Cho ABC cân tại B có A(1; -1); B(3;5); C thuộc đường thẳng (d):2x – y = 0. viết phương trình AB và AC.
Bài 7 : Cho  ABC có A(1 ; 0), hai đường cao BH : x – 2y + 1 =0 ; CK : 3x + y – 1 = 0 tính diện tích tam giác ABC.
Bài 8 : Cho tam giác có trung điểm một cạnh là M(-1 ;1) còn hai cạnh kia có phương trình : x + y – 2 =0 ; 2x + 6y + 3
=0. xác định các đỉnh của tam giác.
Bài 9 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(2 ;-1), phương trình hai đường cao qua B và C là 2x – y + 1 = 0 ; 3x + y + 2 =0.
Viết phương trình đường trung tuyến qua A.
Bài 10 : Cho A(1 ;1), đường cao BH : -2x + y – 8 =0, Đường cao CK : 2x + 3y – 6 =0.Viết phương trình đường cao
AL. Tìm B và C.
Bài 11 : Cho tam giác ABC có B(3 ;5), C(4 ;-3), đường phân giác của góc A có phương trình là :
x + 2y– 8= 0. Viết phương trình cạnh AB và AC.
Bài 12 : Biết phương trình hai cạnh của tam giác là : 5x – 2y + 6 =0 và 4x + 7y – 21 =0. viết phương trình cạnh thứ 3
biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.
Bài 13 : Cho tam giác ABC có A(2 ;1), đường cao BH : x – 3y – 7 =0 trung tuyến CM :x + y+1= 0. Tìm B,C
Bài 14 : Cho tam giác ABC cân tại A trọng tâm G 


3
1
;
3
4
, BC : x – 2y – 4 =0, BG : 7x – 4y – 8 =0. Tìm A,B,C
Bài 15 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B( -4 ;-5) và hai đường cao có phương trình lần lượt là : 5x
+ 3y – 4 =0 , 3x + 8y + 13 = 0
Bài 16 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2 ; -1), đường cao và đường phân giác trong qua hai
đỉnh A và C lần lượt có phương trình là :3x – 4y + 27 = 0, x + 2y – 5 =0
Bài 17 : lập phương trình các cạnh của tam giác nếu A(1 ;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x – 2y + 1=
0 và y - 1= 0.
Bài 18: cho tam giác ABC có: AC: -3x+4y-1=0 BC: x-2y-1=0
Và điểm M( 3 ; 1) là trung điểm AB. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 19: lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai trung tuyến CM: x-2y+1=0 và BN: x+y-2=0.
Bài 20: ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I (–2; 0) và hai đường thẳng d1
: 2x – y + 5 = 0, d2 : x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần
lượt tại A, B sao cho :
  IBIA 2 .
Bài 21:Cho tam giác ABC với A 

 3;
4
7
; B(1;2); C(4; -3). Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác.
Chuyên đề 2: ĐƯỜNG TRÒN:
Vấn đề 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
Bài 1: Cho tam giác ABC có A( 0;2), B(-2;2); C( 4;-2). Gọi H là chân đường cao kẽ từ B. gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và AC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N.( KA năm 2007)
Bài tập luyện thi GV: Nguyễn Văn Trưởng
Trang 2
Bài 2: Cho đường tròn (C): (x -1)2 + ( y – 2)2 = 4 và đường thẳng (d): x- y - 1=0. Viết phương trình đường tròn (C’)
đối xứng với (C) qua đường thẳng (d). tìm giao điểm của (C) và (C’).( KD năm 2004)
Bài 3: Cho điểm A( -1; 3); B( 1;1); M( 2;4) và đường thẳng (d): y = 2x.
a/ Tìm C thuộc (d) sao tam giác ABC cân tại C.
b/ Viết phương trình đường tròn đi qua A,B, M
Bài 4: Cho A(-1;7); B( 4;-3); C( -4;1). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 5: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 20 =0 và A(3;0). Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung của
đường tròn qua A khi :
a/ Dây cung có độ dài lớn nhất.
b/ Dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Bài 6 : Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O và cắt đường tròn : (x-1)2 + (y + 3)2 = 25 thành một dây cung
có độ dài bằng 8.
Bài 7 : Cho A(3 ;1), B(0 ;7), C(5 ;2).
a/ Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó.
b/ Giả sử M là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh khi đó trọng tâm G của tam giác
MBC chạy trên một đường tròn. Viết phương trình của đường tròn đó.
Bài 8: Cho họ đường tròn (Cm) x2+ y2 + 4mx – 2my + 2m + 3 = 0.
a/ Định m để (Cm) là đường tròn.
b/ Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm).
Bài 9: Cho đường tròn (Cm) có phương trình x2 + y2 + (m +2)x – ( m + 4)y + m +1 =0
a/ Tìm m để (Cm) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
b/ Chứng minh (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định.
Bài 10: Cho họ đường cong (Cm) x2 + y2 + 2mx – 6y + 4 – m =0
a/ Chứng minh (Cm) là đường tròn với mọi m. Hãy tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đổi.
b/ Với m =4. Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d) 3x – 4y + 10 =0 và cắt đường tròn tại
2 điểm A, B sao cho AB = 6.
Bài 11 :Cho đường tròn (C): x2 + y2– 4x–6y–12 = 0 có tâm I, bán kính R. Tìm M thuộc (d) : 2x – y + 3=0 mà MI = 2R.
Bài 12 : Viết phương trình đường tròn :
a/ Qua A(-2 ;4) ; B( 5 ;5) và có tâm nằm trên đường thẳng (d) : 4x – 5y - 3=0
b/ Tâm I( 3 ;2) và cắt (d) : x – 3y + 8 =0 theo một dây cung có độ dài 10
c/ Qua A(1 ;-2) và các giao điểm của (d) : x – 7 y + 10 =0 với đường tròn : (x -1)2 + ( y + 2)2 = 25
VẤN ĐỀ 2 : PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN-PHƯƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN
Bài 1 : Cho đường tròn (C) : x2 +y2 – 2x – 6y + 6 =0. Gọi T1, T2 là các tiếp tuyến kẽ từ M (-3 ;1) đến (C). Viết phương
trình đường thẳng qua T1T2
Bài 2 : Cho đường tròn (Cm) : x2 + y2 – 8x – 6y + 21 – m2 = 0
a/ Chứng minh I( 5 ;2) luôn luôn nằm trong đường tròn (Cm)
b/ Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho IM = IN.
Bài 3 : Viết phương trình đường tròn qua O(0 ;0) ; A(-1 ;1) và tiếp xúc với đường thẳng d : x – y + 1 + 2 = 0
Bài 4 : Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d1) 4x + 3y – 2 =0 và tiếp xúc hai đường thẳng
(d2) : x + y + 4 = 0 và d3 : 7x – y + 4 = 0
Bài 5 : Cho đường tròn (C) : ( x-1)2 +( y+ 2)2 = 9 và d : 3x – 4y + m =0. Tìm m để trên (d) có duy nhất điểm P mà từ
đó vẽ được hai tiếp tuyến PA, PB trên (C) sao cho tam giác PAB đều.
Bài 6 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x - 4y = 0 và (d) : x – y + 1= 0. Tìm M thuộc d sao cho từ M vẽ hai đường
thẳng tiếp xúc với (C) tại A, B mà tam giác MAB đều.
Bài 7 : Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc d : 2x + y = 0 và tiếp xúc với  :x -7y+ 10 = 0 tại A(4 ;2)
Bài 8 : Cho hai đường thẳng (d1): 3x + 4y + 5 =0 và (d2) 4x – 3y – 5 =0, viết phương trình đường tròn có tâm nằm
trên đường thẳng ( ) x- 6y – 10 =0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2)
Bài 9 : Cho đường tròn (C) : x2+ y2 – 2x – 2y + 1= 0. Tìm M thuộc (d) : x – y + 3= 0 sao cho đường tròn tâm M có bán
kính gấp đôi đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với (C).
Bài 10 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1):x2 + y2 – 10x =0, (C2) : x2+ y2 + 4x – 2y -20= 0
Bài tập luyện thi GV: Nguyễn Văn Trưởng
Trang 3
Chuyên đề 3: BÀI TẬP VỀ CÔNIC
Bài 1/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp:
2 2 2 2
1; 1
5 4 4 5
x y x y    ( ĐH Bách khoa HN)
Bài 2/ Xác định a2 , b2 biết elíp (E)
2 2
2 2 1;
x y
a b
  có các tiếp tuyến 3x– 2y - 20 =0; x +6y-20 = 0 (ĐH ngoại thương HN)
Bài 3/ Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông tiếp xúc với elíp
2 2
1;
6 3
x y  (E) (ĐH kiến trúc
TPHCM )
Bài 4/ Trong mp với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho ( E)
2 2
1;
16 9
x y  xét điểm M chuyển động trên tia Ox và
điểm N chuyển động trên tiaOy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). xác định tọa độ M, N để đoạn thẳng
MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. ( ĐH Khối D năm 2002)
Bài 5/ Cho (E) 9x2 + 25y2 =225. viết phương trình đường thẳng đi qua M (1,1) cắt ( E) tại hai điểm M1,M2 sao cho M
là trung điểm của M1M2. ( ĐH Nông nghiệp)
Bài 6/ Trong mpoxy cho C(2;0) và (E)
2 2
1;
4 1
x y  . Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối
xứng với nhau qua trục hoành và t tam giác ABC là tam giác đều. ( GĐH Khối D 2005)
Bài 7/ Cho (P) y2 =16x. viết phương trình tiếp tuyến của (P)
a/ Đi qua điểm A(1; -4).
b/ vuông góc với đường thẳng ( d) 2x – y + 5 = 0.( ĐH luật TPHCM)
Bài 8/ cho parabol ( P) y2 = 4x.
a/ CMR từ điểm M tùy ý thuộc đường chuẩn của parabol có thể kẽ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (P) .
b/ Gọi T1,T2 là hai tiếp điểm cuat hai tiếp tuyến nói trên. CMR đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định.( ĐH
Ngoại ngữ)
Bài 9/Lập phương trình các tiếp tuyến chung của (E)
2 2
1;
8 6
x y  và (P) y2 = 12x. ( ĐH dược HN)
Bài 10/ viết phươngtrình đường tròn đi qua giao điểm của (E1)
2 2
1;
9 4
x y  và (E2)
2
2 1;
16
x y 
Bài 11/ cho (E)
2 2
1 ;
2 5 1 6
x y 
a/ Xác định tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và tâm sai của (E).
b/ Viết pt tiếp tuyến của (E) tại M0 5 3( ; 2)
2
c/ Tìm tọa độ M nằm trên ( E) sao cho MF1 = 4MF2 (F1;F2 là hai tiêu điểm của ( E))( ĐH dân lập Dtân)
Bài 12/ Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai elip biết(E1)
2 2
1;
36 9
x y  ; và (E2)
2 2
1;
9 36
x y  ( Đh sư phạm hn)
Bài 13/ a/Tìm tọa độ trực tâm của ytam giác ABC, biết tọa độ các đỉnh A( -1;2) B(5;7), C(4; -3).
b/ Cho (H) x2 – y2 = 8. Viết phương trình chính tắc của ( E) đi qua điểm A (4; 6) và có hai tiêu điểm trùng với hai tiêu
điểm của hypebol đã cho ( ĐH giao thông vận tải).
Bài 14/ Trong mp Oxy cho (P) y2 = 4x và M thay đổi trên đt (D) x = -1
a/ Tìm tọa độ tiêu điểm đường chuẩn ( P). vẽ (P).
b/ CHR từ M luôn kẽ được 2 tiếp tuyến (D1) ;(D2) đến (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
c/ Gọi M1; M2 lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến D1, D2 ( ở câu b). tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN. (
ĐH Ytế).
CHUYÊN ĐỀ : BÀI TẬP VỀ ELIP
Bài 15:Cho Elip 12
2
2
2

b
y
a
x (a>b>0). Gọi F1, F2 là các tiêu điểm Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc Elip ta đều
có.
a/ MF1.MF2 +OM2 = a2 + b2
b/ (MF1 –MF2)2 = 4(OM2 – b2)
Bài 16: Cho hai điểm cố định F1, F2 sao cho F1F2 = 8
Bài tập luyện thi GV: Nguyễn Văn Trưởng
Trang 4
a/ Tìm tập hợp những điểm M sao cho tam giác MF1F2 có chu vi bằng 18.
b/ Lập phương trình chính tắc của tập hợp ấy.
Bài 17: Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và điểm M(1;1). Lập phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại 2 điểm
M1,M2 sao cho MM1 = MM2
Bài 18: Cho elip (E): 1
49
22
 yx xem các điểm A( -3;0), M(-3;a), B( 3;0) , N( 3;b) trong đó a, b là hai số thay đổi.
a/ Xác định toạ độ giao điểm I của các đường thẳng AN và BM.
b/ Chứng tỏ rẳng để đường thẳng MN tiếp xúc với elip (E) điều kiện cần và đủ là a,b thoả mãn điều kiện a.b =4
c/ Với a, b thay đổi sao cho MN luôn tiếp xúc với (E) hãy tìm quỹ tích điểm I ( ĐH Y TP.HCM)
Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): x2 + 4y2 = 4 và hai điểm M( -2;m) và N(2;n)
a/ Gọi A1 và A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). hãy viết phương trình của đường thẳng A1N và A2M. xác định toạ độ
giao điểm của chúng.
b/ Cho MN thay đổi nhưng luôn luôn tiếp xúc với (E). Tìm quỹ tích của I. ( ĐH tổng hợp TP. HCM)
Bài 20: a/ Viết phương trình của elip (E) biết hai tiêu điểm F1(- 0;10 ), và F2( 10 ,0), độ dài trục lớn là 82 .
b/ Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) tại điểm M cắt hai trục toạ độ tại A, B. Tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tam
giác OAB nhỏ nhất.
Bài 21: Cho elip 1
48
22
 yx và đường thẳng (d): 022  yx , đường thẳng (d) cắt elip tại hai điểm B và C.
Tìm toạ độ điểm A trên elip sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. ( đh ngoại Thương TP.HCM).
Bài 22: Cho elip (E): 1
818
22
 yx tìm M nằm trên (E) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (D): 2x – 3y + 25
= 0 ngắn nhất, tính khoảng cách đó.
Bài 23:Từ điểm A(10; -8) ta dựng các tiếp tuyến AM và AN với elip (E): 16x2 + 25y2 – 400 = 0. lập phương trình của
đường thẳng d chứa dây cung MN.
Bài 24: Cho elip (E): 1
916
22
 yx và điểm I(1;2), viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I biết rằng đường thẳng
(d) cắt elip (E) tại hai điểm A,B mà I là trung điểm đoạn thẳng AB.
Bài 25: Cho elip (E): 1
916
22
 yx có trục lớn AA’ = 8. M là một điểm chuyển động trên elip. Tìm quỹ tích trực tâm
H của tam giác MAA’.
Bài 26: Cho elip (E): 1
850
22
 yx . Một đường thẳng tiếp xúc với elip (E) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tạ A,B.
Định vị trí của M sao cho tam giác OAB có diện tích bé nhất.
Bài 27: a/ Cho elip (E): 1
49
22
 yx . Hãy chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm của elip tới một
tiếp tuyến bất kỳ của nó là một hằng số.
b/ Hãy viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của elip đã cho với elip 1
116
22
 yx
Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho elip : 1
916
22
 yx
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với
(E). xác định toạ độ M, N để đoạn Mn có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 30: Cho elip (E): 9x2 + 25y2 = 225 và A(-5;0)
a/ Tìm toạ độ các tiêu điểm và tâm sai của elip. Vẽ elip
b/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và cắt elip tại hai điểm M1, M2 sao cho M là trung điểm của
M1M2.
c/ Giả sử M là điểm di động trên elip. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên Oy. Giả sử AH cắt OM tại P. CMR
khi M thay đổi trên elip thì P luôn chạy trên một đường cong (C) cố định.