Toán học - Chuyên đề 11: Ứng dụng của đạo hàm tính đơn điệu của hàm số

Chuyeân ñeà 11: ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM 
 TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ 
Toùm taét giaùo khoa
 Ñònh nghóa y f )(x: Cho haøm soá =
[ ]
xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) 
[ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔ñnb)(a; treân (taêng) bieánñoàng
• 
• [ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔ñnb)(a; treân (giaûm) bieánnghòch
 69
x
y
x
y
1x 2x
)( 1xf
)( 2xf
a bO
)(f
(f
2x
)1x
a b1x 2x
)(:)( xfyC =
1. Ñieàu kieän caàn cuûa tính ñôn ñieäu: 
 Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) 
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇒ b)(a;x 'f b)(a; khoaûngtreân (taêng) bieánñoàng f 0)(x
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇒ b)(a;x 0)('f xb)(a; khoaûngtreân (giaûm) bieánnghòch f
2. Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu: 
 Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) [ ]b)(a; treân (taêng) bieánñoàngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀> ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • 
• [ ]b)(a; treân (giaûm) bieánnghòchb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀< ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 
• [ ]b)(a; treân ñoåi khoângb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 
x a b
)(' xf
)(xf
+ x a b)(' xf
)(xf
−
 Ñònh lyù 3: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) 
 [ ]b)(a; treân (taêng) bieánñoàng
b)(a; cuûa ñieåm haïnhöõu
 soámoät taïi raxaûy chæ thöùc ñaúng
b)(a;x 0(x)'f
 f ⇒
∈∀≥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 [ ]b)(a; treân (giaûm) bieánnghòch
b)(a; cuûa ñieåm haïnhöõu
 soámoät taïi raxaûy chæ thöùc ñaúng
b)(a;x 0(x)'f
 f ⇒
∈∀≤
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Minh hoïa ñònh lyù: 
 Ñònh lyù 4
 70
: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) 
• [ ] f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; treân (taêng) bieánñoàng
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; treân (giaûm) bieánnghòch f 
• [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; treân ñoåi khoâng f 
x a b
)(' xf
)(xf
+
0x
0 +
x a b
)(' xf
)(xf
−
0x
0 −
3. Phöông phaùp xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá: 
y f )(x= ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Muoán xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá 
Böôùc 1: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá : D=? 
Böôùc 2: Tính vaø xeùt daáu )(' xf )(' xf
Böôùc 3: Döïa vaøo ñònh lyù ñieàu kieän ñuû ñeå keát luaän. 
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: 
 1) xxy −= 4 2) 
12
3
+
+=
x
xy 3) 
12
2
−
=
x
xy 
 4) 5) xxey +−= 2
x
xey = 6) xxy ln2
2
1 −= 
 7) 
x
xy
ln
= 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= 
Baøi 2: Cho haøm soá 23)12(223
3
1)( +−+++−== axaxxxfy (1). Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán treân R 
Baøi 3: Tìm m ñeå haøm soá 4)3(2)1(3
3
1 −++−+−= xmxmxy ñoàng bieán treân khoaûng (0;3) 
Baøi 4: Cho haøm soá 
3
2
)32(2)1(3
3
1
)( −−+−+== xmxmxxfy (1) 
 a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân R 
 b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân khoaûng (1;+∞) 
Baøi 5: Cho haøm soá 
1
2)(
−
++==
x
m
xxfy (1) 
 Tìm a ñeå haøm soá (1) ñoàng bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù 
Baøi 6: Cho haøm soá 
1
13)2(22
)(
−
+−++−==
x
mxmx
xfy (1) 
 Tìm a ñeå haøm soá (1) nghòch bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù 
Baøi 7: Cho haøm soá : 
mx
mxmxy −
++−+−= 1)1(2
2
. Ñònh m ñeå haøm soá ñoàng bieán trong khoaûng (1;+∞ ) 
Baøi 8: Chöùng minh raèng: vôùi moïi xtgxx 3sin2 >+ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
;0 πx 
Baøi 9: Chöùng minh raèng: 
3
3x
xtgx +> vôùi moïi ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
;0 πx 
Baøi 10: Chöùng minh raèng: xtgx π
4≤ vôùi moïi ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈
4
;0
π
x 
Baøi 11: Cho haøm soá 3 21 (2 1) 2
3
y x ax a x a= − + − − + 
 Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán trong khoaûng (-2;0) 
Baøi 12: Cho haøm soá (1) 123 ++−= xmxxy
 Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá (1) nghòch bieán trong khoaûng (1;2) 
Baøi 13: Cho haøm soá 
2 1
1
x mxy
x
+ −= − 
 Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (-∞ ;1) vaø (1;+∞ ). 
Baøi 14: Cho haøm soá 
2 2
2
x x my
x
− += − 
 Xaùc ñònh m ñeå haøm soá nghòch bieán treân [-1;0]. 
Baøi 15: Cho haøm soá 
2 25 6
3
x x my
x
+ + += + 
 Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (1;+∞ ). 
Baøi 16: Cho haøm soá 
2 (2 3) 1
( 1)
x m x my
x m
+ − + −= − − 
 Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0;+∞ ) 
 71
ÖÙNG DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ÑEÅ 
CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 
GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH 
******** 
 Cô sôû ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø duøng ñaïo haøm ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá vaø döïa vaøo 
chieàu bieán thieân cuûa haøm soá ñeå keát luaän veà nghieäm cuûa phöông trình , baát phöông trình, heä phöông trình . 
CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 
---------- 
 I. Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a,b). 
 a) f taêng ( hay ñoàng bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) 
 b) f giaûm ( hay nghòch bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 f(x2) 
II. Caùc tính chaát : 
 1) Tính chaát 1: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng (hoaëc giaûm) treân khoaûng (a,b) ta coù : 
 f(u) = f(v) u = v (vôùi u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 
 72
 2) Tính chaát 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng treân khoaûng (a,b) ta coù : 
 f(u) < f(v) u < v (vôùi u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 
 3) Tính chaát 3: Giaû söû haøm soá y = f(x) giaûm treân khoaûng (a,b) ta coù : 
 f(u) v (vôùi u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 
 4) Tính chaát 4: 
 Neáu y = f(x) taêng treân (a,b) vaø y = g(x) laø haøm haèng hoaëc laø moät haøm soá giaûm 
 treân (a,b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm thuoäc khoûang (a,b) 
 *Döïa vaøo tính chaát treân ta suy ra : 
 Neáu coù x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nghieäm duy nhaát treân (a,b) 
BAØI TAÄP AÙP DUÏNG 
Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : 
 1) 11x41x4 2 =−+− 
 2) xxx 2)32()32( =++− 
 3) xlog)x1(log 7
3
2 =+ 
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau: 
 1) 2xx1x )1x(22
2 −=− −−
2) 2x3x)
5x4x2
3xx(log 2
2
2
3 ++=++
++ 
Baøi 3 : Giaûi caùc heä : 
 1) vôùi x, y ⎩⎨
⎧
π=+
−=−
2y8x5
yxgycotgxcot ∈ (0,π) 
 2) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+−=−
2yx
)2xy).(xy(22
22
yx
Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau. 
 1) 5x + 12x > 13x
 2) x (x8 + x2 +16 ) > 6 ( 4 - x2 ) 
Baøi 5 : Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : 
 1) ex > 1+x vôùi x > 0 
 2) ln (1 + x ) 0 
 3) sinx 0 
 4) 1 - 
2
1 x2 < cosx vôùi x 0 ≠
------Heát------- 
 73
CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ 
Toùm taét giaùo khoa
I. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b) 
 74
x
y
( )a b0xO
)( 0xf
)(xf
)(:)( xfyC =
x ( )
x
y
O
a b0xx
)(xf
)( 0xf
)(:)( xfyC =
• 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∈∀<⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) 0x
ñn
f soá haømcuûa ÑAÏICÖÏC ñieåmlaø 
• 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∈∀>⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) 
n
 0x
ñ
f soá haømcuûa TIEÅU CÖÏC ñieåmlaø 
II.Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò: 
 Ñònh lyù Fermat : Giaû söû y=f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø );(0 bax ∈ 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ =⇒ 0)0('f x
0x taïi trò cöïcñaït f
0x taïi haømñaïo coù f
 YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh lyù: 
Neáu haøm soá ( )y f x= coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong 
(C): ( )y f x= taïi ñieåm M(x0,f(x0)) phaûi cuøng phöông vôùi Ox 
III. Ñieàu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöcï trò: 
 1) Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm treân moät laân caän cuûa ñieåm x0 ( coù theå tröø 
 taïi ñieåm x0) 
• 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
+ 0
x taïi ÑAÏICÖÏCñaït f
- sang töø daáu ñoåi'f
maø0x qua ñi x khiNeáu 
 )(
x
• 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⇒
+− 0
x taïi TIEÅU CÖÏCñaït f
 sang töø daáu ñoåi'f
maø0x qua ñi x khiNeáu 
 )(
x
Baûng toùm taét: 
x a b
)(' xf
)(xf
+
0x
0−
CT
x a b
)(' xf
)(xf
+
0x
0 −
CD
2) Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc tôùi caáp hai taïi x0 vaø f'(x0)=0, f''(x0)≠0 
• ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⇒< 0x taïi ÑAÏICÖÏCñaït f''f Neáu 0)0( x
• ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⇒> 0x taïi TIEÅU CÖÏCñaït f''f Neáu 0)0( x
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 
Baøi 1: Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá: 
 1) xxy −= 4 2) 
12
3
+
+=
x
xy 3) 
12
2
−
=
x
xy 
 4) 5) xxey +−= 2 x
xey = 6) xxy ln22
1 −= 
 7) x
xy ln= 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= 
Baøi 2: Cho haøm soá . Tìm m ñeå y ñaït )12(2)142(2)1(23 +−+−+−+= mxmmxmxy
 cöïc ñaïi, cöïc tieåu taïi hai ñieåm x1, x2 thoûa maõn ñieàu kieän )21(2
1
2
1
1
1 xxxx +=+ 
Baøi 3: Cho haøm soá 1
22
−
−+= mx
mxxy . Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu 
 vôùi hoaønh ñoä thoûa maõn 21421 xxxx =+ 
Baøi 4: Tìm m ñeå haøm soá mx
mxxy +
++= 12 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 
Baøi 5: Giaû söû haøm soá )(
)()( xv
xuxf = ñaït cöïc trò taïi x0. Chöùng minh raèng neáu 
 thì 0)0(
' ≠xv
)0(
'
)0(
'
)0( xv
xu
xf = 
 AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: 2
532
+
++= x
xxy 
Baøi 6: Cho haøm soá . Chia f(x) cho fdcxbxaxxf +++= 23)( '(x), ta ñöôïc: 
 βα +++= xBAxxfxf )).((')(
 Giaû söû f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 Chöùng minh raèng : βα += 0)0( xxf 
 AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: 23233 +−−= xxxy
 75
Baøi 7: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá xmxy
1+= (1) 
 Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc trò vaø khoaûng caùch töø ñieåm cöïc tieåu cuûa (Cm) 
 ñeán tieäm caän xieân cuûa (Cm) baèng 
2
1 
Baøi 8: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá 1
1)1(2
+
++++= x
mxmxy (1) 
 Chöùng minh raèng vôùi m baát kyø, ñoà thò (Cm) luoân luoân coù ñieåm cöïc ñaïi, 
 ñieåm cöïc tieåu vaø khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 20 
Baøi 9: Cho haøm soá 
mx
mxxy +
++= 1
2
. Tìm m sao cho haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1 
Baøi 10: Cho haøm soá 2)12(
3
1 23 +−−+−= mxmmxxy 
 Tìm m sao cho haøm soá coù hai cöïc trò coù hoaønh ñoä döông 
Baøi 11: Cho haøm soá 
1
2
+
++=
x
mxxy (1) 
 Xaùc ñònh m sao cho haøm soá (1) coù hai giaù trò cöïc trò traùi daáu nhau. 
Baøi 12: Cho haøm soá (1) 4)32(3 223 +−++−= xmmmxxy
 Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ôû veà hai phía cuûa truïc tung 
Baøi 13: Cho haøm soá : 3( ) 3y x m x= − −
 Xaùc ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0. 
Baøi 14: Cho haøm soá : 4 2 2( 9) 1y mx m x= + − + 0
 Tìm m ñeå haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò. 
Baøi 15: Cho haøm soá : 3 2 2 33 3(1 ) 2y x mx m x m m= − + + − + − 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá . 
Baøi 16: Cho haøm soá 
2
1
x mxy
x
+= − 
 Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi ,cöïc tieåu . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc 
 trò cuûa ñoà thò haøm soá baèng 10. 
Baøi 17: Cho haøm soá 
2 2
1
x mxy
mx
+ −= − 
 Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi , cöïc tieåu vôùi hoaøng ñoä thoaû maõn 1 2 14 . 2x x x x+ = 
 76
 GTLN VAØ GTNN CUÛA HAØM SOÁ 
Toùm taét giaùo khoa
1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y f )(x= xaùc ñònh treân D 
• Soá M ñöôïc goïi laø GTLN cuûa haøm soá neáu: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∈
∈∀≤
MD
Mxf
) 
Dx )(
0f(x cho sao0x taïi Toàn
 Kyù hieäu: y
Dx
MaxM ∈= 
• Soá m ñöôïc goïi laø GTNN cuûa haøm soá neáu: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∈
∈∀≥
mD
xf
) 
Dx m)(
0f(x cho sao0x taïi Toàn
 Kyù hieäu: y
Dx
m ∈= min 
0x O
M
)(xf
x
x
y
0x
)(:)( xfyC =
m
D
 Minh hoïa: 
2. Caùc phöông phaùp tìm GTLN & GTNN cuûa haøm soá )(xfy = treân D 
a) Phöông phaùp 1: Söû duïng baát ñaúng thöùc 
 Ví duï 1: Tìm GTLN vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá : 
x
xy 2+= vôùi x > 0 
 Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : xxy −+−= 42 
b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa pt hoaëc heä phöông trình 
 Ví duï: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 
22
32
++
+=
xx
xy 
b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñaïo haøm, laäp BBT cuûa haøm soá f treân D roài suy ra keát qua 
 Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa haøm soá : 4334 xxy −=
 Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : 
x
xy 22 += vôùi x > 0 
 77
 Ví duï 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : xxy −+−= 42 
 Ví duï 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : x-2xsin=y treân ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2;2
ππ 
 Ví duï 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
cosx2
sinx
+=y treân [ ]π;0 
 Ví duï 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 22 xxy −+= 
 Ví duï 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
2
12cossin +−= xxy 
 Ví duï 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
 )8cos4(cos
2
1)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+= 
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 
 vôùi xxxxy 922334 +−−= ]2;2[−∈x 
Baøi 2: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
 xxy −= 2sin treân ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2;2
ππ 
Baøi 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
 xexy .2= treân ]2;3[− 
Baøi 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : = −y 5cosx cos5x treân π π−[ ;4 4] 
Baøi 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 
22
32
++
+=
xx
xy 
Baøi 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 2312 xxy −+= 
Baøi 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 24)2( xxy −+= 
Baøi 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 
 12)3( +−= xxy vôùi ]2;0[∈x 
Baøi 9: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : 
+ += +
22cos cos 1
cos 1
x xy x 
Baøi 10: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá 
 π⎡ ⎤⎣ ⎦= − 4 32sin sin treân ñoaïn 0;3y x x 
Baøi 11: Tìm GTNN cuûa haøm soá : 
3 322 xxy −= treân ñoaïn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 3;2
1 
 78
Baøi 12: Cho phöông trình vôùi . Tìm a ñeå nghieäm lôùn 013)62(2 =−+−+ axax 1≥a
 cuûa phöông trình ñaït giaù trò lôùn nhaát. 
Baøi 13: Cho haøm soá 1
242)1(2
−
−+−+−= x
mmxmxy (1) 
 Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá coù cöïc trò. Tìm m ñeå tích caùc giaù trò 
 cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát 
Baøi 14: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
 xxxxxf 2sin32)cos(sin222cos)( −++=
Baøi 15: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø beù nhaát cuûa haøm soá sau : 
 = + +2 2y 4cos x 3 3sinx 7sin x 
Baøi 16: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : 
1sin2sin
1sin
++
+=
xx
xy 
Baøi 17: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 
 = + − −12(1 sin2 cos4 ) (cos4 cos8 )2y x x x x 
Baøi 18: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: = + +3 32(sin cos ) 8sin .cosy x x x x 
Baøi 19: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : 174sin4)sin1(8
1 ≤+−≤ xx Rx∈∀ 
--------------------------------Heát---------------------------------- 
 79