Toán học - Chuyên đề 15: Hình học giải tích trong không gian

Chuyên đề 15: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG 
 KHÔNG GIAN 
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ 
 117
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian
• x'Ox : trục hoành 
O 
z
'x
y
x
'y 3
eK
1e
K 2eK
'z
• y'Oy : trục tung 
• z'Oz : trục cao 
• O : gốc toạ độ 
• : véc tơ đơn vị 1 2 3, ,e e e
JG JJG JJG
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là 
 không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz) 
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 
1. Định nghĩa 1: Cho ( )M kg Oxyz∈ . Khi đó véc tơ OMJJJJG được biểu diển một cách duy nhất theo 
 bởi hệ thức có dạng : 1 2 3, ,e e e
JG JJG JJG
1 2 3+ y với x,y,zOM xe ye e= + ∈
JJJJG JG JJG JJG \ . 
 Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. 
 Ký hiệu: M(x;y;z) 
 ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M ) 
z
/
1 2 3( ; ; ) 
đ n
M x y z OM xe ye ze⇔ = + +JJJJG JG JJG JJG 
• Ý nghĩa hình học: 
 ; y= OQ ; z = ORx OP=
O
M
y
x
z
y
x
z
y
x
p
1M
M
Q
3M
2MR
O
2. Định nghĩa 2: Cho (a kg Oxyz∈ )G . Khi đó véc tơ aG được biểu diển một cách duy nhất theo 
 bởi hệ thức có dạng : 1 2 3, ,e e e
JG JJG JJG
1 1 2 2 3 3 1 2 + a với a ,aa a e a e e= + ∈
G JG JJG JJG \ . 
 Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . a
G
 Ký hiệu: 1 2( ; )a a a=
G
/
1 2 3 1 1 2 2 3 3=(a ;a ;a ) 
đ n
a a a e a e⇔ = + +G G JG JG JJGa eJ 
 118
II. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : 
Định lý 1: Nếu B( ; ; ) và B(x ; ; )A A A B BA x y z y z thì 
( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z= − − −
JJJG
Định lý 2: Nếu a a thì 1 2 3 1 2 3( ; ; ) và ( ; ; )a a b b b b= =
G G
 * a b
1 1
2 2
3 3
a
b
a b
a b
=⎧⎪= ⇔ =⎨⎪ =⎩
G G
 * a b 1 1 2 2 3 3( ; ; )a b a b a b+ = + + +
G G
)a b a b a b− = − − −G G
)a ka ka ka=G
 * a b 1 1 2 2 3 3( ; ;
 * k ( )1 2 3. ( ; ; k∈\ 
III. Sự cùng phương của hai véc tơ: 
 Nhắc lại 
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường 
thẳng song song . 
• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ: 
  Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0a b b ≠G G G G
a k b
G G
 a b cùng phương !k sao cho .⇔ ∃ ∈ =G G \
 Nếu thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: 0a ≠G G
 k > 0 khi a
G
 cùng hướng b
G
 k < 0 khi a
G
 ngược hướng b
G
a
k
b
=
G
G 
, , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔ JJJG JJJG Định lý 4 : 
 Định lý 5: Cho hai véc tơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
G G
 ta có : 
 a b 
1 1
2 2 1 2 3 1 2 3
3 3
a
 cùng phương a : : : :
kb
a kb a a b b b
a kb
=⎧⎪⇔ = ⇔ =⎨⎪ =⎩
G G
 119
IV. Tích vô hướng của hai véc tơ: 
 Nhắc lại: 
. . .cos( , )a b a b a b=G G G G G G 
22
a a=G G 
 . 0a b a b⊥ ⇔ =G G G G
  Định lý 6: Cho hai véc tơ 1 2 2 1 2 3( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
G G
 ta có : 
1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b= + +
G G
  Định lý 7: Cho hai véc tơ ta có : 1 2 3( ; ; ) a a a a=
G
2 2 2
1 2 3a a a a= + +
G
  Định lý 8: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 2 2( ) ( ) ( )B A B A B A
2AB x x y y z z= − + − + − 
  Định lý 9: Cho hai véc tơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
G G
 ta có : 
 1 1 2 2 3 3 a 0a b b a b a b⊥ ⇔ + + =
G G
  Định lý 10: Cho hai véc tơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
G G
 ta có : 
+ += =
+ + + +
G GG G
G G 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.cos( , )
. .
a b a b a ba ba b
a b a a a b b b
V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: 
 Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : ≠
 .MA k MB=JJJG GJJJ 
 • • • 
 A M B 
 Định lý 11 : Nếu B( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B BA x y z y z và .MA k MB=
JJJG JJJG
 ( k ≠ 1 ) thì 
.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x k xx
k
y k yy
k
z k zz
k
−⎧ =⎪ −⎪ −⎪ =⎨ −⎪ −⎪ =⎪ −⎩
 120
 Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ 
2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x xx
y yy
z zz
+⎧ =⎪⎪ +⎪ =⎨⎪ +⎪ =⎪⎩
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) 
 Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành 
Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) 
 a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông . 
 b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC 
 c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A 
VI. Tích có hướng của hai véc tơ: 
1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ) và ( ; ; )a a a a b b b b= =
G G
 là một véc tơ được 
 ký hiệu : có tọa độ là : ;a b⎡⎣
G G⎤⎦
 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
; ; ;
a a a a a a
a b
b b b b b b
⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
G G
 Cách nhớ: 1 2 3
1 2 3
( ; ; ) 
( ; ; )
a a a a
b b b b
=
=
G
G
1 2 3 
2. Tính chất: 
• ; và ;a b a a b b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⊥ ⊥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G G G G G G
A 
• 1 . ;
2ABC
S ABΔ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
JJJG HJJG
AC B C
• ;ABCDS AB⎡ ⎤= ⎣ ⎦.
JJJG JJJG
A
B
C
D
'A 'B
'C
'D
AD 
• ' ' ' ' '. ; .ABCD ABC DV AB AD⎡ ⎤= ⎣ ⎦
JJJGJJJG JJJG
AA 
A
B
CD
 121
• 1 . ; .
6ABCD
V AB AC⎡ ⎤= ⎣ ⎦
JJJG JJJG JJJG
AD
b
G G
A
B
C
D
• cùng phương ; 0a b a⎡ ⎤⇔ =⎣ ⎦
G G G
• , , đồng phẳng , . 0a b c a b c⎡ ⎤⇔ =⎣ ⎦
G G G G G G
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) 
 a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng 
 b. Tính diện tích tam giác ABC 
 c. Tính thể tích tứ diện ABCD 
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) 
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. Các định nghĩa: 
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng: 
1. VTCP của đường thẳng : 
là VTCP của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩
G G
G a
G
aK
aK )(Δ
Chú ý: 
• Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau. 
• Một đường thẳng (Δ ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của 
nó. 
2. Cặp VTCP của mặt phẳng: 
aK 
 Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi là VTCP của đường G a
G
 thẳng a và là VTVP của đường thẳng b. Khi đó : JGJ b
 Cặp được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng ( , )a b
JG α 
Chú ý : 
• Một mặt phẳng α hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của 
nó. 
α
b
K
a
b
 122
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng : nK
 α
 n là VTPT của mặt phẳng 
G α đn⇔ 0
n có giá vuông góc với mp
n
α
⎧ ≠⎪⎨⎪⎩
G G
G 
Chú ý: 
• Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau. 
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó. 
4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó: 
Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : 1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
G
G thì mpα có một VTPT là : 
 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
; ; ;
a a a a a a
n a b
b b b b b b
⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
G G G
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
 Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) 
II. Phương trình của mặt phẳng : 
Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có một 
 VTPT là: ( ; ; )n A B C=G
 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 
Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng : 
 0Ax By Cz D+ + + = với 2 2 2 0A B C+ + ≠ 
α
],[ ban
KKK =
aK
b
K
);;( CBAn =K
);;( 0000 zyxMα
);;( CBAn =K
0M
z α
y
 là phương trình tổng quát của một mặt phẳng . x
Chú ý : 
• Nếu ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = thì ( )α có một VTPT là ( ; ; )n A B C=G 
 123
• 0 0 0 0 0 0 0( ; ; ) ( ) : 0 Ax 0M x y z Ax By Cz D By Cz Dα∈ + + + = ⇔ + + + = 
Các trường hợp đặc biệt: 
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: 
• (Oxy):z = 0 
• (Oyz):x = 0 
• (Oxz):y = 0 
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 
• Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại 
( ;0;0)
(0; ;0) (a,b,c 0)
(0;0; )
A a
B b
C c
⎧⎪ ≠⎨⎪⎩
)(Oxz
)(Oxy
)(Oyz
z
y
O
x
 là: 1x y z
a b c
+ + = 
A 
B
C 
a
b
c
O
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) 
 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 
Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) 
 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với 
 mặt phẳng chứa tam giác. 
III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : 
1. Một số quy ước và ký hiệu: 
 Hai bộ n số : được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số 1 2
1 2
( , ,..., )
( , ,..., )
n
n
a a a
b b b
⎧⎨⎩
0t ≠ sao cho 
1 1
2 2
.
.
n n
a tb
a tb
a tb
=⎧⎪ =⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪⎩
 Ký hiệu: hoặc 1 2 1 2: : ... : : : ... :na a a b b b= n 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = = 
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: 
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,α β xác định bởi phương trình : 
 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
( ) : 0 có VTPT ( ; ; )
( ) : 2; )0 có VTPT ( ;
A x B y C z D n A B C
A x B y C
α
β
+ + + = =
+ +C z D n A B+ = =
JJG
JJG 
β
α
1n
K 
β 
α 
2n
K
β
α 
1n
K 2nK 
1n
K
2n
K
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
A( ) cắt ( ) A : : : : (hay: )
A
A( ) // ( ) 
A
A( ) ( ) 
A
B B C C AB C A B C hoặc hoặc
B B C C A
B C D
B C D
B C D
B C D
α β
α β
α β
⇔ ≠ ≠ ≠ ≠
⇔ = = ≠
≡ ⇔ = = =
Đặc biệt: 
 1 2 1 2 1 2 A 0A B B C Cα β⊥ ⇔ + + = 
 124
3. Chùm mặt phẳng : 
a. Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng được gọi là một chùm mặt 
 phẳng . 
• gọi là trục của chùm Δ
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết 
 i. Trục của chùm 
 hoặc ii. Hai mặt phẳng của chùm 
b. Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,α β cắt nhau xác định bởi phương trình : 
 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + = 
 Khi đó : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của và α β đều có phương trình dạng: 
 2 21 1 1 1 2 2 2 2( ) : ( ) ( ) 0 ( 0)A x B y C z D A x B y C z Dγ λ μ λ μ+ + + + + + + = + ≠
Chú ý: 
0 và 0 thì 
0 và 0 thì 
λ μ γ β
λ μ γ α
= ≠ ≡
≠ = ≡ 
Đặc biệt : 
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2
Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này 
phương trình có thể viết dưới dạng sau:
 1. m(A ) (A ) 0
hoặc 2. (A ) (A
x B y C z D x B y C z D
x B y C z D n x B
λ μ γ α β
γ
≠ ≠ ≠
+ + + + + + + =
+ + + + + 2 2 2 ) 0y C z D+ + =
γ
βα
γ
βα
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. Phương trình của đường thẳng: 
1.Phương trình tham số của đường thẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng ( )Δ đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z 
 và nhận làm VTCP là : 1 2 3( ; ; )a a a a=
G
0 1
0 2
0 3
( ) : (t )
x x ta
y y ta
z z ta
= +⎧⎪Δ = + ∈⎨⎪ = +⎩
\ 
 125
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )Δ đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z 
 và nhận làm VTCP là : 1 2 3( ; ; )a a a a=
G
 0 0 0
1 2 3
( ) : x x y y z z
a a a
− − −Δ = = 
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
 Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. 
 Xem ( ) α βΔ = ∩ với 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =⎧⎨ + + + =⎩
ta có định lý sau. 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình: 
 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
0 
 với A : : : :
0 
A x B y C z D
B C A B C
A x B y C z D
+ + + =⎧ ≠⎨ + + + =⎩
 là phương trình tổng quát của một đường thẳng. 
Chú ý: Nếu 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
( ) : 0 ( ( ; ; ))
 ( ):
( ) : 0 ( ( ; ; ))
A x B y C z D n A B C
A x B y C z D n A B C
α
β
α
β
⎧ + + + = =⎪Δ ⎨ + + + = =⎪⎩
G
G thì ( ) có một VTCP là : Δ
 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
B C C A A B
a n n
B C C A A B
α β
⎛ ⎞⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
G G G
O 
z
y
x
)
aK
(Δ
0M ),,( zyxM
II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 
α
nK
M )(ΔaK 
α 
nK
M
)(Δ aK 
α 
nK
M )(ΔaK
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : 
 đường thẳng 0 0
1 2
0
3
:( ) x x y y z z
a a a
− − −Δ = = có VTCP 1 2 3( ; ; )a a a a=
G
 và qua 0 0 0 0( ; ; )M x y z 
 và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz Dα + + + = có VTPT ( ; ; )n A B C=G 
 Khi đó : 
1 2 3
1 2 3
0 0 0
1 2 3
0 0 0
( ) cắt ( ) Aa 0
Aa 0
( ) // ( ) 
0
Aa 0
( ) ( ) 
0
Ba Ca
Ba Ca
Ax By Cz D
Ba Ca
Ax By Cz D
α
α
α
Δ ⇔ + + ≠
+ + =⎧Δ ⇔ ⎨ + + + ≠⎩
+ + =⎧Δ ⊂ ⇔ ⎨ + + + =⎩
 126
Đặc biệt: 1 2 3 ( ) ( ) a : : : :a a A B CαΔ ⊥ ⇔ = α
aK
nK
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (Δ ) và (α ) ta giải hệ phương trình : ( )
( )
pt
pt α
Δ⎧⎨⎩ tìm x,y,z 
 Suy ra: M(x,y,z) 
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 
0M
'
0M a
K 1Δ
2Δb
K
0M uK
'uK
1Δ
2Δ
'
0M
0M '0M u
K 'uK
1Δ 2Δ
uK
'uK
0M
'
0M
1Δ
2Δ
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
0 0 0
1 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' '0 0 0
2 0 0 0 0' ' '
( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ) : có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
x x y y z z
u a b c x y z
a b c
− − −Δ = = =
− − −Δ = = =
G
JG 
⎡ ⎤• Δ Δ ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎧⎡ ⎤ =⎪⎢ ⎥⎣ ⎦• Δ Δ ⇔ ⎨⎪ ≠⎩
• Δ Δ ⇔ =
JG JJJJJJJGG
JG JJJJJJJGG
' '
1 2 0 0
' '
0 0
1 2
' ' '
1 2
 ( ) và ( ) đồng phẳng , . 0
, . 0
 ( ) cắt ( ) 
: : : :
 ( ) // ( ) : :
u u M M
u u M M
a b c a b c
a b c ≠ − − −
• Δ ≡ Δ ⇔ = = − − −
⎡ ⎤• Δ Δ ⇔ ≠⎢ ⎥⎣ ⎦
JG JJJJJJJGG
' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
' ' ' ' ' '
1 2 0 0 0 0 0
' '
1 2 0 0
: : ( ) : ( ) : ( )
 ( ) ( ) : : : : ( ) : ( ) : ( )
 ( ) và ( ) chéo nhau , . 0
a b c x x y y z z
a b c a b c x x y y z z
u u M M
0
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( )1 2 và ( )Δ ta giải hệ phương trình : tìm x,y,z 1
2
( )
( )
pt
pt
Δ⎧⎨ Δ⎩
Δ
 Suy ra: M(x,y,z) 
III. Góc trong không gian: 
1. Góc giữa hai mặt phẳng: 
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,α β xác định bởi phương trình : 
 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C z D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + = 
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )α β ta có công thức: 
 127
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.
A A B B C C
A B C A B C
ϕ + += + + + + 
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
β 
α 
);;( 2222 CBAn =K
);;( 1111 CBAn =K
00 900 ≤≤ ϕ
)(Δ
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng − − −Δ = =0 0( ) : 0x x y y z z
a b c
 );;( cbaa =
 và mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz Dα + + + = 
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )αΔ ta có công thức: 
α 
);;( CBAnK =
K
 00 900 ≤≤ ϕ
2 2 2 2 2 2
sin
.
Aa Bb Cc
A B C a b c
ϕ + += + + + + 
3.Góc giữa hai đường thẳng : 
 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
− − −Δ = =
− − −Δ = =
0 0
1
0 0
2 ' ' '
( ) : 
( ) : 
0
0
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng 1( ) & ( )2Δ Δ ta có công thức: 
 128
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.
aa bb cc
a b c a b c
ϕ + += + + + + 
);;(1 cbaa =K
1Δ
2Δ )';';'(2 cbaa =K
00 900 ≤≤ ϕ
IV. Khoảng cách: 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : 0 Ax By Cz D+ + = và điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z α +
 Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )α được tính bởi công thức: 
 0 0 00 2 2 2( ; )
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +Δ =
+ +
 α 
);;( 0000 zyxM
H
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (Δ ) đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có VTCP 
 . Khi đó khoảng cách từ điểm M( ; ; )u a b c=G 1 đến ( )Δ được tính bởi công thức: 
0 1
1
;
( , )
M M u
d M
u
⎡ ⎤⎣ ⎦Δ =
JJJJJJG G
G 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau : G
 1 0
' ' ' ' ' ' ' '
2 0
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
u a b c x y z
u a b c x y z
Δ =
Δ =
0 0 0
0 0 0
JG
2 và ( ) Khi đó khoảng cách giữa ( )1Δ Δ được tính bởi công thức 
' '
0 0
1 2 '
, .
( , )
,
u u M M
d
u u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦Δ Δ = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
JG JJJJJJJGG
JGG 
H
uK
);;( 0000 zyxM
1
)
M
(Δ
0M
'
0M
uK
'uK
1Δ
2Δ
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
-------------***------------- 
Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01). 
 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN 
 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết 
6
1cos =α 
Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−−=
+=
−
+=−=
tz
ty
tx
dzyxd
2
21
1
:&
1
1
1
1
2
: 21 
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 
 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng 
Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : 
1
1
2
1
1
1:&
1
3
1
2
2
2: 21
+=−=−
−−=−
+=− zyxdzyxd 
 1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
 2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 
Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho 4 điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) . 
1. Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông . 
2. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
3. Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH. 
Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1). 
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
2. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC). 
3. Tính thể tích tứ diện OABC. 
Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: 
 1 2
1
2 4 0
: và :
2 2 4 0
1 2
2
x t
x y z
y t
x y z
z t
= +⎧− + − =⎧ ⎪Δ Δ⎨ ⎨+ − + =⎩ ⎪
= +
= +⎩
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1Δ và song song với đường thẳng 2Δ 
2. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2Δ sao cho đoạn thẳng MH có độ 
dài nhỏ nhất. 
Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng 
(2 1) (1 ) 1 0
:
(2 1) 4 2 0m
m x m y m
d
mx m z m
+ + − + − =⎧⎨ + + + + =⎩
 Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) 
Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 và hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12) 
1. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) 
2. Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA+MB 
Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng 
2 1 0
: và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0
2 0
x y z
x y z
+ + + =⎧Δ ⎨ + + + =⎩ 
 129
 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P). 
Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: 1 2
0 3
: và d :
1 0 3 6
3 0x az a ax y
d
y z x z
− − = + − =⎧ ⎧⎨ ⎨− + = − − =⎩ ⎩ 
1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau 
2. Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và songsong với đường thẳng 
d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a=2 
Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, 
 B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ . 
1. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b 
2. Xác định tỷ số a
b
 để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. 
Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5). Tính 
 góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho 
 tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. 
Bài 13: 2. Trong không gian với hệ tọa dộ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng 
 1:1 1 2 1
x yd += = z 0
0
 và 
3 1
:2 2 1
x z
d
x y
− + =⎧⎨ + − =⎩ 
 1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau. 
2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song 
 với đường thẳng 4 7:
1 4
3
2
x y z− − −Δ = = − 
Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với 
 A(0;0; 3a ), B(a;0;0), C(0; 3a ;0) (a>0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng 
 cách giữa hai đường thẳng AB và OM. 
Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1), 
 B(0;-1;3) và đường thẳng 
3 2 11
:
3 8 0
0x y
d
y z
− − =⎧⎨ + − =⎩ 
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là 
giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK. 
2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình 
1 0x y z+ − + = 
Bài 16: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
 1 2
2 01 2( ) : và (d ) :
1 03 1 1
x y zx y zd
x
+ − + =⎧− += = ⎨ + =⎩ 
 Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(0;1;1) sao cho Δ vuông góc với (d1) và cắt (d2). 
Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
 1 2
3 2 8 01 3 2( ) : và (d ) :
5 2 123 2 1 0
x yx y zd
x z
− − =⎧+ + −= = ⎨ + + − =− − ⎩ 
 1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 
 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên. 
 3. Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) sao cho Δ cắt cả d1 và d2. 
Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : 
 1 1 2( ) : và (P):x-y-z-1=0
2 2 3
x y zd + − −= = 
 130
 Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) sao cho Δ và //(P)d⊥ Δ . 
Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
 1 2
2 41 1( ) : và (d ) :
2 2 12 1 1
0
0
x y zx y zd
x y z
− + − =⎧− += = ⎨ − + + =− ⎩ 
 và mặt phẳng ( ) . : 1 0P x y z+ + − =
 Lập phương trình đường thẳng Δ sao cho ( )PΔ ⊥ và Δ cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. 
Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : 
 1 2( ) :
2 1 3
x yd − −= =−
z và điểm I(2;-1;3) 
 Gọi K là điểm đối xứng của I qua (d) . Tìm toạ độ điểm K. 
Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : 
 1( ) :
3 4 1
3x y zd − += = và điểm A(1;2;1) 
 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d). 
Bài 22: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
 1 2
2 1 0 3 3
( ) : và (d ) :
x-y+z-1=0 2 1 0
0x y x y
d
x y
+ + = + − + =⎧ ⎧⎨ ⎨ − + =⎩ ⎩
z
 1. Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 . 
 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và d2 . 
 3. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng toạ độ. 
Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) và mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = 0. 
 1. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P). 
 2. Viết phương trình chính tắc của giao tuyến của (P) và (Q). 
 3. Gọi K là điểm đối xứng của A qua (P). Tìm toạ độ điểm K. 
Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) và B(7;-2;3) và đường thẳng (d):
2 3 4
4 0
0x y
y z
+ − =⎧⎨ + − =⎩ 
 1. Chứng minh (d) và AB đồng phẳng . 
 2. Tìm toạ độ giao điểm I0 của đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực của đoạn AB. 
 3. Tìm ( )I d∈ sao cho tam giác ABI có chu vi nhỏ nhất. 
Bài 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0 
 1. Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). 
 2. Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều. 
Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) và mặt phẳng (P): z = 0 
 1. Tìm M ∈ (P) sao cho MA+MB là nhỏ nhất. 
 2. Tìm N∈ (P) sao cho NA NB− là lớn nhất. 
Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 
 Tìm M∈ (P) sao cho MA MB− là lớn nhất. 
Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : 
 4 1( ) : và (P):x-y+3z+8=0
4 3 2
x y zd − += = 
 Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P) 
Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 
 131
 1 2
3 2 02 1( ) : và (d ) :
3 01 1 2
x zx y zd
y
+ − =⎧− −= = ⎨ − =− ⎩ 
 1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 
 2. Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 . 
Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳ