Toán học - Chuyên đề 8: Lượng giác

 33
Chuyeân ñeà 8: LÖÔÏNG GIAÙC 
 TOÙM TAÉTGIAÙO KHOA 
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN: 
I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 
 1. Ñoä: 
 beïtgoùc 01 Goùc 180
1= 
 2. Radian: (rad) 
 rad 0180 π= 
 3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng: 
Ñoä 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 
Radian 0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 
3
2π 
4
3π 
6
5π π π2 
II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc: 
 1. Ñònh nghóa: 
 2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: 
 Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: 
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k 
22 B
2k 
x
y
(tia gốc) 
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn) 
O
α
. 
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc) 
+
t
O A
(điểm ngọn) 
πα 2kAB +=
 34
III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: 
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: 
• A: ñieåm goác 
• x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) 
• y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) 
• t'At : truïc tang 
• u'Bu : truïc cotang 
2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc: 
 a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM=α . 
 Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy 
 T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu 
 Ta ñònh nghóa: 
cos 
sin 
tg 
cot 
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=
 b. Caùc tính chaát : 
• Vôùi moïi α ta coù : 
 1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤ 
 1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤ 
• tg xaùc ñònh 
2
kπα α π∀ ≠ + 
• cotg xaùc ñònh kα α π∀ ≠ 
c. Tính tuaàn hoaøn 
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( ) 
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
 )( Zk ∈ 
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin 
Trục tang 
Trục sin Trục cotang 
+
−
 35
IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät: 
 Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät 
- 3
-1
- 3 /3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Goùc 
Hslg 
0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 
3
2π 
4
3π 
6
5π π π2 
sinα 0 
2
1 
2
2
2
3 1 
2
3 
2
2 2
1 0 0 
cosα 1 
2
3 
2
2
2
1 0 
2
1− 
2
2−
2
3− -1 1 
tgα 0 
3
3 
1 3 kxñ 3− -1 
3
3− 0 0 
cotgα kxñ 3 1 
3
3 0 
3
3− -1 3− kxñ kxñ 
+
−
 36
V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: 
 Ñoù laø caùc cung : 
 1. Cung ñoái nhau : vaø -α α (toång baèng 0) (Vd: 
6
&
6
ππ − ,) 
 2. Cung buø nhau : vaø -α π α ( toång baèng π ) (Vd: 
6
5&
6
ππ ,) 
 3. Cung phuï nhau : vaø 
2
πα α− ( toång baèng 
2
π ) (Vd: 
3
&
6
ππ ,) 
 4. Cung hôn keùm 
2
π : vaø 
2
πα α+ (Vd: 
3
2&
6
ππ ,) 
 5. Cung hôn keùm π : vaø α π α+ (Vd: 
6
7&
6
ππ ,) 
1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau : 
cos( ) cos
sin( ) sin
( ) 
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
( ) 
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm 
2
π 
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( ) 
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( ) 
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
5. Cung hôn keùm π : 
cos( ) cos
sin( ) sin
( ) 
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Ñoái cos Buø sin
Phuï cheùo
Hôn keùm 
2
π 
sin baèng cos 
cos baèng tröø sin 
Hôn keùm π
tang , cotang 
 37
 Ví duï 1: Tính )
4
11cos( π− , 
4
21πtg 
 Ví duï 2: Ruùt goïn bieåu thöùc: )3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++= πππ 
VI. Coâng thöùc löôïng giaùc: 
 1. Caùc heä thöùc cô baûn: 
2 2cos sin 1
sintg = 
cos
coscotg = 
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tg = 
cos
11 cotg = 
sin
tg . cotg = 1 
α α
α α
α α
+
+ 
 Ví duï: Chöùng minh raèng: 
 1. 4 4 2 2cos sin 1 2sin cosx x x x+ = − 
 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 
 2. Coâng thöùc coäng : 
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tgtg( + ) = 
1 .
tg tgtg( ) = 
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
 Ví duï: Chöùng minh raèng: 
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
 3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
 2 cos 1
 1 2sin
 cos sin
sin 2 2sin .cos
22 
1
tgtg
tg
2
2cos1cos2 αα += 
2
2cos1sin 2 αα −= 
ααα 2sin
2
1cossin = 
 38
 4 Coâng thöùc nhaân ba: 
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= − 
 5. Coâng thöùc haï baäc: 
 α
αααααα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222 +
−=−=+= tg 
 6.Coâng thöùc tính sin ,cos ,tgα α α theo 
2
t tgα= 
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ; 
1 1 1
t t ttg
t t t
α α α−= = =+ + − 
 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång : 
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
 Ví duï: 
 1. Bieán ñoåi thaønh toång bieåu thöùc: xxA 3cos.5cos= 
 2. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: 
12
7sin
12
5cos ππ=B 
 8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích : 
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 ααα += 
4
3sinsin3sin 3 ααα −= 
 39
 Ví duï: Bieán ñoåi thaønh tích bieåu thöùc: 3xsin 2x sinsin ++= xA 
 9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc: 
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35sincos
4
4cos3sincos
66
44
ααα
ααα
+=+
+=+
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 
Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc 
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa 
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi 
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) 
Böôùc 4: Keát luaän 
I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) 
u = v+k2
sinu=sinv 
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv 
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
 ( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø Zk ∈ ) 
Ví duï : Giaûi phöông trình: 
 1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2. 
4
3cos)
4
cos( ππ =−x 
 3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = − 
II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 
1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm∈∀ ) 
 * Gpt : sinx = m (1) 
• Neáu 1m > thì pt(1) voâ nghieäm 
• Neáu 1m ≤ thì ta ñaët m = sinα vaø ta coù 
x = +k2
(1) sinx=sin 
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣ 
 * Gpt : cosx = m (2) 
 40
• Neáu 1m > thì pt(2) voâ nghieäm 
• Neáu 1m ≤ thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù 
x = +k2
(2) cosx=cos 
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣ 
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm Rm∈∀ ) 
• Ñaët m = tgγ thì 
 (3) tgx = tg x = +kγ γ π⇔ ⇔ 
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm Rm∈∀ ) 
• Ñaët m = cotgδ thì 
 (4) cotgx = cotg x = +kδ δ π⇔ ⇔ 
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: 
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π π
π
π π
π π
π π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
 Ví duï: 
 1) Giaûi caùc phöông trình : 
 a) = 1sin 2
2
x b) 2cos( )
4 2
x π− = − 
 c) 03)
6
2sin(2 =+− πx d) 03)
3
cos(2 =−+ πx 
 e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 
 2) Giaûi caùc phöông trình: 
 a) 4 41 cos sin 2 cos2x x x+ − = c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx 
 b) 6 6sin cos cos4x x x+ = d) 3 3 1sin .cos cos .sin
4
x x x x− = 
 e) 4)
2
.1(sincot =++ xtgtgxxgx 
 41
2. Daïng 2: 
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
atg x btgx c
a g x b gx c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
 ( 0a ≠ ) 
 Caùch giaûi: 
 Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) 
 Ta ñöôïc phöông trình : 2 0at bt c+ + = (1) 
 Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x 
 Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù) 
 Ví duï : 
 a) 22 cos 5sin 4 0x x+ − = b) 5cos2 4 cos 0
2
x x− + = 
 c) 22sin 4 5cosx x= + d) 2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + + 
 e) 4 4 1sin cos sin 2
2
x x x+ = − f) 0)2
2
cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π 
 g) 4 4sin cos 1 2sin
2 2
x x x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx 
 k) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2 66 =−
−+
x
xxxx l) 32cos)
2sin21
3sin3cos(sin5 +=+
++ x
x
xxx 
3. Daïng 3: 
 cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠ 
 Caùch giaûi: 
• Chia hai veá cuûa phöông trình cho 2 2a b+ thì pt 
2 2 2 2 2 2
(1) cos sina b cx x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
 (2) 
• Ñaët 
2 2 2 2
bcos vaø sin
a
a
a b b
α α= =
+ +
 vôùi [ )0;2α π∈ thì : 
2 2
2 2
c(2) cosx.cos + sinx.sin = 
a
c cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
 Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x. 
 42
 Chuù yù : 
 2 2 2Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm a b c⇔ + ≥ 
 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : 
 a) + = −cos 3 sin 1x x b) 2sin3cos =+ xx 
 c) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = d) 
x
tgx
cos
13 =− 
 e) 3
1sincos2
2sincos
2 =−−
−
xx
xx 
d. Daïng 4: 
 2 2sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠ (1) 
Caùch giaûi 1: 
 Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : 2 21 cos2 1 cos2sin vaø cos
2 2
x xx x− += = 
 vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : 1sin .cos sin 2
2
x x x= thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3 
Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang ) 
 Chia hai veá cuûa pt (1) cho 2cos x ta ñöôïc pt: 
 2 0atg x btgx c+ + = 
 Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi 
 Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x k
2
π= + π coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 
Ví duï : Giaûi phöông trình: 
 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx 
d. Daïng 5: 
 (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + = (1) 
Caùch giaûi : 
• Ñaët cos sin 2 cos( ) vôùi - 2 2
4
t x x x tπ= + = − ≤ ≤ 
 Do 
2
2 t 1(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x −+ = + ⇒ 
• Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình : 
2 1 0
2
tat b c−+ + = (2) 
 43
• Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: 2 cos( )
4
x tπ− = tìm x. 
 Ví duï : Giaûi phöông trình : 
 sin 2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − = 
Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + = 
 Ví duï : Giaûi phöông trình : 
 sin 2 4(cos sin ) 4x x x+ − = 
4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng : 
a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng giaùc cô baûn ñaõ bieát 
 Ví duï: Giaûi phöông trình: 
 0
2
32sincossin 44 =−++ xxx 
b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá 
 Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây: 
A=0
. 0 
B=0
A B
⎡= ⇔ ⎢⎣ hoaëc 
A=0
. . 0 B=0
C=0
A BC
⎡⎢= ⇔ ⎢⎢⎣
 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : 
 a. 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = b. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − 
 c. 32sin cos2 cos 0x x x+ − = d. 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 
c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï 
 Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : 
* Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa) 
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : 
 a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx 
 b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx 
 c. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 d. 22cossin 24 =+ xx 
* Phöông trình coù chöùa (cos sin ) vaø sinx.cosxx x± 
Ví duï : Giaûi phöông trình : a. + + =3 3 31 sin cos sin 2x
2
x x 
b. 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx 
 44
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 
DAÏNG 1: Giaûi phöông trình löôïng giaùc 
Söû duïng 1 trong 3 phöông phaùp sau 
• Bieán ñoåi phöông trình veà daïng phöông trình löôïng giaùc cô baûn 
• Bieán ñoåi phöông trình veà daïng phöông trình tích soá 
• Bieán ñoåi phöông trình veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá 
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau 
 1) 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 2) 07cos2sin
2
5cos
2
sin
2
3cos
2
7sin =++ xxxxxx 
 3) 
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos 222 ππππ =−++++ xxx 
 4) 
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π+
+=
−
x
x
x
xx
 5) xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+ 
 6) 12sincossin2 +=+ xxx 
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau 
 1. 32sin cos2 cos 0x x x+ + = 8. 2 2 2sin ( ). cos 0
2 4 2
x xtg xπ− − = 
 2. 2 2 7sin .cos4 sin 2 4sin ( )
4 2 2
xx x x π− = − − 9. 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x
− = ++ 
 3. 9sin 6 cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + = 10. 12 cos .sin3
3
tg x tgx x x− = 
 4. 
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x g x
x x
+ = − 11. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 5. 
2
4
4
(2 sin 2 )sin31
cos
x xtg x
x
−+ = 12. 2cos2 1cot 1 sin sin 2
1 2
xgx x x
tgx
− = + −+ 
 6. 3 ( 2sin ) 6 cos 0tgx tgx x x− + + = 13. 2cot 4sin 2
sin 2
gx tgx x
x
− + = 
 7. 2cos2 cos .(2 1) 2x x tg x+ − = 14. 2cos cos sin .(1 . )
2
xtgx x x x tgx tg+ − = + 
DAÏNG 2: Phöông trình löôïng giaùc coù chöùa tham soá 
Söû duïng phöông phaùp sau 
• Choïn aån phuï thích hôïp vaø tìm ñieàu kieän ñuùng cho aån phuï vöøa choïn (tuøy thuoäc vaøo x) 
• Chuyeån phöông trình veà phöông trình ñaïi soá 
• Laäp luaän ñeå chuyeån baøi toaùn ñaõ cho theo aån phuï vöøa choïn 
• Söû duïng phöông phaùp giaûi tích hoaëc ñaïi soá ñeå tìm tham soá theo yeâu caàu cuûa ñeà baøi 
Baøi 1: Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm: 
 02sin
4
12coscossin 244 =++−+ mxxxx 
Baøi 2: Ñònh m ñeå phöông trình : m
xx
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1cot(
2
11cossin 
 45
 coù nghieäm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
;0 πx 
Baøi 3: Cho haøm soá: 1)cos
cos
2()cos
cos
4(2 22 =−++ xxmxx 
 Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc ).
2
;0( π 
Baøi 4: Cho phöông trình : 01)cot(3
sin
3 2
2 =−+++ gxtgxmxtgx 
 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình coù nghieäm. 
Baøi 5: Xaùc ñònh m ñeå phöông trình : 
 4 42(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+ + + − = 
 coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc ñoaïn [0; ]
2
π
Baøi 6: Cho phöông trình : mxxx =−− )sin(cos42sin (1) 
 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm. 
Baøi 7: Tìm m ñeå phöông trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m+ − + − = coù nghieäm. 
Baøi 8: Cho phöông trình cos4 6sin cos 0x x x m+ − = 
 Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm 0;
4
x π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
Baøi 9: Tìm m ñeå phöông trình : 0)cos)(sincos.(sin2cos2 =+−+ xxmxxx 
 coù nghieäm treân ñoaïn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
;0 π 
Baøi 10: Cho phöông trình: mtgx
xx
xx =−
+
22
66
sincos
sincos 
 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù nghieäm 
Baøi 11: Cho phöông trình: mxx =−+ 44 )1(sinsin 
 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù nghieäm 
Baøi 12: Tìm m ñeå phöông trình : 22 2sin 2x m(1 cosx)+ = + coù nghieäm x [ ; ]
2 2
π π∈ − 
--------------------------Heát--------------------------