Toán học - Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

A. PHƯƠNG TRÌNH:
I- Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa
 ;	=g(x) 
Hệ quả:
Trong TH này chú ý chọn f(x) (hoặc g(x)) sao cho việc giải (hoặc ) đơn giản hơn.
 VD: 
Vậy x=2.
II-Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ (hoàn toàn và không hoàn toàn)
Một số chú ý:
Nếu biểu thức trong căn và ngoài căn có hệ số các hạng tử cùng bậc (không kể hằng số tự do) thì đặt căn thức làm ẩn phụ.
Nếu biểu thức chứa nhiều lớp căn thì có thể đặt căn thức trong cùng làm ẩn phụ.
Phương trình dạng nhiều căn , chú ý mối liên hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn. Có thể là: A(x)B(x)=k.C(x) , A2(x)B2(x)=k.C(x) , A(x).B(x)=k.C(x) , A(x).B(x)=k 
 VD1: Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Nhận xét. 
Đặt thì phương trình có dạng: 
Thay vào tìm được 
 VD2. Giải phương trình: 	
Điều kiện: 
Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:
Ta tìm được bốn nghiệm là: 
Do nên chỉ nhận các gái trị 
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: và 
*Phương trình dạng: 
Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu 
Chú ý một số đẳng thức: 
VD. Giải phương trình: 
 Đặt Phương trình trở thành : 
Tìm được: 
* Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện” hơn dạng trên, nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
VD: Giải phương trình : 
Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : 
*Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: 
VD1: Giải phương trình:
Đặt , ta có: 
VD2. Giải phương trình: 
Đặt: 
Khi đó phương trình trở thành : 
Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc 2 theo t cóchẵn: 
*Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 
Xuất phát từ một số hệ “đại số đẹp” chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức , Ta có
VD1. Giải phương trình :
Giải : , ta có : , giải hệ ta được: 
VD2. Giải phương trình sau :
 Ta đặt : , khi đó ta có : 
*Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v 
VD: Giải phương trình: 
Đặt 
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là 
Bài tập đề nghị 
Giải các phương trình sau
	(ĐS: x=7 hoặc x=)
	(ĐS: x=1 hoặc x=-4)
	(ĐS: x=)
	(ĐS: x=1 hoặc x=4)
	(ĐS: x=2)
	(ĐS: x=6 hoặc x=-7)
	(ĐS: x=0)
	(ĐS: x=0)
	(ĐS: x=1 hoặc x=36)
	(ĐS: x=0)
Một số dạng phương trình hay gặp:
Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0
Cách giải: Đặt x2=t (t0) đưa về phương trình bậc hai at2+bt+c=0. Giải t rồi suy ra x.
VD: x4-2x2+1=0 .	Đặt t=x2 (t0) => t=1 => x=1
Dạng 2: (x+a)4+(x+b)4=c (1)
Cách giải: Đặt t= =>
Thay vào (1) ta có: 2t4+12t2+2-c=0 ta được phương trình trùng phương như cách giải ở trên.
VD: +=2 (1) Đặt t==x+4 => 
 (t-1)4+(t+1)4-2=0 => t4+6t2=0 => t=0 => x= -4
Dạng 3: Phương trình hồi quy: ax4+bx3+cx2kbx+k2a=0 (ka # 0) (1)
Cách giải:	
Thấy rằng phương trình không có nghiệm x=0 nên chia cả 2 vế cho x2#0:
Ta có (1) ax2+bx+c (2)
Đặt t=x , khi đó t2=x2+=> x2+=t2
Phương trình (2) trở thành at2+bt+c-2ka=0
Tiếp tục giải phương trình này theo k. (khi b=0, phương trình hồi quy suy biến thành phương trình trùng phương đặc biệt)
VD: Giải phương trình: 2x4+3x3-16x2+3x+2=0 (1)
	Thấy rằng phương trình không có nghiệm x=0
	Chia cả 2 vế của phương trình cho x2>0, ta được:
 2x2+3x-16+=0 2 (2)
	Đặt t=x+ (2) => 
	=> (2) trở thành 2t2+3t-20=0 (t/m)
	Với t=4 => x=2 .Với => 
III- Phương pháp 3: Phương pháp trục căn thức:
1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gíá vô nghiệm.
 VD: Giải phương trình:
Giải :Đk 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình 
Ta chứng minh : 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
 2. Đưa về “hệ tạm”
Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
, khi đĩ ta có hệ: 
VD: Giải phương trình sau :
Giải:
Ta thấy : 
 không phải là nghiệm 
Xét 
Trục căn thức ta có : 
Vậy ta có hệ: 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 và x=
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau:
 	(ĐS: x=)
 (HSG Toàn Quốc 2002)	(ĐS: x=3)
	(ĐS: x=1, x=)
	(ĐS: x=2)
	(ĐS: x=1)
 (OLYMPIC 30/4-2007)	(ĐS: x=3)
	(ĐS: x=1)
	(ĐS: x=1)
IV. Phương pháp 4: Phương pháp đánh giá
1. Dùng hằng đẳng thức:
Từ những đánh giá bình phương: , ta xây dựng phương trình dạng 
Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình:
2. Dùng bất đẳng thức 
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình 
Ta có: Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: 
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng: khi đó : 
- Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được
VD1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
Giải: Đk 
Ta có: 
Dấu bằng 
VD2. Giải phương trình: 
Giải: Đk: 
Biến đổi pt ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 
Dấu bằng 
Bài 3. Giải phương trình: 
Ta chứng minh: và 
Bài tập đề nghị.
Giải các phương trình sau 
	(ĐS: x=0. Gợi ý: VT2, VP2)
	(ĐS: x=. Gợi ý: AD bđt bunhia)
	(ĐS: x=. Gợi ý: AD bđt bunhia)
	(ĐS: x=3)
	(ĐS: x=1.Gợi ý: 
V. Phương pháp 5: Phương pháp hàm số 
 Nếu là hàm đơn điệu thì 
VD: Giải phương trình : 
Giải:
Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có 
Bài tập đề nghị:
(8x2+2)x+(x-6) =0	(ĐS: x=1)
x3-4x2-5x+6= 	(ĐS: x=5 hoặc x= )
	(ĐS: x=1 hoặc x= )
VI. Phương pháp 6: Phương pháp lượng giác hoá
VD1: Giải phương trình sau : 
Giải:	Điều kiện :
Với : thì (ptvn)
 ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : 
VD2. .Giải phương trình 
Giải: đk: , ta có thể đặt 
Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm: 
VD3 .Giải phương trình: 
Giải: đk 
Ta có thể đặt : 
Khi đó pttt.
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 
Bài tập đề nghị 
Giải các phương trình sau : 
 Đặt: 
 Đs: 
 HD: chứng minh vô nghiệm 
B-HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
I- Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất 
Phương pháp thế:
Phương pháp giải:
Bước 1: Từ phương trình (1) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (2). Khi đó ta được phương trình bậc 2 theo x hoặc theo y, giả sử f(x, m)=0 (3)
Bước 2: Với yêu cầu: 
- (a) bằng cách thay giá trị cụ thể của tham số vào (3), từ đó có được x rồi suy ra được y.
VD1: Giải hệ phương trình
(1)
(2)
Giải
Nhận xét rằng nếu (x,y) là nghiệm của hệ thì y # 0
Từ phương trình (2),ta được:
x= (3)
Thay (3) vào (1), ta được:
(4)	
Đặt T=,điều kiện t 0, ta được:
(4) 2-31t-16=0
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm là (1,4) và (-1,-4)
II-Hệ phương trình đối xứng loại I
 Phương pháp
 Định nghĩa: Hệ phương trìng đối xứng loại 1 đối với ẩn x và y là hệ gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x.
 Phương pháp chung để giải và biên luận hệ đối xứng loại I bao gồm các bước:
 Bước 1: Sử dụng ẩn phụ: .
 Bước 2:Xác định S và P.Khi đó x,y là nghiệm của phương trình:
 (*)
 Bước 3: Bài toán dược chuyển về giải và biện luận phương trình (*)
 VD:Cho hệ phương trình :
 (I)
 Xác định m để hệ có nghiệm 
 Giải 
 Đặt điều kiện 
 Viết lại hệ dưới dạng 
 Khi đó S,P là nghiệm của phương trình:
 (1) x,y là nghiệm của phương trình f(u) = (3)
 (2)x,y là nghiệm của phương trình g(u)= (4)
 Hệ có nghiệm duy nhất (1) vô nghiệm và (2) có nghiệm kép 
	(2) vô nghiệm và (1) có nghiệm kép
(1)và (2) có nghiệm kép u0 
Vậy với m=1 hoặc m= hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
III- Hệ phương trình đối xứng loại II
Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn x,y là hệ nếu tráo đổi vai trò của x,y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ 
 Phương pháp
 Bước 1: Trừ từng vế của hai phương trình bao giờ cũng thu được phương trình tích 
 (x,y)f(x,y)=0
 Bước 2: Giải hệ phương rình cho từng TH
 Chú ý: Ngoài phương pháp trên ta còn sử dụng phương pháp điều kiện càn và đủ
 Bước 1: Điều kiện cần 
 +Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0,y0) thì (y0,x0) cũng là nghiệm của hệ do đó hệ 
có nghiệm duy nhất khi x0=y0 (**)
+Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số.đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất .
Bước 2: Điều kiện đủ
VD Cho hệ phương trình :
 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 
Giải 
Điều kiện cần : Giả sử hệ có nghiệm (x0,y0) suy ra (y0,x0) cũng là nghiệm của hệ .Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0=y0
Khi đó (1) (x0x0=m2x0-4x0+4-m=0 (3)
Do x0 có ngiệm duy nhất nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất 
’=0
Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất 
Điều kiện đủ:Với m=2,hệ có dạng :
 (II)
Nhận xét rằng x=y=1 thõa mãn hệ (II) 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m=2
IV- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 
Định nghĩa :Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng 
 (I)
Để giải và biện luận phương trình bậc 2 ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau 
Cách 1: thực hiện theo các bước sau 
 Bước 1:khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình :
 (3)
 Bước 2:Đặt x=yt,khi đó :
 (3)
 Xét y=0 thay vào hệ 
 Xét nếu có nghiệm t0 thì thế x=yt0 vào hệ để xét hệ với 1 ẩn y 
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau
 Bước 1 :Từ hệ khử số hạng (hoặc để dẫn tới phương trình khuyết hoặc ,giả sử
 (4)
 Bước 2: Thế (4) vào phương trình của hệ ta được phương trình trùng phương ẩn x
Chú ý: với bài toán chứa tham số ta thường lựa chọn cách 2
 VD tìm a để hệ có nghiệm 
 Đặt m=
 Khi đó hệ phương trình có dạng :
 Nhận xét rằng nếu (x,y) là nghiệm của hệ thì x#0 (nếu trái lại (*) mâu thuẫn )
 Khử số hạng từ hệ ta được :
 (3)
 Thay (3) vào (*) ta được :
 Đặt ,điều kiện ,ta được :
 f(t)= (4)
 Vậy để hệ có nghiệm thì (4) phải có ít nhất 1 nghiệm không âm 
 có 2 nghiệm không âm (vì 
 Từ đó ta được :
 Vậy với a hoặc ahệ có nghiệm 
V- Các hệ phương trình khác :hệ lặp 3 ẩn
Định nghĩa :Hệ gồm 3 phương trình ba ẩn có dạng :
 được gọi là hệ lặp 3 ẩn 
Ta thực hiện theo các bước sau :
 Bước 1:Tìm tập giá trị của hàm f(t),giả sử là tập I thì x,y,z ,f(x),f(y)=f(f(x)),f(z)=f(f(f(x)))
 Bước 2:Khẳng định hàm số f(t) đơn điệu trên I ,giả sử là đồng biến trên I.ta đi chứng minh f(x)=x,
 Thật vậy :
 Từ hệ ta có x=f(f(f(x))) và f(x) đồng biến trên I.Khi đó :
 Nếu f(x)>xf(f(x))>f(x)f(f(f(x)))>f(f(x))>f(x)>x
 f(f(f(x)))>x mâu thuẫn với hệ 
 Nếu f(x)<xf(f(x))<f(x)f(f(f(x)))<f(f(x))<f(x)<x
 f(f(f(x)))<x mâu thuẫn với hệ 
 Do đó f(x)=x
Từ đó tìm được nghiệm của hệ 
VD Giải hệ phương trình 
 Giải 
 Xét hàm số f(t)=, khi đó hệ có dạng :
 Hàm số f(t) có tập giá trị I=
 Hàm f(t) đồng biến khi t>hàm f(t) đồng biến trên I
 Ta đi chứng minh f(x)=x.Thật vậy:
 Từ hệ ta có x=f(f(f(x))) và f(x) đồng biến trên I
 Khi đó :
 +Nếu f(x)>x 
 f(f(f(x)))>x mâu thuẫn với hệ .
 +Nếu f(x)<x
 f(f(x))<f(x)f(f(f(x)))<f(f(x))<f(x),x
 f(f(f(x)))<x mâu thuẫn với hệ 
 Do đó f(x)=x 
 Vậy nghiệm của hệ x=y=z=1
C-BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
I-Bất phương trình chứa trị tuyệt đối:
- f2(x)>g2(x) 
- g(x) 
- -g(x)<f(x)<g(x)
- Tính chất: 	
VD1: 
 BPT 
 (2x2-5x)(2x+1)=> 
II-Bất phương trình chứa căn thức:	
- 
- > g(x) 
VD: x+1
BPT 
*Phương pháp đặt ẩn phụ:
ĐK: x. Đặt t= (t0) => BPT (t2+1-2)t3(t2+1)-6 1t3 1x2(t/m)
*Phương pháp đánh giá: 
VD: 
ĐK: x1. Ta thấy VT=2
=> BPT có nghiệm VT=2 = x=1
Vậy BPT có nghiệm x=1.
*Phương pháp hàm số:
VD: 
ĐK: x 2 . Xét y=f(x)= => h/s đồng biến 
Ta có: f(0)=5. Do đó: 
- Nếu x>0 thì f(x)>f(0) >5 => x>0 là nghiệm.
- Nếu -2x0 thì f(x) f(x) 5 => Với -2x0 không là nghiệm.
Vậy BPT có nghiệm x>0.
Bài tập đề nghị:
 (ĐS: x=1 hoặc x 4)
(ĐS: )
5 (ĐS: )
x+ ( ĐS: )
 (ĐS: )
 (ĐS: x=4)
sinx	(ĐS: x=0 vì sinx1, 1)
*Một số bài trong đề thi đại học:
(ĐH D 05) 
 ĐS: x=3
Biến trong căn thành BP và bỏ khỏi căn được: 
 (ĐH A 04)
ĐS: 
ĐK, quy đồng MS, được: , đây là bài cơ bản
 (ĐH A 05) 
ĐS: [2; 10], Bài hai căn, bình phương hai lần
ĐK: x 
 (ĐH A 10) 
ĐS:
ĐK: x 
Để ý MS luôn dương vì căn nhỏ hơn 1, 
Bpt: 
Đến đây dùng BĐT BNC 
hoăc BP và nhóm lại 
 (ĐH B 10) 
ĐS: x=5
ĐK: ; Dự đoán nghiệm là 5, ta sẽ tạo ra hai liên hợp ứng với hai căn, sao cho có nhân tử x-5, ta làm như sau: sau khi nhân liên hợp và ra PT tích được một nhân tử luôn dương trên D
(B-2009) 	(ĐS: (x,y)=(1; ),(3;1) )
(D-2009) 	(ĐS: (x,y)=(1;1),(2; ) )
(D-2008) 	(ĐS: (x,y)=(5;2) )
(B-2008) 	(ĐS: (x,y)=(-4; ) )
(CĐ-2010) 	(ĐS: (x,y)=(1;-1),(-3;7) )
(A-2011) 	(ĐS: (x,y)=( ;),(	;) )	
(A-2006) 	(ĐS: (x,y)=(3,3) )