Toán học - Đại số hóa lượng giác

ĐẠI SỐ HÓA LƯỢNG GIÁC
Mai Quốc Tuấn, Đỗ Hoàng Duy, Phạm Phương Tùng, Nguyễn Thanh Nhã
 lớp 10T1, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long.
Sau khi giải một bài toán, chúng ta thường bằng lòng với những gì minh đã làm được, liệu cách học như thế đã có hiệu quả chưa? Tại sao chúng ta không nhìn bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau? Tất cả vẻ đẹp của bài toán khi ấy sẽ được bộc lộ.
Bài viết này xin giới thiệu cùng các bạn cách nhìn bài toán lượng giác dưới góc nhìn đại số bằng phương pháp đại số hóa lượng giác. Vậy, đại số hóa lượng giác là gì??? Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phương pháp thú vị này.
1. Những bổ đề liên quan.
Bổ đề 1.1. ; ; với .
Bổ đề 1.2. Với mọi tam giác ta luôn có .
Chứng minh. Ta có .
Suy ra .
Bổ đề 1.3. Với mọi số thực , ta luôn có .
Ta được các hệ quả nếu thì và .
2. Một số bài toán minh họa.
2.1. Phương pháp đại số hóa trong giải phương trình lượng giác.
Bài toán 2.1.1. Giải phương trình .
Lời giải. Nhận thấy nên không là nghiệm của phương trình . Đặt , suy ra và (theo bổ đề 1.1). Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
 .
Bài toán 2.1.2. [Đại học Huế Khối D 2000] Giải phương trình .
Lời giải. Đặt . Suy ra . Khi đó phương trình đã cho tương đương với 
 .
Bài toán 2.1.3. [Vô địch New York 1973] Giải phương trình .
Lời giải. Ta có
.
Đặt , ta được 
 .
Bài toán 2.1.4. Giải phương trình .
Lời giải. Đặt và , suy ra phương trình đã cho trở thành .
Ta có .
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được .
Đẳng thức xảy ra .
2.2. Phương pháp đại số hóa trong giải hệ phương trình lượng giác.
Bài toán 2.2.1. Cho hệ phương trình .
Lời giài. Đặt . Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng
.
Suy ra là nghiệm của phương trình 
. 
Bài toán 2.2.2. Giải hệ phương trình .
Lời giải. Hệ phương trình đã cho tương đương với . Đặt , ta được hệ phương trình mới . Khi đó, và là nghiệm của phương trình
.
Bài toán 2.2.3. Giải hệ phương trình sau .
Lời giải. Đặt , hệ phương trình đã cho trở thành .
Ta xét các trường hợp
 Khi , suy ra nghiệm của hệ phương trình là . Từ đó, ta được 
.
 Khi , ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào vế phải của phương trình , ta được
Ta cũng có 
Từ và , ta suy ra được .
Vậy, với mọi hệ phương trình đã cho luôn có các nghiệm dạng
,
,
,
với .
2.3. Phương pháp đại số hóa trong giải bất phương trình.
Bài toán 2.3.1. Giải bất phương trình .
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với . Đặt , khi đó bất phương trình có dạng .
Bài toán 2.3.2. Giải bất phương trình .
Lời giải. Điều kiện .
Đặt , suy ra và . Khi đó phương trình có dạng
.
Bài toán 2.3.3. Giải phương trình .
Lời giải. Đặt , suy ra . Khi đó, phương trình có dạng
.
2.4. Phương pháp đại số hóa trong chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 2.4.1. Cho tam giác tùy ý không vuông. Chứng minh rằng 
.
(Đây chính là bất đẳng thức Nesbitt trong lượng giác)
Lời giải. Đặt .
Khi đó, suy ra .
Áp dụng bất đẳng thức cho sáu số dương, ta được .
Do đó .
Bài toán 2.4.2. Cho tam giác bất kì. Chứng minh rằng .
Lời giải. Đặt , ta được . Bất phương trình đã cho trở thành
.
Áp dụng bất đẳng thức , ta dễ dàng chứng minh được và . Từ đó, suy ra
.
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng.
Bài toán 2.4.3. Cho tam giác bất kì. Chứng minh rằng .
Lời giải. Đặt , ta được . Bất phương trình đã cho trở thành
.
Ta có .
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng.
Bài toán 2.4.4. Cho tam giác bất kì. Chứng minh rằng .
Lời giải. Đặt , ta được . Bất phương trình đã cho trở thành
 .
Áp dụng bất đẳng thức , ta dễ dàng chứng minh được
.
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng.
Bài toán 2.4.5. Cho tam giác bất kì. Chứng minh rằng 
Lời giải. Đặt , ta được . Bất phương trình đã cho trở thành
 . (luôn đúng vì và )
3. Bài tập ứng dụng.
Bài 3.1. (Phương pháp đại số hóa trong giải phương trình lượng giác)
 a) Giải phương trình .
 b) Giải phương trình .
 c) Giải phương trình .
 d) Giải phương trình .
 e) Giải phương trình .
 f) Giải phương trình .
Bài 3.2. (Phương pháp đại số hóa trong giải hệ phương trình lượng giác)
 a) Giải hệ phương trình 
 b) Giải hệ phương trình 
 c) Giải và biện luận hệ phương trình 
Bài 3.3. (Phương pháp đại số hóa trong giải bất phương trình)
a) Tìm để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 
.
b) Tìm để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 
.
Bài 3.4. (Phương pháp đại số hóa trong chứng minh bất đẳng thức)
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng nếu thì .
c) Cho là góc nhọn. Chứng minh rằng .
d) Chứng minh với mọi ta có .
 e) Cho tam giác tùy ý với . Chứng minh rằng
.
_______________________________________________________________
Tài liệu tham khảo
[1]. Trần Phương, “Phương trình lượng giác”.
[2]. Lê Hồng Đức, “Phương pháp giải toán lượng giác”.
[3]. Nguyễn Đức Đồng-Nguyễn Văn Vĩnh, “23 phương pháp chuyên đề bất đẳng thức và toán cực trị lượng giác”.
[4]. Các cuốn sách của tác giả Titu Andreescu.