Toán học - Đại số sơ cấp

 1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG 
KHOA SƯ PHẠM 
HOÀNG HUY SƠN 
ĐẠI SỐ SƠ CẤP 
AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2009 
 2 
LỜI NÓI ĐẦU 
 Tài liệu “Đại số sơ cấp” được viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán. 
Nội dung của tài liệu đề cập đến các vấn đề: Hàm số và đồ thị; Phương trình và hệ phương 
trình; Bất đẳng thức và bất phương trình. 
 Một số nội dung đề cập trong tài liệu, sinh viên đã được học sơ lược trong chương trình 
Toán phổ thông. Tuy nhiên, để trở thành thầy giáo dạy tốt môn Toán khi ra trường, đòi hỏi 
sinh viên phải nắm vững lý thuyết và hoàn thiện các phương pháp giải toán sơ cấp. 
 Xuất phát từ yêu cầu trên, chúng tôi cố gắng trình bày tương đối có hệ thống về cơ sở lý 
thuyết của các khái niệm: Hàm số; Phương trình; Bất đẳng thức; Bất phương trình; Hệ phương 
trình. Các nội dung chiếm một phần quan trọng trong chương trình Toán phổ thông như: 
Phương trình, bất phương trình vô tỉ; Phương trình, bất phương trình mũ và logarit; Phương 
trình lượng giác, chúng tôi trình bày thành các chương riêng để sinh viên dễ nghiên cứu. 
 Tài liệu được trình bày thành 6 chương: 
1. Chương 1: Hàm số; 
2. Chương 2: Phương trình – Hệ phương trình; 
3. Chương 3: Bất đẳng thức – Bất phương trình; 
4. Chương 4: Phương trình, bất phương trình vô tỉ; 
5. Chương 5: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit; 
6. Chương 6: Phương trình lượng giác. 
 Một yêu cầu hết sức quan trọng trong giải toán là: Việc trình bày bài giải phải chặt chẽ và 
logic. Để rèn cho sinh viên những kỹ năng đó, chúng tôi cố gắng đưa vào tài liệu nhiều ví dụ 
về thực hành giải toán. Các ví dụ chiếm một khối lượng đáng kể trong tài liệu, giúp sinh viên 
có thể tự nghiên cứu tài liệu trước khi đến lớp. Điều này phù hợp với phương thức đào tạo 
theo hệ thống tín chỉ ở trường Đại học An Giang từ năm học 2009 – 2010. 
 Cuối mỗi chương có hệ thống bài tập đã được lựa chọn, nhiều về số lượng, đủ các mức 
độ từ dễ đến khó (đối với một số bài khó, chúng tôi có hướng dẫn cách giải), yêu cầu sinh viên 
tự giải để rèn kỹ năng tìm lời giải một bài toán. Với khối lượng quy định là 5 đơn vị học trình, 
tài liệu không thể đề cập hết tất cả các dạng toán hay gặp của các nội dung về phương trình, 
bất phương trình và hệ phương trình như một số tài liệu khác. Chúng tôi mong muốn ở sinh 
viên là tự tổng kết và đúc rút cho mình những kỹ năng giải toán thông qua tự giải các bài tập 
trong tài liệu. 
 Cuối cùng, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quí báu cho nội dung cũng 
như hình thức trình bày trong tài liệu của các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Toán và Hội 
đồng Khoa học Khoa Sư phạm cũng như các bạn sinh viên để tài liệu này có thể được hoàn 
chỉnh tốt hơn. 
 An Giang, tháng 02 năm 2009 
 Tác giả 
 3 
MỤC LỤC 
 Trang 
LỜI NÓI ĐẦU 1 
BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU 4 
CHƯƠNG I. HÀM SỐ 5 
 §1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ 5 
 1. Định nghĩa hàm số 5 
 2. Đồ thị của hàm số 6 
 3. Hàm số đơn điệu 6 
 4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 8 
 5. Hàm số tuần hoàn 9 
 6. Hàm số hợp 10 
 7. Hàm số ngược 11 
 8. Hàm số sơ cấp cơ bản 13 
 §2. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 18 
 1. Trục đối xứng, tâm đối xứng của đồ thị 18 
 2. Phép đối xứng qua trục tọa độ 21 
 3. Phép tịnh tiến song song trục tung 21 
 4. Phép tịnh tiến song song trục hoành 21 
 5. Một số ví dụ 22 
 6. Đồ thị của một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 23 
 §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 28 
 1. Định nghĩa 28 
 2. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 28 
 3. Một số ví dụ 29 
 BÀI TẬP CHƯƠNG I 37 
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 42 
 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 42 
 1. Phương trình 42 
 2. Hệ phương trình – Tuyển phương trình 45 
 §2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 46 
 1. Phương trình bậc nhất một ẩn 46 
 2. Phương trình bậc hai một ẩn 50 
 3. Một số phương trình bậc bốn có thể đưa về phương trình bậc hai một ẩn 55 
 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 59 
 1. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 59 
 2. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 61 
 3. Hệ phương trình đối xứng 63 
 4. Giải một số hệ khác 71 
 BÀI TẬP CHƯƠNG II 78 
CHƯƠNG III. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 85 
 §1. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 85 
 1. Định nghĩa 85 
 2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 85 
 3. Một số bất đẳng thức quan trọng 86 
 4. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 86 
 §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 96 
 1. Định nghĩa 96 
 2. Sự tương đương của các bất phương trình 97 
 3. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất vào việc giải phương trình và bất 
 4 
 phương trình 97 
 §3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 98 
 1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn 98 
 2. Bất phương trình bậc hai một ẩn 101 
 BÀI TẬP CHƯƠNG III 111 
CHƯƠNG IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 116 
 §1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 116 
 1. Định nghĩa và các định lý 116 
 2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 117 
 §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 132 
 1. Định nghĩa và các định lý 132 
 2. Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 133 
 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 140 
CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 146 
 §1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM LOGARIT 146 
 1. Định nghĩa 146 
 2. Các tính chất của logarit 146 
 §2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 147 
 1. Định nghĩa 147 
 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 147 
 3. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ 158 
 §3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 166 
 1. Định nghĩa 166 
 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 166 
 3. Một số phương pháp giải bất phương trình logarit 177 
 BÀI TẬP CHƯƠNG V 184 
CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 192 
 §1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 192 
 1. Công thức cộng 192 
 2. Công thức nhân 192 
 3. Công thức biến đổi tích thành tổng 193 
 4. Công thức biến đổi tổng thành tích 193 
 §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 194 
 1. Phương trình sin x a= 194 
 2. Phương trình cos x a= 195 
 3. Phương trình tan x a= 195 
 4. Phương trình cot x a= 195 
 §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 196 
 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác 196 
 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 197 
 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x 198 
 4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x 200 
 §4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 202 
 1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 202 
 2. Dạng phân thức 208 
 3. Dạng chứa tan x và cot x 209 
 4. Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt 213 
 5. Một số phương trình chứa tham số 214 
 BÀI TẬP CHƯƠNG VI 217 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 220 
 5 
BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG 
TRONG TÀI LIỆU 
:ℕ Tập hợp các số tự nhiên: { }0;1;2;... . 
:ℤ Tập hợp các số nguyên: { }...; 2; 1;0;1;2;... .− − 
ℚ : Tập hợp các số hữu tỉ: / , , 0 .a a b b
b
 
∈ ≠ 
 
ℤ 
:ℝ Tập hợp các số thực. 
* :ℝ Tập hợp các số thực khác không. 
:+ℝ Tập hợp các số thực dương. 
1
:
n
∑ Phép lấy tổng từ 1 đến .n 
 { }... / ... :Tập hợp. 
:fT Tập (miền) giá trị của hàm số .f 
( ) :
x D
Max f x
∈
 Giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập .D 
( ) :
x D
Min f x
∈
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập .D 
:∈ Thuộc. 
, :⊆ ⊂ Tập con. 
∅ : Tập hợp rỗng. 
:∀ Mọi. 
:≠ Khác. 
\: Hiệu của hai tập hợp. 
:∪ Hợp của hai tập hợp. 
:∩ Giao của hai tập hợp. 
1
:
n
∪ Phép lấy hợp từ 1 đến .n 
1
:
n
∩ Phép lấy giao từ 1 đến .n 
:∨ Hoặc (tuyển của hai mệnh đề). 
:⇒ Phép kéo theo, phương trình hệ quả. 
:⇔ Phép tương đương (khi và chỉ khi), phương trình tương đương. 
Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh. 
 6 
CHƯƠNG I. HÀM SỐ 
 §1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ 
1. Định nghĩa 
Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương ứng mỗi x X∈ 
với một và chỉ một y Y∈ thì ta nói rằng f là một hàm từ X vào ,Y kí hiệu 
:
( )
f X Y
x y f x
→
=֏
Nếu ,X Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong chương này chúng ta chỉ xét 
các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là ; .X Y⊆ ⊆ℝ ℝ 
X được gọi là tập xác định (hay là miền xác định) của hàm số .f (Người ta hay dùng kí hiệu 
tập xác định của hàm số là ).D 
 Số thực x X∈ được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực 
( )y f x Y= ∈ được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm .x Tập hợp tất cả các giá trị ( )f x khi 
x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f và được kí 
hiệu là ,fT (như vậy ( ){ }| ( )).fT f x x X f X= ∈ = 
Hiển nhiên .fT Y⊆ Chú ý rằng fT có thể là một tập hợp con thực sự của Y hoặc bằng 
tập .Y 
Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dưới dạng ( )x f x֏ hoặc ( )y f x= 
mà không nêu rõ tập xác định X và tập hợp Y chứa tập các giá trị của .f Khi đó, ta hiểu rằng 
Y = ℝ và X là tập hợp các số thực x ∈ℝ sao cho quy tắc đã cho thì ( )f x tồn tại. 
 Ví dụ 1. Cho hàm số 2( ) 1.y f x x= = + Theo cách hiểu trên thì ;Y = ℝ tập xác định của f là 
,D = ℝ tập các giá trị của f là { } [ )2 1| 1; .fT x x= + ∈ = +∞ℝ 
Ví dụ 2. Cho hàm số ( ) 1 .f x
x
= Khi đó, tập xác định { }\ 0 ,D = ℝ tập giá trị là fT = { }\ 0 .ℝ 
Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 21 .f x x= − 
Tập xác định [ ] [ ]1;1 , 0;1 .fD T= − = 
Ví dụ 4. Tìm tập giá trị của các hàm số 
( )
( )
2
2
1
. ;
1
sin 2cos 1
. .
sin cos 2
x x
a y f x
x x
x xb y f x
x x
− +
= =
+ +
+ +
= =
+ +
Giải. 
2
2
1
.
1
x x
a y
x x
− +
=
+ +
. Hàm số có tập xác định .D = ℝ 
 7 
Giả sử 0 .fy T∈ Khi đó
2
0 2
1(1)
1
x xy
x x
− +
=
+ +
 có nghiệm đối với x . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0 0 01 1 1 1 1 1 0 2 .y x x x x y x y x y⇔ + + = − + ⇔ − + + + − = 
Xét ( )0 01 0 1; 2 2 0 0.y y x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Vậy 1 .fT∈ 
Xét 0 01 0 1.y y− ≠ ⇔ ≠ Khi đó, (2) có nghiệm khi và chỉ khi 
( ) ( )2 2 20 0 0 0 011 4 1 0 3 10 3 0 3.3y y y y y+ − − ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ ≤ 
Vậy 1[ ;3].
3f
T = 
b. Tập xác định của hàm số đã cho là .D = ℝ Cũng tương tự như câu a. 0y thuộc tập giá trị 
của hàm số đã cho khi và chỉ khi ( )0 sin 2cos 1 1
sin cos 2
x xy
x x
+ +
=
+ +
 có nghiệm đối với x 
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 01 sin cos 2 sin 2cos 1 1 sin 2 cos 1 2 .y x x x x y x y x y⇔ + + = + + ⇔ − + − = − 
(1) có nghiệm khi và chỉ khi 
( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0 0 01 2 1 2 2 0 2 1.y y y y y y− + − ≥ − ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
Vậy [ ]2;1 .fT = − 
Ví dụ 5. Tìm tập giá trị của hàm số 2
2( ) cos .
1
xy f x
x
= =
+
Tập xác định của hàm số là .D = ℝ 
Đặt 2
2
1
x
t
x
=
+
, xem t là hàm số của biến x, áp dụng phương pháp đã trình bày ở ví dụ 4.a. ta 
được với x ∈ℝ thì [ 1;1].t ∈ − Miền giá trị của hàm số 2
2( ) cos
1
xy f x
x
= =
+
 trên tập xác định 
D = ℝ cũng chính là miền giá trị của hàm số cosy t= với [ 1;1].t ∈ − Từ đó hàm số 
( ) 22cos1
xy f x
x
= =
+
 có tập giá trị là đoạn [ ]cos1;1 . 
2. Đồ thị của hàm số 
 Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định ,D ta gọi tập hợp các điểm ( )( );x f x với x D∀ ∈ 
là đồ thị của hàm số ( ).y f x= 
 Việc biểu diễn các điểm ( )( );x f x thuộc đồ thị của hàm số ( )y f x= lên mặt phẳng tọa 
độ Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số. 
Chú ý rằng một đường ( )ζ (đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ chỉ 
có thể là đồ thị của một hàm số nào đó, nếu nó cắt một đường thẳng cùng phương với trục Oy 
tại không quá tại một điểm. 
 8 
3. Hàm số đơn điệu 
 3.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định là tập D, khoảng ( );a b là tập con của 
D. Khi đó ta có 
Hàm số ( )y f x= gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng ( );a b , nếu với 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ; , .x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < 
Hàm số ( )y f x= gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( );a b , nếu với 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ; , .x x a b x x f x f x∀ ∈ 
Một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( );a b thì ta nói hàm số đơn điệu 
trên khoảng đó. 
 3.2. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Hàm số 3y x= đồng biến trên toàn bộ tập xác định .ℝ 
Ví dụ 2. Hàm số 3 1
2
xy
x
+
=
−
 nghịch biến trên từng khoảng xác định ( ) ( ); 2 ; 2; .−∞ +∞ 
Dựa vào định nghĩa 3.1, dễ dàng chứng minh được các tính chất sau 
3.3. Tính chất 
 3.3.1. Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b , thì hàm số 
( )y f x c= + (c là hằng số) cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b . 
 3.3.2. Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b , thì hàm số 
( )y kf x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b nếu 0k > ; hàm số ( )y kf x= nghịch 
biến (đồng biến) trên khoảng ( );a b nếu 0.k < 
 3.3.3. Nếu hàm số ( )y f x= và ( )y g x= đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b thì 
hàm số ( ) ( )y f x g x= + đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( );a b . 
 3.3.4. Nếu hàm số ( )y f x= và ( )y g x= không âm trên khoảng ( );a b và cùng đồng biến 
(nghịch biến) trên khoảng ( );a b , thì hàm số ( ) ( ).y f x g x= đồng biến (nghịch biến) trên 
khoảng ( );a b . 
Chú ý. Đồ thị của hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( );a b cắt đường thẳng cùng 
phương với trục Ox nhiều nhất tại một điểm. 
Giả sử hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng ( );a b ; hàm số ( )y g x= nghịch biến 
trên khoảng ( ); .a b Khi đó trên khoảng ( ; ),a b đồ thị của các hàm số ( )y f x= và ( )y g x= 
cắt nhau không quá tại một điểm. 
Áp dụng. Tìm x thỏa mãn 25 3 .x x− = − 
Để ý rằng hàm số ( ) 25xy f x −= = là hàm số đồng biến trên ℝ , còn hàm số ( ) 3y g x x= = − 
nghịch biến trên ℝ . 
 9 
Dễ thấy 2x = thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy, 2x = là nghiệm duy nhất của phương 
trình. 
4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 
 4.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )y f x= có tập xác định trên .D 
Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x D∈ , ta có x D− ∈ và ( ) ( ).f x f x− = 
Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x D∈ , ta có x D− ∈ và ( ) ( ).f x f x− = − 
 4.2. Một số ví dụ 
 Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( ) 1 1 .y f x x x= = + − − 
Tập xác định của hàm số là [ ]1;1− nên dễ thấy 
, [ 1;1] [ 1;1]x x x∀ ∈ − ⇒ − ∈ − và ( ) ( ) ( )1 1 1 1 .f x x x x x f x− = − − + = − + − − = − 
Vậy f là hàm số lẻ. 
 Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( )
2 1
.
1
xy f x
x
+
= =
+
Tập xác định { }\ 1 .D = −ℝ 
Ta có 1 D∈ nhưng 1 ,D− ∉ nên hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn cũng như hàm số 
lẻ. 
 Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( ) 2 21 1.y f x x x x x= = + + + − + 
Tập xác định ,D = ℝ nên .x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ 
Ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 1 1 1 1 .x D f x x x x x x x x x f x∀ ∈ − = − + − + + − − − + = − + + + + = Vậy 
hàm số đã cho là hàm số chẵn. 
 Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ( ) 2 4 .y f x x x= = − 
Tập xác định ,D = ℝ do đó x D∈ thì .x D− ∈ 
Nhưng ( ) ( )1 3 ; 1 5,f f= − − = nên ( ) ( )1 1 .f f≠ ± − 
Vậy, f không phải hàm số chẵn cũng như hàm số lẻ. 
4.3. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ 
Giả sử hàm số ( )y f x= có tập xác định D là hàm số chẵn và có đồ thị là ( ).G Với mỗi 
điểm ( )0 0;M x y thuộc đồ thị ( ) ,G ta xét điểm đối xứng với nó qua trục tung là ( )0 0' ; .M x y− 
Từ định nghĩa hàm số chẵn, ta có 0x D− ∈ và ( ) ( )0 0 .f x f x− = Do đó 
( ) ( ) ( )0 0 0 0 ' .M G y f x y f x M G∈ ⇔ = ⇔ = − ⇔ ∈ 
Điều đó chứng tỏ ( )G có trục đối xứng là trục tung. 
 10 
Nếu f là hàm số lẻ thì lí luận tương tự, ta cũng được ( )G có tâm đối xứng là gốc tọa độ .O 
5. Hàm số tuần hoàn 
 5.1. Định nghĩa. Hàm số ( )y f x= có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu 
tồn tại một số dương T sao cho với mọi x D∈ ta có 
)i x T D+ ∈ và ;x T D− ∈ 
( ) ( )) .ii f x T f x± = 
Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn 
( ).f x 
 5.2. Một số ví dụ 
 Ví dụ 1. Các hàm số lượng giác cos ; siny x y x= = là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ 
2 .T = pi 
Các hàm số lượng giác tan ; coty x y x= = là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ .T = pi 
 Ví dụ 2. Chứng minh các hàm số sau đây không phải là hàm số tuần hoàn 
( )
( )
( )
4 3
3
2
2 ;
2 3 ;
.
4
y f x x x
y g x x
xy h x
x
= = +
= = −
= =
−
Giải. 
+ Xét ( ) 4 3 00 2 0
2
xf x x x
x
=
= ⇔ + = ⇔ 
= −
Nếu hàm số 4 3( ) 2y f x x x= = + là hàm số tuần hoàn thì tồn tại số 0T > sao cho 
( ) ( )0 0 0,f T f+ = = suy ra 0T > là nghiệm của ( ),f x vô lý. Vậy, hàm số ( )f x không phải 
là hàm số tuần hoàn. 
+ Hàm số ( ) 2 3y g x x= = − cũng không phải là hàm số tuần hoàn, lập luận giống như đối 
với hàm số ( ).f x 
+ Hàm số 
3
2( ) 4
xy h x
x
= =
−
 có tập xác định { }\ 2;2 .D = −ℝ Giả sử hàm số ( )h x là hàm số 
tuần hoàn thì tồn tại số thực dương T sao cho với .x D x T D∀ ∈ ⇒ ± ∈ Do { }\ 2;2 ,D = −ℝ 
nên 2 T+ thuộc D suy ra 2 (2 ) ,T T D= + − ∈ vô lý. Vậy hàm số ( )h x không phải là hàm số 
tuần hoàn. 
Chú ý. Chúng ta có một số dấu hiệu để nhận biết một hàm số đã cho không phải là một hàm số 
tuần hoàn, chẳng hạn ta có hai dấu hiệu sau. 
+ Nếu một hàm số có tập xác định dạng \ ,D A= ℝ với A là một tập hợp hữu hạn thì hàm số 
đó không phải là một hàm số tuần hoàn. 
+ Nếu phương trình ( )f x k= có nghiệm, nhưng số nghiệm là một số hữu hạn, thì hàm số 
 11 
( )y f x= không phải là một hàm số tuần hoàn. 
 Ví dụ 3. Cho hàm số 
( )
2
0 , ;
2
1
, ;
2 tan 2
x k k
y f x
x k k
x
pi
= + pi ∈
= = 
pi ≠ + pi ∈
 +
ℤ
ℤ
Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) ( )y g x f x f ax= = + là hàm số tuần hoàn, khi và chỉ khi a là 
một số hữu tỉ. 
Giải. 
Dễ dàng chứng minh được ( )f x là hàm số tuần hoàn. 
Điều kiện đủ. Nếu a là số hữu tỉ thì pa
q
=
 với , , 0.p q q∈ >ℤ Khi đó có số dương T q= pi 
thỏa 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).g x q f x q f ax aq f x f ax p f x f ax g x+ pi = + pi + + pi = + + pi = + = 
Chứng minh tương tự ta cũng được ( ) ( ).g x q g x− pi = Chứng tỏ hàm số ( )g x là hàm số tuần 
hoàn. 
Điều kiện cần. Giả sử a là số vô tỉ. Ta thấy ( ) ( ) ( ) 1 10 0 0 1.
2 2
g f f= + = + = Nếu tồn tại 
0 0x ≠ sao cho ( )0 1g x = thì ( ) ( )0 0 1,f x f ax+ = nhưng ( ) 10 2f x≤ ≤ với mọi ,x nên suy ra 
( ) ( )0 0 1 .2f x f ax= = Do đó 0tan 0x = và ( )0tan 0.ax = 
Vì vậy 0x m= pi và 0ax n= pi với , .m n∈ℤ 
Do 0 0x ≠ nên 0
0
ax n n
a
x m m
pi
= = =
pi
 là số hữu tỉ. 
Điều này mâu thuẫn với a là số vô tỉ. 
Suy ra phương trình ( ) 1g x = chỉ có một nghiệm duy nhất 0,x = nên ( )g x không phải là hàm 
số tuần hoàn. Vậy, nếu ( )g x là hàm số tuần hoàn thì a phải là số vô tỉ. 
6. Hàm số hợp 
 6.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )y f x= xác định trên tập 1D và ( )y g x= xác định trên 2D . 
Khi đó ta gọi hàm số hợp của hai hàm số f và g kí hiệu g f được xác định 
( )( ) ( )y g f x g f x = =   xác định trên tập ( ){ }1 2| .D x D f x D= ∈ ∈ 
 6.2. Ví dụ 
Cho các hàm số ( ) lgy f x x= = ; 1( ) .
1
xy g x
x
+
= =
−
Xác định các hàm số hợp f g và .g f 
 12 
Giải. Ta có ( )( ) ( ) [ ] lg 1lg .
lg 1
xg f x g f x g x
x
+
 = = = 
−

Hàm số này xác định trên tập (0; ) \{10}.+∞ 
( )( ) ( ) 1 1lg .
1 1
x xf g x f g x f
x x
+ +   
 = = =     
− −   
 
Hàm số này xác định trên tập ( ) ( ); 1 1; .−∞ − ∪ +∞ 
Ví dụ này cho thấy .g f f g≠  
7. Hàm số ngược 
 7.1. Định nghĩa. Cho hàm số 
( )
:f X Y
x y f x
→
=֏
nếu với mỗi giá trị ( ),fy T f X∈ = có một và chỉ một x X∈ sao cho ( ) ,f x y= tức là phương 
trình ( )f x y= với ẩn x có nghiệm duy nhất, thì bằng cách cho tương ứng với mỗi ( )y f X∈ 
phần tử duy nhất ,x X∈ ta xác định được hàm số 
( )
( )
:g f X X
y x g y
→
=֏
( x thỏa mãn ( )f x y= ). 
Hàm số g xác định như vậy được gọi là hàm số ngược của hàm số .f 
Theo thông lệ, người ta thường kí hiệu đối số là x và hàm số là .y Khi đó hàm số ngược của 
hàm số ( )y f x= sẽ được viết lại là ( ).y g x= 
 Giả sử hàm số ( )y f x= có hàm số ngược, để tìm hàm số ngược của hàm số ( )y f x= ta 
giải phương trình ( )f x y= ẩn ,x phương trình này có nghiệm duy nhất ( ) ,x g y= đổi kí 
hiệu theo cách viết thông thường ta được hàm số ngược ( ).y g x= 
Chú ý. Người ta thường kí hiệu hàm số ngược của hàm số ( )y f x= là ( )1 .y f x−= 
 7.2. Ví dụ 
Cho hàm số 2 2y x x= − trên tập xác định [ )1; .+∞ Tìm hàm số ngược. 
Giải. 
 Trên tập xác định [1; )+∞ phương trình 2 2x x y− = có nghiệm duy nhất 1 1 .x y= + + 
Vậy hàm số ngược cần tìm là 1 1 .y x= + + 
Chú ý. 
 Từ định nghĩa của hàm số ngược, suy ra rằng: Tập xác định của hàm số ngược ( )1y f x−= 
là tập giá trị của hàm số ( ) ,y f x= tập giá trị của hàm số ngược là tập xác định của hàm số 
 13 
( ).y f x= 
 Dĩ nhiên hàm số ( )y f x= lại là hàm số ngược của hàm số ( )1 .y f x−= Vì vậy ta nói hai 
hàm số ( )y f x= và ( )1y f x−= là hai hàm số ngược nhau. 
 7.3. Điều kiện đủ để hàm số có hàm số ngược 
 7.3.1. Định lý. Mọi hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định của nó đều có 
hàm số ngược. 
Chứng minh. Giả sử hàm số ( )y f x= đồng biến trên tập xác định ,D với mỗi ( )y f D∈ có 
ít nhất x D∈ sao cho ( ) .f x y= Ta chứng minh rằng x là duy nhất. Thật vậy, giả sử còn có 
'x ( ' , 'x x x x≠ < chẳng hạn) sao cho ( )'y f x= , thế thì 'x x< sẽ kéo theo ( ) ( )'f x f x< vì 
hàm số đồng biến, do đó ( ) ( )' ;f x f x≠ điều này mâu thuẫn với ( ) ( )' .f x y f x= = Vậy theo 
định nghĩa, hàm số ( )y f x= có hàm số ngược. 
Chứng minh tương tự trong trường hợp hàm số nghịch biến. 
 7.4. Đồ thị của hàm số ngược 
 7.4.1. Định lý. Trong hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc ,Oxy đồ thị của hai hàm số ngược 
nhau ( )y f x= và ( )1y f x−= đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất .y x= 
Chứng minh. Giả sử hàm số ( )y f x= có tập xác định là D và tập giá trị là ( ),fT f D= khi 
đó hàm số ngược có tập xác định là ( )f D và tập giá trị là D . 
Gọi ( );M a b là một điểm trên đồ thị hàm số ( )y f x= ta có ( ) ( ), .a D b f a f D∈ = ∈ 
Theo định nghĩa của hàm số ngược, nếu x b= thì ( )1 ,f b a− = nên ( );N b a thuộc đồ thị của 
hàm số ngược ( )1y f x−= . Hai điểm M và N là đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ 
nhất .y x= Như vậy mỗi điểm thuộc đồ thị của hàm số ( )y f x= đều đối xứng với một điểm 
thuộc đồ thị hàm số ( )1y f x−= qua đường phân giác thứ nhất. 
 Ngược lại, ta cũng thấy rằng với mỗi điểm thuộc đồ thị của hàm số ngược ( )1y f x−= đều 
đối xứng với một điểm thuộc đồ thị của hàm số ( )y f x= qua đường phân giác thứ nhất. 
 Vậy, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất. 
Chú ý. Từ tính chất của đồ thị hàm số ngược ta suy ra rằng đồ thị của hai hàm số ngược nhau, 
nếu cắt nhau thì cắt nhau trên đường thẳng .y x= Từ đó ta có thể áp dụng để giải các phương 
trình dạng ( ) ( )1f x f x−= bằng cách đưa về phương trình ( )f x x= hoặc ( )1 .f x x− = Chẳng 
hạn ta xét ví dụ sau. 
Ví dụ. Giải phương trình ( ) ( )3 2 233 3. 3 3x a a x a a+ − = + − với ( )2;2 .a ∈ − 
Giải. Hàm số 
( )3 23
3
x a a
y
+ −
= luôn đồng biến trên ℝ nên có hàm số ngược là 
 14 
( )23 3 3 .y x a a= + − Hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( )
3 23
3
x a a
y
+ −
= và 
( )23 3 3y x a a= + − chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị y x= và ( )
3 23
3
x a a
y
+ −
= . 
Do đó phương trình đã cho tương đương với 
( ) ( )
( ) ( )( )
3 2
3 2
3 3 2 2
3
3 3 0
3
3 0 3 0
x a a
x x x a a
x a x a x a x ax a
+ −
= ⇔ − + − =
⇔ − − − = ⇔ − + + − =
212 3
2
x a
a a
x
=
⇔
− ± −
=
 (do ( )2;2a ∈ − nên 212 3 0a− > ). 
(Dĩ nhiên hai hàm số ( )3 23
3
x a a
y
+ −
= và ( )23 3 3y x a a= + − không trùng nhau) 
Bằng phương pháp như trên chúng ta có thể giải được phương trình 
3 31 2 2 1. (1)x x+ = − 
Thật vậy phương trình (1) có thể viết được dưới dạng 
3
31 2 1
2
x
x
+
= − 
Hàm số 
3 1
2
xy += có hàm số ngược là 3 2 1y x= − (hai hàm số này không trùng nhau), nên 
phương trình (1) tương đương với 
3 1
2
x
x
+
= , từ đó ta được nghiệm 1 51; .
2
x x
− ±
= = 
Chú ý. Giải phương trình (1) có thể đặt 3 2 1y x= − suy ra 3 1 2 .y x+ = Khi đó, phương trình 
(1) được viết thành hệ phương trình 
3
3
1 2
1 2
x y
y x
 + =

+ =
 Đây là hệ phương trình đối xứng ta sẽ nghiên cứu ở phần sau. 
8. Các hàm số sơ cấp cơ bản 
Ta gọi các hàm số sau đây là hàm số sơ cấp cơ bản 
 8.1. Hàm hằng: ,y a a= ∈ℝ 
Hàm hằng y a= có tập xác định ,D = ℝ tập giá trị { }.yT a= 
 8.2. Hàm số lũy thừa: ( ) ,y f x xα= = α ∈ℝ 
Tập xác định của hàm số lũy thừa y xα= tùy thuộc vào ,α cụ thể ta có: 
+ Nếu α nguyên dương thì .D = ℝ 
+ Nếu α nguyên âm hoặc 0α = thì *.D = ℝ 
 15 
+ Nếu α không nguyên thì .D += ℝ 
Miền giá trị của hàm số lũy thừa cũng tùy thuộc vào ,α chẳng hạn: 
· 2,α = ta có 2( ) ; [0; ).fy f x x T= = = +∞ 
· 3,α = ta có 3( ) ; .fy f x x T= = = ℝ 
· 
1
,
2
α = ta có 
1
2( ) ; [0; ).fy f x x T= = = +∞ 
· 
1
,
3
α = − ta có 
1
3( ) ; .fy f x x T
− +
= = = ℝ 
Chú ý. Với mọi ,α ∈ℝ đồ thị của hàm số lũy thừa y xα= đi qua điểm (1;1). 
 8.3. Hàm số mũ: ( ) , 0, 1xy f x a a a= = > ≠ 
Hàm số mũ xy a= có tập xác định .D = ℝ Miền giá trị của hàm số mũ là (0; ).fT = +∞ 
+ Nếu 1,a > thì hàm số mũ đồng biến trên tập xác định. 
+ Nếu 0 1,a< < thì hàm số mũ nghịch biến trên tập xác định. 
Chú ý. Đồ thị của hàm số mũ đi qua điểm (0;1).