Toán học - Đề cương ôn tập lý thuyết giải tích hàm

Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 
Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 1 - 
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH HÀM 
( Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Hữu Khánh) 
{ }
{ } ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]
Banach. gian khônglà XVậy : đó Do n thì n Cho 
 : có Ta 
 :đó Khi tụ. hội chuỗi nên tụ hội : chuỗi Vì
 : chuỗi Xét 
 : biệt Đặc
 : có ta : đó Khi X.trong CauChy dãy là sử Giả 
đủ. đầy là Xthì tụ hộilà đốituyệt tụ hộichuỗi mọi nếu CM cần ta trên, lý định Theo 
:minh Chứng 
tụ. hộiđều Xtrong đốituyệt tụ hộichuỗi Mọi Banach gian khônglà Xchuẩn định gian Không 
 : được ta n Cho 
: có ta n ,Mặt khác . tụ hội chuỗi rasuy Ta
s: có ta cho sao 
Banach) Xdo ( Cauchy dãy tụ hội tụ hội vậy,Thật 
: có ta cho sao tụ hội chuỗi đó Khi Banach. gian khônglà X
: có ta cho sao nên tụ hội số chuỗi Vì 
:minh Chứng 
: có và tụ hội chuỗi thì Xtrong đốituyệt tụ hộichuỗi là và Banach gian khônglà XNếu 1)
k
1n1n
1n
1n
pn
1k1n
1n
1n
1n1n
1n1n
.lim.
.
lim...limlim
...
.
2
1
.
2
1,,
)2
.
.......
....,0,0
.... 
,0,0
.......
,0,0
.
123121
1
23121
1
1
1
2121
21
21
2121
Xxx
xxxxxx
Xxxxxxxxxsx
xx
xxxxx
xx
xxnnNnNkx
xx
xxxxxxx
x
xxxspNnN
sxsx
xxx
pNnNx
xxxxxx
pNnNx
xx
xx
n
n
nnnn
n
k
nnnnnnn
k
k
k
k
nn
nnnnn
knn
knmkkknn
nn
nnn
n
pnnnn
n
n
knn
pnnn
n
pnnnpnnn
n
nn
nn
kk
kkk
kk
kk
∈=∞→∞→•
−+−≤−•
∈=−++−+−+==
∗−−
∗+−+−+•
<−
∈∃∈∀•
•
∗
⇔
≤∞→•
≤+++≤+++
∀•
≤+++=−∀>∀>∃>∀⇔
−⇔−
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ =⇔
≤+++
∀>∀>∃>∀⇔•
<+++≤+++
∀>∀>∃>∀•
∗
≤
∞→
∞→∞→∞→
∞
=
−
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
++++
=
∞
=
+++
∞
=
++++++
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
+
+
∑
∑∑
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑∑
∑∑
εε
ε
ε
ε
ε
o
Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 
Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 2 - 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
{ }
( )
( ) { }
( ) .,,,
.,lim,:
1..:
.,,:0,0
~
.0...~...~~~
~...~~~...~.
.1~
2
1~
~,
~~
)4
.,11.1
.11
..,
..1,
.1
.,0
1
.),100
.0inf,
".,11
,0,
221122112121
1
2121
2121
11
11
11
0
0
0
00000
00
00
0
0
0
0
0
0
00
00
0
AxAxxxAXxxK
XxxAAxYXA
xAxAXx
xxAAxAxAXx
ANmnNA
x
uuuxxxxx
xxxxuuuxxuxx
xuxu
xuNn
xx
Yy
dd
dd
d
yx
dyz
dyz
dyyzyzYyyzyYyy
yyzyz
yz
y
yz
yzyxYy
x
yz
yzx
dyzdYyd
yzYzdd
Yyyxx
xYz
n
n
nnn
mnmn
mnn
n
n
nn
nnn
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
nn
n
n
n
n
Yy
αααααα
ε
εε
εδ
δ
δδ
δδ
δε
εδεε
ε
ε
+=+∈∀∈∀
•
∈=→•
−⇒∈∀⇒
<−≤−∈∀•
∀>∃>∀•
∗
−•
→+++−≤+++−
+++−∈+++−∈=−•
+<⇒+<
∈∃∈•
−•
•
∗
∈∀−=+−=+=+>−•
+>−⇒+<−•
>−+−∈−+∈•
−+−−=−−
−=−∈∀•
=→−
−=•
+−=∀•
>−==∉•
∗
∈∀−>−=
∃>∀∉∀
∞→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∈
∑
∑∑
∑∑
∑∑
 : có .Ta :CM cần Ta 
 tính. tuyến tử toán là A thấy Dễ 
 : Đặt 
tụ. hội dãy nên Banach - Y Do Y. trong Cauchy dãy là
 : đó Do 
A : có ta : đó Khi Y).L(X, trong Cauchy dãy là sử Giả 
:minh Chứng 
Banach. KG là YX,L thì Banach KG là Y Nếu 5)
tụ. hội Vậy 
: nên Vì X/Y. có Ta Gọi . tụ hội : đó Do 
:cho sao mỗi với thương, KG trong chuẩn của nghĩa định Theo 
tụ. hội chuỗi là nghĩa X/Y,trong đốituyệt tụ hội chuỗi sử Giả 
tụ. hộiđều X/Ytrong đốituyệt tụ hộichuỗi mọi CM Ta 
:minh Chứng 
Banach. KG 1 là X/Ythì Xcủa đóng con KG là Y và Banach KG là XNếu 
 : đó Do 
 : Mặt khác 
 : đó Do : nên và con KG là Y Vì 
 : có ta đó Khi 
 và z và Y bởinên gây tính tuyến con KG thuộc x : Đặt 
 : :inf nghĩa định theo với chọn thể có ( béđủ 
 : nên đóng Y Y,z Vì 
:minh Chứng 
 và : cho sao z và Y bởinên gây tính tuyến con gian khôngthuộc
 thì Xchuẩnđịnhgiankhôngcủađóngcon gian khônglà Y Nếu " :Riesz Lý Định3)
n
0
Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 
Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 3 - 
 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
{ }
{ }
( ) ( )
{ } { }
( )
{ }
{ }
( ) ( )1222
&
.lim&
.1,
.0inf,
.
inf
.,,0
.......
.,
)7
.,,, Ta 
,...,,,1,0.0,0
.,.,.,.,00
,1.0..,...,,
.,...,,
.,2
.,,,
2.
2222
22
2
2
1
2
21
2
2
2
1
2
1 1
2
1
21
2
21
1
2
2
1
21
mnmnmn
mn
nn
n
nn
n
nn
Mu
Mu
nnnn
mnmn
mnnmmnmmmn
n
in
n
in
nnnn
n
i
iii
n
i
n
j
jjji
n
i
i
njjjjj
jjjjiijiij
iin
n
i
i
n
i
in
n
nnn
n
uxuxuuuux
uxux
u
duxMu
n
duxdMuNn
uxMxdd
uxyx
s
mnmnss
xxxxxxss
mnxxs
xxx
xxxxxxxx
xxxnjxxxx
xxxxxxx
njxSxxx
xxSxxx
NnAA
YXLAAAAYXLAANnXx
xAxxA
−+−=−++−
−−
•
=−⊂∞→•
+<−≤∈∃∈∀⇒•
>−==∉•
∈∈+=∈•
∗
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−∈∈+=
∈
⇔•
∞→∞→−⇔∞→→−•
−=+++=+++=−
>∀==•
∗
⇔
====•
⇒
⇒=∀=>=≠•
====
=∀=∈•
∗
=∈
>∀<−⇒•
∈−−=→∈−→>∀∈∀•
≤−∞→•
∞→
∈
⊥
∈
⊥
++++
==
∞
=
∞
=
=== ====
==
=
==
∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑∑∑
∑∑
∑
∑∑
: có ta cho hành bình hìnhthức đẳng dụng áp vậy,Thật 
 bản).cơ dãy hay( Cauchy dãy là CM Ta 
 được ta n Cho 
 : cho sao inf nghĩa định Do 
 : nên đóng M Vì :M x Khi 
M 0 M, x với 0, x x :viết thể có ta thì M x Khi 
: minh Chứng 
. nhất x gần M của tử phầnlà y đó trong ,M z M, y với z, y x
dạngnhất duy diễn biễuđều X x mọi đó Khi Hilbert X. gian khôngcủa đóng con gian khônglà M sử Giả 8)
. tụ hội tụ hội nên đầy gian khônglà XDo
 : đó Do 
: có ta Pythagore, lý định Theo Gọi 
: minh Chứng 
. tụ hội chuỗi tụ hội chuỗi đó Khi Hilbert X. gian khôngtrong giao trực hệlà sử Giả 
 : có
tính. tuyến lập độc hệlà S
tính. tuyến lập độc hệlà : đó Do nên Vì 
: có ta đó Khi : sử Giả : tơ véc n Lấy 
: minh Chứng 
 : có ta : tơ véc n với nữa, Hơn
tính. tuyến lập độc hệlà S đó Khi 0. kháctơ véc cácgồm giao trực hệ1 là S sử Giả " :Pythagore lý Định6)
Banach. KG là Y)L(X, Vậy Y).L(X, trong A về tụ hộiA thấy Cho 
 :thì m cho 1 Từ 
1i1i
1n1n
n
1i
n
1j
n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
n
σ
σσ
σσ
σ
α
ααα
α
ε
ε
Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 
Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 4 - 
( )
( ) ( ) ( )
( )
{ }
{ }
( ) ( )
( )
( )
{ }
( )
{ }
.,,,
...
.,...,.,,1,.,1,.
.0,,.,,.,,,1
..,...2,1.
.",,,
'.&'0'','','0
..''
.
.0,.0,'
.,0,2.,2
,
.,2,2,,2,,
..
.lim
.0lim2lim4
20421
.442.
2
1
2
1
2
1
22
1
22
2
1
2
11
11
11
2
1
2
2
222222
222
2222222
,
222
,
2
2222
2
2
2
iexx
yeyeyx
eeynjeyniey
exeeexeexeynj
eyxnexy
iexx
e
zzyyyyyyyyzzyy
zzyy
MzMzuzuz
Ruzufduuzd
Muyduyxuzuzuz
uuzduuzzuuuzzzuzuz
dzzyxyxz
duxyx
u
u
uudduud
uuduxux
duuxuuxduuxMuu
i
i
i
n
i
i
n
i
in
n
i
iin
n
i
iin
nnnjjniin
jj
n
i
jiiij
n
i
iijn
n
i
iin
n
i
iin
i
i
i
ii
n
n
nn
nn
mn
mn
mn
mn
mnmn
mn
mn
mnmn
∀=≤∞→•
≥+=+=+=
•
⇒=∀⊥⇒=∀⊥⇒
=−=−=−==∀•
+=⇒=−=∈∀•
∗
∀=≤
∈∀
==⇒=−⇒−−=−−=
∈∈−=−
∈∈+=+=•
∈∈+=•
∈⇔⊥⇔=⇔≤=Δ•
∈∀≥−=⇒≥+−⇒
∈+≥+−=−=−−•
+−=+−=+−=−−
∈∀∈∀•
∈⇔⊥=+=⇔−=•
=−=−
•
•
=−⇔+≤−+∞→•
≥−+≥−+−⇒•
≥+−=+−≥+−∈+•
∑
∑∑∑∑
∑∑
∑∑
∑
∞
=
====
==
==
∞
=
⊥⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
∞→
∞→∞→
i
i
 với thì n Cho 
: có ta Pythagore lý định Theo 
giao. trực hệ
 : có ta 
 đặt X, x 
:minh Chứng 
 với 
:có ta Xx đó Khi Hilbert X. gian khôngtrong chuẩn trực hệlà sử Giả " :Bessel thức đẳngBất 9)
 : đó Khi 
M z- z' M, y' - y nên con gian khôngcác làM và M Vì : đó Khi 
Mz,z'M,y'y, z'y' zy x sử giả vậy,Thật nhất. duy là diễn biễuSự 
M z M, y với z y x có ta lại,Tóm 
 raxảy này Điều đó Từ 
 :Mặt khác 
 : có ta R M, u Lấy 
M z M z :CM Ta và : Đặt 
 : đó Khi 
M. thuộc y tử phầnvề tụ hội dãy đó Do đầy. M nên đầy Xtrong đóng M Vì 
M. trong ) bảncơ dãy hay( Cauchy dãy là đó Do 
 : được ta m n, khi(2) hạngiới qua Cho 
2
 : đó Khi 
2
 nên 
2
 Vì 
ξξ
ξξξξ
ξξξξ
ξξξ
ξξ
ξξ
αααααα
ααααα
αααααααα
α
Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 
Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 5 - 
{ }
{ } ( )
{ }
( )
{ {
{ } { }( )( )
( ) ( ) { }
( ) ( ) { { ( )
( ) ( )
( ) ( ) {
( ) ( ) .lim,:
.00,0,.,:
.,:
.lim,lim
,limlim,lim,,
,...2,1,,,,:
.0
.,:
.
.,,,,,
.
.
,...2,1,)11
.,0,lim,&
.,
11
1
22
1
22
111
111111
11
1
1
1
22
1
111
1
2
1
2
1
2
1
1
∑∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑
∑
=∞→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
==∞→=∞→
==∞→=∞→=∞→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
==∞→
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
==∈∀⇒•
=⇒==⇒∀==∀⊥⇒•
===⇒•
===
===
===⇒•
=⇔=−
∀⊥⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⇒•
∗
=
===⇒∈∈∀
=⇒∈∀
=⇒∈∀
==
∀⊥⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⇒=−=−>∀•
∞<≤=•
∗
∀⊥⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
∈∀
n
i
ii
ni
ii
i
iiii
i
i
i
ii
n
i
ii
n
n
i
iiii
n
n
j
jj
n
i
ii
n
n
j
jj
n
n
i
ii
nj
jj
i
ii
jjii
i
ii
i
ii
iij
i
ii
iii
iiii
i
ii
i
i
i
ii
ii
iii
j
i
iij
n
i
ii
n
j
i
ii
i
ii
i
i
i
ii
j
i
ii
i
iiii
eexXxvii
xxiexiexiiii
xxxiiiiv
ee
eeeeeeyx
jieyexivii
exex
ejeexiii
XeLe
eyexyxXyXx
xXx
exXx
e
iexe
jeexeexeexjnj
exe
jeex
ee
ξξ
ξξ
ξ
ηξηξηξ
ηξηξηξ
ηξ
ξξ
ξ
ηξηξ
ξ
ξ
ξ
ξξξ
ξξξ
ξ
ξ
 : có ta đó Khi (ii). có sử Giả 
 : đó Từ và (iii) có sử Giả 
 :được ta thì x y cho (iv) Từ 
: có ta Với 
:nên đủ đầy chuẩn trực hệlà Vì có ta (10) câu Theo 
:minh Chứng 
 là nghĩa Xtrongmật trù tính tuyến Hệ (v) 
 với (iv) 
Passerval thức đẳng (iii) 
 (ii) 
đủ. đầy chuẩn trực hệlà (i) 
:đương tương là sau đề mệnh các đó Khi .e với đối x 
 củaFourier số hệlà và Hilbert X gian khôngtrong chuẩn trực hệlà sử Giả 
 : có ta : Mặt khác 
. tụ hội chuỗi rasuy ta (7) câu theo nên Vì 
:minh Chứng 
 và 
 tụ hội chuỗi X x đó Khi Hilbert X. gian khôngtrong chuẩn trực hệlà sử Giả 10)
i si Cờ
j ta êi si Cờ
i ta êi si Cờ
i
i
Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 
Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 6 - 
{ }( )
( ) ( ) { }( ) { }( ) { } đủ. đầy chuẩn trực hệlà và (v) có sử Giả 
 nên e tử phầncác tính tuyến hợptổ các dãy 1 của hạngiới là x thấy Ta i
iiiii
i
exeLxeLxiexiv
eLx
⇒=⇒⊥⇒⊥⇒∀⊥⇒•
∈
0,:
.