Toán học - Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

Cao Văn Dũng
 	 Lớp K50 SP toán - khoa Sư Phạm – ĐHQGHN
§c: 575\14 Lê Duẩn - Chî Ea tam--Ph­êng EA Tam-TP BMT-§AKLAK
 Phone : 0989966850
 Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức
Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ dàng hơn.
Sau đây là một số ví dụ : 
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: 
Ta đặt nên BĐT 
 (đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: . CMR: 
Đặt với từ giả thiết 
Và BĐT cần CM CM BĐT 
mặt khác ta có BĐT sau: 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD3: Cho x, y, z >0 thoả . CMR 
 Từ giả thiết ta có thể đặt: với a,b,c >0
Nên BĐT CM 
 (đúng)
Dấu “=” xảy ra 
VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR 
 Ta đặt với nên BĐT CM BĐT 
mặt khác ta có 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR: 
Do nên ta có thể đặt với 
Nên BĐT có thể viết lại 
 (đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
 CMR : 
Ta đặt với và do nên 
Nên BĐT 
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có: 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: . 
 CMR: 
Từ 
Ta đặt với 
Nên BĐT cần CM CM BĐT 
Mặt khác ta có: 
Nên 
 Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra 
Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác: 
 1, 
 2, 
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . CMR:
 1, 
 2, 
 Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt 
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn . 
 CMR: 
Bài 4: Cho thoả mãn . CMR: 
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
 1, với S là diện tich tam giác
 2, 
Gợi ý: Đặt