Toán học - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
77 
TĨM TẮT LÝ THUYẾT 
 • Hàm số ( )f x xác định và cĩ liên tục trên đoạn ;a b   thì ( )'f x xác định trên khoảng ( );a b . 
 • Hàm số ( )f x xác định và cĩ liên tục trên nửa đoạn ) ( ; ;a b hay a b   thì ( )'f x xác định trên 
khoảng ( );a b . 
 • Hàm số cĩ thể khơng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
max max , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
min min , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( )( )
0 0
,
max
,x D
x D f x M
M f x
x D f x M∈
∀ ∈ ≤
• = ⇔ 
∃ ∈ =
( ) ( )( )
0 0
,
min
,x D
x D f x m
m f x
x D f x m∈
∀ ∈ ≥
• = ⇔ 
∃ ∈ =
CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN 
Ví dụ 1: 
Giải : 
Xét : 
2
1 ( 1 ) 1 1 1 1
2(2 1)( 1) 2 ( 1) 14 4 1
n n n n
n n n n n n nn n
 + − + −
= < = − 
+ + + + ++ +  
Vậy :
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 23 3 5 1
n
S
n n n
   
< − + − + + − = −   
+   
2
2 2 2
2 1 1 1
2 2( 2)4 4 4 4
n n
n
S S
n nn n n
< − < − = − ⇒ <
+ ++ + +
2001 2001
2 2001 2001
2001 2 1
2003 2003 4006
n S S= ⇒ < − = ⇒ < 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Chứng minh rằng : 
1 1 1 1 2001
...
40063(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
+ + + + <
+ + + +
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
78 
Ví dụ 2: 
Giải : 
Vận dụng bất đẳng thức a b a b− ≥ − . Dấu " "= xảy ra khi 0ab ≥ 
1 1
2 2
2008 2008
1 1
1 1
.......................
1 1
x x
x x
x x
 − ≥ −

− ≥ −


 − ≥ −
1 2 2008 1 2 2008
2008 1
1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1
so
E x x x x x x⇒ = − + − + + − ≥ + + + − + + +
 
Hay 2009 2008 1E ≥ − = 
Dấu " "= xảy ra khi 1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , ..., 0
... 2009
x x x x x
x x x
 ≥

+ + + =
Vậy min 1E = khi 1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , ..., 0
... 2009
x x x x x
x x x
 ≥

+ + + =
Ví dụ 3: 
Giải : 
Ta cĩ 2 2( , ) ( 1) ( 1) 5 5P x y x y= − + + + ≥ ,x y∀ ∈ ℝ 
Dấu " "= xảy ra khi 
1
1
x
y
 =
 =
Vậy min ( , ) 5P x y = khi ( ) ( ), 1;1x y = 
Ví dụ 4: 
Cho 
1 2 3 4 2008
, , , ...,x x x x x thoả mãn 
1 2 2008
... 2009x x x+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
1 2 2008
1 1 ... 1E x x x= − + − + + − 
Tìm GTNN của biểu thức 2 2( , ) 2 2 7P x y x y x y= + − + + . 
Cho 2 2 9 0x y z+ − − = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )P x y z= − + − + − . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
79 
Giải : 
Trong khơng gian Oxyz ta xét điểm ( )1;2;3A và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0x y zα + − − = 
Nếu ( ) ( ); ;M x y z α∈ thì 2 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )AM x y z= − + − + − 
Mà 
2 4 3 9
( ; ) 2
4 4 1
AM d A α
+ − −
≥ = =
+ +
 nên 2 2 2(1 ) (2 ) (3 ) 4P x y z= − + − + − ≥ . 
Dấu " "= xảy ra khi ( ); ;M x y z là chân đường vuơng gĩc hạ từ ( )1;2;3A lên mặt phẳng ( )α . 
Vậy min 4P = . 
Ví dụ 5: 
Giải : 
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−
2
2 2
( 2 1) 5.( 1) 9 5 9
1
1( 1) ( 1)
x x x
A
xx x
− + + − +
= = + +
−− −
ðặt 
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
2
2 5 11 111 9 3
6 6 6
A t t t
 
= + + = + + ≥ 
 
Dấu " "= xảy ra khi 5 1 5 13
8 1 8 5
t x
x
= − ⇔ = − ⇔ = −
−
2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +
2
2 2
3( 2 1) 2( 1) 1 2 1
3
1( 1) ( 1)
x x x
B
xx x
− + − − +
= = − +
−− −
Tìm GTNNcủa biểu thức 
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−
2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +
2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
80 
ðặt 
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
( )223 2 1 2 2B t t t= − + = − + ≥ 
Dấu " "= xảy ra khi 11 1 2
1
t x
x
= ⇔ = ⇔ =
−
Vậy min 2B = khi 2x = 
2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ 
Bài tốn này cĩ rất nhiều cách giải và tơi đã giới thiệu trong chuyên đề bất đẳng thức. Nhân đây tơi 
giới thiệu 5 cách giải độc đáo . 
Cách 1 : 
2
22 2
1 3 1 3
2 2 2 2
N x x
      
   = + + + − +            
2 22 2
1 3 1 3
( ) 0 ( 0
2 2 2 2
N x x
      
   = − − + − − + − + −            
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy xét các điểm ( )1 3 1 3, , , , , 0
2 2 2 2
A B C x
   −
   −
   
   
Dựa vào hình vẽ ta cĩ N AC CB AB= + ≥ 
2 1AC x x= + + , 2 1BC x x= − + 
Mà 
22
1 1 3 3
2 2
2 2 2 2
AB AB
  
 = + + + = ⇒ =      
Dấu " "= xảy ra khi , ,A B C thẳng hàng , hay 
0x = , nghĩa là C O≡ 
Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 2: Dùng bất đẳng thức vectơ : 
a b a b N a b+ ≥ + ⇒ ≥ +
     
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
81 
Chọn : 2 2
1 3 1 3
; 1, ; 1
2 2 2 2
a x a x x b x b x x
   
   = − + ⇒ = − + = + ⇒ = + +
   
   
   
( )
2
2(1; 3) 1 3 2 2a b a b N+ = ⇒ + = + = ⇒ ≥
   
Dấu " "= xảy ra khi 0a b x= ⇔ =

Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 3: 
Do 2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ , do đĩ gợi ta nghĩ đến bất đẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân . 
Ta cĩ : ( ) ( ) 42 2 4 242 1 1 2 1 2,N x x x x x x x≥ − + + + = + + ≥ ∈ ℝ 
Dấu " "= xảy ra khi 
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x
 + + = − +
⇔ =
+ + =
Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 4: 
Vì ( )
2
2 2 4 2
2
1 0,
0, 2 1 2 1
1 0,
x x x
N x N x x x
x x x
 − + ≥ ∀ ∈
⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = + + + +
+ + ≥ ∀ ∈
ℝ
ℝ
ℝ
Do 
2
4 2
1 1
1 1
x
x x
 + ≥

+ + ≥
. ðẳng thức đồng thời xảy ra khi 0x = , nên 2 4 2N N≥ ⇒ ≥ 
Vậy min 2N = khi 0x = 
 Cách 5: 
Dễ thấy ( ) 2 21 1,N f x x x x x x= = + + + − + ∈ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ . 
Với 
1 2
0x x∀ > > , ta cĩ ( ) ( )1 20, 0f x f x> > nên dấu của ( ) ( )1 2f x f x− cũng là dấu của 
( ) ( )2 21 2f x f x− 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 2 4 21 2 1 2 1 1 2 22 2 1 1 .f x f x x x x x x x− == − + + + − + + 
Vì 
2 2
1 2
1 2 4 2 4 2
1 1 2 2
0
0
1 1
x x
x x
x x x x
 > >
> > ⇒ 
+ + ≥ + +
 nên ( ) ( )2 21 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > 
Suy ra ( ) ( )1 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > 
Với 0x > thì hàm số ( )f x luơn đồng biến và 0x < thì hàm số ( )f x luơn nghịch biến và ( )0 2f = 
Vậy ( )f x đạt được giá trị cực tiểu tại 0x = . Do đĩ min 2N = khi 0x = . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
82 
Ví dụ 6: 
Giải : 
Ví dụ 7: 
Giải : 
2
2 2 2
3 6 10 4 4
3 3 7
2 2 2 2 ( 1) 1
x x
A
x x x x x
+ +
= = + = + ≤
+ + + + + +
Dấu " "= xảy ra khi 2( 1) 0 1x x+ = ⇔ = − 
Vậy max 7A = khi 1x = − 
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Vì 0x > nên 0M > .Do đĩ 
1
max minM
M
→ ⇔ → 
2 2 2 2
21 1 2 .2000 2000 2.2000 2000 4.2000( 2000) .
x x x x x
x
M x x x
+ + − + +
= + = = 
21 ( 2000)
8000 8000
x
M x
−
= + ≥ 
Tìm GTLNcủa biểu thức 
2
2
3 6 10
2 2
x x
A
x x
+ +
=
+ +
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Tìm GTLN và NN của biểu thức 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
83 
Dấu " "= xảy ra khi 2000x = 
1 1
min 8000 max
8000
M
M
= → = 
Vậy 
1
max
8000
M = khi 2000x = 
Ví dụ 8: 
Giải : 
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 10 3
, 3 2 5 3 0, *
3 2 1
x x
A x A x A x A x
x x
+ +
= ∀ ∈ ⇔ − + − + − = ∀ ∈
+ +
ℝ ℝ 
• 23 2 0 ,
3
A A x− = ⇔ = ∀ ∈ ℝ 
• 23 2 0 ,
3
A A x− ≠ ⇔ ≠ ∀ ∈ ℝ phương trình ( )* là phương trình bậc 2 đối với x . Do đĩ phương 
trình ( )* cĩ nghiệm nếu ( ) ( ) ( )2 55 4 3 2 3 0 7
2
A A A A∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ 
Vậy 
5
max 7,min
2
A A= = 
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ 
ðặt tan 2,
2 2
u x x
π π−
= < < 
4 2 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
3 tan 4 tan 3 3cos 4 sin cos 3 sin sin 2
( ) 3
2(1 tan ) (sin cos )
u u u u u u u
A g u
u u u
+ + + +
= = = = −
+ +
Vì 2
5 5
5 min ( ) min
0 sin 2 1 ( ) 3 2 2
2 max ( ) 3 max 3
g u B
u g u
g u B
 
= = 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒ 
 = = 
Ví dụ 9: 
Giải : 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
2
2
2 10 3
,
3 2 1
x x
A x
x x
+ +
= ∈
+ +
ℝ 
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ 
Cho 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T xy yz zx= + + . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
84 
Ta cĩ 2 2 2 2( ) 0 2( ) 0x y z x y z xy yz zx+ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ hay 
1
1 2 0
2
T T+ ≥ ⇔ ≥ − 
Dấu " "= xảy ra chẳng hạn khi 
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = − 
Vậy 
1
min
2
T = − chẳng hạn khi 
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = − 
Mặt khác 
2
2 2 2 2
2
( ) 0
( ) 0 2( ) 2( )
( ) 0
x y
y z x y z xy yz zx
z x
 − ≥

− ≥ ⇒ + + ≥ + +
 − ≥
 hay 2 2 1T T≥ ⇔ ≤ 
Dấu " "= xảy ra khi 
3
3
x y z= = = ± 
Vậy max 1T = khi 
3
3
x y z= = = ± 
Ví dụ 10: 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. 
2
1 1 (1 )(1 )
xyx y
x y x y
+ ≥
+ + + +
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )x y x y
+ ≥
+ + + +
Cộng vế theo vế , ta được: 
( )
22 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+ +
≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ +
+ + + +
Dấu " "= xảy ra khi 0x y= > 
Ví dụ 11: 
Giải : 
Chứng minh rằng với mọi 0, 0x y> > , ta luơn cĩ ( )
2
(1 )(1 ) 1x y xy+ + ≥ + . 
Cho 4a ≥ , chứng minh rằng : 1 17
4
a
a
+ ≥ 
. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
85 
Ta cĩ : 
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + + 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương 
16
a
 và 
1
a
 . 
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2
a a
a a
+ ≥ = = 
Mà 
15 15 15
4 .4
16 16 4
a
a ≥ ⇒ ≥ = 
Vậy :
1 1 15 17
16 16 4
a a
a
a a
+ = + + ≥ 
Dấu " "= xảy ra khi 4a = . 
Ví dụ 12: 
Giải : 
ðặt 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1A
a b c a b c a b b c a c a b c
         
= + + + = + + + + + + +         
         
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta được: 
3
2 2 2 3 3 3
3 3 1 1
1 1A
abc abca b c a b c
 
≥ + + + = + 
 
Và 
3
1 1
8 8
3 8
+ + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ 
 
a b c
abc abc
abc
Vậy : 
3
1 729
1
8 512
A
 
≥ + = 
 
. Dấu " "= xảy ra khi 2a b c= = = . 
Cho 0x y> ≥ . Chứng minh rằng : 
2
4
3
( )( 1)
x
x y y
+ ≥
− +
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 
2
8
2 2 , 1, 1,
( )( 1)
x y y y
x y y
− + +
− +
2
4
2 2
8 8
2 2 2( 1) 4 2( )( 1)
( )( 1) ( )( 1)
x y y x y y
x y y x y y
⇒ − + + + ≥ − +
− + − +
2 2
4 4
1 4 3
( )( 1) ( )( 1)
x x
x y y x y y
⇔ + + ≥ ⇔ + ≥
− + − +
Cho , , 0a b c > thoả mãn 6a b c+ + = . Chứng minh rằng : 
3 3 3
1 1 1 729
1 1
512
a
a b c
     
+ + + ≥     
     
. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
86 
Dấu " "= xảy ra khi 
2
8
2 2 2( 1) 2; 1
( )( 1)
x y y x y
x y y
− = + = ⇔ = =
− +
Ví dụ 13: 
Giải : 
ðiều kiện : 2008x ≥ . 
ðặt 
2
2
2007 0 2 2009
20082008 0
a x x a
x bb x
 = − ≥ + = + 
⇒ 
= += − ≥  
, ta cĩ : 
2 2
1 1
2009 20082009 2008
a b
A
a b
a b
a b
= + = +
+ + + +
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân 
2009 2008
2 2009, 2 2008a b
a b
+ ≥ + ≥ 
Do đĩ 
1 1
2 2009 2 2008
A ≤ + 
Dấu " "= xảy ra khi 
2 2
2 2
2009
2009 2007
4006
2008 2008 2008
a a x a
a x
b x b
b
b

=   = = +  
⇔ ⇒ ⇒ =  
= = +   =

Vậy 
1 1
max
2 2009 2 2008
A = + khi 4006x = 
Ví dụ 14: 
Giải : 
Với , 0x y > ta luơn cĩ 1 1 4
x y x y
+ ≥
+
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 1
2 2 2 2
A
x y xy x y xy xy x y xy xy
= + = + + ≥ +
+ + + +
 hay 
( )
2
4 1
A
xyx y
≥ +
+
Mặt khác 
( )2 1
2
4 4
x y
x y xy xy
+
+ ≥ ⇒ ≤ = 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2007 2008
2
x x
A
x x
− −
= +
+
. 
Cho , 0x y > thoả mãn 1x y+ = . Tìm GTNN của biểu thức 
2 2
1 1
A
x y xy
= +
+
. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
87 
Do đĩ 
1
4 6
1
2.
4
A ≥ + = 
Vậy min 6A = khi 
1
2
x y= = 
Ví dụ 15: 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân 
2 , 2 , 2x y xy y z yz z x zx+ ≥ + ≥ + ≥ 
( ) ( ) ( ) ( )28 8x y y z z x xyz xyz⇒ + + + ≥ = 
1
( )( )( ) 8 8
xyz xyz
M
x y y z z x xyz
⇒ = ≤ =
+ + +
Vậy 
1
max
8
M = khi 0x y z= = > 
Ví dụ 16: 
Giải : 
2 3 4c a b
A
c a b
− − −
= + + 
( 2).2 1 1 ( 2) 2 2 1
2 ( 2).2
2 22 2 2 2 2 2
c c c c
c c
c
− − + −
− = = − ≤ = ⇒ ≤ 
Dấu " "= xảy ra khi 2 2 4c c− = ⇔ = . 
Tương tự : 
3 1
2 3
a
a
−
≤ .Dấu " "= xảy ra khi 6a = . 
4 1 1
42 4
b
b
−
≤ = . Dấu " "= xảy ra khi 8b = . 
Cho , , 0x y z > . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )( )( )
xyz
M
x y y z z x
=
+ + +
. 
Tìm GTLN của biểu thức 
2 3 4
, 3, 4, 2
ab c bc a ca b
A a b c
abc
− + − + −
= ≥ ≥ ≥ 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
88 
Vậy 
1 1 1
min
42 2 2 3
A = + + khi 6, 8, 4a b c= = = . 
Ví dụ 17: 
Giải : 
1 1 1 9
, , 0x y z
x y z x y z
> ⇒ + + ≥
+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z
Q
x y z x y z x y z
+ − + − + −
= + + = + + = − + +
+ + + + + + + + +
9 9 3
3 3
1 1 1 4 4
Q
x y z
≤ − = − =
+ + + + +
Dấu " "= xảy ra khi 
1
3
x y z= = = 
Vậy 
3
max
4
Q = khi 
1
3
x y z= = = 
Ví dụ 18: 
Giải : 
( ) 3 1) , 0;2
3
x
a f x x
x
−  = ∈  −
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;2   . 
Ta cĩ ( )
( )2
8
' 0, 0;2
3
f x x
x
−  = < ∀ ∈  
−
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
( ) 3 1)
3
x
a f x
x
−
=
−
 trên đoạn 0;2   
( ) 4 2) 2 3b f x x x= − + trên đoạn 3;2 −  
( ) ( )36 2) 4 1c f x x x= + − trên đoạn 1;1 −  
( )
2
2
3 10 20
)
2 3
x x
d f x
x x
+ +
=
+ +
Cho , , 0x y z > thoả điều kiện 1x y z+ + = . Tìm GTLN của biểu thức 
1 1 1
x y z
Q
x y z
= + +
+ + +
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
89 
Bảng biến thiên 
x 0 2 
( )'f x − 
( )f x 1
3
 5− 
Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) ( )
0;2 0;2
1
max 0 min 5 2
3
f x khi x f x khi x
      
= = = − = 
( ) 4 2) 2 3, 3;2b f x x x x  = − + ∈ −  
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 3;2 −  . 
Ta cĩ ( ) ( )
( )
( )
( )
3
1, 1 2
' 4 4 ' 0 0, 0 3
1, 1 2
x f
f x x x f x x f
x f
 = − − =

= − ⇒ = ⇔ = =
 = − =
( ) ( )3 66, 2 11f f− = = 
Bảng biến thiên 
x 3− 1− 0 1 2 
( )'f x − 0 + 0 − 0 + 
( )f x 66 3 11 
 2 2 
Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) ( )
3;2 3;2
max 66 3 min 2 1, 1f x khi x f x khi x x
   − −   
= = − = = − = 
( ) ( )36 2) 4 1 , 1;1c f x x x x  = + − ∈ −  
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1;1 −  . 
ðặt 2, 1;1 0;1t x x t   = ∈ − ⇒ ∈    
Hàm số đã cho viết lại ( ) ( )33 4 1 , 0;1f t t t t  = + − ∈   và ( ) ( ) ( )
2
2 2' 3 12 1 3 3 8 4f t t t t t= − − = − + − 
( )
2 2 4
,
' 0 3 3 9
2
t f
f t
t
  
= =  = ⇔  
 =
( ) ( )0 4, 1 1f f= = 
Bảng biến thiên 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
90 
x 0 
2
3
 1 
( )'f x − 0 + 
( )f x 4 1 
4
9
Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) ( )
1;1 1;1
4 2
max 4 0 min
9 3
f x khi x f x khi x
   − −   
= = = = ± 
( )
2
2
3 10 20
)
2 3
x x
d f x
x x
+ +
=
+ +
Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
( ) ( )lim lim 3
x x
f x f x
→−∞ →+∞
= = 
Ta cĩ : ( )
( )
( )
2
2
2
5
54 22 10 2' ' 0
1
2 3 7
2
x yx x
f x f x
x x x y

= − ⇒ =− − −
= ⇒ = ⇔ 
+ + = − ⇒ =

Bảng biến thiên 
x −∞ 5− 
1
2
− +∞ 
( )'f x − 0 + 0 − 
( )f x 3 7 
5
2
 3 
Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) ( )1 5max 7 min 5
2 2
f x khi x f x khi x= = − = = − 
Ví dụ 19: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
)a 2( ) 4 5f x x x= − + trên đoạn [ 2;3]− . 
)b ( ) 6 4 2
9 1
3
4 4
f x x x x= − + + trên đoạn [ 1; 1]− . 
)c 2( ) 5 6f x x x= − + + . 
)d ( ) 2( 6) 4f x x x= − + trên đoạn 0;3   . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
91 
Giải : 
)a 2( ) 4 5f x x x= − + trên đoạn [ 2;3]− . 
Hàm số đã cho xác định trên [ 2; 3]− . 
2
2
'( )
4 5
x
f x
x x
−
=
− +
( )' 0 2 2;3f x x  = ⇔ = ∈ −  
( )( 2) 17, f 2 1, f(3) 2f − = = = . 
Vậy : 
2;3
min ( ) 1 2
x
f x khi x 
 ∈ − 
= = . 
2;3
max ( ) 17 2
x
f x khi x 
 ∈ − 
= = − . 
)b ( ) 6 4 2
9 1
3
4 4
f x x x x= − + + trên đoạn [ 1; 1]− 
Hàm số đã cho xác định trên [ 1; 1]− . 
ðặt 2 [0; 1] , 1; 1t x t x , ta cĩ: 
( ) 3 2
9 1
3
4 4
f t t t t= − + + liên tục trên đoạn [0; 1] 
( )/ 2
1
9 23 6 0
34
0;1
2
t
f t t t
t

 =
⇒ = − + = ⇔ 
  = ∉  
1 1 3 1
(0) , , (1) .
4 2 4 2
f f f
 = = =  
Vậy : 
( ) ( )
0;1 1;1
1 1
min 0 min 0
4 4t x
f t khi t hay f x khi x 
   ∈ ∈ −   
= = = =
( ) ( )
0;1 1;1
3 1 2
max max
4 2 2t x
f t khi t hay f x khi x 
   ∈ ∈ −   
= = = ± . 
)c 2( ) 5 6f x x x= − + + . 
[ 1; 6]D = − 
Hàm số 2( ) 5 6f x x x= − + + liên tục trên đoạn [ 1; 6] . 
2
2 5
'( )
2 5 6
x
f x
x x
− +
=
− + +
5
' 0 [ 1; 6]
2
f x x 
( )
5 7
( 1) 6 0,
2 2
f f f 
 − = = =  
. 
Vậy : 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
92 
( )
1;6
min 0 1, 6
x
f x khi x x 
 ∈ − 
= = − = 
 ( )
1;6
7 5
max
2 2x
f x khi x 
 ∈ − 
= = . 
)d ( ) 2( 6) 4f x x x= − + trên đoạn 0;3   . 
Hàm số 2( 6) 4y x x= − + liên tục trên đoạn 0;3   . 
2
2
2 6 4
'
4
x x
y
x
− +
=
+
1 0;3
' 0
2 0;3
x
y
x
  = ∈  = ⇔ 
 = ∈  
0;3
0;3
(1) 5 5
max 3 13(0) 12
(2) 8 2 min 12
(3) 3 13
x
x
y
yy
y y
y
 ∈ 
 ∈ 
= −
  = −= −  
⇒ 
= − = − 
= − 
Vậy 
0;3
max 3 13
x
y
 ∈ 
= − khi 3x = , 
0;3
min 12
x
y
 ∈ 
= − khi 0x = 
Ví dụ 20: 
Giải : 
( ) 3 2) 3 72 90 , 5;5a f x x x x x  = + − + ∈ −  
Hàm số đã cho xác định trên 5;5 −  . 
ðặt ( ) 3 23 72 90, 5;5g x x x x x  = + − + ∈ −  
Ta cĩ : ( ) 2' 3 6 72g x x x= + − 
)a Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: ( ) 3 23 72 90f x x x x= + − + trên đoạn 5;5 −  . 
)b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 3 2f x x x= − + trên đoạn –3; 2   . 
)c Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 23 1f x x x= − + trên đoạn 2;1 . −  
)d Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 2 2 4f x x x a= + + − trên đoạn 2;1 −  đạt giá trị nhỏ nhất 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
93 
( )
6 5;5
' 0
4 5;5
x
g x
x
  = − ∉ − = ⇔ 
 = ∈ −  
( ) ( ) ( )4 86, 5 400, 5 70g g g= − − = = − 
( ) ( ) ( )86 400 0 400 0 400g x g x f x⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ 
Vậy : ( )
5;5
max 400 5
x
f x khi x
 ∈ − 
= = − . 
)b ( ) 3 3 2f x x x= − + trên đoạn –3; 2   
Hàm số đã cho xác định trên –3; 2   . 
ðặt 3 3 2, –3; 2g x x x x 
/ 2( ) 3 3g x x 
' 0 1 [ 3; 2]g x x 
( 3) 16, ( 1) 4, (1) 0, (2) 4g g g g 
16 ( ) 4 , [ 3; 2]g x x 0 ( ) 16 , [ 3; 2]g x x 
0 16 , [ 3; 2]f x x . 
Vậy ( ) ( )
–3; 2 –3; 2
max 16, min 0
x x
f x f x
   ∈ ∈   
= = 
)c ( ) 3 23 1f x x x= − + trên đoạn 2;1 . −  
Hàm số đã cho xác định trên 2;1 −  . 
ðặt ( ) 3 23 1, 2;1g x x x x  = − + ∈ −  
( ) 2' 3 6 .g x x x= − 
( )
0
' 0
2 2;1
x
g x
x
 =
= ⇔ 
 = ∉ −  
( ) ( ) ( )2 19, 0 1, 1 1g g g− = − = = − , suy ra ( ) ( )
2;1 2;1
max 1,min 19g x g x
   − −   
= = − . 
( ) ( ) ( )2;1 19;1 0;19 .x g x f x g x    ∈ − ⇒ ∈ − ⇒ = ∈      
( ) ( ) ( ) ( )1 10 . 1 0 0;1 sao cho 0.g g x g x< ⇒ ∃ ∈ = 
Vậy ( ) ( )
2;1 2;1
max 19,min 0.f x f x
   − −   
= = 
)d ( ) 2 2 4f x x x a= + + − 
Hàm số đã cho xác định trên 2;1 −  . 
( ) ( )22 2 4 1 5f x x x a x a= + + − = + + − 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
94 
ðặt ( )21 , 2;1 0;4t x x t   = + ∈ − ⇒ ∈    
Ta cĩ ( ) 5 , 0;4f t t a t  = + − ∈   
( ) ( ) ( ) { }{ } { }
2;1 0;4 0;4 0;4
max max max 0 , 4 max 5 , 1
x t t t
f x f t f f a a
       ∈ − ∈ ∈ ∈       
⇔ = = − − 
( )
0;4
5 1 3 max 5 5
t
a a a f t a a
 ∈ 
• − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = − = − 
( )
0;4
5 1 3 max 1 1
t
a a a f t a a
 ∈ 
• − ≤ − ⇔ ≥ ⇒ = − = − 
Mặt khác ( )
0;4
5 5 3 2, 3
max 2,
1 3 1 2, 3 t
a a
f t a
a a  ∈ 
 − ≥ − = ∀ ≤
⇒ ≥ ∀ ∈ − ≥ − = ∀ ≥
ℝ 
Vậy giá trị nhỏ nhất của ( )
0;4
max 2 3
t
f t khi a
 ∈ 
= = 
Ví dụ 21: 
Giải : 
( ) 2) 4a f x x x= + − 
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 2;2 −  . 
Ta cĩ ( ) ( )
2
2 2
4
' 1 , 2;2
4 4
x x x
f x x
x x
− −
= − = ∈ −
− −
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
0 2 0 24 0 4
' 0 2
4 22;2 2;2
x xx x x x
f x x
x x xx x
   < < < <− − = − =   
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =   − = =∈ − ∈ −      
Bảng biến thiên 
x 2− 2 2 
( )'f x − 0 + 
( )f x 2− 2 
 2 2 
Từ bảng biến thiên , ta được ( ) ( )
2;2 2;2
max 2 2 2 min 2 2
x x
f x khi x f x khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = − = − 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
( ) 2) 4a f x x x= + − . 
( )
2
1
)
1
x
b f x
x
+
=
+
 trên đoạn 1;2x  ∈ −  . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
95 
( )
2
1
)
1
x
b f x
x
+
=
+
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1;2 −  . 
Ta cĩ ( )
( )
( )
3
2
1
' ' 0 1
1
x
f x f x x
x
− +
= ⇒ = ⇔ =
+
Bảng biến thiên . 
x 1− 1 2 
( )'f x + 0 − 
( )f x 2 
 0 
3 5
5
Từ bảng biến thiên , ta được ( ) ( )
1;2 1;2
max 2 1 min 0 1
x x
f x khi x f x khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = = − 
Ví dụ 22: 
Giải : 
Xét hàm số ( ) sin cosg x x x= + liên tục trên đoạn 0;
2
π 
 
 
cos sin cos cos sin sin
'( )
2 sin 2 cos 2 sin .cos
x x x x x x
g x
x x x x
−
= − = 
'( ) 0 cos sin
4
g x x x x
π
= ⇔ = ⇒ = 
4 4
4
1
(0) 1; ( ) 8; ( ) 1 1 ( ) 8 1
4 2 8
g g g g x y
π π
= = = ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ 
Vậy 
4
1
min ,max 1
8
y y= = 
Ví dụ 23: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
1
sin cos
y
x x
=
+
Tìm các giá trị ,a b sao cho hàm số ( ) 2 1
ax b
f x
x
+
=
+
cĩ giá trị lớn nhất bằng 4 và cĩ giá trị nhỏ nhất 
bằng 1− 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
96 
Giải : 
Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
• Hàm số cĩ giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi 
( )
( )
2
2
2
2
0
20 0
0 2
0
4 4 0,4,
1 16 4 0
4 4 0 :: 4 16 4 01
ax b x ax b xx
x
a b
ax b x ax bx a b
x
 +  − + − ≥ ∀ ∈≤ ∀ ∈  + ∆ = − − ≤⇔  + − + − = ⇔  ∃ ∈ = ∆ = − − ≥+ 
ℝℝ
ℝ 0co ùnghiệm x
( )2 16 64 0 *a b⇔ + − = 
• Hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi 
( )
( )
2 2
2
2 2
0 0 0
0 2
0
1,
1 0, 4 1 01
1 0 : 4 1 0: 1
1
ax b
x
x ax b x a bx
ax b x ax b a bx
x
 +
≥ − ∀ ∈  + + + ≥ ∀ ∈ ∆ = − + ≤  +⇔ ⇔ ⇔  + + + + = ∆ = − + ≥ ∃ ∈ = −  
+
ℝ
ℝ
ℝ 0co ùnghiệm x
( )2 4 4 0 * *a b⇔ − − = 
Từ ( ) ( )* à * *v ta cĩ hệ ( )( )
2 2
2
16 64 0 * 4 416
3 334 4 0 * *
a b a aa
b bba b
   + − = = − ==   
⇔⇔ ⇔ ∨   = ==− − =    
Vậy giá trị ,a b cần tìm là :
4 4
3 3
a a
b b
 = − = 
∨ = =  
Ví dụ 24: 
Giải : 
( ) 3 sin) 1
2 cos
x
a f x
x
= +
+
Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
Ta cĩ ( ) ( ) ( )3 sin 3 sin1 1 1 2 cos 3 sin
2 cos 2 cos
x x
y f x y y x x
x x
= = + ⇔ − = ⇔ − + =
+ +
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
( ) 3 sin) 1
2 cos
x
a f x
x
= +
+
( ) 4 4) sin cosb f x x x= + 
( ) 4 2) sin cos 2c f x x x= + + 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
97 
( ) ( ) ( )1 cos 3 sin 2 1 0 *y x x y⇔ − − + − = 
Phương trình ( )* cĩ nghiệm khi ( ) ( )2 2 21 9 4 1 2 2 0 1 3 1 3y y y y y− + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + 
Vậy : 1 3, 1 3maxy miny= + = − 
( ) 4 4) sin cosb f x x x= + 
Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
Ta cĩ 
( ) ( )
2
2
4 4 2 2 2 2 21 1sin cos