Toán học - Hàm phần nguyên và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC 
NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH 
 HÀM PHẦN NGUYÊN 
VÀ ỨNG DỤNG 
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp 
Mã số: 60.46.40 
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 
Người hướng dẫn khoa học: 
PGS. TS. Tạ Duy Phượng 
THÁI NGUYÊN - 2010 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
MỤC LỤC 
 Trang 
Các kí hiệu ........................................................................................................2 
Lời nói đầu ....................................................................................................3-4 
Chương 1 Các kiến thức cơ bản về hàm phần nguyên ...............................5 
§1 Khái niệm về phần nguyên .........................................................................5 
§2 Các tính chất cơ bản của phần nguyên .......................................................6 
§3 Hàm phần nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên ................................. 11 
Chương 2 Phần nguyên trong toán số học và đại số .................................16 
§1 Phần nguyên trong các bài toán số học ................................................... 16 
§2 Tính giá trị của một số hoặc một biểu thức chứa phần nguyên ................27 
§3 Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên ..............................................31 
§4 Phương trình và hệ phương trình chứa phần nguyên ...............................32 
Chương 3 Phần nguyên trong toán giải tích ..............................................49 
§1 Một số tính chất giải tích của dãy chứa phần nguyên ..............................49 
§2 Tính tổng hữu hạn của dãy chứa phần nguyên .........................................53 
§3 Tính giới hạn của dãy chứa phần dư ................................................56 
§4 Hàm số chứa phần nguyên ...........................................................62 
§5 Chuỗi số chứa phần nguyên .............................................................67 
Kết luận .........................................................................................................77 
Tài liệu tham khảo ........................................................................................78 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
2
CÁC KÝ HIỆU 
Trong cuốn luận văn này ta sử dụng các ký hiệu sau: 
Tập các số thực được ký hiệu là  . 
Tập các số thực không âm được ký hiệu là  . 
Tập các số hữu tỉ được ký hiệu là  . 
Tập các số nguyên được ký hiệu là {..., -2, -1, 0,1, 2, ...} . 
Tập các số tự nhiên được ký hiệu là {1, 2, 3, ...} . 
Tập các số nguyên dương được ký hiệu là  hoặc  . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
3
LỜI NÓI ĐẦU 
Do tính độc đáo của hàm phần nguyên, thí dụ, hàm phần nguyên vừa 
đơn giản (là hàm hằng từng khúc) lại vừa phức tạp (gián đoạn tại các điểm 
nguyên nên khó áp dụng các công cụ của giải tích), nhiều bài toán hay về 
phần nguyên đã được sử dụng làm đề thi học sinh giỏi các cấp, trong đó có rất 
nhiều các đề thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế. Mặt khác, hàm 
phần nguyên có những ứng dụng quan trọng không chỉ trong toán học phổ 
thông, mà còn trong nhiều vấn đề của toán ứng dụng và công nghệ thông tin 
(làm tròn số, tính gần đúng,...). Phần nguyên cũng thể hiện sự kết nối giữa 
tính liên tục và tính rời rạc, giữa toán giải tích và toán rời rạc nên khá thú vị. 
Lí thuyết và bài tập về phần nguyên rải rác đã có trong các sách và các 
tạp chí, thậm chí đã là những chuyên đề trong một số sách về số học (xem [3], 
[5], [8]). Tuy nhiên, hình như chưa có một cuốn sách nào viết đủ phong phú 
và tổng hợp về phần nguyên. Đó chính là lí do để tác giả chọn đề tài này làm 
luận văn cao học. 
Luận văn Hàm phần nguyên và ứng dụng có mục đích trình bày các 
kiến thức cơ bản của hàm phần nguyên và ứng dụng của nó trong giải toán sơ 
cấp, cụ thể là trong số học, đại số và giải tích (toán chia hết, giải phương 
trình, tính chất của dãy, tính giới hạn, tính tổng của dãy, chuỗi,...chứa phần 
nguyên). Đồng thời luận văn cũng trình bày mối quan hệ mật thiết của phần 
nguyên với các dạng toán khác (dãy truy hồi, nhị thức Newton, hệ đếm,...). 
Đặc biệt luận văn tập hợp một khối lượng lớn các bài toán thi vô địch quốc 
gia và quốc tế minh họa cho lí thuyết về phần nguyên. 
Luận văn gồm ba chương. 
Chương 1 trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm phần 
nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
4
Chương 2 trình bày một số dạng toán chứa phần nguyên trong số học 
và đại số (toán chia hết; tính toán và chứng minh các hệ thức chứa phần 
nguyên; giải phương trình và hệ phương trình chứa phần nguyên;...). 
 Chương 3 trình bày một số dạng toán chứa phần nguyên trong giải tích 
(các tính chất như tính bị chặn, tính tuần hoàn của dãy số; tìm số hạng và tính 
giới hạn của dãy số, tính tổng hữu hạn của dãy số, tính tổng của chuỗi chứa 
phần nguyên, ...). 
Nhiều ví dụ và bài toán tập hợp trong luận văn đã được đưa vào bản thảo 
cuốn sách của tác giả luận văn viết chung với Thầy hướng dẫn và Thạc sĩ 
Nguyễn Thị Bình Minh. Vì hạn chế số trang luận văn, trong mỗi chương, 
chúng tôi cố gắng trình bày các vấn đề lí thuyết làm cơ sở để phân loại và 
tổng kết các phương pháp giải từng dạng toán chứa phần nguyên. Các ví dụ 
minh họa phương pháp được lựa chọn mang tính chất điển hình, số lượng lớn 
bài tập thể hiện sự phong phú muôn hình vẻ của ứng dụng hàm phần nguyên 
trong giải toán và đã được giải chi tiết trong [2] nên không trình bày lại trong 
luận văn này. 
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Tạ 
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới Thầy. 
Tác giả xin chân cám ơn Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác 
giả đã hoàn thành chương trình cao học ngành toán. 
Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã cảm thông, 
ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học cao học và viết luận văn. 
 Hà Nội, ngày 15 tháng 9 năm 2010 
 Tác giả 
 Nguyễn Thị Hồng Hạnh 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
5
Chương 1 
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHẦN NGUYÊN 
§1 KHÁI NIỆM VỀ PHẦN NGUYÊN 
Định nghĩa 1.1 Cho một số thực x . Số nguyên lớn nhất không vượt quá 
x được gọi là phần nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) của x . 
Ta thường kí hiệu phần nguyên của x là  x . Nhiều tài liệu gọi phần nguyên 
của x là sàn và kí hiệu phần nguyên của x là x   , vì sàn có liên quan mật 
thiết với khái niệm trần x   của x . Hai khái niệm trần và sàn thường được 
sử dụng trong tin học. Trong luận văn này ta sẽ dùng cả hai kí hiệu phần 
nguyên (sàn) là  x và x   . 
Định nghĩa 1.2 Cho một số thực x . Số nguyên bé nhất không nhỏ hơn x 
được gọi là trần của x và kí hiệu là x   . 
Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.2 tương đương với: 
 x z
1;
.
z x z
z
  
 
 
0 1;
.
x z
z
  
 
 
và 
x z  
1 ;
.
z x z
z
  
 
 
0 1;
.
z x
z
  
 
 
Hơn nữa, x x       nếu x và 1x x        với mọi x . 
Định nghĩa 1.3 Phần dư (phần thập phân, phần lẻ, giá trị phân - fractional 
part, fractional value) của một số thực x , kí hiệu là  x được định nghĩa bởi 
công thức    x x x  . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
6
Từ Định nghĩa 1.3 ta suy ra ngay,  0 1x  với mọi x và   0z  khi và 
chỉ khi z là số nguyên. 
Ta biết rằng, với mỗi x thì tồn tại số nguyên z sao cho 1z x z   . 
Định nghĩa 1.4 Giá trị nhỏ nhất giữa hai số x z và 1z x  được gọi là 
khoảng cách từ x đến số nguyên gần nó nhất và được kí hiệu là  x . 
Ta có   0,5x x z   với mọi x . 
Định nghĩa 1.5 Số nguyên gần một số thực x nhất được kí hiệu là  x và 
 x được gọi là số làm tròn của x . 
Khái niệm làm tròn số được sử dụng rộng rãi trong máy tính. 
Để xác định, nếu có hai số nguyên cùng gần x nhất (nghĩa là khi 
 0,5 1 0,5x z z     thì z và 1z  cùng có khoảng cách tới x bằng 0,5 
( 1 0,5x z z x     ) thì ta qui ước chọn số lớn, tức là nếu 0,5z x z   , 
thì  x z , còn nếu 0,5 1z x z    thì   1x z  . 
§2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHẦN NGUYÊN 
Từ các Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.5 ta đi đến các tính chất tuy đơn giản 
nhưng rất cơ bản và hay sử dụng sau đây của phần nguyên. Các tính chất này 
đã được chứng minh chi tiết trong [2], vì vậy dưới đây chúng tôi chỉ liệt kê 
mà không chứng minh. 
Tính chất 2.1 Với mọi x ta có 
a)     1x x x   hay  1x x x   ; 
b) 1x x x         hay 1x x x     . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
7
Tính chất 2.2    x x x  ;  0 1x  ;   0 1x x x    . 
Hệ quả 2.1  x z z  thì z và 0 1x  . 
Tính chất 2.3    x z x z   ;    x z x  với mọi z . 
Đảo lại,    x y thì y x z  với z nào đó. 
Tính chất 2.4 Nếu x thì  x x và   0x  . 
Ngược lại nếu  x x hoặc   0x  thì x . 
Nếu x là số hữu tỉ nhưng không phải là số nguyên thì  x cũng là một số 
hữu tỉ thuộc khoảng  0;1 . 
Nếu x là số vô tỉ thì  x cũng là một số vô tỉ thuộc khoảng  0;1 . 
Tính chất 2.5 Phần dư, sàn và trần có tính chất luỹ đẳng (idempotent), tức là 
khi hai lần áp dụng phép toán thì kết quả không đổi: 
    x x ;    x x    và x x          với mọi x . 
Hơn nữa,        0x x x        với mọi x . 
Nhưng   0x    và  x x x          với mọi x ; 
  1x    ,     1 1x x x x                 với mọi x . 
Tính chất 2.6 Các qui tắc đổi chỗ (hoán vị), kết hợp của phép toán cộng và 
phép toán nhân; qui tắc kết hợp giữa phép toán nhân và phép toán cộng vẫn 
đúng cho phần nguyên và phần dư. 
Tính chất 2.7 Phép làm tròn số  x thông thường như đã nêu trong Định 
nghĩa 1.5 chính là phép lấy phần nguyên của 0,5x  , tức là    0,5x x  . 
Tính chất 2.8 Nếu    x y thì 1x y  hay 1 1x y    . 
Tính chất 2.9 Nếu x y thì    x y . Đảo lại, nếu    x y thì x y . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
8
Tính chất 2.10 
a) Cả hai số x và y là hai số nguyên khi và chỉ khi     0x y  . 
b) Trong hai số x và y có một số nguyên và một số không phải là số nguyên 
thì    0 1x y   . 
c) Hai số x và y không nguyên có tổng x y là một số nguyên khi và chỉ 
khi     1x y  . 
Tính chất 2.11a Với mọi ,x y ta có 
        1x y x y x y      ;           1x y x y x y      . 
Nhận xét 2.1 Tính chất 2.11a có thể được phát biểu dưới dạng sau. 
Tính chất 2.11b  
       
       
khi 0 1;
1 khi 1 2.
x y x y
x y
x y x y
    
  
    
Tính chất này cũng được viết dưới dạng sau đây. 
Tính chất 2.11c    
     
     
khi 0 1;
1 khi 1 2.
x y x y
x y
x y x y
    
  
    
Hệ quả 2.2    2 2x x với mọi x . 
Hệ quả 2.3    x x   và     0x x   nếu x ; 
     1x x    và    1x x   nếu x . 
Hệ quả 2.4  x x     với mọi x . 
Tính chất 2.12a Với mọi x và y là các số thực ta có 
              2 2 2x y x y x y x y       
và        2 2x y x y             . 
Nhận xét 2.2 Tính chất 2.12a có thể được viết dưới dạng sau. 
Tính chất 2.12b a) Nếu      1max ,
2
x y  thì 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
9
       2 2 0x y x y              
và              2 2 2 2x y x y x y x y       . 
b) Nếu              1min , max , 1
2
x y x y x y     thì 
       2 2 1 1x y x y               
và              2 2 1 2 2 1x y x y x y x y         . 
c) Nếu              1min , max , 1
2
x y x y x y     thì 
       2 2 1x y x y              
và              2 2 2 2 1x y x y x y x y        . 
d) Nếu     1 min ,
2
x y thì        2 2 2 1x y x y               
và              2 2 1 2 2 2x y x y x y x y         . 
Tính chất 2.13 Với mọi x ta luôn có 
   1 2
2
x x       
 và    1 2
2
x x x     
. 
Hệ quả 2.5 Với mọi số nguyên dương ta luôn có 1
2 2
n n n          
. 
Tính chất 2.14a Với mọi ,x y ta luôn có 
    0x y    và      x y x y   . 
Nhận xét 2.5 Tính chất 2.14a có thể phát biểu dưới dạng sau đây. 
Tính chất 2.14b  
       
       
khi ;
1 khi .
x y y x
x y
x y x y
  
  
  
Tính chất 2.14c    
     
     
 khi ;
1 khi .
x y y x
x y
x y x y
 
  
  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
10
Tính chất 2.15 Với mọi số tự nhiên n và với mọi số thực x ta có 
      1n x nx n x n    . 
Tính chất 2.16 Với mọi số thực x không phải là số nguyên và với mọi số 
nguyên n ta luôn có     1x n x n    . 
Tính chất 2.17 Với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ta luôn có: 
   1 1... nx x x nx
n n
              
. 
Tính chất 2.18 Với mọi x và n là số tự nhiên ta luôn có  xx
n n
         
. 
Tính chất 2.19 Với mọi số tự nhiên 3k  và mọi số tự nhiên n ta có 
2 2n n n
k k k
                
. 
Tính chất 2.20 Cho 1 2, , ..., nk k k là bộ n số nguyên dương. Khi ấy 
1 2
1 2
...... 1nn
k k kk k k n
n
          
. 
Tính chất 2.21 Với mọi số nguyên k ta luôn có 
2 2
k k k          
. 
Tính chất 2.22 Cho ,  là những số vô tỉ dương sao cho 1 1 1
 
  . Tập 
        1 , 2 , 3 , ...n na   


 và         1 , 2 , 3 , ...n nb   


 tạo thành một phân 
hoạch của tập số nguyên dương, tức là   1n na


 và   1n nb


 là các tập không giao 
nhau và hợp của chúng bằng chính tập tất cả các số nguyên dương. 
Tính chất dưới đây được sử dụng nhiều trong tin học. 
Tính chất 2.23 Cho a và 2b  là các số tự nhiên bất kì. Khi ấy  log 1b a  
chính là số các chữ số của một số a viết trong hệ đếm cơ số b . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
11
§3 HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM PHẦN NGUYÊN 
Từ các định nghĩa phần nguyên (sàn), trần, phần dư, số làm tròn trong §1, ta 
có thể đưa ra các định nghĩa sau đây. 
Hàm sàn Hàm :f   ,  ( ) :f x x cho tương ứng mỗi số x với phần 
nguyên  x  của nó được gọi là hàm phần nguyên. 
Trong một số tài liệu, hàm phần nguyên còn được gọi là hàm sàn (floor 
function) và ngoài kí hiệu  ( ) :f x x còn được kí hiệu là ( ) :f x x    . 
Đồ thị của hàm phần nguyên 
 Hình 1 
Hàm phần nguyên là hàm hằng số từng khúc (nhận giá trị không đổi trên từng 
nửa khoảng  ; 1z z  với z ); gián đoạn loại một tại các điểm z với 
độ lệch không đổi bằng 1 ( lim ( ) lim ( ) 1
x z x z
f x f x
  
  , tức là hiệu giữa giới hạn 
của hàm số khi đối số x tiến tới n từ bên phải và từ bên trái bằng 1). 
Như vậy, hàm phần nguyên không liên tục (gián đoạn loại 1), nhưng là nửa 
liên tục trên. Do nó là hàm hằng từng khúc nên đạo hàm của nó tồn tại và 
bằng 0 tại mọi điểm không nguyên và đạo hàm không tồn tại (thậm chí hàm 
số không liên tục) tại các điểm nguyên. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
12
Hàm trần Hàm :f   , ( ) :f x x    cho tương ứng mỗi số x với trần 
x     của nó được gọi là hàm trần. 
Đồ thị của hàm trần 
 Hình 2 
Hàm trần là hàm hằng số từng khúc (nhận giá trị không đổi trên từng nửa 
khoảng ( ; 1]z z  với z ); gián đoạn loại một tại các điểm x z , z với 
độ lệch không đổi bằng 1 ( lim ( ) lim ( ) 1
x z x z
f x f x
  
  ). 
Vậy, hàm trần không liên tục, nhưng là nửa liên tục dưới. Do nó là hàm hằng 
từng khúc nên đạo hàm của nó tồn tại và bằng 0 tại mọi điểm không nguyên 
và đạo hàm không tồn tại tại các điểm nguyên. 
Mặt khác, đồ thị của hàm trần có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị 
hàm  ( ) :f x x lên trên (theo trục tung) 1 đơn vị trên các khoảng  ; 1z z  , 
z . Tuy nhiên, tại các điểm nguyên thì chúng nhận các giá trị khác. 
Hàm phần dư Hàm  : 0;1f  từ tập số thực  vào tập con  0;1 của tập 
số thực  ,  ( ) :f x x với mọi x cho tương ứng mỗi số thực x với phần 
dư  x của nó được gọi là hàm phần dư (hay hàm phần phân, hàm phần lẻ). 
Đồ thị của hàm phần dư    ( )f x x x x   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
13
 Hình 3 
Hàm phần dư chỉ nhận giá trị trong nửa khoảng  0;1 , tăng từng khúc (tăng 
trên từng nửa khoảng  ; 1z z  với z ) và gián đoạn loại một tại các điểm 
x z , z với lim ( ) lim ( ) 1
x z x z
f x f x
  
  . Đặc biệt, hàm phần dư là hàm tuần 
hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là    1x x  với mọi x . 
Hàm khoảng cách Hàm  : 0;0,5f  cho tương ứng mỗi số thực x với 
khoảng cách tới số nguyên gần nó nhất được gọi là hàm khoảng cách từ x tới 
số nguyên gần nó nhất và kí hiệu là  ( ) :f x x . 
Hàm khoảng cách chỉ nhận giá trị trong đoạn  0;0,5 , tăng từng khúc trên 
từng đoạn  ; 0,5z z  và giảm từng khúc trên  0,5; 1z z  với z . Hàm 
khoảng cách là hàm liên tục và tuyến tính từng khúc. Đặc biệt, hàm khoảng 
cách là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là    1x x  với mọi x . 
Hàm làm tròn Hàm :f   từ tập số thực  vào tập số nguyên  của 
tập số thực  , cho tương ứng mỗi số thực x với số nguyên gần nó nhất được 
gọi là hàm làm tròn và kí hiệu là  ( ) :f x x . 
Nhận xét 3.1 Ta luôn có    0,5x x  với mọi x (xem Tính chất 2.7 §2). 
Đồ thị của hàm làm tròn  ( ) ( ) 0,5f x x x   
Đồ thị của hàm  ( )f x x chính là đồ thị của hàm    f x x tịnh tiến sang 
bên trái 0,5 đơn vị (có thể thấy rõ điều này qua so sánh hai đồ thị). 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
14
 Hình 4 
Từ Tính chất 2.3 §2 suy ra một tính chất thú vị của hàm phần dư sau đây. 
Tính chất 3.1 Hàm phần dư và hàm khoảng cách (từ x tới số nguyên gần nó 
nhất) là hàm tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất bằng 1. 
Ta nhắc lại rằng hàm :   xác định trên tập số thực  và nhận giá trị 
cũng trong tập số thực  được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T 
sao cho x T X  và ( ) ( )x T x   với mọi x . 
Số T được gọi là chu kì của hàm tuần hoàn ( )x . 
Hiển nhiên, nếu ( )x là hàm tuần hoàn chu kì T thì ( )x cũng là hàm tuần 
hoàn chu kì nT với mọi số tự nhiên n . Thật vậy, vì ( )x là hàm tuần hoàn 
chu kì T nên với mọi x ta có: 
( ) ( ( 1) ) ( ( 1) ) ... ( )x nT x n T T x n T x             . 
Chứng tỏ ( )x là hàm tuần hoàn chu kì nT với mọi số tự nhiên n . 
Số 0 0T  nhỏ nhất (nếu có) trong số tất cả các chu kì được gọi là chu kì chính 
hay chu kì cơ sở của hàm tuần hoàn ( )x . 
Để ngắn gọn, khi nói hàm ( )x là tuần hoàn với chu kì T , người ta thường 
hiểu T là chu kì chính 0T (nếu có) của ( )x . 
Thí dụ, vì    x n x  với mọi n nên hàm phần dư  y x có chu kì là 
T n với mọi n là số tự nhiên và chu kì chính là 0 1T  (xem Hình 3). 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
15
Tương tự, vì    x n x  với mọi n nên hàm  y x có chu kì là T n 
với mọi n là số tự nhiên và chu kì chính là 0 1T  . 
Nhận xét 3.2 Có những hàm tuần hoàn không có chu kì chính. 
Thí dụ Hàm Dirichlet ( )y x được định nghĩa như sau: ( ) 1y x  khi x 
là số hữu tỉ; ( ) 0y x  khi x là số vô tỉ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 
số hữu tỉ q bất kì. Tuy nhiên, vì tập  các số hữu tỉ không âm không có số 
nhỏ nhất (với mỗi số hữu tỉ 0q  ta có thể tìm được số 
2
q nhỏ hơn q cũng là 
số hữu tỉ) nên hàm số ( )y x không có chu kì chính, tức là không tồn tại số 
0 0T  sao cho 0T q với mọi chu kì q (với mọi số hữu tỉ q ). Vậy ( )y x 
là hàm tuần hoàn không có chu kì chính. 
Định nghĩa Hàm ( )y f x xác định trên tập X  được gọi là phản tuần 
hoàn chu kì 0T  nếu với mọi x X ta có 
x T X  và ( ) ( )f x T f x   . 
Tính chất 3.2 Nếu ( )y f x là phản tuần hoàn với chu kì 0T  thì ( )y f x 
là tuần hoàn với chu kì 2 0T  . Đảo lại không đúng. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
- 16 -
Chương 2 
PHẦN NGUYÊN TRONG TOÁN SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ 
§1 PHẦN NGUYÊN TRONG TOÁN SỐ HỌC 
1.1 Một số tính chất bổ sung về số nguyên và áp dụng trong toán số học 
Nhiều bài toán số học liên quan mật thiết với phần nguyên. 
Ngoài các tính chất chung cho phần nguyên nêu trong §2 Chương 1, ta còn có 
một số tính chất khác khá thú vị riêng cho các số nguyên và hay được áp dụng 
trong bài tập sau đây. Chứng minh các tính chất này có thể xem trong [2]. 
Tính chất 1.1 Giả sử r là phần dư khi chia một số nguyên m cho một số 
nguyên dương n , m pn r  với  0,1,..., 1r n  . Khi ấy mr m n
n
     
. 
Tính chất 1.2 Nếu p và q là những số nguyên dương sao cho p
q
 không phải 
là số nguyên thì 1p p
q q q
 
  
 
. 
Tính chất 1.3 Cho q là số tự nhiên, x là số thực dương bất kì. Có đúng x
q
 
 
 
số tự nhiên không vượt quá x và chia hết cho q . 
Hệ quả 1.1 Cho q và n là các số tự nhiên bất kỳ. Trong dãy các số 1, 2, ..., n 
có đúng 
n
q
 
 
 
 số chia hết cho q ; 2
n
q
 
 
 
 số chia hết cho 2q ; 3
n
q
 
 
 
 số chia hết 
cho 3q ; ...; k
n
q
 
 
 
 số chia hết cho kq . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
- 17 -
Ta nhắc lại, một số tự nhiên bao giờ cũng có một phân tích duy nhất ra thừa 
số nguyên tố, tức là 1 21 2 ... kkn p p p
  với ip là các số nguyên tố khác nhau và 
i là các số tự nhiên. 
Tính chất 1.4 (Công thức Polignac) Số mũ cao nhất k của thừa số nguyên tố 
q trong phân tích !n ra thừa số nguyên tố bằng 2 3 ...
n n nk
q q q
    
       
     
. 
Thí dụ Phân tích 6! ra thừa số nguyên tố: 31 2 46! 2 3 5 7 ... kkp
    . 
Ta có 1 2 3 2
6 6 6 6 6... 3 1 4
2 22 2 2
                                    
; 
2 2 3 2
6 6 6 6 6... 2 0 2
3 33 3 3
                                    
; 
3 2 3 2
6 6 6 6 6... 1 0 1
5 55 5 5
                                    
; 4 5 ... 0    . 
Vậy 4 26! 2 3 5 . 
Tính chất 1.5 Nếu p là số nguyên tố thì 
 
!
! !k
k
i
kp
pC
i p i


 chia hết cho p với 
mọi i thỏa mãn điều kiện 1 1ki p   . 
Tính chất 1.6 (Công thức Legendre) Số các số trong dãy 1, 2, 3,..., n không 
chia hết cho một trong các số nguyên tố 1 2, ,..., kp p p được tính theo công thức 
 
1 2
1 2
1 2 1 3 1 1 2 3 1 2 4 2 1
1 2
( ; , ,..., ) ...
... ...
... 1 .
...
k
k
k k k k k
k
k
n n nB n p p p n
p p p
n n n n n n
p p p p p p p p p p p p p p p
n
p p p
  
     
                 
             
                                    
 
    
 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 
- 18 -
Thí dụ 2.1 Trong dãy số 1, 2, ..., 32 có 9 số 1, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31 không 
chia hết cho một trong các số 2, 3, 5 . Ta có 
   
32 32 32 32 32 32 32(32;2,3,5) 32
2 3 5 2.3 2.5 3.5 2.3.5
32 16 10 6 5 3 2 1 9.
B                                                        
        
Các tính chất nêu trên được sử dụng trong một số dạng toán số học dưới đây. 
Bài toán 1 Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên 
Phương pháp Sử dụng các tính chất của phần nguyên 
Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường sử dụng các tính chất chung về 
phần nguyên trong §2 Chương 1 và các tính chất của phần nguyên nêu trên. 
Đặc biệt, một số chẵn chục (có tận cùng bằng 0) phải chia hết cho 2 và cho 5. 
Thí dụ 2.2 (Olympic Moscow, Vòng 1, 1940) 
Hỏi 100! có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0. 
Giải Theo Tính chất 1.4, số mũ cao nhất của 2 và của 5 trong phân tích 100! 
ra thừa số nguyên tố sẽ là: 
2 3 4 5 6
100 100 100 100 100 100 50 25 12 6 3 1 97
2 2 2 2 2 2
                                            
. 
100 100 100
5 25 125
                
 = 20 + 4 + 0 = 24. 
Như vậy, 24 97 24 24100! 5 2 (5 2) 10k q q        . 
Trong phân tích số q ra thừa số nguyên tố không có số 5 nào nên q là số 
chẵn nhưng không phải là số chẵn chục. Vậy 100! có tận cùng là 24 chữ số 0. 
Thí dụ 2.3 (Thi học sinh giỏi bang New York, 1985. Câu hỏi đồng đội) 
Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho !n có tận cùng bởi 25 chữ số 0. 
Giải Để !n có tận cùng bởi 25 chữ số 0 thì !n phải được phân tích