Toán học - Ðịnh lý ptolemy

 1 
ðịnh Lý Ptolemy1 
“Ptolemy’s Theorem2” – Dr. Kin-Yin LI 
Khoa Tốn, ðH Khoa Học và Kỹ Thuật Hong Kong 
1. Giới thiệu 
Nếu cho bốn điểm trong mặt phẳng, thì khả năng chúng thẳng hàng hoặc cùng thuộc một đường 
trịn là rất ít. Vì thế, cĩ một số điều kiện đặc biệt cho những điều này xảy ra. Một trong những 
điều kiện đĩ là định lý Ptolemy. 
2. ðịnh lý Ptolemy 
Cho bốn điểm phân biệt , , ,A B C D cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đĩ 
. . .AB CD AD BC AC BD+ ≥ . 
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , , ,A B C D thẳng hàng hoặc ,A C tương ứng với ,B D cùng 
thuộc một đường trịn. 
Một chứng minh rất đơn giản của định lý này là sử dụng số phức. Giả sử , , ,a b c d là các số 
phức tương ứng với các điểm , , ,A B C D . Vì ( )( ) ( )( ) ( )( )b a d c d a c b c a d b− − + − − = − − , do đĩ, 
sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta cĩ 
. . .AB CD AD BC b a d c d a c b c a d b AC BD+ = − − + − − ≥ − − = . 
Từ bất đẳng thức tam giác, ta cĩ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
( )( ) ( )( )b a d c t d a c b− − = − − , trong đĩ t là một số thực dương. 
Trong trường hợp này, thì ( ) ( )d a b a− − là một thừa số dương của ( ) ( )d c c b− − . Do đĩ 
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }arg argd a b a d c c b− − = − − hay 
 
0180DAB DCB= − . 
Nghĩa là , , ,A B C D thẳng hàng hoặc ,A C tương ứng với ,B D cùng thuộc một đường trịn. 
ðịnh lý Ptolemy cĩ hai hệ quả quan trọng sau đây. 
Hệ quả 1. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp, với ABC là tam giác đều. Khi đĩ BD AD CD= + . 
Chứng minh. Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên . . .AB CD AD BC AC BD+ = . Do AB BC CA= = 
nên từ đẳng thức này ta thu được BD AD CD= + . 
Hệ quả 2. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và 
 
 090ABC ADC= = . Khi đĩ 
sinBD AC BAD= . 
Chứng minh. Ta cĩ 
 
 
( ) ( )sin sin . .AC BAD AC BAC DAC BC AD AB CD AC BD= + = + = . 
Ta sẽ nêu một số ví dụ minh họa cho việc áp dụng định lý Ptolemy cùng các hệ quả của nĩ. 
3. Một số ví dụ 
Bài tốn 1. [IMO 1995] Cho ABCDEF là một lục giác lồi cĩ 
,AB BC CD DE EF FA= = = = và 
 
 060BCD EFA= = . 
Giả sử G và H là hai điểm bên trong lục giác sao cho 
 
 0120AGB DHE= = . Chứng minh rằng 
AG GB GH DH HE CF+ + + + ≥ . 
Lời giải. Gọi ,X Y là các điểm nằm ngồi lục giác sao cho các tam giác ,ABX DEY đều. Khi 
đĩ lục giác ABCDEF đồng dạng với DBXAEY và CF XY= . Ta cĩ 

 
 
 
 0180AXB AGB DYE DHE+ = + = . 
Do đĩ, AXBG và DHEY là các tứ giác nội tiếp. Sử dụng hệ quả 1, ta cĩ 
AG GB GH DH HE XG GH HY XY CF+ + + + = + + ≥ = . 
1
 Người dịch: Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, Việt Nam. E-mail: kt13quang@yahoo.com 
2
 Kin –Yin LI, “Ptolemy’s Theorem”, Mathematical Excalibur, Vol.2, No.4, 1996 
 2 
Bài tốn 2. [IMO 1996] Cho P là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho 

 
 
 
APB ACB APC ABC− = − . 
Gọi ,D E lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp của các tam giác ,APB APC . Chứng minh rằng 
các đường thẳng , ,AP BD CE đồng quy. 
Lời giải. Ta cần chứng minh đường phân giác của các gĩc 

,ABP ACP cắt AP tại cùng một 
điểm. Gọi ,X Y và Z lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ điểm P xuống , ,BC CA AB . 
Khi đĩ, , ,AZPY BXPZ CYPX là các tứ giác nội tiếp. Ta cĩ 

 
 
 
 
 
 
APB ACB YAP XBP YZP XZP YZX− = + = + = . 
Tương tự ta cũng chứng minh được 
 
 
APB ABC XYZ− = . Từ đĩ suy ra XZ XY= . 
Sử dụng hệ quả 2, ta cĩ 
 
sin sinBP ABC XZ XY CP ACB= = = . 
Do đĩ 
 
sin sinBP CP ACB ABC AB AC= = hay AB BP AC CP= . 
Từ tính chất về đường phân giác, suy ra BD và CE cắt nhau tại một điểm thuộc AP . 
Bài tốn 3. [Bất đẳng thức Erdos - Mordell] Cho P là một điểm trong tam giác ABC và 
, ,a b cd d d là khoảng cách từ P đến , ,BC CA AB . Chứng minh rằng 
( )2 a b cPA PB PC d d d+ + ≥ + + . 
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều và P là tâm của tam giác. 
Lời giải. Gọi , ,X Y Z lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ P xuống , ,BC CA AB .Sử 
dụng hệ quả 2 hoặc định lý sin và định lý cosin, ta cĩ 

 ( ) ( )2 2 0 2 2sin 2 cos 180 2 cosb c b c b c b cPA BAC YZ d d d d A d d d d B C= = + − − = + − + 
 ( ) ( )
2 2
sin sin sin sin sin sinb c b c b cd C d B d C d B d C d B= + + − ≥ + . 
Suy ra sin sin
sin
b cd C d BPA
A
+
≥ . Chứng minh tương tự ta cũng cĩ 
sin sin sin sin
,
sin sin
a c a bd C d A d B d APB PC
B C
+ +
≥ ≥ . 
Cộng các bất đẳng thức trên, chú ý rằng 1 2x x+ ≥ với mọi 0x> , ta được 
( )
sin sin 2
sin sina a b ccyc
B CPA PB PC d d d d
C B
 + + ≥ + ≥ + +  ∑ . 
ðẳng thức xảy ra khi chỉ khi A B C= = và a b cd d d= = hay ABC là tam giác đều và P là 
tâm của tam giác. 
Bài tốn 4. [IMO 1991] Cho P là một điểm trong tam giác ABC .Chứng minh rằng ít nhất 
một trong các gĩc 


, ,PAB PBC PCA nhỏ hơn hoặc bằng 030 . 
Lời giải. Giả sử rằng khơng cĩ gĩc nào trong ba gĩc trên nhỏ hơn hoặc bằng 030 . Nếu một 
trong ba gĩc đĩ lớn hơn 0150 thì hai gĩc cịn lại đều nhỏ hơn 030 , mâu thuẫn. Do đĩ, ta cĩ thể giả 
sử ba gĩc cùng lớn hơn 030 và cùng nhỏ hơn 0150 . Gọi ad là khoảng cách từ P đến BC , thì 

 02 2 sin 2 sin 30ad PB PBC PB PB= > = . 
Tương tự, ta cũng cĩ 2 ,2b cd PC d PA> > . Cộng các bất đẳng thức này, ta thu được 
( )2 a b cd d d PA PB PC+ + > + + (mâu thuẫn với bất đẳng thức Erdos – Mordell). 
Tĩm lại, ít nhất một trong các gĩc 


, ,PAB PBC PCA nhỏ hơn hoặc bằng 030 .