Toán học - Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

c©Diễn đàn Toán học – VMF
KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU
Tác giả :Phạm Kim Hùng 1
Biên tập: Vũ Đình Việt2 - Trần Trung Kiên 3
I. LỜI NÓI ĐẦU
Các bạn thân mến!
Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những phần kiến thức đặc biệt quan trọng trong
Toán Học nói chung và chương trình THPT nói riêng. BĐT cũng là một phần không thể
thiếu trong các kỳ thi Toán, thi Đại Học, Cao Đẳng,...
Nói đến BĐT, chúng ta không thể không nhắc đến một BĐT khá quen thuộc đó là BĐT
Cauchy (AM-GM). Việc luyện tập tốt về BĐT, giúp cho các bạn có được những tư duy
tốt hơn trong việc học tập và cải thiện tốt tâm lý trong phòng thi (khi gặp một bài BĐT
khó) ...
Cuốn "Sáng tạo bất đẳng thức" - TG: Phạm Kim Hùng, là một trong những cuốn sách
rất hay viết về đề tài này.
Để góp phần giúp cho các bạn nắm vững các kiến thức về BĐT này, vận dụng một số
kỹ năng, phương pháp để giải quyết các bài toán liên quan đến BĐT, cũng như việc tìm
đọc các tài liệu viết về BĐT được dễ dàng hơn, tôi đã tổng hợp và hệ thống ngắn gọn lại
các bài tập tiêu biểu của phương pháp gọi là: "Kỹ thuật Cauchy ngược dấu".
Tài liệu được biên soạn nhân sự kiện  kỷ niệm 8 năm hoạt
động bởi Vũ Đình Việt và Trần Trung Kiên. Có thể coi đây là phần quà dành cho tất cả
các bạn.
Bài viết sẽ gồm 4 phần chính:
Phần I: LỜI NÓI ĐẦU
Phần II: KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG : Phần này sẽ trích
nguyên mẫu trong sách ”Sáng tạo bất đẳng thức” - Phạm Kim Hùng.
Phần III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI HAY : Ở Phần này gồm các bài toán và
lời giải của các thành viên trên  cùng một số bài toán sưu tầm.
Phần IV: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Việc biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong những ý kiến đóng góp
của các bạn! Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ: echcon_ks9x@yahoo.com.vn
Trân trọng cảm ơn!
1Phạm Kim Hùng có nickname trên Diễn đàn toán học VMF là hungkhtn.
2Vũ Đình Việt có nickname trên Diễn đàn toán học VMF là vietfrog.
3Trần Trung Kiên có nickname trên Diễn đàn toán học VMF là Ispectorgadget.
c©www.diendantoanhoc.net Trang 1/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
II.KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU - PHẠM KIM HÙNG4
Chúng ta sẽ xem xét bất đẳng thức AM − GM và một kĩ thuật đặc biệt - kỹ thuật
Cauchy ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ và ấn tượng
nhất của bất đẳng thức AM −GM . Hãy xem các ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ 1: Các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh bất đẳng
thức:
a
1 + b2
+
b
1 + c2
+
c
1 + a2
≥ 3
2
LỜI GIẢI
Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM −GM với mẫu số vì bất đẳng thức
sẽ đổi chiều
a
1 + b2
+
b
1 + c2
+
c
1 + a2
≤ a
2b
+
b
2c
+
c
2a
≥ 3
2
?!
Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác
a
1 + b2
= a− ab
2
1 + b2
≥ a− ab
2
2b
= a− ab
2
Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM −GMcho 2 số 1+ b2 ≥ 2b ở dưới mẫu nhưng lại có được
một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức
AM − GM , một kĩ thuật rất ấn tượng và bất ngờ. Nếu không sử dụng phương pháp này
thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài.
Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức đương tự với b, crồi cộng cả 3 bất đẳng
thức lại suy ra:
a
1 + b2
+
b
1 + c2
+
c
1 + a2
= a+ b+ c− ab+ bc+ ac
2
≥ 3
2
vì ta có ab+ bc+ ac ≤ 3. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Với cách làm trên có thể xây dựng bất đẳng thức tương tự với 4 số.
Ví dụ 2: Các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh bất đẳng
thức:
a
1 + b2
+
b
1 + c2
+
c
1 + d2
+
d
1 + a2
≥ 2
Và nếu không dùng kĩ thuật Cauchy ngược dấu thì gần như bài toán này không thể
giải được theo cách thông thường được. Kĩ thuật này thực sự hiệu quả với các bài toán
bất đẳng thức hoán vị.
Ví dụ 3: Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiên a+ b+ c+ d = 4
ta có:
a
1 + b2c
+
b
1 + c2d
+
c
1 + d2a
+
d
1 + a2b
≥ 2
4Phần II này được trích nguyên mẫu trong cuốn sách ”Sáng tạo Bất đẳng thức” của tác giả Phạm Kim
Hùng.
c©www.diendantoanhoc.net Trang 2/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
LỜI GIẢI
Theo bất đẳng thức AM −GM
a
1 + b2c
= a− ab
2c
1 + b2c
≥ a− ab
2c
2b
√
c
= a− ab
√
c
2
≥ a− b
√
a.ac
2
≥ a− b (a+ ac)
4
⇒ a
1 + b2c
≥ a− 1
4
(ab+ abc)
Hoàn toàn tương tự ta có thêm 3 bất đẳng thức sau:
b
1 + c2d
≥ b− 1
4
(bc+ bcd) ,
c
1 + d2a
≥ c− 1
4
(cd+ cda) ,
d
1 + a2b
≥ d− 1
4
(da+ dab)
Cộng vế cả 4 bất đẳng thức trên ta được
a
1 + b2c
+
b
1 + c2d
+
c
1 + d2a
+
d
1 + a2b
≥ a+b+c+d−1
4
(ab+ bc+ cd+ da+ abc+ bcd+ cda+ dab)
Từ bất đẳng thức AM −GM dễ dàng suy ra các bất đẳng thức:
ab+ bc+ cd+ da ≤ 1
4
(a+ b+ c+ d)2 = 4
abc+ bcd+ cda+ dab ≤ 1
16
(a+ b+ c+ d)3 = 4
Do đó
a
1 + b2c
+
b
1 + c2d
+
c
1 + d2a
+
d
1 + a2b
≥ a+ b+ c+ d− 2 = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Ví dụ 4: Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c, d tac luôn có:
a3
a2 + b2
+
b3
b2 + c2
+
c3
c2 + d2
+
d3
d2 + a2
≥ a+ b+ c+ d
2
LỜI GIẢI
Sử dụng bất đẳng thức AM −GM với 2 số
a3
a2 + b2
= a− ab
2
a2 + b2
≥ a− ab
2
2ab
= a− b
2
Xây dựng 3 bất đẳng thức tương tự với b, c, drồi cộng theo vế các bất đẳng thức lại ta
được:
a3
a2 + b2
+
b3
b2 + c2
+
c3
c2 + d2
+
d3
d2 + a2
≥ a− b
2
+ b− c
2
+ c− d
2
+ d− a
2
=
a+ b+ c+ d
2
Ta có được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau.
c©www.diendantoanhoc.net Trang 3/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Một bất đẳng thức cùng dạng trên là:
a4
a3 + 2b3
+
b4
b3 + 2c3
+
c4
c3 + 2d3
+
d4
d3 + 2a3
≥ a+ b+ c+ d
3
Ví dụ 5: Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 3. Chứng minh:
a2
a+ 2b2
+
b2
b+ 2c2
+
c2
b+ 2a2
≥ 1
LỜI GIẢI
Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM −GM cho 3 số:
a2
a+ 2b2
= a− 2ab
2
a+ 2b2
≥ a− 2ab
2
3
3
√
ab4
= a− 2
3
(ab)
2
3
Hoàn toàn tương tự ta cũng có 2 bất đẳng thức:
b2
b+ 2c2
≥ b− 2
3
(bc)
2
3 ,
c2
c+ 2a2
≥ c− 2
3
(ca)
2
3
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
a+ b+ c− 2
3
(
(ab)
2
3 + (bc)
2
3 + (ca)
2
3
)
≥ 1
⇔ (ab) 23 + (bc) 23 + (ca) 23 ≤ 3
Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, vì theo bất đẳng thức AM −GM :
a+ ab+ b ≥ 3(ab) 23 , b+ bc+ c ≥ 3(bc) 23 , c+ ca+ a ≥ 3(ca) 23
Ngoài ra dễ thấy ab+ bc+ ca ≤ 3 nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Kết quả của bài toán vẫn đúng khi thay giả thiết a + b + c = 3 bởi ab + bc + ca = 3
hoặc
√
a+
√
b+
√
c = 3, trường hợp sau khó hơn một chút. Ta có thêm một bất đẳng thức
khác cùng dạng trên.
Ví dụ 6: Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 3. Chứng minh rằng:
a2
a+ 2b3
+
b2
b+ 2c3
+
c2
b+ 2a3
≥ 1
LỜI GIẢI
Chứng minh tương tự đưa bất đẳng thức về:
b
3
√
a2 + c
3
√
a2 + a
3
√
c2 ≤ 3
Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM −GM ta có:
ba
2
3 ≤ b (2a+ 1) , cb 23 ≤ c (2b+ 1) , ac 23 ≤ a (2c+ 1)
c©www.diendantoanhoc.net Trang 4/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Cộng cả ba vế bất đẳng thức trên được điều phải chứng minh.
Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c có tổng bằng 3 thì:
a+ 1
b2 + 1
+
b+ 1
c2 + 1
+
c+ 1
a2 + 1
≥ 3
LỜI GIẢI
Theo bất đẳng thức AM −GM dễ thấy
a+ 1
b2 + 1
= a+ 1− (a+ 1) b
2
b2 + 1
≥ a+ 1− b
2 (a+ 1)
2b
= a+ 1− ab+ b
2
Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa với b, c rồi cộng lại ta được:
a+ 1
b2 + 1
+
b+ 1
c2 + 1
+
c+ 1
a2 + 1
≥
(
a+ 1− ab+ b
2
)
+
(
b+ 1− bc+ c
2
)
+
(
c+ 1− ca+ a
2
)
= 3 +
a+ b+ c− ab− bc− ca
2
≥ 3
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d dương có tổng bằng 4 thì:
a+ 1
b2 + 1
+
b+ 1
c2 + 1
+
c+ 1
d2 + 1
+
d+ 1
a2 + 1
≥ 2
Cũng bằng phương pháp tương tự ta có bất đẳng thức sau đây.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, ddương có tổng bằng 4 thì:
1
a2 + 1
+
1
b2 + 1
+
1
c2 + 1
+
1
d2 + 1
≥ 2
LỜI GIẢI
Thật vậy ta có đánh giá sau:
1
a2 + 1
= 1− a
2
a2 + 1
≥ 1− a
2
2a
= 1− a
2
Sau đó chỉ cần làm tương tự vớib, c, drồi cộng lại ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1.
Kĩ thuật Cauchy ngược dấu là một kĩ thuật giúp giải quyết bài toán theo lối suy nghĩ
nhẹ nhàng và trong sáng, các kết quả làm bằng kĩ thuật này nói chung rất khó có thể làm
được theo cách khác, hoặc phải làm theo cách khá dài.
Trích ”Sáng tạo Bất đẳng thức–Phạm Kim Hùng”
c©www.diendantoanhoc.net Trang 5/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI HAY
Bài toán 1: Cho x, y, z là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
P =
√
yz
x+ 2
√
yz
+
√
xz
y + 2
√
xz
+
√
xy
z + 2
√
xy
(Đề dự bị khối B – 2010)
LỜI GIẢI
Đây là lời giải của HÀ QUỐC ĐẠT trên Diễn đàn toán học VMF
Ta có: √
yz
x+ 2
√
yz
= 1− x
x+ 2
√
yz
≤ 1− x
x+ y + z
(1)
Chứng minh tương tự:
√
xz
y + 2
√
xz
= 1− y
y + 2
√
xz
≤ 1− y
x+ y + z
(2);
√
xy
z + 2
√
xy
= 1− z
z + 2
√
xy
≤ 1− z
x+ y + z
(3)
Cộng theo vế (1)(2)(3) ta có:
2P ≤ 3− x+ y + z
x+ y + z
= 2 ⇒ P ≤ 1
Vậy MinP = 1 khi và chỉ khi x = y = z.
Bài toán 2: Cho 3 số a, b, c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng:
a3
a2 + ab+ b2
+
b3
b2 + ab+ c2
+
c3
c2 + ac+ a2
≥ a+ b+ c
3
LỜI GIẢI 1
Đây là lời giải của Ispectorgadget trên Diễn đàn toán học VMF
Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM −GM cho 3 số ta có:
a3
a2 + ab+ b2
= a− a
2b+ ab2
a2 + ab+ b2
≥ a− ab(a+ b)
3ab
= a− a+ b
3
(1)
Chứng minh tương tự ta có:
b3
b2 + cb+ c2
≥ b− b+ c
3
(2);
c3
c2 + ac+ a2
≥ c− a+ c
3
(3)
Cộng (1)(2)(3) ta có:
a3
a2 + ab+ b2
+
b2
b2 + bc+ c2
+
c3
c2 + ac+ a2
≥ a+ b+ c− a+ c
3
− a+ b
3
− b+ c
3
=
a+ b+ c
3
Ta có được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
c©www.diendantoanhoc.net Trang 6/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Ta cũng có một lời giải khác khá hay, hoàn toàn không liên quan đến LỜI GIẢI 1 và
cũng thu được đánh giá tương tự.
LỜI GIẢI 2
Đây là lời giải của vietfrog trên Diễn đàn toán học VMF
Lời giải này sử dụng ”Phương pháp tiếp tuyến”
. Giả sử:
a3
a2 + ab+ b2
≥ 2a− b
3
⇔ a3 + b3 − a2b− ab2 ≥ 0
⇔ (a+ b) (a− b)2 ≥ 0 (∗)
Do a, b > 0 nên bất đẳng thức (∗) hiển nhiên đúng. Như vậy giả sử đúng.
Xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b, c rồi cộng theo vế ta được:
a3
a2 + ab+ b2
+
b3
b2 + ab+ c2
+
c3
c2 + ac+ a2
≥ 2a− b
3
+
2b− c
3
+
2c− a
3
=
a+ b+ c
3
Đẳng thức xảy ra khi xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 3: Cho a, b, c thực dương thỏa mãn a+ b+ c = 3.
Chứng minh rằng:
V =
a+ b+ c
a2 + abc
+
a+ b+ c
b2 + abc
+
a+ b+ c
c2 + abc
≥ 9
2
(Đề thi thử ĐH lần 2 trường chuyên Nguyễn Huệ 2007-2008)
LỜI GIẢI
Đây là lời giải của Ispectorgadget trên Diễn đàn toán học VMF
Từ giả thiết ta có:
a+ b+ c = 3 ≥ 3 3
√
abc⇔ 1 ≥ abc
Do đó: V ≥ (a+ b+ c) ( 1
a2+1
+ 1
b2+1
+ 1
c2+1
)
= 3
(
1− a2
a2+1
+ 1− b2
b2+1
+ 1− c2
c2+1
)
≥ 3
(
1− a
2
2a
+ 1− b
2
2b
+ 1− c
2
2c
)
= 3
[
3−
(
a+ b+ c
2
)]
= 9− 9
2
=
9
2
Ta có được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 4: Cho a, b là 2 số thực dương thay đổi thỏa mãn a+ b = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất
của:
M =
a2
a+ 1
+
b2
b+ 1
LỜI GIẢI 1
Ta có: a
2
a+1
= a− a
a+1
≥ a− a
2
√
a
= a−
√
a
2
Tương tự với b ta có được: b+ 1 ≥ b−
√
b
2
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được
a2
a+ 1
+
b2
b+ 1
= a−
√
a
2
+ b−
√
b
2
= a+ b− 1
2
(
√
a+
√
b)
c©www.diendantoanhoc.net Trang 7/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Theo Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
√
a+ b ≥ (
√
a+
√
b)√
2
⇔
√
2(a+ b) ≥ √a+
√
b
Do đó: M ≥ (a+ b)−
√
2(a+ b)
2
= 2− 1 = 1
Như vậy : MinM = 1 . Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Thực ra thì bài toán vẫn được giải quyết bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel
hay vẫn gọi là bất đẳng thức Schwarz:
Với x, y,m, n là các số dương ta luôn có:
x2
m
+
y2
n
≥ (x+ y)
2
m+ n
(∗)
LỜI GIẢI 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel ta có:
a2
a+ 1
+
b2
b+ 1
≥ (a+ b)
2
a+ b+ 2
=
22
2 + 2
= 1
Ta cũng có được MinM = 1 khi và chỉ khi a = b = 1.
Tuy nhiên, khi làm bài thi Đại học thì ta vẫn phải chứng minh lại bất đẳng thức (∗). Vì
vậy cách chứng minh bằng kỹ thuật Cauchy ngược dấu như trên cũng có thể là một lựa
chọn hay.
Bài toán 5: Cho a, b, c là 3 số thực dương; a, b, c < 2 CMR:
1
2− a +
1
2− b +
1
2− c ≥
a2 + b2 + c2
2
+
3
2
LỜI GIẢI
Ta có:
1
b2 + 1
= 1− b
2
b2 + 1
≥ 1− b
2
2b
= 1− b
2
=
2− b
2
⇒ 1
2− b ≥
b2 + 1
2
(1)
Chứng minh tương tự:
1
2− c ≥
c2 + 1
2
(2) ;
1
2− a ≥
a2 + 1
2
(3)
Cộng theo vế (1)(2)(3) ta có:
1
2− a +
1
2− b +
1
2− c ≥
a2 + 1 + b2 + 1 + 1 + c2
2
=
a2 + b2 + c2
2
+
3
2
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng 1.
Bài toán 6: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn: xyz = 1 Chứng minh bất đẳng thức:
x4y
x2 + 1
+
y4z
y2 + 1
+
z4x
z2 + 1
≥ 3
2
c©www.diendantoanhoc.net Trang 8/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
LỜI GIẢI
Đây là lời giải của phuc_90 trên Diễn đàn toán học VMF
Theo bất đẳng thức AM −GMcho 3 số kết hợp với giả thiết xyz = 1 ta có:
x2y + x2y + z2x ≥ 3 3
√
x3.(xyz)2 = 3x
Tương tự ta có được: y2z + y2z + x2y ≥ 3y ; z2x+ z2x+ y2z ≥ 3z
Cộng 3 bất đẳng thức theo vế theo vế ta có:
x2y + y2z + z2x ≥ x+ y + z(∗)
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
x4y
x2 + 1
= x2y
(
1− 1
1 + x2
)
≥ x2y − 1
2
xy
Từ đó suy ra:∑ x4y
x2 + 1
≥
∑
x2y − 1
2
∑
xy
(∗)
≥ 1
2
∑(
x2y + y
)− 1
2
∑
xy
AM−GM≥
∑
xy
2
AM−GM≥ 3
2
Đây chính là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
Bài toán 7: Cho a, b, c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng
minh rằng:
a
b3 + 16
+
b
c3 + 16
+
c
a3 + 16
≥ 1
6
LỜI GIẢI
Đây là lời giải của HÀ QUỐC ĐẠT trên Diễn đàn toán học VMF
Ta có:
a
b3 + 16
=
1
16
(a− ab
3
b3 + 16
) =
1
16
(a− ab
3
b3 + 23 + 23
) ≥ 1
16
(a− ab
3
12b
) =
1
16
(a− ab
2
12
)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1
16
(3− ab
2 + bc2 + ca2
12
) ≥ 1
6
⇔ ab2 + bc2 + ca2 ≤ 4
Chứng minh BĐT mạnh hơn:
ab2 + bc2 + ca2 + abc ≤ 4
Giả sử b nằm giữa a và c.
Ta có:
a(b− c)(b− a) ≤ 0
Theo bất đẳng thức AM −GM
ab2 + bc2 + ca2 + abc = b(a+ c)2 + a(b− a)(b− c) ≤ b(a+ c)2 ≤ 4
c©www.diendantoanhoc.net Trang 9/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Từ đó ta có được điều phải chứng minh.
Bài toán 8: Cho a, b, c là 3 số không nhỏ hơn 1. Chứng minh bất đẳng thức:
a(b+ c) + b(a+ c) + c(a+ b) + 2(
1
1 + a2
+
1
1 + b2
+
1
c2 + 1
) ≥ 9
LỜI GIẢI
Ta có:
1
1 + a2
+
1
1 + b2
+
1
c2 + 1
= 1− a
2
1 + a2
+1− b
2
1 + b2
1− c
2
c2 + 1
= 3−
(
a2
1 + a2
+
b2
1 + b2
+
c2
c2 + 1
)
Theo bất đẳng thức AM −GM ta có:
a2
1 + a2
+
b2
1 + b2
+
c2
c2 + 1
≤ a
2
2a
+
b2
2b
+
c2
2c
=
a+ b+ c
2
Suy ra:
1
1 + a2
+
1
1 + b2
+
1
c2 + 1
≥ 3− a+ b+ c
2
Ta cần chứng minh:
a(b+ c) + b(a+ c) + c(a+ b) + 2
(
3− a+ b+ c
2
)
≥ 9
⇔ a (b+ c− 1) + b (a+ c− 1) + c (b+ a− 1) ≥ 3 (∗)
Thật vậy, do a, b, c ≥ 1⇒ (b+ c− 1) ≥ 1⇒ a (b+ c− 1) ≥ 1. Từ đó nhận thấy bất đẳng
thức (∗) đúng và suy được bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài toán 9: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn an + bn + cn = k và n, k ∈ N∗.
Tìm Min của biểu thức:
S =
an
1 + nbn+1
+
bn
1 + ncn+1
+
cn
1 + nan+1
LỜI GIẢI
Đây là lời giải của vietfrog trên Diễn đàn toán học VMF
Ta có:
S =
a,b,c∑
cyc
an
1 + nbn+1
=
a,b,c∑
cyc
(
an − n.a
nbn+1
1 + nbn+1
)
=
a,b,c∑
sym
an −
a,b,c∑
cyc
n.anbn+1
1 + nbn+1
≥ k −
a,b,c∑
cyc
n.anbn+1
(n+ 1)b
= k − n
n+ 1
.
a,b,c∑
cyc
anbn
Mặt khác ta có:
a,b,c∑
cyc
anbn = anbn + bncn + ancn ≤ (a
n + bn + bn)2
3
=
k2
3
c©www.diendantoanhoc.net Trang 10/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Suy ra:
S ≥ k − n
n+ 1
.
k2
3
Như vậy: MinS = k − n
n+1
.k
2
3
khi và chỉ khi a = b = c = k
3
.
Bài toán trên có thể tổng quát cho n số dương.
Bài toán 10: Cho ai > 0; i = 1.n Chứng minh rằng:
an1
an−11 + (n− 2)an−12
+ ...+
ann
an−1n + (n− 2)an−11
≥ a1 + a2 + ...+ an
n− 1
LỜI GIẢI
Đây là lời giải của anh qua trên Diễn đàn toán học VMF
Ta có:
an1
an−11 + (n− 2)an−12
= a1 − (n− 2)a1.a
n−1
2
an−11 + (n− 2)an−12
. Mà theo bất đẳng thức AM −GM :
an−11 + (n− 2)an−12 ≥ (n− 1).a1.an−22
Do đó:
an1
an−11 + (n− 2)an−12
≥ a1 − (n− 2)a2
n− 1
Xây đựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh.
Trên đây là 10 Bài toán về bất đẳng thức và cực trị có sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.
Có thể đó không phải là những lời giải hay nhất, ngắn gọn nhất nhưng mong rằng qua đó,
các bạn có thể có thêm những kinh nghiệm mới, cách nhìn nhận mới để từ đó sáng tạo ra
những lời giải tuyệt vời. Chúc các bạn thành công.
c©www.diendantoanhoc.net Trang 11/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Dưới đây là một số bài tập đề nghị có thể giải bằng cách sử dụng kỹ thuật Cauchy
ngược dấu. Những bài tập này có thể giải quyết bằng nhiều cách nhưng hay thử đặt bút
và làm bằng kỹ thuật được nói tới trong bài. Sẽ rất thú vị!
Bài tập 1: Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn x+ y + z = 3.
Tìm GTNN của biểu thức:
V =
x2
x+ y2
+
y2
y + z2
+
z2
z + x2
Bài tập 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a3
a2 + b2
+
b2
b2 + c2
+
c3
c2 + a2
≥ a+ b+ c
2
Bài tập 3: Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn ab = 1.Chứng minh rằng:
a3
1 + b2
+
b3
1 + a2
≥ 1
Bài tập 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
P =
a
1 + 2b3
+
b
1 + 2c3
+
c
1 + 2a3
Bài tập 5: Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa a, b, c < 4.Chứng minh bất đẳng thức:
1
4− a +
1
4− b +
1
4− c ≥
3
4
+
a2 + b2 + c2
16
Bài tập 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c = k và n ∈ N∗
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
S =
a,b,c∑
cyc
a2
a+ nbn+1
c©www.diendantoanhoc.net Trang 12/13
c©Diễn đàn Toán học – VMF
Tài liệu tham khảo
1. Cuốn sách ”Sáng tạo Bất đẳng thức” – Phạm Kim Hùng
2. Diễn đàn toán học VMF : diendantoanhoc.net
3. Một số đề thi.
Biên tập : Vũ Đình Việt và Trần Trung Kiên
Soạn thảo LATEX : Vũ Đình Việt.
HẾT
c©www.diendantoanhoc.net Trang 13/13