Toán học - Một phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức trung tuyến

Đỗ Văn Đức, Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toỏn, ĐHKHTN- ĐHQGHN - 1 - 
 - 1 - 
Một phương phỏp mới chứng minh bất đẳng thức trung tuyến 
Trong toỏn học, việc tỡm tũi và sỏng tạo là vụ cựng cần thiết và hữu ớch. Trong bài viết này, chỳng tụi xin 
được trao đổi với cỏc bạn một phương phỏp mới trong chứng minh bất đẳng thức (BDT) trong tam giỏc cú 
liờn quan đến đường trung tuyến. Phương phỏp này dựa trờn một bài toỏn khỏ quen thuộc sau: 
Bài toỏn: Xột tam giỏc ABC bất kỡ cú độ dài 3 cạnh lần lượt là a, b, c và diện tớch S. Kớ hiệu ma, mb, mc là 
độ dài cỏc đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giỏc kẻ từ A, B, C. Dựng hỡnh bỡnh hành BMXN. 
Xột AMXD ta cú cỏc tớnh chất cơ bản sau: 
- Cỏc cạnh của tam giỏc là a’=ma, b’=mb, c’=mc 
- Độ dài cỏc đường trung tuyến: ' ' '3 3 3, ,
4 4 4a b c
m a m b m c= = = 
- Diện tớch: 3'
4
S S= . 
-Bỏn kớnh đường trũn nội và ngoại tiếp: 
( )
3' , '
3 2
a b c
a b c
m m m SR r
S m m m
= =
+ +
. 
Chứng minh (CM): 
M
N
A
B C
XP
Cỏc tớnh chất trờn được suy ra trực tiếp từ tớnh chất đường trung bỡnh của tam giỏc và từ cỏc cụng thức cơ 
bản sau, khi ỏp dụng vào AMXD : 
 ( )( )( )
4
abcS pr p p a p b p c
R
= = = - - - (*) 
Với p là nửa chu vi tam giỏc.Việc chứng minh khỏ dễ dàng nờn xin dành cho bạn đọc. Chỳng tụi xin được 
đề cập đến sự ứng dụng của nú. 
Vớ dụ 1. Sử dụng cỏc kớ hiệu như bài toỏn trờn. Chứng minh BDT sau: ( ) 29a b c a b cm m m m m m S+ + ³ (1) 
Giải: Ta viết lại (1) theo ngụn ngữ của AMXD như sau: 
( ) 216 'a b c a b cm m m m m m S+ + ³ 
Ta sẽ CM nú đỳng trong trường hợp tổng quỏt hơn, đỳng với mọi tam giỏc : ( ) 216abc a b c S+ + ³ , sử dụng 
cụng thức (*) và BDT Euler 2R r³ ta cú: ( ) 24 .2 16 . . 16abc a b c SR p S p r S+ + = ³ = 
Thay BDT trờn vào AMXD ta cú ĐPCM. 
Nhận xột: Qua vớ dụ trờn cỏc bạn đó cú thể phần nào thấy được ý tưởng chớnh của phương phỏp này là: 
Chứng minh BDT đỳng với mọi tam giỏc rồi thay kết quả đú vào AMXD ta thu được BDT cần CM. Việc 
CM như vậy luụn đơn giản và dễ giải quyết hơn. Ta cựng tiếp tục với cỏc vớ dụ sau để cỏc bạn cú thể thật 
sự hiểu rừ được phương phỏp này: 
Vớ dụ 2. CM : ( )2 27 3a b cm m m S+ + ³ 
Giải: Viết lại BDT trờn dưới dạng: 
Đỗ Văn Đức, Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toỏn, ĐHKHTN- ĐHQGHN - 2 - 
 - 2 - 
( )
33 3 3 3 '
2 2
a b c
a b c
m m m S r
m m m
+ +
³ =
+ +
Vậy, ta CM BDT trờn theo ngụn ngữ ABCD là 3 3p r³ . Sử dụng BDT Cụ-si cho 3 số dương, ta được: 
( )( )( )
3 33
3 27
p a b c pp a p b p c - - -ổ ử- - - Ê =ỗ ữ
ố ứ
Suy ra ( )( )( )S pr p p a p b p c= = - - - 
2
3 3
p
Ê . 
Ta cú ĐPCM. 
Vớ dụ 3. Chứng minh BDT: 
 2 2 2
1 1 1
3
a b c
a b c
m m m
Sm m m
+ +
+ + Ê 
Lời giải: 
Viết lại BDT trờn dưới dạng sau: 
2 2 2
1 1 1
4 '
a b c
a b c
m m m
Sm m m
+ +
+ + Ê 
BDT trờn sẽ đỳng nếu ta CM được BDT sau:
( )2
2 2 2 2
1 1 1
16
a b c
a b c S
+ +
+ + Ê 
Ta cú: 
( )
( )( )( )
2
2 416
a b c p
p a p b p cS
+ +
=
- - -
( )( ) ( )2
2 2 2
1
4
1
1 1 1
cyc cycp a p b p a p b
a b c
=
- -
Ê
- + -
= + +
ồ ồ
Vậy BDT được CM. 
Vớ dụ 4. Chứng minh rằng 
a) 4
a b b c c a
ab bc ca
m m m m m m
+ + ³ 
b) 9
4
a b b c c am m m m m m
ab bc ca
+ + ³ 
Giải: Cỏc bạn cú thể thấy hai BDT trờn là tương đương nhau khi thay một BDT vào AMXD , vỡ vậy ta chỉ 
cần CM BDT a). 
 Đầu tiờn ta CM bổ đề sau: 
Bổ đề: 24 2b cm m a bcÊ + 
Chứng minh: Sử dụng cụng thức đường trung tuyến và bỡnh phương hai vế, ta cú BDT trờn tương đương 
với: 
 ( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2a bc a b c a c b+ ³ + - + - 
( ) ( )2 2 2 0b c b c aộ ựÛ - + - ³ở ỷ luụn đỳng theo BDT trong tam giỏc b+c>a. 
Quay lại bài toỏn, ỏp dụng bổ đề ta cú: 
24 2cyc cyca b
ab ab
m m c ab
³
+ồ ồ (2). 
Đỗ Văn Đức, Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toỏn, ĐHKHTN- ĐHQGHN - 3 - 
 - 3 - 
Đặt 
2a x
bc
= , 
2 2
, 1b cy z xyz
ca ab
= = ị = . 
Vậy ta cần CM: 1 1
2 1cyc x
³
+ồ . Quy đồng mẫu số ta cú: 
( ) ( )
( ) ( )
4 4 31 1
2 1 4 9cyc
xy yz zx x y z
x xy yz zx x y z
+ + + + + +
= ³
+ + + + + + +ồ 
( do 33 3x y z xyz+ + ³ = ), đpcm. 
Phương phỏp trờn là một phương phỏp khỏ mới và cú rất nhiều ứng dụng. Nếu cỏc bạn thật sự hiểu rừ 
phương phỏp này thỡ cú thể CM cỏc BDT khú trong tam giỏc hoặc tự mỡnh tạo ra cỏc BDT mới. Rất mong 
nhận được trao đổi của cỏc bạn về vấn đề này. Kết thỳc bài viết, mời cỏc bạn làm một số bài luyện tập sau 
để củng cố: 
Chứng minh cỏc BDT sau: 
Bài 1. a) 2 3
a b c
a b c
m m m
+ + ³ 
 b) 3 3
2
a b cm m m
a b c
+ + ³ 
Bài 2. ( )
2 2 2 4
3 a b ca b c
a b c m m m
m m m
+ + ³ + + 
Bài 3. 2 2 2 33 3a b cm m m S³ 
Bài 4. a) 2 2 2( ) 9a b c a b cm m m m m m S+ + + + ³ 
 b)
2 2 2
a b c
a b c
m m m
S
m m m
³
+ +
 c) 2 2 2
a b c
a b c
m m m
r
m m m
³
+ +
. 
Bài 5. a) 
2 2 2
4
b c c a a b
a b c
m m m m m m
+ + ³ 
 b) 2 2 2
9
4
a b b c c am m m m m m
c a b
+ + ³