Toán học - Một số kiến thức về hàm số tuần hoàn

 1 
Một Số Kiến Thức Về Hàm Số Tuần Hồn 
Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 
Trần Minh Hiền, THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước 
Trong chương trình THPT, kiến thức về hàm số tuần hồn (HSTH) được đề cập rất ít, chủ 
yếu khi học sinh được học về các tính chất của các hàm số lượng giác ở lớp 11. Tuy nhiên, trong 
các kì thi học sinh giỏi, vẫn thường hay xuất hiện những bài tốn liên quan đến nội dung này. Bài 
viết sau sẽ trình bày một số kiến thức về lý thuyết cũng như các bài tốn về HSTH. 
1. ðịnh nghĩa 
Hàm số ( )y f x= cĩ tập xác định D được gọi là HSTH nếu tồn tại ít nhất một số 0T ≠ sao 
cho với mọi x D∈ ta cĩ: 
i) x T D± ∈ 
ii) ( ) ( )f x T f x± = . 
Số thực dương T thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì (CK) của HSTH ( )f x . Nếu 
HSTH ( )f x cĩ CK nhỏ nhất 0T thì 0T được gọi là chu kì cơ sở (CKCS) của HSTH ( )f x . 
Ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của HSTH. 
2. Một số tính chất 
2.1. Giả sử ( )f x là HSTH với CK T . Nếu 0x D∈ thì 0x nT D+ ∈ , 0x D∉ thì 0x nT D+ ∉ , 
với mọi n∈ℤ . 
2.2. Giả sử ( )f x là HSTH với CK T và ( )0f x a= , 0x D∈ , khi đĩ ( )0f x nT a+ = , với mọi 
n∈ℤ . 
2.3. Nếu 1 2, 0T T > là các CK của HSTH ( )f x trên tập D thì các thực dương 1 2 1, ,mT nT mT nT+ , 
với ,m n +∈ℤ , đều là CK của ( )f x trên tập D . 
2.4. Nếu ( )f x là HSTH với CKCS 0T thì 0 ,T nT n += ∈ℤ là một CK của HSTH ( )f x . 
2.5. Nếu 1 2,T T là các CK của các HSTH ( ) ( ),f x g x và 1
2
T
T
 là số hữu tỉ thì các hàm số ( ) ( )f x g x+ , 
( ) ( ) ( ) ( ), .f x g x f x g x− cũng là các HSTH với chu kì 1 2 , ,T mT nT m n += = ∈ℤ . 
Việc chứng minh các tính chất 2.1 – 2.4 tương đối đơn giản. Ta sẽ chứng minh tính chất 2.5. 
Chứng minh. Vì 1
2
T
T
 là số hữu tỉ nên tồn tại ,m n +∈ℤ sao cho 1
2
T n
T m
= . ðặt 1 2T mT nT= = , 
với mọi x D∈ , ta cĩ 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 ...f x f x T f x T f x mT f x T= + = + = = + = + , 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 ...g x g x T g x T g x nT g x T= + = + = = + = + . 
 Do đĩ, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), . .f x T g x T f x g x f x T g x T f x g x+ ± + = ± + + = . 
Vậy ( ) ( ) ( ) ( ), .f x g x f x g x± là các HSTH với chu kì 1 2 , ,T mT nT m n += = ∈ℤ . 
 2 
Việc kết luận một hàm số cĩ phải là HSTH hay khơng phụ thuộc rất nhiều vào việc xác định 
CK hoặc CKCS (nếu cĩ) của hàm số. Ta đề cập đến CK (CKCS) của một số hàm số thường gặp. 
3. Chu kì và chu kì cơ sở của một số hàm số 
3.1. Hàm số ( )f x c= ( c là hằng số) là HSTH với CK là số dương bất kì nhưng khơng cĩ CKCS. 
3.2. Hàm Dirichlet ( )
1, 
0, \
xf x
x
 ∈= ∈
ℚ
ℝ ℚ
 là HSTH với CK là số hữu tỉ dương bất kì nhưng khơng 
cĩ CKCS. 
3.3. Hàm số ( ) { } [ ]f x x x x= = − là HSTH cĩ CKCS 0 1T = . 
3.4. Các hàm số ( ) ( )sin , cosf x x f x x= = là các HSTH cĩ CKCS 0 2T π= . Các hàm số 
( ) ( ) ( ) ( )tan , cot , sin , cosf x x f x x f x x f x x= = = = là các HSTH cĩ CKCS 0T π= . 
3.5. Các hàm số ( ) ( ) ( ) ( )sin , cosf x ax b f x ax b= + = + , 0a ≠ là các HSTH cĩ CKCS 0 2T
a
π
= . 
Các hàm số ( ) ( ) ( ) ( )tan , cotf x ax b f x ax b= + = + , 0a ≠ là các HSTH cĩ CKCS 0T
a
π
= . 
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho hàm số ( ) { } [ ]f x x x x= = − và ( ) ( )sinf x ax b= + , 
các hàm số cịn lại xin dành cho bạn đọc như bài tập tự luyện. 
• Với mọi n∈ℤ , ta cĩ ( ) { } { } ( )f x n n x x f x+ = + = = . Do đĩ ( ) ( )1f x f x+ = . Mặt khác, 
nếu 00 1T t< = < là CKCS của ( )f x thì với 1x t= − , ta cĩ 0 1x< < , do đĩ. 
( ) ( ) ( ) { }1 0 1f x t f f x x t+ = = ≠ = = − . 
Vậy hàm số ( ) { } [ ]f x x x x= = − là HSTH cĩ CKCS 0 1T = . 
• Trước hết, ta chứng minh 0 2T aπ= , 0a ≠ là CK của ( ) ( )sinf x ax b= + . Thật vậy, ta cĩ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sinf x a a x a b ax b ax b f xπ π π + = + + = ± + = + =   . 
Giả sử tồn tại số dương 2t aπ< sao cho ( ) ( )f x t f x+ = , với mọi x∈ℝ . Khi đĩ, với 
2 b
x
a
π −
= , ta cĩ 
( ) ( ) ( )2sin sin 2 cos cos 1bf x t a t b at at t a
a
π
π
  −  + = + + = + = = <    
, 
 ( ) ( )2sin sin 2 1bf x a b
a
π
π
  −  = + = =    
. 
Do đĩ, ( ) ( )f x t f x+ = khơng xảy ra với mọi x∈ℝ , tức là 0 2T aπ= , 0a ≠ là CKCS 
của ( ) ( )sinf x ax b= + . 
4. Một số bài tốn 
Bài tốn 1. Xét tính tuần hồn và tìm CKCS (nếu cĩ) của các hàm số sau 
a) ( ) cosf x xπ= 
b) ( ) cosf x x= 
 3 
c) ( ) 3cos cos
2 2
x xf x = 
d) ( ) cos cos 2f x x x= + 
e) ( ) 2sinf x x= 
Lời giải. 
a) Theo tính chất 3.5, dễ thấy rằng ( ) cosf x xπ= là HSTH với CKCS 2T = . 
b) Tập xác định của hàm số là [ )0,D = +∞ . Giả sử ( ) cosf x x= là HSTH với CK 0T > . 
Nếu 0x D∈ thì 0x nT D+ ∈ , với mọi n∈ℤ . Tuy nhiên, điều này khơng thể xảy nếu cho 0n< 
đủ bé thì 0 0x nT+ < . Do đĩ ( ) cosf x x= khơng là HSTH. 
c) Ta cĩ ( ) ( ) ( )3 1cos cos cos cos2 2
2 2 2
x xf x x x f x π= = + = + . Ta sẽ chứng minh 0 2T π= 
là CKCS của hàm số này. Thật vậy, với 0 2a π< < thì cos 1,cos2 1a a< ≤ , suy ra 
( ) ( ) ( )1 cos cos2 1 0
2
f a a a f= + < = . 
Do đĩ, ( ) ( )f x a f x+ = khơng thể xảy ra với mọi x∈ℝ , tức là 0 2T π= là số dương nhỏ 
nhất sao cho ( ) ( )0f x T f x+ = với mọi x∈ℝ hay 0 2T π= là CKCS. 
d) Giả sử ( ) cos cos 2f x x x= + là HSTH, tức là tồn tại 0T > sao cho ( ) ( )f x T f x+ = , 
với mọi x∈ℝ , hay ( ) ( )cos cos 2 cos cos 2x T x T x x+ + + = + . 
Với 0x = , ta cĩ cos cos 2 2T T+ = , suy ra cos cos 2 1T T= = hay 2 , 2 2T k T mπ π= = , 
trong đĩ ,k m +∈ℤ . Do đĩ 2 m
k
= ∈ℚ (vơ lý). Vậy ( ) cos cos 2f x x x= + khơng là HSTH. 
e) Giả sử ( ) 2sinf x x= là HSTH, tức là tồn tại 0T > sao cho ( ) ( )f x T f x+ = , với mọi 
x∈ℝ , hay ( )2 2sin sinx T x+ = . 
Với 0x = , ta cĩ 2sin 0T = hay 2T kπ= , k +∈ℤ hay T kπ= . Suy ra ( ) ( )f x k f xπ+ = . 
Với 2x kπ= , ta cĩ ( ) ( ) ( )2 2sin 2 sin 2 sin 2 0k k k kπ π π π+ = = = , vơ lý vì 
( ) ( ) ( )2sin 2 sin 2 2 2 sin 2 2 0k k k k k kπ π π π π π+ = + + =± ≠ . 
Vậy ( ) 2sinf x x= khơng là HSTH. 
Bài tốn 2. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( )[ ]{ }1 xf x x= − là HSTH. 
Lời giải. Ta sẽ chứng minh 0 2T = là CKCS của hàm số. Thật vậy, ta cĩ 
( ) ( )[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( )[ ]{ } ( )2 22 1 2 1 1x x xf x x x x f x+ ++ = − + = − = − = . 
Giả sử tồn tại 0 2a< < sao cho ( ) ( )f x a f a+ = , với mọi x∈ℝ . Ta sẽ xét ba trường hợp. 
(i). 0 1a< < . Chọn 2x a= − thì 1 2x< < . Do đĩ ( ) { } 0f x x=− ≠ ; ( ) ( )2 0f x a f+ = = , 
suy ra ( ) ( )f x a f x+ ≠ . 
 4 
(ii). 1a = . Chọn 0 1x< < , ta cĩ ( ) { } ( ) { };f x x x f x a x x= = + =− =− , ( ) ( )f x a f x+ ≠ . 
(iii). 1 2a< < . Chọn 2x a= − thì 0 1x< < , ta cĩ ( ) { } ( ) ( ); 2 0f x x x f x a f= = + = = , 
suy ra ( ) ( )f x a f x+ ≠ . 
Vậy khơng tồn tại 0 2a< < sao cho ( ) ( )f x a f a+ = , với mọi x∈ℝ hay 0 2T = là CKCS. 
Bài tốn 3. [Việt Nam 1997, bảng B] Cho , , ,a b c d là các số thực khác 0 . Chứng minh rằng 
( ) sin cosf x a cx b dx= + là HSTH c
d
⇔ là số hữu tỉ. 
Lời giải. 
( )⇒ Giả sử ( )f x là HSTH, tức là tồn tại 0T > sao cho ( ) ( )f x T f x+ = , với mọi x∈ℝ . 
Với 0x= ta cĩ ( ) ( )0f T f= hay sin cosa cT b dT b+ = . 
Với x T=− , ta cĩ ( ) ( )0f T f= hay sin cosa cT b dT b− + = . 
Cộng theo từng vế các đẳng thức trên, ta nhận được cos 1dT = , suy ra { }2 , \ 0dT k kπ= ∈ℤ . 
Trừ theo từng vế các đẳng thức trên, ta nhận được sin 0cT = , suy ra { }, \ 0cT m mπ= ∈ℤ . 
Từ đĩ suy ra 
2
c m
d k
= ∈ℚ . 
( )⇐ Ngược lại, giả sử c
d
 là số hữu tỉ, tức là tồn tại { }, \ 0m n∈ℤ sao cho c m
d n
= . Ta chọn số 
dương 2 2m nT
c d
π π
= = , khi đĩ với mọi x∈ℝ , ta cĩ 
( ) ( )2 2sin cos sin cosm nf x T a c x b d x a cx b dx f x
c d
π π     + = + + + = + =       
. 
Do đĩ, ( )f x là HSTH với CK 2 2m nT
c d
π π
= = . 
Bài tốn 4. Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số ( )f x cĩ hai trục đối xứng ( ),x a x b a b= = ≠ , 
thì ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Trước hết, ta gọi ( )C là đồ thị của hàm số. Khơng mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 
a b< . Tịnh tiến ( )C theo vector ( ),0v a= −

. Bài tốn trở thành: “Chứng minh rằng nếu đồ thị 
của hàm số ( )f x cĩ hai trục đối xứng 0,x x c b a= = = − thì ( )f x là HSTH”. 
Vì đồ thị của hàm số ( )f x đối xứng qua 0x = nên ( ) ( )f x f x= − . Mặt khác, đồ thị của 
hàm số ( )f x cũng đối xứng qua x c= nên ( ) ( )2f x f c x= − . Suy ra ( ) ( )2f x f c x− = − , với 
mọi x∈ℝ , tức là ( )f x là HSTH với CK ( )2 2T c b a= = − . 
Bài tốn 5. Cho hàm số ( )f x xác định trên D và ( ) ( )
( )
1
, 0
1
f xf x a af x
−
+ = ≠
+
. Chứng minh 
rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Với mọi , 0x D a∈ ≠ , ta cĩ 
 5 
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1 1 11 12
1 1 1 1
f x f xf x af x a f x a a f x a f xf x f x
− + −+ − − + = + + = = =  + + − + +
. 
Suy ra, ( )
( )
( )14
2
f x a f xf x a
−
+ = =
+
. Do đĩ ( )f x là HSTH. 
Bài tốn 6. Cho hàm số ( )f x xác định trên ℝ và thỏa mãn điều kiện 
( ) ( ) ( )4 4f x f x f x+ + − = , với mọi x∈ℝ . 
Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Với mọi x∈ℝ , từ điều kiện bài tốn, ta cĩ ( ) ( ) ( )8 4f x f x f x+ + = + . Suy ra 
( ) ( )8 4f x f x+ =− − . Do đĩ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )12 4 8 4 4f x f x f x f x+ = + + =− + − =− , và 
( ) ( )( ) ( ) ( )24 12 12 12f f x f x f x= + + =− + = . 
Vậy ( )f x là HSTH với CK 24T = . 
Bài tốn 7. Cho hàm số ( )f x xác định trên ℝ và thỏa mãn điều kiện 
( ) ( ) ( )3 3f x f x f x= − + , với mọi x∈ℝ . 
Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Với mọi x∈ℝ , từ điều kiện bài tốn, ta cĩ ( ) ( ) ( )3 6f x f x f x+ = + . Suy ra 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 6f x f x f x f x+ = − + + , tức là ( )3 0f x+ = hoặc ( ) ( )3 6 1f x f x− + = . 
Nếu ( )3 0f x+ = , với mọi x∈ℝ , thì ( ) 0f x = , vì vậy ( )f x là HSTH. 
Nếu ( ) ( )3 6 1f x f x− + = thì ( ) ( )9 1f x f x+ = , do đĩ ( ) ( )9 18 1f x f x+ + = . Từ đĩ suy ra 
( ) ( )18f x f x= + hay ( )f x là HSTH CK 18T = . 
Bài tốn 8. Cho hàm số ( )f x xác định trên ℝ và thỏa mãn điều kiện 
( ) ( ) ( )1 1 2f x f x f x+ + − = , với mọi x∈ℝ . 
Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Với mọi x∈ℝ , từ điều kiện bài tốn, ta cĩ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 2 2 1f x f x f x f x f x f x f x + + = + = − − = − −   . 
Do đĩ ( ) ( ) ( )2 2 1f x f x f x+ − =− − . Từ đẳng thức này, suy ra 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 1f x f x f x f x f x+ − + =− =− + − − hay ( ) ( )3 1f x f x+ =− − . 
Suy ra ( ) ( ) ( )4 8f x f x f x=− + = + . Vậy ( )f x là HSTH với CK 8T = 
Bài tốn 9. Cho hàm số ( )f x xác định trên ℝ , thỏa mãn các điều kiện ( ) ( )3 3f x f x+ ≤ + , 
( ) ( )2 2f x f x+ ≥ + , với mọi x∈ℝ . Chứng minh rằng ( ) ( )g x f x x= − là HSTH. 
Lời giải. Ta sẽ chứng minh ( ) ( )6g x g x+ = , với mọi x∈ℝ . Thật vậy, ta cĩ 
 6 
( ) ( ) ( )6 6 6 3 3 6g x f x x f x x+ = + − − = + + − − ≤ 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 3 6 3 3 6f x x f x x f x x g x≤ + + − − ≤ + + − − = − = . 
Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( )6 6 6 4 2 6 4 2 6g x f x x f x x f x x+ = + − − = + + − − ≥ + + − − ≥ 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 6 6f x x f x x x f x x g x≥ + + − − ≥ + − − − = − = . 
Suy ra ( ) ( )6g x g x+ = , với mọi x∈ℝ hay ( ) ( )g x f x x= − là HSTH với CK 6T = . 
Bài tốn 10. Chứng minh rằng nếu HSTH ( )f x thỏa mãn điều kiện ( ) ( ),kf x f kx= với mọi 
x∈ℝ , , 0, 1k k k∈ ≠ ≠±ℝ thì ( )f x khơng cĩ CKCS. 
Lời giải. Giả sử 0T là CKCS của HSTH ( )f x . Khi đĩ, với mọi , 1, 0x k k∈ ≠ ≠ℝ , ta cĩ 
( ) ( ) ( )0f kx T f kx kf x+ = = và ( ) 0 00 T Tf kx T f k x kf xk k
       + = + = +         
. 
Do đĩ, ( ) 0Tf x f x
k
 = +   
. Ta sẽ xét hai trường hợp sau: 
(i) 1k > . Nếu 1k > thì 0 0
T T
k
 , bằng cách 
đặt 0
Ty x
k
= + , ta cĩ ( ) 0Tf y f y
k
 = −   
 (vơ lý vì 0 0T Tk− < ). 
(ii) 1k < . Với mọi x∈ℝ , ta cĩ ( ) ( )0 0 0
x x xf x kT f k T kf T kf f x
k k k
           + = + = + = =               
. 
ðặt 
1
'k
k
= , ta nhận được ( ) 0
'
Tf x f x
k
 = +   
, với ' 1k > . Theo (i), ta cũng nhận được điều vơ lí. 
Tĩm lại, ( )f x khơng cĩ CKCS. 
Bài tốn 11. Cho 0>a và hàm số :f +→ℝ ℝ thỏa điều kiện ( ) ( ) ( )21
2
+ = + −f x a f x f x 
, với mọi 0>x . Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Vì ( ) ( ) ( )21 ,
2
f x a f x f x+ = + − với mọi 0>x nên ( ) 1
2
f x a+ ≥ . 
Do đĩ, ( ) 1
2
f x ≥ . Suy ra 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 12 1
2 2
f x a f x a f x a f x a f x a + = + + − + = + + − +  
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1
2 2 2 2 4
f x f x f x f x f x f x    = + + − − − = + − +       
 ( ) ( ) ( )1 1 1 1
2 2 2 2
f x f x f x= + − = + − = . 
Vậy tồn tại 2 0T a= > sao cho ( ) ( )f x T f x+ = , với mọi x +∈ℝ nên ( )f x là HSTH. 
 7 
Bài tốn 12. Tồn tại hay khơng các hàm số , :f g →ℝ ℝ , với g là HSTH thỏa mãn điều 
kiện [ ]( ) ( )3x f x g x= + , với mọi x∈ℝ , kí hiệu [ ]i chỉ phần nguyên. 
Lời giải. Giả sử tồn tại các hàm ,f g thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Gọi 0T là CK của g . Với 
mọi x∈ℝ , ta cĩ 
( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( )30 0 0 0x T f x T g x T f x T g x+ = + + + = + + . 
Suy ra [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )3 3 2 2 30 0 0 0 03 3 *f x T f x x T x T x T x T+ − = + − = + + . 
Với mọi [ ] )0 00, 1x T T∈ + − thì vế trái của (*) bằng 0, do đĩ (*) là đa thức bậc 2 cĩ vơ số 
nghiệm, suy ra 2 30 0 03 3 0T T T= = = hay 0 0T = (vơ lý). 
Vậy khơng thể tồn tại các hàm ,f g thỏa mãn yêu cầu bài tốn. 
Bài tốn 13. Giả sử ( )f x là một HSTH cĩ CKCS 0T . Tồn tại hay khơng ( )10lim xx f→ ? 
Lời giải. Trước hết, ta nhận thấy rằng ( )f x c≠ ( c là hằng số), vì hàm hằng khơng cĩ CKCS. 
Do đĩ, sẽ tồn tại hai số thực ,a b sao cho ( ) ( )f a f b≠ . ðặt 0 0,n na a nT b b nT= + = + . Khi đĩ, ta 
cĩ 1 10, 0n n
n na b
→∞ →∞→ → . Do đĩ 
( ) ( ) ( ) ( )0
1lim lim lim lim
1 nn n n nn
f f a f a nT f a f a
a→∞ →∞ →∞ →∞
  = = + = =   
, 
 ( ) ( ) ( ) ( )0
1lim lim lim lim
1 nn n n nn
f f b f b nT f b f b
b→∞ →∞ →∞ →∞
  = = + = =   
. 
Suy ra, 1 1lim lim
1 1n nn n
f f
a b→∞ →∞
      ≠        
 hay khơng tồn tại ( )1
0
lim
x
x
f
→
. 
Bài tốn 14. Cho ( )f x là HSTH và liên tục trên ℝ , cĩ CK 2T . Chứng minh rằng tồn tại 
0x ∈ℝ sao cho ( ) ( )0 0f x T f x+ = . 
Lời giải. ðặt ( ) ( ) ( )g x f x T f x= + − . Ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2g x T f x T f x T f x f x T+ = + − + = − + . 
Do đĩ, ( ) ( ) ( ) ( )
2
. 0g x g x T f x T f x + =− + − ≤  . 
Vì ( )f x là hàm số liên tục nên ( )g x cũng là hàm số liên tục, do đĩ, theo định lý Cauchy – 
Bolzano, tồn tại [ ]0 ,x x x T∈ + sao cho ( )0 0g x = hay ( ) ( )0 0f x T f x+ = . 
Bài tốn 15. Cho hàm số :f →ℝ ℝ thỏa mãn các điều kiện sau: 
(i) ( ) ( ) ( ) ( )2f x y f x y f x f y+ + − = , với mọi ,x y ∈ℝ ; 
(ii) Tồn tại số thực 0x sao cho ( )0 1f x =− . 
Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. Cho 0x y= = , ta nhận được ( ) ( )( )22 0 2 0f f= . Do đĩ ( )0 0f = hoặc ( )0 2f = . 
 8 
Nếu ( )0 0f = , với 0 , 0x x y= = , ta được ( )02 0f x = , mâu thuẫn điều kiện (ii). Vậy ta phải 
cĩ được ( )0 1f = , và như vậy 0 0x ≠ . 
Cho x y= , ta được ( ) ( ) ( )( )22 0 2f x f f x+ = hay ( ) ( )22 2 1f x f x= − , với mọi x∈ℝ . 
Cho 0x y x= = , ta được ( ) ( ) ( )( )
2
02 0 2f x f f x+ = hay ( )02 1f x = . 
Thay x bởi 02x x+ và y bởi 02x x− , ta được ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 4 2 2 2f x f x f x x f x x+ = + − . 
Nhưng ( ) ( )20 04 2 2 1f x f x= − , do đĩ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0 02 2 2 4 2 1f x x f x x f x f x f x f x+ − = + = + = . 
Mặt khác, với x∈ℝ và 02y x= , ta cĩ ( ) ( ) ( )0 02 2 2f x x f x x f x+ + − = . Suy ra 
( ) ( )
2
0 02 2f x x f x x + − − =  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0 02 2 4 2 2 4 4 0f x x f x x f x x f x x f x f x + + − − = + + − = − =  . 
Do đĩ, với mọi x∈ℝ thì ( ) ( ) ( )0 02 2f x x f x x f x+ = − = hay ( )f x là HSTH. 
Bài tốn 16. Cho hàm số :f →ℝ ℝ thỏa mãn điều kiện ( ) 2008f x ≤ và 
( )13 1 1
42 6 7
f x f x f x f x         + + = + + +              , với mọi x∈ℝ . 
Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Lời giải. ðặt 1 1,
6 7
a b= = thì 13
42
a b+ = . Khi đĩ, mối quan hệ của hàm số cĩ thể được viết 
lại như sau 
( ) ( ) ( ) ( )f x a b f x f x a f x b+ + + = + + + , với mọi x∈ℝ . 
Trong đẳng thức trên, ta thay liên tiếp x bởi , 2 , 3 , 4 , 5x a x a x a x a x a+ + + + + , rồi cộng lại, 
ta thu được 
( ) ( ) ( ) ( )1 1f x b f x f x f x b+ + + = + + + , với mọi x∈ℝ . 
Trong đẳng thức vừa nhận được, ta thay liên tiếp x bởi , 2 , 3 , 4 , 5x b x b x b x b x b+ + + + + , 
rồi cộng lại, ta thu được 
( ) ( ) ( )2 2 1f x f x f x+ + = + hay ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1f x f x f x f x+ − + = + − , với mọi x∈ℝ . 
ðặt ( ) ( )1f x f x a+ − = . Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được, với mọi số n 
nguyên dương thì ( ) ( )1f x n f x n a+ − + − = . Do đĩ, ( ) ( )f x n f x na+ − = . Ta sẽ chứng minh 
0a= , và khi đĩ ( )f x là HSTH với CK 1T = . Thật vậy, giả sử 0a≠ , thì 
( ) ( ) 2.2008n a na f x n f x= = + − ≤ , với mọi x∈ℝ . 
Nhưng điều này khơng xảy ra khi 0n> đủ lớn. Do đĩ 0a = . 
Bài tốn 17. Cho hàm số :f + +→ℤ ℤ và số nguyên dương a thỏa mãn các điều kiện sau: 
(i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1995 , 1 1996 , 2 1997f a f f a f f a f= + = + = ; 
 9 
(ii) ( ) ( )
( )
1
1
f nf n a f n
−
+ =
+
, với mọi n +∈ℤ . 
(a) Chứng minh rằng ( ) ( )4f n a f n+ = với mọi n +∈ℤ . 
(b) Xác định giá trị nhỏ nhất của a thỏa mãn bài tốn. 
Lời giải. (a) Trước hết ta nhận thấy rằng, để cĩ được điều kiện (ii), ta phải cĩ ( ) 1f n ≠− , với 
mọi n∈ℤ . Hơn nữa, nếu tồn tại n∈ℤ sao cho ( ) 0f n = thì ( ) 1f n a+ =− , suy ra ( )2f n a+ 
là khơng xác định. Do đĩ ( ) { }1,0f n ∉ − , với mọi n∈ℤ . Ta cĩ 
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1 1 11 12
1 1 1 1
f n f nf n af n a f n a f nf n f n
− + −+ −
+ = = =−
+ + − + +
, với mọi n∈ℤ . 
Do đĩ ( )
( )
( )14
2
f n a f nf n a+ =− =+ , với mọi n∈ℤ . 
(b) Xét 1a = , thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1995 , 2 1996 , 3 1997 , 1
1
f nf f f f f f f n f n
−
= = = + =
+
. 
Khi đĩ, ( ) ( )4f n f n+ = và ( )
( )
12f n f n
−
+ = , với mọi n +∈ℤ . Bằng phương pháp quy nạp, 
ta chứng minh được ( ) ( )4f n k f n+ = , với mọi ,n k +∈ℤ . 
Vì 1995 3 4.498= + nên ( ) ( ) ( )1 1995 3f f f= = (vơ lý vì ( )
( )
13
1
f f
−
= ). 
Xét 2a = , thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1995 , 3 1996 , 4 1997f f f f f f= = = ; và với mọi n +∈ℤ thì 
( ) ( )8f n f n+ = , ( )
( )
14f n f n
−
+ = , với mọi n +∈ℤ . Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh 
được ( ) ( )8f n k f n+ = , với mọi ,n k +∈ℤ . Ta cĩ 
• 1995 3 8.249= + nên ( ) ( ) ( )2 1995 3f f f= = . 
• 1996 4 8.249= + nên ( ) ( ) ( )3 1996 4f f f= = . 
• 1997 5 8.249= + nên ( ) ( ) ( )4 1997 5f f f= = . 
Suy ra ( ) ( )3 5f f= . 
Mặt khác ta cĩ ( )
( )
15
1
f f=− hay ( ) ( )5 1 1f f =− . Suy ra 
( ) ( )
( )
( )
1 1
5 3
1 1
ff f f
−
= =
+
 hay ( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 1 1f f f f+ = − hay ( ) ( )5 1f f= (vơ lý). 
Ta sẽ chứng minh 3a = là giá trị nhỏ nhất cần tìm. 
Ta xây dựng hàm f như sau: ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3f f f nhận các giá trị tùy ý khác 0 và – 1. Với mỗi 
3n> , ta xác định ( )
( )
( )
3 1
3 1
f nf n f n
− −
=
+ +
. Ta chứng minh hàm f vừa được xây dựng như trên sẽ 
thỏa mãn điều kiện của bài tốn. 
 10 
Ta cĩ ( )
( )
( )
1
3
1
f nf n f n
−
+ =
+
. Suy ra ( )
( )
( )
1
1
f nf n a f n
−
+ =
+
, với mọi n∈ℤ . 
Mặt khác ( ) ( )12f n f n+ = , với mọi n∈ℤ . Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được 
( ) ( )12f n k f n+ = , với mọi ,n k +∈ℤ . Ta cĩ 
• ( ) ( ) ( )1995 3 12.166 3f f f= + = . 
• ( ) ( ) ( )1996 4 12.166 4f f f= + = . 
• ( ) ( ) ( )1997 5 12.166 5f f f= + = . 
Vậy 3a = là giá trị nhỏ nhất cần tìm. 
Bài tốn 18. Dãy số { }nx được cho bởi cơng thức 1 1
22, ,
1 2
n
n
n
x
x x n Z
x
+
+
+
= = ∈
−
. Chứng minh 
rằng 
(a) 0nx ≠ , với mọi *n∈ℕ . 
(b) Dãy { }nx khơng tuần hồn. 
Lời giải. (a) Trước hết, dễ nhận thấy rằng các số hạng của dãy này đều là số hữu tỷ. 
Ta đặt 1 tan 2x α= = , thì 
1
2 2
1
2 tan tan
tan 2
1 2 1 tan
x
x
x
α α
α
α
+ +
= = =
− −
, , ( )1
tan tan
tan 1
1 tan tann
n
x n
n
α α
α
α α
+
+
= = +
−
. 
Nếu 0nx = với 2 1,n k k= + ∈ℕ thì 22 1
2
2 0
1 2
k
k
k
x
x
x
+
+
= =
−
, hay 2 2kx =− . Khi đĩ 
2 2
2 tan 1 5
tan 2 2 2 1
1 tan 1 2
k
k
k
xkk x
k x
α
α
α
±
=− ⇔ =− ⇔ =− ⇔ =
− −
 (vơ lý). 
Nếu 0nx = với 2 ,n k k= ∈ℕ thì 2
2 tan
tan 2 0
1 tan
kk
k
α
α
α
= =
−
. Do đĩ tan 0kx kα= = , suy ra 
k là một số chẵn (vì 0nx ≠ , với mọi n là số lẻ). Vì vậy ( )2 2 1tk m= + . Tiếp tục lý luận như 
trên, ta cĩ 
( ) ( )1 2 12 2 12 2 1
0,..., 0, 0t mmmx x x− +++ = = = (vơ lý). 
Vậy 0nx ≠ , với mọi 
*n∈ℕ . 
(b) Giả sử dãy { }nx tuần hồn, tức là tồn tại m +∈ℤ sao cho ,m n nx x n ++ = ∈ℤ . Suy ra 
( )
( )
sin
tan tan 0 sin 0
cos cos
m
m n n m
m n n
α
α α α
α α
+ = ⇔ = ⇔ =
+
. 
Do đĩ, tan 0mx mα= = (vơ lý). Vậy dãy { }nx khơng tuần hồn. 
 11 
Một số bài tập tự luyện 
Bài 1. Xét tính tuần hồn và tìm CKCS (nếu cĩ) của các hàm số sau 
a) ( ) sin cosf x x x= + 
b) ( ) cos sin 2f x x xπ π= + 
c) ( ) 2 cosf x x x= 
d) ( ) xf x x n
n
 
 = −
  
e) ( ) ( )1 cos
3
xf x x ππ = − +    
Bài 2. Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số ( )f x cĩ tâm trục đối xứng ( ),E a b và cĩ trục đối 
xứng ( )x c c a= ≠ , thì ( )f x là HSTH. 
Bài 3. Cho ( )f x là HSTH và liên tục trên ℝ , cĩ CKCS 0T . Chứng minh rằng, với mọi 
a ∈ℝ thì ( ) ( )
0 0
0
a T T
a
f x dx f x dx
+
=∫ ∫ . 
Bài 4. Cho ( )f x là HSTH, liên tục trên ℝ và ( )lim ,
x
f x a a
→+∞
= ∈ℝ . Chứng minh rằng với 
mọi x∈ℝ , ta cĩ ( )f x a= . 
Bài 5. Cho ( ) ( ),f x g x là các HSTH, liên tục trên ℝ và ( ) ( )lim ,
x
f x g x a a
→+∞
 − = ∈  ℝ . Chứng 
minh rằng ( ) ( )f x g x a= + , với mọi x∈ℝ . 
Bài 6. Cho hàm số { }: \ 3f →ℝ ℝ , sao cho tồn tại số thực 0a> thỏa mãn điều kiện 
( )
( )
( )
5
3
f xf x a f x
−
+ =
−
. Chứng minh rằng ( )f x là HSTH. 
Bài 7. Cho hàm số :f →ℝ ℝ là HSTH sao cho tập hợp ( ){ }|f n n∈ℕ chứa vơ số phần 
tử. Chứng minh rằng chu kì của hàm số ( )f x là một số vơ tỉ. 
Bài 8. Cho hai hàm số ( ) ( ),f x g x xác định trên ℝ và tồn tại số thực 0a ≠ sao cho 
(i) ( ) ( ) ( )f x a f x g x+ = + ; 
(ii) ( ) ( )
( )
, 2
, 2
g x n
g x na
g x n
+ =−
⋮
⋮
 ; 
(iii) ( ) 1f x = nếu 0 x a≤ ≤ . 
Chứng minh rằng nếu ( ) 1g x ≤ thì ( )0 2f x≤ ≤ . 
Bài 9. Cho hàm số 
( )
2
1
:
2 2
,
1
:
2 tan 2
x k
f x k
x k
x
π
π
π
π
 = += ∈ ≠ + +
ℤ . 
 12 
Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) ( )g x f x f ax= + là HSTH khi và chỉ khi a là số vơ tỉ. 
Bài 10. Tìm tất cả các đa thức ( )f x với hệ số thực sao cho ( )cos ,f x x∈ℝ là HSTH. 
Bài 11. Cho hàm số :f →ℝ ℝ thỏa mãn các điều kiện sau 
(i) ( )f x là hàm khơng giảm; 
(ii) ( )f x là HSTH. 
Chứng minh rằng ( )f x là hàm hằng. 
Bài 12. Dãy số nguyên { }, 1,2,...nu n= được xác định như sau: 
1 2 31990, 1989, 2000u u u= = = , 
*
3 2 119 9 1991,n n nu u u n+ + += + + ∈ℕ . 
Với mỗi n , gọi nr là số dư trong phép chia nu cho 1992. Chứng minh rằng dãy { }nr là dãy số 
tuần hồn. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Dỗn Minh Cường, Nguyễn Huy ðoan, Ngơ Xuân Sơn. “Những bài tốn sơ cấp chọn 
lọc (tập 1)”. NXB Giáo Dục, 1986. 
[2] Nguyễn Vũ Thanh. “Phương pháp chọn lọc giải tốn lượng giác”. NXB Cà Mau, 1993. 
[3] Nguyễn Vũ Thanh. “Chuyên đề bồi dưỡng số học”. NXB Tiền Giang, 1993. 
[4] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho. “Tuyển tập 200 bài tốn giải tích”. NXB Giáo Dục, 
2000. 
[5] Phan Huy Khải. “Tốn nâng cao cho học sinh THPT – ðại Số (tập 1)”. NXB Giáo Dục, 
2000. 
[6] Nguyễn Việt Hải. “Khai thác định nghĩa hàm số tuần hồn”. Tạp chí Tốn Học và Tuổi 
Trẻ, số 1/2000. 
[7] Lê Sáng. “Dãy số và các vấn đề liên quan”. NXB ðà Nẵng, 1994. 
[8] Nguyễn Trọng Tuấn. “Bài tốn hàm số qua các kì thi Olympic”. NXB Giáo Dục, 2004.