Toán học - Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác

Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC 
Trong các kí thì chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài 
phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có 
lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều 
công thức biến đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương 
trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các 
em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi 
ĐH năm tới. 
Trước hết thì các bạn cần nắm được những phương trình lượng giác thường gặp. Trong 
những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối 
với sin và cos. 
Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà 
trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. 
Minh chứng là đề thi khối B – 2008 
“Giải phương trình : 3 3 2 23 . 3 .sin x cos x sinx cos x sin x cosx   (ĐH Khối B – 2008 ).” 
Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức ( ; )f x y gọi là đẳng cấp bậc k nếu 
( ; ) ( ; )kf tx ty t f x y . 
Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa 
sin và cos là phương trình có dạng ( , ) 0f sinx cosx  trong đó: 
( . , . ) ( ; )kf t sinx t cosx t f sinx cosx 
Ví dụ: 4 4 2 2 33 5 10 0sin x cos x sin xcos x sin xcosx    là phương trình đẳng cấp bậc bốn . 
Tuy nhiên ta xét phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   mới nhìn ta thấy đây không 
phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là 2 2 1sin x cos x  nên ta có thể 
viết lại phương trình đã cho như sau: 3 3 2 2( )( )sin x cos x sinx cosx sin x cos x    , dễ thấy 
phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì 
ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau: 
“Là phương trình có dạng ( , ) 0f sinx cosx  trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn 
hoặc cùng lẻ.” 
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 0kcos x  (k là số mũ cao nhất) ta được 
phương trình một hàm số là tanx . 
Ví dụ: Giảii các phuong trình sau 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
1) Giải bài thi ÐH Khối B – 2008 nêu trên 
2) 3 3sin x cos x sinx cosx   3) 3 18sinx
sinx cosx
  
 Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải). 
Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta 
không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không 
riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay 
phương trình mũ, logarit.. để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi 
phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi 
về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác. 
 Ví dụ 1:Giải phương trình : 1 1 74sin( )3sin 4( )
2
x
x sin x


  

 (Trích đề thi ĐH Khối 
A – 2008 ) 
Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung 
3
2
x  và cung 7 
4
x  . 
Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung có dạng 
k
m

 trong đó 2,3, 4,6m  nên điều đầu tiên ta nghĩ tới là sử dụng công thức cộng để phá 
bỏ hai cung đó 
Ta có: 3 3 3( ) . .
2 2 2
sin x sinx cos cosx sin cosx      
Nên phương trình đã cho 1 1 2 2(sin cos )
sin cos
x x
x x
     
( )( 2 sin 2 1) 0
.
sinx cosx x
sinx cosx
 
  
sin cos 0 2
41sin 2 5;2 8 8
x x x k
x x k x k


 
 
                
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Nhận xét: * Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở trên 
ta có thể làm theo cách khác như sau: 
3sin( ) sin ( ) 2 sin( ) cos
2 2 2
x x x x           
 . 
 7 1sin( ) sin 2 ( ) sin( ) sin cos
4 4 4 2
x x x x x              
 . 
* Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung 3
2
x  và cung 7
4
x  thì trong phương trình chỉ còn 
lại một cung x duy nhất nên ta dẽ biến đổi hơn. Điều này cũng hoàn toàn tự nhiên thôi 
phải không các bạn? Khi giải các bài toán toán học hay các bài toán trong cuộc sống đặc 
biệt là bài toán so sánh thì điều chúng ta cần làm là đưa về cùng một đơn vị hay là cùng 
một dạng. Chẳng hạn tôi xin nêu ví dụ đơn giản nhưng vô cùng thú vị mà tôi thường hỏi 
các em học sinh là 5 quả cam trừ 3 quả cam còn mấy quả ? và học sinh chỉ cười và trả lời 
ngay bằng hai quả. Thế tôi hỏi tiếp 5 quả cam trừ 3 quả táo bằng bao nhiêu? Lúc này trên 
khuôn mặt các em không còn những nụ cười nữa mà thay vào đó là một sự tò mò và cuối 
cùng thì các em trả lời là không trừ được, dĩ nhiên câu hỏi tiếp theo là vì sao? Các em trả 
lời là vì không cùng một loại! 
Chắc các em hiểu tôi muốn nói điều gì rồi chứ ? 
Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi xin đưa ra cho các bạn là: 
Đưa về cùng một cung . 
Bây giờ ta vận dụng nguyên tắc này vào giải những phương trình lượng giác có mặt trong 
các đề thi của những năm gần đây nhé 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 2 1 0cos x cos x cosx    ( ĐH Khối D – 2006 ). 
Lời giải: 
Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung 2x và 3x về cung x 
Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có: 
3 24cos 3cos (2cos 1) cos 1 0PT x x x x       
3 22cos cos 2cos 1 0x x x     
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Đặt cos , 1t x t  . 
Ta có: 3 2 22 2 1 0 ( 1)(2 1) 0t t t t t        
1
1
2
t
t
 

  

Từ đây các bạn tìm được 2 2 ;
3
x k x k      
Chú ý : 
* Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức 
này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó 
khăn 3 33 3 4 ; 3 4 3sin x sinx sin x cos x cos x cosx    
* Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay 
nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải 
ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như 
sau 
PT 2( 3 ) (1 2 ) 0 2 2 . 2 0cos x cosx cos x sin x sinx sin x         
22 (2 1) 0sin x cosx   giải phương trình này ta được nghiệm như trên. 
 Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 23 4 8 2 3 0cos x cos x cos x    (Dự bị Khối B – 2003 ). 
Lời giải: 
Ta chuyển cung 4x về cung x 
Ta có: 2 2 2 4 24 2 1 2(2 1) 1 8 8 1cos x cos x cos x cos x cos x        
Nên phương trình đã cho 6 4 24 12 11 3 0cos x cos x cos x     
Đặt 2 ,0 1t cos x t   . Ta có: 3 24 12 11 3 0t t t    
 
1
1
2
t
t


 

. Từ đây ta tìm được các nghiệm 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
;
4 2
x k x k     
 Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể 
chuyển về cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi . 
PT 2 3 23(2cos 2 1) (1 cos 2 ) 1 cos 2 3 cos 2 (cos 2 3cos 2 2) 0x x x x x x           . 
cos 2 0
4 2
cos 2
1
x x k
x x k
 

     
Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 (1 2 ) 2 1 2sinx cos x sin x cosx    (ĐH Khối D – 2008 ). 
Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x. 
PT 24sin cos 2sin cos 1 2cos 2sin cos (2cos 1) 2cos 1x x x x x x x x x        
 4(2cos 1)(sin 2 1) 0
2 2
3
x k
x x
x k




  
     
   

 . 
Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung. 
Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: 
Ví dụ 5 : Giải phương trình : 2 . 3 5 . 6sin x cos x sin x cos x . 
phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình 
xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! 
Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất định đó là quan hệ hiệu hai cung 
bằng nhau 2 3 5 6x x x x x     , hơn nữa hai vế của hai phương trình là tích của hai 
hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng. Thật vậy : 
Phương trình    1 1sin 5 sin sin11 sin
2 2
x x x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
6sin 5 sin11
16 8
x k
x x
x k

 
 
   
  

 Ví dụ 6 : Giải phương trình sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x     . 
Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, 
hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này 
có quan hệ 3 2
2
x x x  điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích. 
Phương trình (sin sin 3 ) sin 2 (cos cos3 ) cos 2x x x x x x      
2sin 2 cos sin 2 2cos 2 cos cos 2 (2cos 1)(sin 2 cos 2 ) 0x x x x x x x x x        
21 2cos 32
sin 2 cos 2
8 2
x kx
x x x k


 
       
    
Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là 
Biến đổi tích thành tổng và ngược lại 
Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến 
đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút 
gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), 
đặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau. 
 Ví dụ 7 : Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   (ĐH Khối B – 2002 ). 
Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng 
thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao 
mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế 
của phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các 
hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và 
để thực hiện điều này ta liên tưởng đến công thức hạ bậc. 
Phương trình 1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x x   
    
cos6 cos8 cos10 cos12x x x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
cos 0 22cos 7 cos 2cos11 cos
cos11 cos 7 ;
2 9
x kx
x x x x
x x x k x k


 
  
        

 . 
Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy 
nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó 
nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc 
để thuận tiện cho việc biến đổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn 
là nguyên tắc hạ bậc 
Ví dụ 8 : Giải phương trình 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x  ( ĐH Khối A – 2005 ). 
Phương trình (1 cos 6 )cos 2 1 cos 2 0 cos 6 .cos 2 1 0x x x x x        
2cos8 cos 4 2 0 2cos 4 cos 4 3 0x x x x        
cos 4 1
2
x x k     . 
Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay 3cos6 4cos 2 3cos 2x x x  
và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos2x . 
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về 
phương trình chỉ chứa cosx và đặt 2t cos x . Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp 
hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( 
Vì công thức nhân ba chúng ta không được học). 
 Ví dụ 9 : Giải phương trình 25sin 2 3(1 )x sinx tan x   (ĐH Khối B – 2004 ). 
Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: cos 0
2
x x k     . 
Phương trình 
2
2
sin5sin 2 3(1 sin )
cos
xx x
x
    
2
2
sin5sin 2 3(1 sin )
1 sin
xx x
x
   

2
2sin5sin 2 3 (5sin 2)(1 sin ) 3sin
1 sin
xx x x x
x
      

22sin 3sin 2 0x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
2
1 6sin sin
52 6 2
6
x k
x
x k





  
    
  

Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin 
và cos và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa 
tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình 
 Ví dụ 10 : Giải phương trình 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
 (ĐH Khối D – 2003 ). 
Điều kiện : cos 0
2
x x k     . 
Phương trình 
2
2
sin1 cos( ) (1 cos ) 0
2 cos
xx x
x
        
2
2
sin(1 sin ) (1 cos ) 0
1 sin
xx x
x
    

2
2sin (1 cos ) 0 (1 cos ) (1 cos )(1 sin ) 0
1 sin
x x x x x
x
         

2cos 1
(1 cos )(cos sin ) 0
tan 1
4
x kx
x x x
x x k



         

 . 
Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương 
trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm : 
1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa 
về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác). 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 3 tan 2sin 2x x  (ĐH Công Đoàn – 2000). 
Giải: Điều kiện : cos 0
2
x x k     
Phương trình 2sin1 3 4sin cos cos 3sin 4sin cos
cos
x x x x x x x
x
      . 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x (do 
cos 0x  ), ta được phương trình : 
2 2
2 2
1 tan3 4 tan 1 tan 3tan (1 tan ) 4 tan
cos cos
x x x x x x
x x
       
3 23tan tan tan 1 0 tan 1
4
x x x x x k             thỏa điều kiện . 
Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình 
cho 2cos x hoặc sử dụng công thức 2 2 2
2sin cos 2 tansin 2
sin os 1 tan
x x xx
x c x x
 
 
 và chuyển phương 
trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên. 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 2cot 4sin 2
sin 2
x tgx x
x
   ( ĐH Khối B – 2003 ). 
Giải: Điều kiện: sin 2 0
2
x x k    
Phương trình cos sin 14sin 2
sin cos sin cos
x x x
x x x x
    
2 2cos sin 4sin 2 .sin cos 1x x x x x    
2 2 1cos 2 2sin 2 1 0 2cos 2 cos 2 1 0 os2
2
x x x x c x           (do 
sin 2 0 os2 1x c x    ) 
3
x k     . 
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: 2
sin 2
tanx cotx
x
  và 2cot 2cotx tanx x  . 
Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 6 2sin x cos x sin x  (HVBCVT TPHCM – 2001 ). 
Giải: Ta có : 
6 6 2 2 3 2 2 2 2 23( ) 3sin cos (sin cos ) 1 sin 2
4
sin x cos x sin x cos x x x x x x       
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Nên phương trình 231 sin 2 sin 2
4
x x   
2 23sin 2 4sin 2 4 0 sin 2
3
x x x      
1 2arcsin
2 3
1 2arcsin
2 2 3
x k
x k



  
 
   

 . 
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức 4 4 21 3 1sin cos 1 sin 2 cos 4
2 4 4
x x x x     . 
6 6 23 5 3sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x     . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x       (ĐH Khối D – 
2005 ). 
Giải: Ta có: 4 4 21sin os 1 sin 2
2
x c x x   . 
 1 1sin(3 ) cos( ) sin(4 ) sin 2 cos 4 sin 2
4 4 2 2 2
x x x x x x            
 21 2sin 2 sin 2 12 x x   
Nên phương trình  2 21 1 31 sin 2 2sin 2 sin 2 1 02 2 2x x x       
2sin 2 sin 2 2 0x x    . 
sin 2 1
4
x x k      . 
2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích : 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Tức là ta biến đổi phương trình ( ) 0f x  về dạng ( ) ( ) 0h x g x  . Khi đó việc giải 
phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : 
( ) 0
( ) 0
g x
h x

 
 . 
Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử 
chung : 
* Các biểu thức 21 sin 2 ( ) ;cos 2 (cos sin )(cos sin )x sinx cosx x x x x x      ; 
sin cos sin cos1 tan ;1 cot
cos sin
x x x xx x
x x
 
    
nên chúng có thừa số chung là sinx cosx . 
* Các biểu thức 1 2 ; 2 ;1 ;1sin x cos x tanx cotx   có thừa số chung là cosx sinx . 
* 2 2;sin x tan x có thừa số chung (1 )(1 )cosx cosx  . Tương tự 2 2;cos x cot x có thừa số 
chung (1 )(1 )sinx sinx  . 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 cos sin 2 cos 2 0sinx x x x     (ĐH Khối B – 2005 ). 
Giải: Phương trình 2 2(1 sin 2 ) (sin cos ) cos sin 0x x x x x       
2(sin cos ) (sin cos ) (cos sin )(cos sin ) 0x x x x x x x x        . 
sin cos 0
4(sin cos )(2cos 1) 0 1 2cos 22 3
x x x k
x x x
x x k




     
      
       
 . 
Nhận xét: Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau Phương trình 
22cos cos sin 2sin cos 0x x x x     
cos (2cos 1) sin (2cos 1) 0x x x     
(2cos 1)(sin cos ) 0x x x    . Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng 
đều dựa trên nguyên tắc ”đưa về một cung”. 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x

 

 (Dự bị Khối D – 2003 ). 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Giải: Đk: sin cos 0
4
x x x k       . 
Phương trình (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )(1 sin )x x x x x x       
2(1 sin )(sin cos sin cos 1) 0 (1 sin ) (1 cos ) 0x x x x x x x          
sin 1 2
2
cos 1 2
x x k
x x k


 
          
 . 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 23cot 2 2 sin (2 3 2) cosx x x   . 
Giải: Đk: x k Phương trình 
2
2
2
3cos 2 2 sin (2 3 2) cos
sin
x x x
x
    
2 2 4 23cos 3 2 sin .cos 2 2 sin 2sin cos 0x x x x x x     
2 2(cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0x x x x    
2
2
2 cos cos 2 0
2cos 3cos 2 0
x x
x x
   
 
  
1 3cos
2
1cos
2
x
x
  




6 2arccos 2
2
2
3
x k
x k



 
  


  
 . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4x x x x    . 
Giải: Phương trình 24sin cos 1 2sin 7sin 2cos 4 0x x x x x       
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0 (2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x x x x x           
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
1sin
2
2cos sin 3 0
x
x x
 

  
2
6
5 2
6
x k
x k




  
 
  

( Lưu ý : 2 2| sin cos | 2cos sin 5 3a x b x a b x x       ). 
Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là cos2x có ba công thức để 
thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp. 
Bài Tập: 
Bài tập: 
Bài 1: Phương trình chứa một hàm số lượng giác 
2 251)2 sin x 5 sin x 2 0 2) cos 2x 4 cos x 0 3)1 5 sin x 2 cos x 0
2
        
  4 4 14)2 cos 2x 2 2 1 cos x 2 2 0 5)sin x cos x sin 2x 2        
4 4 2
2
x x 3 3
6) sin cos 1 2 sin x 7)2tg x 3 8) 3 cot gx 3
4 4 cos x sin x
       
Bài 2: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 
 2 11) 3 sin 2x cos 2x 2 2)sin 2x sin x 3)2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x
2
      
24) sin x 2 sin x 1 5)2 sin x cos x 1 2 6) cos x 2 sin 2x 1 0 
4 4
    
            
   
7)cos 7x.cos 5x 3 sin 2x 1 sin 7x sin 5x   
Bài 3: Phương tình đẳng cấp 
2 2 2 21)3 sin x 3 sin x cos x 4 cos x 2 2) sin x sin2x 3 cos x 3      
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
3 3 35) sin x cos x sin x cos x 6) 2 2 cos (x ) 3 cos x sin x 0
4

       
Bài 4: Phương trình lượng giác không mẫu mực 
1) 
4 4sin x cos x 1 1
cot2x
5 sin 2x 2 8 sin 2x

  (Dự bị Khối A – 2002 ) 
2)    2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2x sin x    ( ĐH Khối D – 2004 ) 
3) 
6 62(sin x cos x) sin x cos x
0
2 2 sin x
 


 ( ĐH Khối A – 2006 ). 
4) xcot x sin x(1 tan x tan ) 4
2
   (ĐH Khối B – 2006 ) 
5) 2 2 2x xsin tan x cos 0
2 4 2
 
   
 
 ( ĐH Khối D – 2003 ) 
2 2 2x x6) sin ( ) tan x cos 0 7)
2 4 2
cotx tan x sin x cos x      
2
4
4
(2 sin x) sin 3x
8) sin x. sin 4x 2 cos( x) 3 cos x. sin 4x tan x 1
6 cos x
 9)      
2
2 2
x
(2 3)cos x 2 sin ( )
x 32 410) 1 11)4 sin 3 cos 2x 1 2 cos (x )
2 cos x 1 2 4

  

    

2
2
2
12)3 sin x 2 cos x 2 3 tan x 13) 2 tan x 5 tan x 5 cot x 4 0
sin x
        
2 2 2 3 x 1 3x14) x sin 3x 3 cos 2x 0 15) sin sin
10 2 2 10 2
sin
    
        
   
 2 23) 3 cos x sin 2x 3 sin x 1 0 4) tan x cot x 2 sin 2x cos 2x      