Toán học - Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 1
 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 
Hồ Đình Sinh 
I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít 
hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng 
phương pháp này. 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương: 
( )33
3
(1 )(1 )(1 ) 1
x y z
x y z xyz
+ + =ìï
í
+ + + = +ïî
Giải: ( ) ( )3233 31 1 3 3 ( ) 1VT x y z xy yz zx xyz xyz xyz xyz xyz= + + + + + + + ³ + + + = + 
 Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 
2 2
1 3 5 1 3 5
80
x x x y y y
x y x y
ì + + + + + = - + - + -ï
í
+ + + =ïî
Giải: ĐK: x -1;y 5³ ³ 
Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường 
hợp sau: 
Nếu x>y-6 thì VT>VP. 
Nếu x<y-6 thì VT<VP. 
Suy ra x=y-6. Từ đây và phương trình thứ hai ta tìm được x,y. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm dương 
9 3 4 2
3 4 2
1
1 1 1
8 1
x y z
x y z
x y z
ì + + =ï + + +í
ï =î
Giải: Bài toán này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sử dụng phương pháp 
bất đẳng thức 
 Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho 
xuất hiện bậc giống hệ. 
Từ phương trình thứ nhất ta có: 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2
1 2 4 2
1 1 1 1
1 3 3 2
1 1 1 1
1 3 4
1 1 1 1
x y z
x x y z
x y z
y x y z
x y z
z x y z
= + +
+ + + +
= + +
+ + + +
= + +
+ + + +
Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có: 
2 4 2
8
2 4 2
3 3 2
8
3 3 2
3 4
8
3 4 1
1
8
1 ( 1) ( 1) ( 1)
1
8
1 ( 1) ( 1) ( 1)
1
8
1 ( 1) ( 1) ( 1)
x y z
x x y z
x y z
y x y z
x y z
z x y z
³
+ + + +
³
+ + + +
³
+ + + +
Suy ra 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 32 16
9
83 4 2 24 32 16
9 3 4 2
1 1 1
8
1 1 1 1 1 1
8 1
x y z
x y z x y z
x y z
³
+ + + + + +
Þ £
Dấu bằng xảy ra 1 1
1 1 1 9 8
x y z
x y z
x y z
Û = = = Û = = =
+ + +
. 
Ví dụ 4: Giải hệ 
4 2
2 2
697
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y
ì + =ï
í
ï + + - - + =î
Giải: 
Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có 
nghiệm của tam thức bậc 2. 
Xét phương trình bậc 2 theo x: 
2 2
2 2
( 3) 4 4 0
( 3) 4( 2)x
x x y y y
y y
+ - + - + =
D = - - -
Để phương trình có nghiệm thì 70 1
3x
yD ³ Û £ £ . 
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 40
3
x£ £ 
Suy ra 
4 2
4 2 4 7 697
3 3 81
x y æ ö æ ö+ £ + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
4 7
;
3 3
x yÞ = = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm. 
Ví dụ 5: Giải hệ 
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x
ì - + =
ï
- + =í
ï - + =î
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 3
Giải: 
Ý tưởng của bài toán này là đoán nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay 
x<1 hệ vô nghiệm. 
+) Nếu x>1 
5 4 2 5 4 2
4
2 2 2
( 1)( 2 2) 0
z z z x z z z
z z z
Þ = - - > - +
Þ - + + <
Do 
2
4 2 21 32 2 ( 1) 0
2 4
z z z zæ ö+ + = - + + + >ç ÷
è ø
 nên z<1. 
Tương tự, ta có y>1 Þx<1 suy ra vô lý. 
+) Nếu x<1 
Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý. 
Vậy x=y=z=1 là nghiệm của hệ. 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 
Bài 1: Giải hệ: 
a)
2 2 2
6 6 6 3
xy yz zx x y z
x y z
ì + + = + +ï
í
+ + =ïî
 b) 
2 2 2 3
3
x y z
x y z
ì + + =
í
+ + =î
Bài 2: Giải hệ 
3 9
3 6
x y
x y
ì =
í
+ =î
 ĐS: VN 
Bài 3: Giải hệ 
( )
2
2
xz y
x z y x y z
= +ìï
í + = - +ïî
 ĐS: (2;2;2) 
Bài 4: Giải hệ 
3 2 2
2 3
64
( 2) 6
y x x y
x y
ì + = -ï
í
+ = +ïî
 ĐS: (0;2) 
Bài 5: Giải hệ 
2
1 3
( 4) 5 5
x x y
x y
ì + + + =ï
í
+ - + =ïî
 ĐS: (0;4) 
Bài 6: 
3 2
2 2
3 4
1 1
x y x
x x y
ì + + =ï
í
ï - + + =î
 ĐS: (1;0) 
Bài 7. Giải hệ 
3 2
2 2
2
0
x y
x xy y y
ì + =ï
í
+ + - =ïî
 ĐS: VN 
Bài 8: Giải hệ 
2 2 2
2 2
1
2 2 2 1 0
x y z
x y xy yz xz
ì + + =ï
í
+ - + - + =ïî
HD: Hệ đã cho tương đương với 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4
2 2 2
2
1
( ) 2 ( ) 1 0
x y z
x y z x y
ì + + =ï
í
- - - + =ïî
Từ phương trình thứ nhất ta được: 1 1z- £ £ 
Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại 2 1 0 1z zÛ - ³ Û ³ 
Suy ra 1z = ± . 
Bài 9: Giải hệ 
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
+=
1
1
1
2
2
2
xz
zy
yx
HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau. 
Giả sử .x y z³ ³ Suy ra 2 2 2 2 2 21 1 1 (*)z x y z x y- ³ - ³ - Û ³ ³ 
Xét 0x £ hoặc 0z ³ . Từ (*) suy ra x=y=z. 
Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z Þ < - Þ = + < vô lý. 
Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z= 1 5
2
±
. 
Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình 
2 2 2
2 2
2 3
2 1
x y z xy zx zy
x y yz zx xy
ì + + + - - =ï
í
+ + - - = -ïî
HD: Phương trình đã cho tương đương với 
( )2 2
2
( ) 3 0
( ) ( ) 1 0
x y z x y z
x y z x y
ì + - + + - =ï
í
- - - + =ïî
ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2). 
II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG 
Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình 
xy a
yz b
zx c
=ì
ï =í
ï =î
Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5
2( )
bc
z
a
ab
y
xy a c
yz b ac
xxy a bxyz abc
yz b
xy a bcxyz abc z
ayz b
abxyz abc y
c
ac
x
b
éì
=êï
êï
êïïê =íéì = êïêï êï=íê ê =ïì = ïê ê= ïï î îê= Û Û êí êì ìê=ï ê= = -î ï ïêê =í ïêêï ïêï= -êîë = -êí
êï
êï
= -êï
êïîë
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
1
2
5
x y xy
x z xz
y z yz
+ + =ì
ï + + =í
ï + + =î
 (*) 
HD Giải: 
( 1)( 1) 2
(*) ( 1)( 1) 3
( 1)( 1) 6
x y
x z
y z
+ + =ì
ïÛ + + =í
ï + + =î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. 
Ví dụ 3: Giải hệ 
2
2
2
2
2
2
x yz x
y zx y
z xy z
ì + =
ï
+ =í
ï + =î
 (*) 
HD Giải: 
2 2
2 2
2 2
2 2
(*) 2 2 ( )( 2 1) 0
( )( 2 1) 02 2
x yz x x yz x
x y yz xz x y x y x y z
x z x z yx z yz xy x z
ì + = ì + =
ï ïÛ - + - = - Û - + - - =í í
ï ï - + - - =- + - = - îî
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: 
Giải các hệ phương trình sau: 
Bài 1: 
a) 
2
6
3
xy
yz
zx
=ì
ï =í
ï =î
b) 
11
5
7
xy x y
yz y z
zx z x
+ + =ì
ï + + =í
ï + + =î
+ + =ì
ï + + = -í
ï + + = -î
7
) 3
5
xy x y
c yz y z
xz x z
 d) 
8
9
7
xy xz
yz xy
xz zy
+ =ì
ï + =í
ï + = -î
Bài 2: 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6
 a) 
( ) 2
( ) 3
( ) 6
x x y z yz
y x y z xy
z x y z xy
+ + = -ì
ï + + = -í
ï + + = -î
 b) 
2 2 4
2 3 6
3 5
xy y x
yz z y
xz z x
+ + + =ì
ï + + =í
ï + + =î
 c) 
1
4
9
x xy y
y yz z
z zx x
+ + =ì
ï + + =í
ï + + =î
Bài 3: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 3
) 2 b)* (a,b R) c) 3 
2 3
x yz x y xz b x y z
a y zx y z xy b y x z
z xy z x yz a z x y
ì ì ì+ = - = + + =
ï ï ï
+ = - = Î + + =í í í
ï ï ï+ = - = + + =î î î
xyz=x+y+z
yzt=y+
d)
z t
ztx z t x
txy t x y
ì
ï +ï
í = + +ï
ï = + +î
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt 
a=f(x), b=f(y); c=f(z)  thì hệ sẽ đơn giản hơn. 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) (3 1)
( ) (4 1)
( ) (5 1)
x y z x x y z
y x z y y x z
z x y z z x y
ì + = + +
ï
+ = + +í
ï + = + +î
Giải: 
Nếu x=0 suy ra được y=z=0 ( ; ; ) (0;0;0)x y zÞ = là nghiệm của hệ. 
Với x 0; 0; 0y z¹ ¹ ¹ chia cả hai vế cho 2 2 2x y z ta thu được 
2
2
2
2
2
2
1 1
3
1 1
4
1 1
5
y z
yz x x
x z
xz y y
x y
xy z z
ìæ ö+
= + +ïç ÷
ïè ø
ï
+ïæ ö = + +íç ÷
è øï
ïæ ö+ï = + +ç ÷ïè øî
Đặt 1 1 1; ;a b c
x y z
= = = Ta nhận được 
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
5 (1)
3 (2)
4 (3)
a b c c
b c a a
a c b b
ì + = + +
ï
ï + = + +í
ï
+ = + +ïî
Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1. 
Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 . 
Suy ra a-b=b-c Þa+c=2b thay vào (3) ta được 23 4 0b b- - = . 
Từ đây các em có thể giải tiếp. 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 
( )3
3
6 21 1
( 6) 21
x y
x y
ì + =ï
í
- =ïî
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 7
HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải. 
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt 1x
z
= . Khi đó dưa về hệ 
3
3
21 6
21 6
z y
y z
ì = +ï
í
= +ïî
Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 
12
5
18
5
36
13
xy
x y
yz
y z
xz
x z
ì =ï +ï
ï =í +ï
ï
=ï
+î
HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ. 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: 
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
ì + =
ï
+ =í
ï + =î
Giải: Hệ đã cho tương đương với: 
2
2
2
2 (1 )
2 (1 )
2 (1 )
x y x
y z y
z x z
ì = -
ï
= -í
ï = -î
Khi 1; 1; 1x y z= ± = ± = ± không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với 
2
2
2
2
 (1)
1
2
 (2)
1
2
 (3)
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
ì
=ï -ï
ï =í
-ï
ï
=ï
-î
Đặt -tan ; 
2 2
x
p pa aæ ö= < <ç ÷
è ø
 thì 
2
2
2
2 tan
(1) tan 2
1 tan
2 tan 2
(2) tan 4
1 tan 2
2 tan 4
(3) tan8 tan
1 tan 4
tan tan8 ( )
7
y
z
x
k
k Z
a a
a
a a
a
a a a
a
aa a a
Û = =
-
Û = =
-
Û = = =
-
Þ = Û = Î
Vì 
-
2 2
p pa< < - 7 7
2 7 2 2 2
k
k
p a p -
Þ < < Û < < 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 8
Do k ZÎ nên { }3; 2; 1;0;1;2;3kÎ - - - 3 2 2 3; ; ;0; ; ;
7 7 7 7 7 7
p p p p p pa - - -ì üÞ Îí ý
î þ
Vậy nghiệm của hệ là : 
tan
tan 2
tan 4
x
y
z
a
a
a
=ì
ï =í
ï =î
, với a là các giá trị 3 2 2 3; ; ;0; ; ;
7 7 7 7 7 7
p p p p p p- - -ì ü
í ý
î þ
. 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: 
1) Giải và biện luận các hệ phương trình: 
2
2
2
2
) b) 
xyxyz ay z x
x ya
xyz xz
a x y z a
x zb
yzxyz
ax z y
y zc
ìì =+ - = ïï +ïï
ïï + - = =í í +ï ï
ï ï =+ - =ï ï +î î
Giải các hệ phương trình sau: 
2) 
1 1 1
3
1 1 1
3
1 1 1
3
x yz xyz
y zx xyz
z xy xyz
ì
+ + =ï
ï
ï
+ + =í
ï
ï
+ + =ï
î
 HD: Đặt .1;1;1
z
c
y
b
x
a === Hệ
ï
î
ï
í
ì
=--
=--
=++
Û
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0)1)((
0)1)((
3
3
3
3
bca
cba
abcbca
abcabc
abccab
abcbca
3) 
5
1
5
1
5
1
xy
x y
yz
y z
zx
z x
ì =ï +ï
ï =í +ï
ï
=ï
+î
 4) 
5 6( )
7 12( )
3 4( )
xy x y
yz y z
xz x z
= +ì
ï = +í
ï = +î
 5) 
ï
ï
î
ïï
í
ì
-=+++
-=++++
4
5
)21(
4
5
24
232
xxyyx
xyxyyxyx
6) 
ì + = -ïï
í
+ï + = -
ïî
2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
x y xy
 7)
ì + =ï
í
ï + =î
1 6
7
2
x y
x y xy
 8) 
2 2 5
2
3
2
x y xy
x y
y x
ì + =ïï
í
ï - =
ïî
 9) 
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
ì + + + =ïï
í
ï + + + =
ïî
 10) 
2 22 2 6
( 1) 4
x x y y
xy xy x y
ì + + + =
í
+ + + =î
 11) 
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
ì + - + =ï
í
- - - =ïî
12) 
3 4
2
x y x y
x y x y
xy
+ -ì + =ï - +í
ï =î
 13) 
2 2 18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
ì + + + =
í
+ + =î
 14) 
ì + + =ïï
í
ï + =
ïî
5
( ) 6
x
x y
y
x
x y
y
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 9
15) 
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
ì + + + =ïï
í
ï + + + =
ïî
 16) 
7
1
78
x y
y x xy
x xy y xy
ì
+ = +ï
í
ï
+ =î
 17) 
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =ì
í
+ + =î
18) 
2
(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
x x y x
x y x
+ + =ì
í
+ + - =î
 19) 
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
ì + =ï
í
+ =ïî
 20) 
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
ì + =ï
í
+ = -ïî
21)
ì + =ï
í
+ =ïî
3 3 3
2 2
8 27 18
 (Olympic 2008)
4 6
x y y
x y x y
3 2 2 32 2 x+ y 2 2 08
22) 23)
( 1) ( 1) 12 x y 2
x x y xy yx y x y
x x y y
ì + + + =ì + + + = ï
í í
+ + + = = -î ïî
24) 
2 3
2 3
2 3
3 3 0
3 3 0
3 3 0
x z z x z
y x x y x
z y y z y
ì - - + =
ï
- - + =í
ï - - + =î
 (Olympic 2008) 
HD: Đk : 1; ;
3
x y z
±
¹ . Hệ đã cho tương đương với 
3
2
3
2
3
2
3
1 3
3
1 3
3
1 3
z z
x
z
x x
y
x
y y
z
y
ì -
=ï -ï
ï -
=í
-ï
ï -
=ï -î
25) 
2
2
2
(4 ) 8
(4 ) 8
(4 ) 8
x y y
y z z
z x x
ì - =
ï
- =í
ï - =î
 (Olympic 2008) . HD: Đặt x=2tana . 
IV. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau; 
3 2
3 2
3 2
2 2 3 3 0
2 2 3 3 0
2 2 3 3 0
x y y
y z z
z x x
ì + + + =
ï
+ + + =í
ï + + + =î
Giải: Hệ đã cho tương đương với hệ sau 
( )
( )
( )
x f y
y f z
z f x
=ì
ï =í
ï =î
Xét hàm số 3 21( ) 2 3 3
2
f t t t= - + + 
Ta có: 22 3 3 0; t t t R+ + > " Î . 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 10
2
2 3
1
'( ) (4 3)(2 3 3)
6
3
'( ) 0
4
f t t t t
f t t
= - + + +
= Û = -
Từ đó ta có: f(t) tăng nếu 3
4
t £ - và f(t) giảm nếu 3
4
t ³ - 
·Xét 
3
4
t £ - thì hàm f(t) tăng: 
Giả sử hệ có nghiệm ( )0 0 0; ;x y z 
Nếu 0 0x y > 
Điều này vô lý. 
Như vậy hệ chỉ có nghiệm khi 0 0 0x y z= = , thế vào ta đươc 
3 2 2
0 0 0 0 0 02 2 3 0 ( 1)(2 3) 0 1x x x x x x+ + = Û + + = Û = - 
Suy ra hệ có nghiệm x=y=z=-1. 
·Xét với 3
4
t ³ - hàm f(t) giảm ; Chứng minh tương tự ta cũng được nghiệm x=y=x=-1 
nhưng nghiệm này loại vì x;y;z 3
4
³ - . 
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=-1. 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
sin 0
sin 0
s inx=0
x y
y z
z
- =ì
ï - =í
ï -î
Giải: Xét hàm số f(x)=sin t, khi đó có dạng 
( )
( )
( )
x f y
y f z
z f x
=ì
ï =í
ï =î
Hàm f(t) có tập giá trị [-1;-1] ; .
2 2
I
p pæ ö= Ì -ç ÷
è ø
 Hàm f(t) đồng biến trên ;
2 2
p pæ ö-ç ÷
è ø
. Do đó 
hàm f(t) đồng biến trên I . 
Giả sử hệ có nghiệm ( )0 0 0; ;x y z . 
Nếu 0 0x y > . Điều 
này vô lý. 
Vì vậy hệ đã cho trở thành 
s inx=0 (*)
x y z
x
= =ì
í -î
Xét hàm số g(x)=x-sin x. 
Miền xác định D=R; 
Đạo hàm 
'( ) 1 osx 0, x Dg x c= - ³ " Î Þhàm số đồng biến trên D. Do đó ta có: 
Với x=0, ta có g(0)=0 Û phương trình (*) nghiệm đúng. 
Với x>0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm. 
Với x<0 ta có g(x)<g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm. 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 11
Vậy phương trình (*) có nghiệm x=0. Do đó, hệ có nghiệm x=y=z=0. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
ï
î
ï
í
ì
=+-+-+
=+-+-+
=+-+-+
xzzzz
zyyyy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33
)1ln(33
23
23
23
HD: Xét hàm )1ln(33)( 23 +-+-+= tttttf 
 Hệ phương trình có dạng 
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
xzf
zyf
yxf
)(
)(
)(
. 
 Ta có .0
1
12
13
1
12
33)('
2
2
2
2
2 Rx
tt
t
t
tt
t
ttf Î">
+-
+
++=
+-
-
++= 
 Vậy hàm số )(tf đồng biến trên R. 
 Do zyx ;; đóng vai trò như nhau. Nên không mất tính tổng quát, ta giả sử zyx ³³ . 
 Từ hệ phương trình ta có: )()()( yfxfzf ³³ ; nên ta suy ra x = y = z. 
 Bây giờ ta giải phương trình 0)1ln(32)( 23 =+-+-+= xxxxxg 
 Ta có .0
1
12
3
1
12
23)('
2
2
2
2
2 Rx
xx
x
x
xx
x
xxg Î">
+-
+
+=
+-
-
++= 
 Do đó )(xg là hàm đồng biến và nhận x = 1 là nghiệm. 
 Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm x = y = z = 1. 
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: 
Giải các hệ phương trình sau: 
ì ì+ = + + - + - =
ï ï
+ = + + - + - =í í
ï ï+ = + + - + - =î î
ì + - = +
ï
+ - = +í
ï + - = +î
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 1 9 27 27 0
1) 2 1 2) 9 27 27 0 
2 1 9 27 27 0
2x 3 18
3) 2 3 18 (Olympic-2009) 
2 3 18
x y y y y x x
y z z z z y y
z x x x x z z
x y y
y y z z
z z x x
ì +
= +ï
ï
ï +ï = +í
ï
ï +ï = +
ïî
1
1
1
4) 1 (Ol mpic-2008)
1
1
y
x
x
z
y y
y
x
z
z
5) 
ï
î
ï
í
ì
-++=
-++=
-++=
2
2
2
23
23
23
xxxz
zzzy
yyyx
 6) 
3 2
3 2
3 2
3 4
3 4
3 4
x x x y
y y y z
z z z x
ì + + - =
ï
+ + - =í
ï + + - =î
Bài 7: 
ì + - + - + =
ïï + - + - + =í
ï + - + - + =ïî
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x x x x y
y y y y z
z z z z x
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...
 Chuyên đề bồi dưỡng HSG 
Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 12
Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số = + - + - +3 2( ) 3 3 ln( 1)f t t t t t 
ta có: 
-
= + + >
- +
2
2
2 1'( ) 3 3 0
2 1
tf t t
t t
nên f(t) là hàm đồng biến 
Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì = ³ = Þ = ³ =( ) ( ) ( ) ( )y f x f y z z f y f z x 
Vậy ta có x=y=z. Vì phương trình + - + - + =3 22 3 ln( 1) 0x x x x có nghiệm duy nhất 
x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1 
Bài 8: Giải hệ: 
ì - + - =ï
ï - + - =í
ï
- + - =ïî
2
3
2
3
2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z
 (HSG QG Bảng A năm 2006) 
Giải: Hệ 
ì
ï - =
ï - + =ìï
ï ïÛ - = Û =í í
- +ï ï =îï
ï - =
ï - +î
3 2
3 2
3 2
log (6 )
2 6 ( ) ( )
log (6 ) ( ) ( )
2 6 ( ) ( )
log (6 )
2 6
xy
x x f y g x
yz f z g y
y y f x g z
zx
z z
Trong đó 3 2( ) log (6 ) ; ( ) 2 6
t
f t t g t
t t
= - =
- +
 với ( ;6)tÎ -¥ 
Ta có f(t) là hàm nghịch biến, 
( )32
6
'( ) 0 ( ;6)
2 6
t
g t t
t t
-
= > " Î -¥ Þ
- +
g(t) là hàm đb 
Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có: 
3 2
log (6 )
2 6
x
x
x x
- =
- +
 phương trình này có nghiệm duy nhất x=3 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3. 
Người biên soạn: Hồ Đình Sinh 
Email: sinhqluu@gmail.com 
www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông
www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...