Toán học - Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán

 PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
1. Giai thừa : n! = 1.2...n 
 0! = 1 
 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; 
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : 
 m + n. 
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n 
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : 
m x n. 
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : 
)!kn(!k
!nCkn −= 
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số 
cách : = =−
k k
n n
n!A , A
(n k)!
k
n kC .P 
 Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 
7. Tam giác Pascal : 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C
 Tính chất : 
k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+−
−
=+
===
8. Nhị thức Newton : 
 * n0nn11n1n0n0nn baC...baCbaC)ba( +++=+ −
 a = b = 1 : ... 0 1 nn n nC C ... C 2+ + + = n
 Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : 
 nn1n0n C,...,C,C
 * nnn1n1nn0nn xC...xaCaC)xa( +++=+ −
 Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách : nn1n0n C,...,C,C
 - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ... 
 - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ... 
 - Cho a = ±1, ±2, ..., hay ∫∫
±± 2
0
1
0
...hay
β
α
∫ 
 Chú ý : 
 * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k mnC a b Kx
− =
 Giải pt : m = 0, ta được k. 
 * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. 
m r
k n k k p q
nC a b Kc d
− = 
 Giải hệ pt : ⎩⎨
⎧
∈
∈
Zq/r
Zp/m
, tìm được k 
 * Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn 
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. 
...C,A knkn
 * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ 
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). 
 * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường 
hợp. 
 * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy 
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : 
 số cách chọn thỏa p. 
 = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. 
 Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. 
 * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang 
phải). 
 * Dấu hiệu chia hết : 
 - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. 
 - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. 
 - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. 
 - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. 
 - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. 
 - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. 
 - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. 
 - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. 
II- ĐẠI SỐ 
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
⎩⎨
⎧
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
 a/b = c ⇔ ; ⎩⎨
⎧
≠
=
0b
bca 1n21n2 baba ++ =⇔= 
2n
2n 2n 2n b aa b a b, a b 
a 0
⎧ == ⇔ = ± = ⇔ ⎨ ≥⎩
 ⎩⎨
⎧ α=⇔=≥
±=⇔= α abbloga,0a
ab
ba 
⎩⎨
⎧
>
<
⎩⎨
⎧
<
>
>=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba 
2. Giao nghiệm : 
 ⎩⎨
⎧ <⇔<
<
⎩⎨
⎧ >⇔>
>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax
⎧⎨Γ⎧ > ∨< < < ⎧ ⎩⇔ ⇔⎨ ⎨< Γ≥ ⎧⎩⎩ ⎨Γ⎩
p
x a p qa x b(nếua b)
;
x b VN(nếua b) q
 Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 
3. Công thức cần nhớ : 
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. 
 ⎩⎨
⎧
≤≤
≥
⎩⎨
⎧ ⇔≤=
≥⇔= 22 ba0
0b
ba,
ba
0b
ba 
 ⎩⎨
⎧
≥
≥
⎩⎨
⎧ ∨≥
<⇔≥ 2ba
0b
0a
0b
ba 
)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.aab <−−
≥= 
b. . : phá . bằng cách bình phương : 22 aa = hay bằng định nghĩa : 
)0anếu(a
)0anếu(a
a <−
≥= 
 baba;
ba
0b
ba ±=⇔=⎩⎨
⎧
±=
≥⇔= 
 a b b a ≤ ⇔ − ≤ ≤ b 
b 0
a b b 0hay
a b a
≥⎧≥ ⇔ < ⎨ ≤ − ∨ ≥⎩ b 
 0baba 22 ≤−⇔≤ 
c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x ↑>∈=
0 m / n m m n m nn
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1 ; a 1/ a ; a .a a
a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
 α=α
><⇔< alognm a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa 
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R 
 y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα 
 loga(MN) = logaM + logaN (⇐ ) 
 loga(M/N) = logaM – logaN (⇐ ) 
 2aaa2a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) 
 logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc 
 logbc = logac/logab, Mlog
1Mlog aa α=α 
 loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N 
 a a
0 M N(nếua 1)
log M log N
M N 0(nếu0 a 1
 > < < ) 
 Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh 
dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 
4. Đổi biến : 
a. Đơn giản : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt ax2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+= 
 Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách 
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức. 
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, 
cho vào miền xác định của f. 
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều 
kiện của t. 
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 
5. Xét dấu : 
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số 
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : 
không đổi dấu. 
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0. 
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu 
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : 
 f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a 
 Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 
không đối xứng, giải hệ pt : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0g
 Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 
 * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 : 
 x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
 x1 < x2 < 0 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>
>Δ
0S
0P
0
 * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 
 α < x1 < x2 ⇔ ; x1 < x2 < α ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<α
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
α<
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
 α < x1 < β < x2 ⇔ 
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β ⎨⎪ α < β⎩
 ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 : 
a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 
 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a 
 Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C 
 thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : 
 • x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : 
 3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨
⎧
≠α
>Δ
0)(f
0
 2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨
⎧
≠α
=Δ∨⎩⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f
0
 1 nghiệm ⇔ ( )
Δ⎧Δ ⎨ α⎩
= 0
 < 0hay
f = 0
 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng 
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. 
 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế 
: dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 
 3 nghiệm ⇔ 
⎩⎨
⎧
<
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y
 2 nghiệm ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y
 1 nghiệm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎩⎨
⎧
>
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : 
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
>Δ
0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α : 
 • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 
f(x) với α. 
 • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của 
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. 
 • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương 
giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) 
 α < x1 < x2 < x3 ⇔ 
y '
CĐ CT
CĐ
0
y .y 0
y( ) 0
x
Δ >⎧⎪ <⎪⎨ α <⎪⎪α <⎩
α x1
 x1 < α < x2 < x3 ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<α
>α
<
>Δ
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α xx1 x
 x1 < x2 < α < x3 ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
α<
<α
<
>Δ
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
 x1 < x2 < x3 < α ⇔ 
y '
CĐ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
Δ >⎧⎪ ⎪⎪ < α⎩
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : 
 αx1 x x
α x1 x x
 f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α 
 2 nghiệm ⇔ ⎩⎨
⎧
>Δ
≠α
0
0)(f
 , 1 nghiệm ⇔ 
⎩⎨
⎧
≠α
=Δ
⎩⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f
0
 Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨ ⎩⎨
⎧
=α
=Δ
0)(f
0
 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 
9. Phương trình bậc 4 : 
a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
≥=
0)t(f
0xt 2
 t = x2 ⇔ x = ± t 
 4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
⎩⎨
⎧
>
=
0S
0P
 2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔ 
⎩⎨
⎧
>
=Δ
<
02/S
0
0P
⎩⎨
⎧
=
=Δ
⎩⎨
⎧
<
=
02/S
0
0S
0P
 VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>
≥Δ
0S
0P
0
0
0
P
S
⎧⎪ >⎨⎪ <⎩
 4 nghiệm CSC ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
<<
12
21
t3t
tt0
 Giải hệ pt : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + 
x
1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥ 
c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – 
x
1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. 
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk 
của t bằng BBT. 
e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : 
2
baxt ++= , t ∈ R. 
10. Hệ phương trình bậc 1 : . Tính : ⎩⎨
⎧
=+
=+
'cy'bx'a
cbyax
 D = 
'b
b
'a
a
 , Dx = 'b
b
'c
c
 , Dy = 'c
c
'a
a
 D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. 
 D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN 
 D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : 
 Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. 
 ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; 
 Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. 
 (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất 
 ⇒ α = β ⇒ m = ? 
 Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : 
 Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các 
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. 
 Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 
13. Hệ phương trình đẳng cấp : 
⎩⎨
⎧
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
 Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương 
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 
14. Bất phương trình, bất đẳng thức : 
 * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có 
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình 
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. 
 * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều 
 số âm : có đổi chiều 
 Chia bất phương trình : tương tự. 
 * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. 
 * Bất đẳng thức Côsi : 
 a, b ≥ 0 : ab
2
ba ≥+ 
 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. 
 a, b, c ≥ 0 : 3 abc
3
cba ≥++ 
 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. 
 * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d 
 (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : 
 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số 
nghiệm bằng số điểm chung. 
 Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : 
 Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. 
 f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) 
 f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) 
III- LƯỢNG GIÁC 
+ 0
2− π 1. Đường tròn lượng giác : 2π
 Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, 
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn 
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 20 π
 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội 
của 
6
π (
3
1 cung phần tư) và 
4
π (
2
1 cung phần tư) α
 x = α + 
n
k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên 
đường tròn lượng giác. 
2. Hàm số lượng giác : 
3. Cung liên kết : 
 * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos 
đối, tg cotg hiệu π). 
 * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ 
 * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 
2
π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 
4. Công thức : 
 a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. 
 b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. 
 c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. 
 d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. 
 e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức 
nhân ba. 
 f. Đưa về 
2
atgt = : đưa lượng giác về đại số. 
 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. 
 h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 
M
0A
x+k2π
sin
cotg
chiếu xuyên tâm 
tg 
M
M
cos
chiếu ⊥
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, 
sinα = 1 ⇔ α = 
2
π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 
2
π + k2π, 
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 
2
π + kπ, 
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π 
 sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π 
 cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π 
 tgu = tgv ⇔ u = v + kπ 
 cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c 
 * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 
 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. 
 (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 
2
utgt = ) 
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : 
 Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. 
 Đặt : t = sinu + cosu = 
2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cosu
4 2
π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : 
 Đặt : 
2 12 0 2
4 2
tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : 
 Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : 
 Đặt : 
212 0 2
4 2
tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : 
 Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 
12. Phương trình toàn phương mở rộng : 
 * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. 
 * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : 
 Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : 
 * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. 
 * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. 
 * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. 
 * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng 
 * t = tg
2
x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 
14. Phương trình đặc biệt : 
 * ⎩⎨
⎧
=
=⇔=+
0v
0u
0vu 22
 * ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
 * ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
 * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨
⎧
−=
−=∨⎩⎨
⎧
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
 * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨
⎧
=
−=∨⎩⎨
⎧
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
 Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg 
 a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân, ⎩⎨
⎧
=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
 thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨
⎧
=−
=+
byx
ayx
 b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành 
+. 
⎩⎨
⎧
=±
=
nyx
m)y(F).x(F
 c. Dạng 3 : ⎩⎨
⎧
=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
. 
 Dùng tỉ lệ thức : 
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−=+
+⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng 
 công thức đổi + thành x. 
 d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 
16. Toán Δ : 
 * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π 
 * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. 
 * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) 
 A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; 
 A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) 
 Dùng các tính chất này để chọn k. 
 * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : 
 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 
 * pr
R4
abcCsinab
2
1ah
2
1S a ==== 
 )cp)(bp)(ap(p −−−= 
 * Trung tuyến : 222a ac2b22
1m −+= 
 * Phân giác : ℓa = cb
2
Acosbc2
+ 
IV- TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa, công thức, tính chất : 
 * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. 
 Họ tất cả các nguyên hàm của f : 
 = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f
 * 
α+
α= + = +α +∫ ∫
1udu u C ; u du C
1
, α ≠ – 1 
 u udu ln u C; e du e C;
u
= + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu 
 ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos 
 ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 
 * = = −∫b ba
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) 
 * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫
 ∫ ∫∫∫∫ =+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần : 
 udv uv vdu= −∫ ∫
 Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. 
a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex
b. ∫ = xlnu:xlnxn
c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx
 từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 
3. Các dạng thường gặp : 
a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m
 : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m
 : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2
b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2
 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2
c. chứa a2 – u2 : u = asint ∫
 chứa u2 – a2 : u = a/cost ∫
 chứa a2 + u2 : u = atgt ∫
d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR
 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx 
 R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx 
 R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx 
 R đơn giản : 
2
xtgu = 
 ∫
π
−π=
2/
0
x
2
uđặtthử: 
 ∫
π
−π=
0
xuđặtthử:
e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x 
g. 
u
1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ 
h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= 
i. chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk. ∫
4. Tích phân hàm số hữu tỷ : 
 : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) 
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : 
 n
n
2
21n
)ax(
A...
)ax(
A
ax
A)ax(,
ax
Aax ++++++→++→+ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =+=<Δ+++++++
+→<Δ++ ∫ ∫ atgtuđặt:)au/(du)0(cbxax dxcbxax Bcbxax )bax2(A)0(cbxax 222222 
5. Tính diện tích hình phẳng : 
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : ∫=
b
a
D dx)x(fS 
 f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác 
: xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. 
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) 
 (C') : y = g(x) : ∫ −=
b
a
D dx)x(g)x(fS 
 Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. 
c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 
 α / 
b
D
a
S f(x) g(x) dx= −∫ 
x=a 
f(x)
g(x) 
x=b 
 β / 
b
D
a
S f(y) g(y) dy= −∫ 
 Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các 
đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. 
 Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các 
đường ngang ngay chỗ gãy. 
 Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. 
 Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. 
 Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , 
(H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . 
 Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + 
hay − ( )trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y −=+=−=+= 
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : 
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : 
 [ ]∫π=
b
a
2 dx)x(fV
y=a 
f(y) 
y=b 
g(y) 
a b
f(x)
b
a
f(y)
b. [ ]∫π=
b
a
2 dy)y(fV
f(x)
c. ∫ −π=
b
a
22 dx)]x(g)x(f[V
d. ∫ −π=
b
a
22 dy)]y(g)y(f[V
e. ∫∫ π+π=
b
c
2
c
a
2 dx)x(gdx)x(fV
f. ∫∫ π+π=
b
c
2
c
a
2 dy)y(fdy)y(gV
 Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. 
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1. Tìm lim dạng 
0
0 , dạng 1 ∞ : 
a. Phân thức hữu tỷ : 
1
1
ax1
1
axax Q
Plim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(Plim →→→ =−
−= 
b. Hàm lg : 1
u
usinlimthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(flim
0uax
=→→ 
c. Hàm chứa căn : )0/0dạng(
)x(g
)x(flim
ax→ , dùng lượng liên hiệp : 
 a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức e)u1(lim u/1
0u
=+→
2. Đạo hàm : 
a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : 
o
o
oxx
0 xx
)x(f)x(flim)x('f −
−= → 
 Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : 
b
g(x
a
g(y)
b
f(y)
a
f(x)
g(x
a b
a b c 
f(x) -g(x)
b 
c 
f(y) 
-g(y)a 
 Nếu thì f có đạo hàm tại xo. .lim)x(f,lim)x(f
oxx
o
/
oxx
o
/
−→−+→+
== )x(f)x(f o/o/ −+ =
b. Ý nghĩa hình học : 
 k = tgα = f/(xM) 
 M 
α 
f(x)
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ 
 f// + : f lõm , f// – : f lồi 
d. f đạt CĐ tại M ⇔ 
⎩⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 f đạt CT tại M ⇔ 
⎩⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. 
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , 
( )a 1log x x lna′ = , (ex)/ = ex 
 (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, 
 (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , 
 (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 
 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) 
 * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với 
hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... 
f. Vi phân : du = u/dx 
3. Tiệm cận : 
∞=→ ylimax ⇒ x = a : tcđ x a
y ∞ ∞ 
 x −∞ +∞ 
y b b 
 ⇒ y = b : tcn bylim
x
=∞→
 x −∞ +∞
y ∞ ∞
 ⇒ y = ax + b : tcx 0)]bax(y[lim
x
=+−∞→
* Vẽ đồ thị có tiệm cận : 
 - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . 
 - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. 
 - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. 
* Xét 
)x(Q
)x(Py = 
 • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 
 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc 
cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. 
 • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : 
)x(Q
)x(Pbax)x(f 1++= , tcx 
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. 
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : 
 cy ax b
dx e
= + + + ( d ≠ 0 ) 
 • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx 
 • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. 
 • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 
4. Đồ thị các hàm thường gặp : 
a 0
 b/ y = ax2 + bx + c 
 c/ y = ax3 + bx2 + c + d a > 0 a < 0
 Δ > 0 y′
 a> 0 : 
y′Δ
y′Δ < 0 = 0 
 a < 0 : 
 d/ y = ax4 + bx2 + c 
 a > 0 
 a < 0 
 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) 
 ab 0
 ad - bc > 0 ad - bc < 0 
 f/ y = 
edx
cbxax2
+
++ (ad ≠ 0) 
 ad > 0 
 ad < 0 
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : 
 g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) 
 g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) 
 (C/) : y = Error! Bookmark not defined. )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y 
= 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). 
 (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bê