Toán học - Ôn tập về Phương trình

PHÖÔNG TRÌNH 
A. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN 
 Phaàn naøy ñeà caäp ñeán caùc phöông phaùp giaûi caùc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5 
I. Phöông trình baäc nhaát 
Daïng toång quaùt : ax b c+ = 
Bieän luaän : 
· 0a ¹ : phöông trình coù nghieäm duy nhaát bx
a
= - 
· 0a = : phöông trình coù daïng 0x b= - 
0b ¹ : phöông trình voâ nghieäm 
0b = : phöông trình coù voâ soá nghieäm 
II. Phöông trình baäc hai 
Daïng toång quaùt : ( )2 0 0ax bx c a+ + = ¹ (1) 
Bieän luaän : Ta xeùt 2 4b acD = - 
· 0D < : phöông trình voâ nghieäm. 
· 0D = : phöông trình coù nghieäm keùp : 1 2 2
bx x
a
= = - 
· 0D > : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät : 1 2
bx
a
- + D
= , 2 2
bx
a
- - D
= 
Ví dụ. Chứng minh rằng phöông trình ( )2 0x a b c x ab bc ca+ + + + + + = voâ nghieäm vôùi 
, ,a b c laø 3 caïnh cuûa moät tam giaùc . 
Giaûi. 
Ta coù ( ) ( ) ( )2 2 2 24 2a b c ab bc ca a b c ab bc caD = + + - + + = + + - + + 
Maø 0D < do , ,a b c laø ba caïnh tam giaùc ( xem phaàn baát ñaúng thöùc hình hoïc) 
Ñònh lyù Viet vaø moät soá öùng duïng 
Giaû söû 0D ³ . Goïi 1 2,x x laø hai nghieäm cuûa phöông trình (1) thì : 
1 2
1 2
 .
bS
a
cP
a
x x
x x
-ì = =ïï
í
ï = =
ïî
+
Baèng ñònh lyù Viet chuùng ta coù theå xeùt daáu cuûa caùc nghieäm nhö sau 
- Phöông trình coù hai nghieäm döông 0Û D ³ vaø 0P > vaø 0S > 
- Phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu 0Û D ³ vaø 0P < 
- Phöông trình coù hai nghieäm aâm 0Û D ³ vaø 0P > vaø 0S < 
Thí duï . Tìm m sao cho phöông trình ( )2 2 2 6 1 0x m x m- + + + = (*) coù hai nghieäm khoâng 
nhoû hôn 2 
Giaûi 
Ñaët 2t x= - thì phöông trình ñaõ cho trôû thaønh 
 2 2 2 3 0t mt m- + - = (**) 
Phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 Û phöông trình (**) coù hai nghieäm 
khoâng aâm 
 ' 0 
 0
0
S
P
D ³ì
ïÛ ³í
ï ³î
2 2 3 0
 2 0
 2 3 0
mm
m
m
- + ³ì
ïÛ ³í
ï - ³î
 3
2
mÛ ³ 
Vaäy 3
2
m ³ thì phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 
III. Phöông trình baäc ba 
Daïng toåûng quaùt : ( )3 2 0 0ax bx cx d a+ + + = ¹ 
Ta ñöa veà daïng : 3 2 0x ax bx c+ + + = (2) 
Ñaët 
3
ax y= - thì phöông trình (2) ñöôïc vieát laïi döôùi daïng 3 0y py q- - = (2’) trong ñoù 
2
3
ap b= - vaø 
32
27 3
abaq c-= + - . Coâng thöùc nghieäm cuûa phöông trình (2’) laø : 
y = 3
32
3
32
27422742
pqqpqq +--+++- ñöôïc goïi laø coâng thöùc Cardano , laáy teân cuûa nhaø 
toaùn hoïc Italia. Cardan theo học trưòng đai học Pavie, rồi đại học Padoue và nhận bằng tốt 
nghiệp Y khoa năm 1526 
Cardan viết khá nhiều về Toán, cũng như một số ngành khác. Ông đặt vấn đề giải phương trình 
bậc ba cụ thể là 3 6 20x x+ = . Bây giờ ta nói tổng quát là 3x px q+ = . Phương pháp của 
Cardan như sau: thay x u v= - vaø đặt ,u v như thế nào đó để tích 1
3
uv = ( hệ số của x trong 
phương trình bậc ba đang khảo sát ). Nghĩa là 2 uv= . Từ phương trình 3 6 20x x+ = ta có 
( )3 3 3( ) 3 20u v uv u v u v- + - = - = . Khử v từ 2 uv= và từ 3 3 20u v- = ta có 
6 3 320 8 108 10u u u= + Þ = + . Từ x u v= - và 3 3 20u v- = , ta có 
3 3108 10 108 10x = + - - . 
Cardan cho một công thức tương đương đối với phương trình 3x px q+ = là: 
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
q qq p q px = - - + + + - - + 
 Caùc daïng phöông trình baäc ba thöôøng gaëp vaø phöông phaùp giaûi 
1. Giaûi phöông trình khi bieát moät nghieäm cuûa phöông trình 
Giaû söû ta bieát ñöôïc nghieäm 0x cuûa phöông trình (2) baèng caùch ñoaùn nghieäm ( thöôøng laø 
caùc nghieäm nguyeân ñôn giaûn töø –3 ñeán +3 ) töùc laø 3 20 0 0 0ax bx cx d+ + + = . Khi ñoù phöông 
trình (2) 3 2 3 20 0 0ax bx cx d ax bx cx dÛ + + + = + + + 
( ) ( )( )
( )
2 2
0 0 0 0
0
2 2
0 0 0
0
0
x x ax ax b x ax bx c
x x
ax ax b x ax bx c
Û - + + + + + =
=é
Û ê
+ + + + + =ë
Xeùt ( ) ( )2 20 0 04ax b a ax bx cD = + - + + 
 i) Neáu 0D < thì phöông trình (2) coù nghieäm duy nhaát 0x x= 
 ii) Neáu 0D ³ thì phöông trình (2) coù caùc nghieäm 
0
0( )
2
x x
ax bx
a
=é
ê
- + ± Dê =êë
Thí duï. Giaûi phöông trình 3 2 3 10 0x x x- + - = 
Giaûi 
Nhaän thaáy 2x = laø 1 nghieäm cuûa phöông trình 
Phöông trình ( )( )22 5 0 2x x x x- + + = Û = 
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù duy nhaát 1 nghieäm 2x = 
2. Phöông trình baäc ba ñoái xöùng 
Daïng toång quaùt ( )3 2 0 0ax bx bx a a+ + + = ¹ 
Phöông trình baäc ba ñoái xöùng luoân nhaän 1x = - laøm nghieäm 
Thaät vaäy, ta coù phöông trình ( ) ( )( )21 0x ax b a x aÛ + + - + = 
( )2
1
0
x
ax b a x a
= -é
Û ê + - + =ë
Môû roäng 
Moät soá tính chaát cuûa phöông trình heä soá ñoái xöùng (PT HSÑX) 
Daïng toång quaùt cuûa PT HSÑX ( )11 1 0 0 1 1... 0 , ,...n nn n n na x a x a x a a a a a-- -+ + + + = = = 
Tính chaát 1. PT HSÑX neáu coù nghieäm 0x thì 0 0x ¹ vaø 
0
1
x
 cuõng laø nghieäm 
Tính chaát 2. PT HSÑX baäc leû ( 2 1n k= + ) nhaän 1x = - laø nghieäm 
Tính chaát 3. Neáu ( )f x laø ña thöùc baäc leû coù heä soá ñoái xöùng thì ( ) ( ) ( )1f x x g x= + , trong ñoù 
( )g x laø ña thöùc baäc chaün coù heä soá ñoái xöùng 
Thaät vaäy, ta xeùt ña thöù c baäc 5 laøm thí duï 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 3 2 4 3 21ax bx cx cx bx a x ax b a x c a b x b a x a+ + + + + = + + - + + - + - + 
Vaäy vieäc giaûi moät phöông trình coù heä soá ñoái xöùng baäc n leû töông öùng vôùi vieäc giaûi moät 
phöông trình coù heä soá ñoái xöùng baäc 1n - chaün 
3. Phöông trình baäc ba hoài quy 
Daïng toång quaùt ( )3 2 3 30 , 0,ax bx cx d a d ac db+ + + = ¹ = 
q Töø ñieàu kieän ta thaáy neáu 0c = thì 0b = Þ phöông trình (2b) coù nghieäm 3 dx
a
-
= 
q Neáu 0c ¹ thì 0b ¹ , ñieàu kieän 
3d c
a b
æ öÛ = ç ÷
è ø
. 
Ñaët c t
b
= - thì c bt= - vaø 3d at= - 
khi ñoù phöông trình trôû thaønh 3 2 3 0ax bx btx at+ - - = 
( ) ( )
( )
2 2
2 2
0
0
x t ax at b x at
x t
ax at b x at
é ùÛ - + + + =ë û
=é
Û ê + + + =ë
Vaäy cx
b
= - laø 1 nghieäm cuûa phöông trình . Neáu ( )2 24 0at b aD = + - ³ thì phöông trình coù 
theâm caùc nghieäm laø ( )
2
at bx
a
- + ± D
= 
Thí duï. Giaûi phöông trình 3 28 2 1 0x x x- - + = 
Ñaùp soá. 1
2
x = - 
IV. Phöông trình baäc boán 
Daïng toång quaùt ( )4 3 2 0 0at bt ct dt e a+ + + + = ¹ 
Ta ñöa veà daïng 4 3 2 0t at bt ct d+ + + + = (3) 
Ñaët 
4
at x= - thì phöông trình (3) ñöôïc ñöa veà daïng 4 2x px qx r= + + (3’) trong ñoù 
( )
2
3
4 2
3
8
1
8 2
1 3 16 64 256
256
ap b
aq ab c
r a a b ac d
ì
= -ï
ï
ï = - + -í
ï
ï = - + -ï
î
Phöông trình (3’) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 22 2 x x p x qx r Ra a a a a+ + = + + + + Î 
( ) ( ) ( )22 2 22x p x qx ra a aÛ + = + + + + (3*) 
Ta tìm a thoûa heä thöùc ( ) ( )2 24 2q p ra a= + + ñeå vieát veá phaûi thaønh 
( )2p a+
2
2( 2 )
qx
p a
é ù
+ê ú+ë û
 Khi ñoù ta ñöôïc ( ) ( ) ( )
2
22 2
2 2
qx p x
p
a a
a
é ù
+ = + +ê ú+ë û
 (3**) 
§ Neáu 2 0p a+ = thì phöông trình (3*) ( )22 2x ra aÛ + = + (Baïn ñoïc töï bieän luaän tieáp) 
§ Neáu 2 0p a+ < thì phöông trình (3**) voâ nghieäm ( do VT ³ 0 vaø VP < 0) 
§ Neáu 2 0p a+ > thì phöông trình (3**) 
( )
2 2
2 2
qx p x
p
a a
a
é ù
Û = ± + + -ê ú+ë û
 Đây laø phöông trình baäc 2 theo x , caùc baïn töï bieän luaän 
Thí duï. Giaûi phöông trình 4 22 8 3 0x x x- - - = (*) 
Giaûi. 
Phöông trình (*) 4 22 8 3x x xÛ = + + 
Ta choïn a thoûa ( )( )264 4 2 2 3a a= + + . Deã daøng nhaän thaáy a = 1 thoaû 
Phöông trình (*) 4 2 22 1 4 8 4x x x xÛ + + = + + ( coäng moãi veá moät löôïng 22 1x + ) 
( ) ( )
( )
( )
2 22
2
2
1 4 1
1 2 1
1 2 1
x x
x x
x x
Û + = +
é + = +
Û ê
+ = - +êë
Vaäy caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø 1 5x = ± 
 Caùc daïng phöông trình baäc boán thöôøng gaëp vaø phöông phaùp giaûi 
1. Phöông trình baäc boán truøng phöông: 
Daïng toång quaùt ( )4 2 0 0ax bx c a+ + = ¹ 
Phöông phaùp giaûi raát ñôn giaûn baèng caùch ñaët 2 0y x= ³ ñeå ñöa phöông trình veà daïng 
phöông trình baäc hai 2 0ay by c+ + = vaø bieän luaän 
2. Phöông trình baäc boán ñoái xöùng 
Daïng toång quaùt ( )4 3 2 0 0ax bx cx bx a a+ + + + = ¹ 
Do 0a ¹ neân 0x = khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình, ta coù theå chia caû 2 veá cuûa phöông 
trình cho 2 0x ¹ vaø ñöôïc 2 2 0
b aax bx c
x x
+ + + + = 
2
2
1 1 0a x b x c
x x
æ ö æ öÛ + + + + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 (*) 
Ñaët 1y x
x
= + ( ñieàu kieän : 2y ³ ) 2 2 2 22 2
1 12 2y x x y
x x
Þ = + + Þ + = - 
Khi ñoù phöông trình (*) trôû thaønh 2 2 0ay by c a+ + - = vaø deã daøng giaûi ñöôïc 
Löu yù 
Ngoaøi kieåu phöông tình baäc boán ñoái xöùng nhö treân coøn coù phöông trình baäc boán coù heä soá ñoái 
xöùng leäch 4 3 2 0ax bx cx bx a+ + - + = ( 0a ¹ ) 
Phöông phaùp giaûi töông töï nhö treân, xin giaønh cho baïn ñoïc 
Thí duï: Cho phöông trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + 8 = 0. 
a) Giaûi phöông trình khi m = -16. 
b) Tìm m ñeå phöông trình voâ nghieäm . 
Ñaùp soá: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 
16
2815 + , x4 = 
16
2815 - 
b) m £ 
32
487- . 
3.Phöông trình baäc boán hoài quy : 
Daïng toång quaùt : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , (a ¹ 0) trong ñoù ad2 = eb2 (*) 
q Neáu b = 0 thì d = 0 phöông trình trôû thaønh phöông trình truøng phöông : 
ax4 + cx2 + e = 0 vaø ta giaûi quyeát ñöôïc theo phöông phaùp 1. 
q Neáu b ¹ 0 thì d ¹ 0 , ñieàu kieän ó 
a
e = 
2d
b
æ ö
ç ÷
è ø
Ñaët 
b
d = t thì e = at2 vaø d = bt thì phöông trình (*) trôû thaønh: 
ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = 0. (**) 
Do x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình (**) neân ta chia 2 veá phöông trình (**) cho 
x2 ¹ 0 ta ñöôïc ax2 + bx + c + 
x
bt + 
x
ta
2
2
 = 0 
 ó a(x2 + 
x
t
2
2
) + b(x + 
x
t ) + c = 0 (***) 
 Ñaët x + 
x
t = y (ñieàu kieän : y2 ³ 4t) Þ x2 + 
x
t
2
2
 + 2t = y2 Þ x2 + 
x
t
2
2
 = y2 – 2t. 
 Phöông trình (***) trôû thaønh : ay2 + by + c – 2at = 0 laø phöông trình baäc hai theo y , ta seõ 
tìm ñöôïc nghieäm y Þ tìm ñöôïc x. 
 Thí duï : giaûi phöông trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = 0. 
 Höùông daãn: Ñaët x - 
x
5 = y ta thu ñöôïc phöông trình : 2y2 –21y + 54 = 0 coù nghieäm 
y1 = 6, y2 = 2
9 
o Vôùi y1 = 6 thì ta thu ñöôïc caùc nghieäm : x1 = 143 + , x2 = 143 - . 
o Vôùi y2 = 
2
9 thì ta thu ñöôïc : x3 = 
4
1619 + , x4 = 
4
1619 - . 
4.Phöông trình baäc boán daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d) 
Phöông phaùp giaûi phöông trình loaïi naøy laø ñaët x = y - 
2
ba + . Khi ñoù phöông trình (3d) trôû 
thaønh: 
4 4
2 2
a b a by y c- -æ ö æ ö+ + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. Ñaët a = 
2
ba - ñeå ñöôïc phöông trình goïn hôn : 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 4 2 2 2 22y y c y y y y ca a a a a aé ù+ + - = Û + + - - + - =ë û 
 ( ) ( )
2 22 2 2 2
4 2 2 4
2 2 2
2 12 2 0 (*)
y y c
y y c
a a
a a
Û + - - =
Û + + - =
(*) laø phöông trình truøng phöông theo y. 
Ta giaûi quyeát tieáp baøi toaùn theo phöông phaùp 1. 
Thí duï : Giaûi phöông trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = 2 
Ñaùp soá: x = 2005 
5. Phöông phaùp heä phöông trình ñoái xöùng 
Khi ta gaëp caùc phöông trình daïng ( ) ( ) ( )22 2 0a ax bx c b ax bx c c x a+ + + + + + = ¹ (4e) 
thì ta chuyeån veà heä phöông trình baèng caùch ñaët 2y ax bx c= + + . Luùc ñoù ta coù heä ñoái xöùng 
² 
² 
ax bx c y
ay by c x
+ + =ì
í + + =î
 Ta tröø veá theo veá hai phöông trình cuûa heä vaø thu ñöôïc 
( )( ) ( ) ( )( )1 0a x y x y b x y y x x y ax ay b- + + - = - Û - + + + = 
( ) ( )
( )
( )
2 2
22
1 0
1 1 11 0
x y x ax bx c ax b x c
b b b acx y ax b xx ax bx c
a aa
= é é= + +é + - + =
ê êêÛ Û Û- + - + + +ê êê + = + + + =+ + + =êê êë ëë
Giaûi 2 phöông trình baäc hai naøy ta thu ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình 
Thí duï. Giaûi phöông trình ( )22 22 4x x x+ - + = 
Giaûi 
Phöông trình ( ) ( )22 22 2 2x x x x xÛ + - + + - - = 
Ñaët 2 2y x x= + - thì ta coù heä : 
² - 2 
² - 2 
x x y
y y x
+ =ì
í + =î
Tröø veá theo veá ta ñöôïc ( )( )2 0x y x y- + + = 
2
2
2 2
2 0 0 22 2 0
x y x x x x
x y x xx x x
é é= = + -é = ±
Û Û Ûê êê + + = = Ú = -+ + - + =ë ëë
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm { }2, 2,0, 2x Î - - 
6. Phöông trình baäc boán daïng ( )( ) ( )( ) ( ) x a x b x c x d m a b c d b+ + + + = + + + = 
Phöông trình ( )( )2 2x x ab x x cd mb bÛ + + + + = 
Ñaët 2x x yb+ = thì ta ñöôïc phöông trình ( )( )y ab y cd m+ + = 
( )2 0y ab cd y abcd mÛ + + + - = 
Giaûi ra ta tìm ñöôïc y roài thay vaøo phöông trình ban ñaàu ñeå tìm x 
Thí duï. Giaûi phöông trình ( )( ) ( )( )1 3 5 7 297x x x x- - + + = 
Giaûi 
Ñeå yù thaáy (-1) + 5 = (-3) + 7 cho neân tabieán ñoåi laïi nhö sau: 
Phöông trình ( )( ) ( )( )1 5 3 7 297x x x xÛ - + - + = 
( )( )
( )( ) ( )
2 2
2
2
1 2
4 5 4 21 297
5 21 297 4
26 192 0
32, 6
x x x x
y y y x x
y y
y y
Û + - + - =
Û - - = = +
Û - - =
Û = = -
7. Phöông trình baäc boán daïng ( )( )( ) ( ) ( )2 x a x b x c x d mx ad bc b+ + + + = = = 
Phöông trình ( )( )( ) ( ) 2x a x d x b x c mxÛ + + + + = 
( ) ( )2 2 2x a d x x b c x mxb bé ù é ùÛ + + + + + + =ë û ë û 
Ta chæ quan taâm ñeán tröôøng hôïp 0b ¹ . Khi ñoù 0x = khoâng laø nghieäm phöông trình treân 
Chia 2 veá phöông trình treân cho 2 0x ¹ ta ñöôïc 
x a b x c d m
x x
b bæ öæ ö+ + + + + + =ç ÷ç ÷
è øè ø
Ñaët y x
x
b
= + ta thu ñöôïc phöông trình 
( ) ( ) ( ) ( )( )2 0y a b y c d m y a b c d y a b c d m+ + + + = Û + + + + + + + - = 
Giaûi phöông trình treân ta thu ñöôïc y töø ñoù tìm ñöôïc x 
Thí duï. Giaûi phöông trình ( )( )2 2 23 2 9 18 168x x x x x+ + + + = 
Höôùng daãn. 
Phöông trình 6 67 5 168x x
x x
æ öæ öÛ + + + + =ç ÷ç ÷
è øè ø
( )( )
2
1 2
67 5 168 
7
12 133 0
19
6 7 1, 6
6 19 33719
2
y y y x
x
y
y y
y
x x x
x
x x
x
æ öÛ + + = = +ç ÷
è ø
=é
Û + - = Û ê = -ë
é + = Û = =ê
êÛ
- ±ê + = - Û =êë
Vaäy caùc nghieäm cuûa phöông trình laø 19 337 19 3371,6, ,
2 2
x
ì ü- + - -ï ïÎ í ý
ï ïî þ
B. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH KHOÂNG MAÃU MÖÏC 
Trong phaàn naøy toâi xin giôùi thieäu cuøng baïn ñoïc moät soá phöông trình thöôøng gaëp trong caùc kì 
thi nhö : phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái , phöông trình voâ tyû, phöông trình chöùa aån ôû 
maãu. 
I.Phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái : 
 Moät soá tính chaát cuûa A : A = 
î
í
ì
<
³
 0 A neáu A-
 0 A neáu A 
 A" ÎR 
1) A B A B+ £ + . Daáu “=” xaûy ra Û AB ³ 0. 
Chöùng minh : Bình phöông 2 veá : A2 + 2AB + B2 £ A2 + 2 AB + B2 ó AB £ AB : luoân 
ñuùng. 
2) BABA -³- . Daáu “=” xaûy ra Û B(A – B) ³ 0 
Chöùng minh: AÙp duïng tính chaát 1 ta coù : A = BB)-(A + £ BA - + B 
Û BABA -³- : ñpcm. 
Löu yù: A2 = A 
Thí duï :giaûi phöông trình 14412 22 =+-++- xxxx 
Giaûi: phöông trình Û ( ) ( ) 121 22 =-+- xx 
 Û xx -+- 21 = 1 . (Ñeå yù 2-x = x-2 ) 
AÙp duïng tính chaát 1 ta coù xx -+- 21 ³ ( ) )2(1 xx -+- 
 Û xx -+- 21 ³ 1. Daáu “=” Û (x – 1)(2 – x) ³ 0 Û 1 £ x £ 2 
v Moät soá daïng thöôøng gaëp: 
1.Phöông trình daïng A = B (5a) 
 Phöông trình (5a) 
A B
A B
=é
Û ê = -ë
2.Phöông trình daïng A =B (5b) 
 Phöông trình (5b) Û 
î
í
ì
==
³
B- A hayB A
0B 
 hoaëc 
 Phöông trình (5b) Û 
î
í
ì
=
³
 B A
0A 
 hay 
î
í
ì
=
<
 B- A
0A 
3.Phöông trình cöù nhieàu daáu giaù trò tuyeät ñoái : 
 Phöông phaùp thöøông duøng laø xeùt nghieäm cuûa phöông trình treân töøng khoaûng giaù trò cuûa 
TXÑ. 
Thí duï :giaûi phöông trình 42533 -=-++ xxx (5c). 
Giaûi: Nghieäm cuûa caùc phöông trình (3x + 3) , (x – 5), (2x – 4) laàn löôït laø –1, 5, 2. 
o Khi x ³ 5 thì phöông trình (5c) trôû thaønh :(3x + 3) + (x – 5) = (2x – 4) Û x = -1 (loaïi do 
khoâng thuoäc khoaûng ñang xeùt ) 
o Khi 2 £ x < 5 thì phöông trình (5c) trôû thaønh (3x + 3) + (5 – x) = (2x – 4) Þ voâ nghieäm . 
o Khi –1 £ x < 2 thì phöông trình (5c) trôû thaønh (3x + 3) + (5 – x) = (4 – 2x) Û x = -1 
(thoûa) 
o Khi x < -1 thì phöông trình (5c) trôû thaønh (-3x – 3) + (5 – x) = (4 – 2x) Û x = -1 (loaïi do 
khoâng thuoäc khoaûng ñang xeùt ) 
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát : x= -1 
2.Phöông trình voâ tyû: 
 Ñaây laø phaàn quan troïng nhaát trong caùc loaïi phöông trình vì noù raát ña daïng vaø phöùc taïp 
.Phöông trình voâ tyû thöôøng xuaát hieän nhieàu trong caùc kyø thi, ñaëc bieät laø kyø thi hoïc sinh gioûi, 
thi vaøo caùc tröôøng chuyeân ...Trong muïc naøy chuùng ta chæ chuù troïng ñeán phöông trình chöùa 
caên baäc hai vaø ba vaø caùc phöông phaùp giaûi chuùng. 
v Moät soá tính chaát cô baûn: 
· 2n f(x) = g(x) Û 
î
í
ì
=
³
[g(x)]f(x)
0g(x)
2n 
· 12n f(x)+ = g(x) Û f(x) = [g(x)] 12n+ 
· [f(x)]2n = [g(x)]2n Û g(x)f(x) = 
· [f(x)] 12n+ = [g(x)] 12n+ Û f(x) = g(x) 
Löu yù : Pheùp naâng luõy thöøa vôùi soá muõ chaün laø pheùp bieán ñoåi töông ñöông khi 2 veá cuøng daáu. 
v Moät soá daïng phöông trình voâ tyû thöôøng gaëp vaø phöông phaùp giaûi: 
1.Phöông phaùp giaûn öôùc : 
 Khi ta chia 2 veá cuûa phöông trình cho f(x) thì phaûi chuù yù ñieàu kieän f(x) ³ 0 
Thí duï : giaûi phöông trình )3()5( +=-+ xxxx2) - x(x (6a). 
Giaûi: Ñieàu kieän : x ³ 5 hoaëc x £ -3. 
Xeùt x ³ 5: khi ñoù ta chia 2 veá phöông trình (6a) cho x > 0 thì thu ñöôïc : 
 3x5x2-x +=-+ . Bình phöông 2 veá khoâng aâm cho ta phöông trình : 
 2x – 7 + 2 5x2-x - = x+3 Û 2 5x2-x - = 10 – x. 
 Û
î
í
ì
-=--
³-
x)(105)2)(x4(x
0x10
2 Û 
î
í
ì
=--
³
0608x
x
3x
10
2
 Û x1 = 6 (thoaû), x2 = 3
10- (loaïi) 
Xeùt x £ -3 Þ -x > 0 : phöông trình (6a) Û )3)(()5)(()2)(( ---=--+-- xxxxxx 
(6a1) 
Chia 2 veá phöông trình (6a1) cho )( x- ta ñöôïc : xxx --=-+- 352 . 
Roõ raøng VT > VP Þ voâ nghieäm . 
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát :x = 6. 
2.Phöông phaùp trò tuyeät ñoái hoùa: 
 Trong moät vaøi tröôøng hôïp ta coù theåñöa bieåu thöùc chöùa aån döôùi caên thöùc veà ñöôïc daïng 
bình phöông. 
Khi ñoù ta ñöôïc bieåu thöùc chöùa trong daáu giaù trò tuyeät ñoái nhôø tính chaát : A2 = A 
Thí duï : giaûi phöông trình 12221610122 +-+=+-+++++ xxxxxx (6b) 
Höôùng daãn: (6b) Û 112)1(2916)1(112)1( ++-+=++-++++++ xxxxxx 
 Û 1)1x(23)1x(1)1x(
222
-+=-++++ 
 Û 1123111 -+=-++++ xxx 
Ñaët 1+x = y thì ta ñöôïc phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái quen thuoäc: 
1231 -=-++ yyy 
3.Phöông phaùp höõu tyû hoaù: 
Ñaây laø phöông phaùp chuyeån phöông trình chöùa caên thöùc veà daïng phöông trình höõu tyû (coù 
baäc nguyeân) baèng caùch ñaët aån phuï. 
Thí duï 1) giaûi phöông trình : x2 + 8x + 12 - 2 882 ++ xx = 3 (6c1) 
Giaûi: Ñaët 882 ++ xx = y (y > 0) thì x2 + 8x + 12 = (x2 + 8x + 8) + 4 = y2 + 4. Phöông trình 
(6c1) trôû thaønh: y2 + 4 - 2y = 3 Û y = 1 (thoûa ñieàu kieän ). Þ x2 + 8x + 8 = 1 Þ x1 = -1, 
x2 = -7. 
Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm :x1 = -1, x2 = -7. 
Thí duï 2) Giaûi phöông trình 215 44 =-+- xx (6c2) 
Giaûi: 
Ñieàu kieän :1 £ x £ 5 . 
Ta ñaët 4 1-x = y + m ( m laø haèng soá) Þ x = (y + m)4 + 1 . 
Do 1 £ x £ 5 neân -m £ y £ -m + 2 . 
Khi ñoù 4 5 x- = 4 4 m)(y 4+- , phöông trình (6c2) trôû thaønh: 
 y + m + 4 4 m)(y 4+- = 2 (6c3) Û 4 4 m)(y 4+- = 2 - y – m . 
Do y £ -m + 2 neân 2 - y – m ³ 0 . 
Phöông trình (6c3) Û 4 – (y + m) 4 = ( 2 - y – m)4. 
 Û ( 2 - y – m)4 + (y + m) 4 = 4 
 Û [ ( 2 - y – m)2 + (y + m) 2 ]2 - 2( 2 - y – m)2 (y + m) 2 = 4. (6c4). 
Ñeán ñaây ta choïn m toát nhaát sao cho phöông trình (6c4) trôû thaønh phöông trình baäc boán truøng 
phöông, nghóa laø 2 - y – m vaø y + m phaûi laø 2 löôïng lieân hôïp 
Û 2 - m = m Û m = 
2
2 Þ -
2
2
£ y £ 
2
2 
Phöông trình (6c4) trôû thaønh 
 [ (
2
2 - y )2 + (
2
2 + y ) 2 ]2 - 2( 2
2 - y )2 (
2
2 + y) 2 = 4 
Û (1 + 2y2)2 – 2(
2
1 - y2)2 = 4 Û 2y4 + 6y2 - 
2
7 = 0 
Û y1 = -
2
2 , y2 = 
2
2 . 
· y1 = - 2
2 thì x1 = ( - 2
2 +
2
2 )4 +1 =1 
· y2 = 2
2 thì x2 = ( 2
2 + 
2
2 )4 + 1 = 5. 
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm : x1 = 5, x2 = 1. 
Ñieàu caàn löu yù ôû caùc baøi toaùn daïng naøy laø choïn m thích hôïp ñeå laøm baøi toaùn goïn hôn, ñôn 
giaûn hôn. 
 Moät soá daïng phöông trình thöôøng gaëp : 
i) ncx)cx)(b(adcxbcxa =-++-++ (c > 0, d ¹ 0) (6c) 
Phöông phaùp giaûi: 
Ñieàu kieän : a + cx ³ 0 vaø b – cx ³ 0 Þ
c
a-
£ x £
c
b vaø a + b ³ 0. 
Ñaët y = cxbcxa -++ thì y ³ 0 vaø y2 £ 2(a + b) (baïn ñoïc töï chöùng minh !) 
Þ 2 cx)cx)(b(a -+ = y2 – a – b (6c1)Þ y2 ³ a + b. 
Phöông trình (6c) trôû thaønh 
2y + d(y2 – a – b) = n ó dy2 + 2y – (a + b + n). (6c2) . 
Ñieàu kieän cuûa y laø: ba + £ y £ 2 ba + . 
Giaûi phöông trình (6c2) ta coù y , thay y vaøo phöông trình (6c1) roài bình phöông 2 veá ta tìm 
ñöôïc x . 
Thí duï : giaûi phöông trình 1x)4)(1(x-x-14x =-+++ 
Ñaùp soá: x = 0 
ii) 2 2x a b a x b+ - + - + 2 2x c b c x b+ - + - = dx + m . (a ¹ 0) (6d) 
Phöông phaùp giaûi: 
Ñieàu kieän : x ³ b. 
Phöông trình (6d) Û a)bx( +-
2 + c)bx( +-
2 = dx + m 
 Û abx +- + c+- bx = dx + m 
Ñaët bx - = y (y ³ 0) roài giaûi phöông trình chöù a daáu giaù trò tuyeät ñoái theo y. 
Töø ñoù suy ra x. 
Thí duï : giaûi phöông trình 12168143 -=--++--+ xxxxx 
Ñaùp soá : x = 2 
4.Phöông phaùp heä phöông trình hoùa: 
 Trong phaàn naøy toâi xin trình baøy caùch chuyeån moät phöông trình voâ tyû veà heä phöông trình 
höõu tyû cuõng baèng caùch ñaët aån phuï. 
i) Phöông trình baäc hai chöùa caên : 
Daïng toång quaùt : edxv)(uxrbax 2 +++=+ (a, u , r ¹ 0) (6e) 
Phöông phaùp giaûi: 
Ñieàu kieän :ax + b ³ 0 . 
Ñaët bax + = uy + v (uy + v ³ 0) ó ax + b = (uy + v)2 (6e1) 
Phöông trình (6e) trôû thaønh 
r(ux + v)2 = uy + v – dx – e (6e2) 
Neáu 
î
í
ì
+=
+=
ebrv
daru
 thì töø (6e1) vaø (6e2) ta coù heä sau 
ïî
ï
í
ì
+-+=+
+=+
bru)x(aruyv)(uxr
brarxv)(uyr
2
2
Tröø veá theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôïc : 
 r(uy+v)2 – r(ux+v)2 = ux – uy 
Û u(y – x)(ruy + rux + 2rv +1) = 0 
( )2
1 1 12 2
ux v ax bx y ux v uy v
uy ux v ax b v ux v ax b ux vr r r
é + = += + = +é é
êê êÛ Û Û ê æ öê ê= - - - + - = - - - + = - + +ç ÷êë ë è øë
Giaûi 2 phöông trình treân ta tìm ñöôïc nghieäm phöông trình . 
Thí duï : giaûi phöông trình 52x + = 32x2 + 32x . (6e3) 
Giaûi : 
Ñieàu kieän : x ³
2
5- 
Phöông trình (6e3) Û 52x + = 2(4x + 2)2 – 8. 
Ñaët 52x + = 4y + 2 ( y ³
2
5- ) thì ta coù heä 
ïî
ï
í
ì
+=+
+=+
52y24x
52x2)4y
)(
(
2
2
Tröø veá theo veá ta ñöôïc 
 2(y – x)(4y + 4x + 5) = 0 
( )
( )
2 5 4 2 6 4
4 4 5 2 5 2 4 5 6 5
x x ey x
y x x x e
é + = +=é
êÛ Ûê = - - ê + - = - -ë ë
o Giaûi (6e4) : phöông trình (6e4) Û 
ïî
ï
í
ì
++=+
³
416x16x52x
2
1-x
2
 Û x = 
16
657 +- 
o Giaûi (6e5) : phöông trình (6e5) Û 
ïî
ï
í
ì
+=+
££
)34(52 2xx
4
3-x
2
5-
 Û x = 
16
5711-- 
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 2 nghieäm laø : x1 =
16
657 +- , x2 =
16
5711-- 
Löu yù. 
Caùch giaûi hoaøn toaøn töông töï khi ta xeùt phöông trình baäc ba coù chöùa caên baäc ba : 
edxv)(uxrbax 33 +++=+ vôùi ñieàu kieän 
î
í
ì
+=
+=
ebrv
daru
 (Xin giaønh cho baïn ñoïc !) 
Thí duï :giaûi phöông trình 3 53 -x = 8x3 – 36x2 + 53x – 25. 
Höôùng daãn : Bieán ñoåi phöông trình thaønh 3 53 -x = (2x – 3)3 – x + 2 vaø giaûi. 
ii) Phöông trình daïng cf(x)bf(x)-a =++ . 
Trong ñoù f(x) laø moät haøm soá chöùa bieán x, f(x) thöôøng baèng kx, kx2, k d-x .... 
Caùch giaûi phöông trình loaïi naøy laø ñaët aån phuï vaø ñöøng queân tìm ñieàu kieän ñeå caên coù nghóa ! 
Ta ñaët 
ïî
ï
í
ì
+=
-=
f(x)bv
f(x)au
 (I) 
Þ
î
í
ì
+=+
=+
bavu
cvu
22
 Û 
ïî
ï
í
ì
--
=
=+
2
bacuv
cvu
2 . 
Theo ñònh lyù Viet ñaûo ta coù u, v laø 2 nghieäm cuûa phöông trình : 
X2 – cX + 
2
bac2 -- = 0. 
Giaûi ra ta tìm ñöôïc u, v Þ tìm ñöôïc f(x) Þ tìm ñöôïc x. 
Löu yù: f(x) laø nghieäm chung cuûa heä (I). 
. 
 Caùc daïng thöôøng gaëp cuûa loaïi phöông trình naøy laø: 
· cf(x)bf(x)a =--+ 
· cf(x)bf(x)a 33 =-±+ 
· cf(x)bf(x)a 44 =-±+ 
· cf(x)bf(x)a 55 =-±+ 
Thí duï :giaûi phöông trình 2=-++ 33 x31- x 
Ñaùp soá : x = 4 
Ngoaøi ra coøn coù daïng sau: cf(x)bf(x)a nm =++- (m ¹ n, max{m, n} = 4) 
Sau khi ñaët aån phuï ta thu ñöôïc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5 . 
5.Phöông phaùp löôïng lieân hôïp: 
 Vieäc nhaân moät löôïng lieân hôïp vaøo moät bieåu thöùc laøm cho vieäc giaûi phöông trình trôû neân deã 
daøng hôn. Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng trong nhieàu muïc ñích khaùc nhau, ôû ñaây toâi xin ñöa 
ra 3 lôïi ích khi söû duïng phöông phaùp naøy : 
v Nhaèm taïo ra moät nhaân töû chung vôùi veá coøn laïi. 
Thí duï : giaûi phöông trình 3x2x12x +=--+ (7a) 
Giaûi: 
Ñieàu kieän : x ³ 2 
Ñeå yù thaáy (2x + 1) – (x – 2) = x + 3 = VP. Do ñoù ta nhaân löôïng lieân hôïp vaøo 2 veá cuûa 
phöông trình : 
( 2x12x --+ ) ( 2x12x -++ ) = (x + 3)( 2x12x -++ ) 
 Û x + 3 = (x + 3)( 2x12x -++ ) 
3
2x 1 x 2
x = -é
Û ê
+ + -êë
 = 1 Þ phöông trình voâ nghieäm 
v Nhaèm taïo ra ôû moãi veá moät nhaân töû chung. 
Thí duï : giaûi phöông trình 2xx32xx223x-x1x2 2222 +-+++=-+- (7b) 
Giaûi : 
Ñieàu kieän : x £ 
2
2- hoaëc x ³
2
173 + . 
(7b) Û 23x-x2xx32xx21x2 2222 --+-=++-- 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( 2 1 2 2x 3)( 2 1 2 2x 3)x x x x
2 1 2 2x 3x x
( x 2 -3x 2)( x 2 -3x 2)x x x x
x 2 -3x 2x x
- - + + - + + +
Û
- + + +
- + - - - + + -
=
- + + -
2 2 2 2
-(2x 4) 2x 4
2 1 2 2x 3 x 2 -3x 2x x x x
+ +
Û =
- + + + - + + -
Û x = -2 ( thoûa ñieàu kieän ). 
Vaäy phöông trình coù duy nhaát 1 nghieäm :x = -2 
v Nhaèm chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát. 
Thí duï : giaûi phöông trình 
2
2399xx2