Toán học - Phần: Bất đẳng thức

(Inequalyties from http:// forum.mathscope. org , posted by Kim Dinh Son)
 Kim Đình Sơn , 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Email: thanphongvukiem_1992@yahoo.com
Gmail: sonkd_92@gmail.com
1.Các Bất Đẳng Thức
Bài 1[Kim Đình Sơn]
, 
với k>0 bất kì.
Bài 2[Kim Đình Sơn]
Cho dương thỏa mãn: . Khi đó:
Bài 3[Kim Đình Sơn]
Cho a,b,c là 3 số, 
Bài 4[Kim Đình Sơn]
Nếu . Khi đó
Bài 5[Kim Đình Sơn]
Nếu là những số thực, khi đó
Bài này có ba cách phân tích kiểu S-O-S, và mình cũng xin giới thiệu một cách phân tích mới (do mình tình cờ tìm ra)
Bài 6[Kim Đình Sơn]
Cho không âm thỏa mãn 
Bài 7 [Kim Đình Sơn]
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT
Bài 8[Kim Đình Sơn]
Cho x,y,z là cá số thực, giả sử p=x+y+z >0,và q=xy+yz+zx. Khi đó, với mọi a,b,c là các số thực, ta có:
Hệ quả: Đặt x=a(a-b), y=b(b-c), z=c(c-a), ta có bất đẳng thức
Bài 9[Kim Đình Sơn]
Với mọi a,b,c thực phân biệt,ta có
Remark
Bài toán tương tự bài 9 như sau 
 Với mọi a,b,c thực phân biệt, ta có
Bài 10[Kim Đình Sơn]
Giả sử và 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, khi đó
Bài 11[Kim Đình Sơn]
Giả sử a,b,c là các số thực dương, khi đó
Bài 12
Giả sử x,y,z là các số thực dương thoả mãn , khi đó
Bài 12.5
Giả sử a,b,c là các số thực dương thoả mãn , khi đó
Bài 14 [Vasile Critoaje, ONI, GIL 2006]
giả sử là các số thực dương thoả mãn , khiđó
Bài 15[Kim Đình Sơn]
Cho là các số thực thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài 16[Phạm Văn Thuận]
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số thực 
Bài 17[Kim Đình Sơn]
Cho 3 số thực dương thoả mãn điều kiện , khi đó
Bài 18[Kim Đình Sơn]
Giả sử dương thoả mãn , khi đó
2.Lời Giải
Bài 1[Kim Đình Sơn]
, 
với k>0 bất kì.
Chứng minh .Ta sẽ sử dụng Phương pháp phân tích tổng bình phương (S-O-S). Đặt
, khi đó 
Do đó, bất đẳng thức tương đương với
Không mất tổng quát giả sử . Chú ý rằng và , nên . Vì vậy
Ta chỉ cần chứng minh là đủ, và chứng minh điều này đơn giản, xin dành cho bạn đọc, vậy Bất đẳng thức coi như được chứng minh xong.
Bài 2[Kim Đình Sơn]
Cho dương thỏa mãn: . Khi đó:
Chứng minh. Đặt khi đó bài toán tương đương với
 , áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi với , khi đó ta có
 (1)
Sử dụng bất đẳng thức , suy ra vế trái của (1) sẽ lớn hơn hoặc bằng 3, do đó ta có điều phải chứng minh.
 Đẳng thức xảy ra khi .
Bài 3[Kim Đình Sơn]
Cho a,b,c là 3 số, 
Chứng minh. Ta cũng sử dụng bất đẳng thức Jensen như bài 2. Trước hết, bất đảng thức tương đương với
Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi ,với , khi đó
 (2)
Áp dụng bất đẳng thức , suy ra vế trái của (2) lớn hơn hoặc bằng 0, do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
 Đẳng thức xảy ra khi .
Bài 4[Kim Đình Sơn]
Nếu . Khi đó
Chứng minh. Ta chứng minh bất đẳng thức sau
 Với không âm , khi đó
 sử dụng bất đẳng thức Holder cho ba bộ ta có 
Lần lượt thay và ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi hoặc với bất đẳng thức thứ nhất.
Bài 10[Kim Đình Sơn]
Giả sử và 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, khi đó
Chứng minh.Từ giả thiết suy ra tồn tại số thực thoả mãn , và , do đó cũng tồn tại các số thực dương thoả mãn. Đưa bất đẳng thức về dạng
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi , với . Tương tự như bài 9 ta cần chứng minh
Bài 11[Kim Đình Sơn]
Giả sử a,b,c là các số thực dương, khi đó
Chứng minh
Đưa bất đảng thức về dạng
Sau đó ta sử dụng BĐT Jensen cho hàm số lồi , với .rồi ta chỉ càn chứng minh BĐT sau
Bài 16[Phạm Văn Thuận]
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số thực 
Chứng minh(by Kim Dinh Son)
 Nếu thì bđt đơn giản. Xét trong trường hợp còn lại, khi đó, w.l.o.g, ta có thể giả sử . Bất đẳng thức trở thành
đặt , khi đó ta cần CM
chú ý rằng . Sử dụng BĐT . Khi đó ta CM bất đẳng thức sau đúng
Tương đương đương với
Mặt khác , nên ta sẽ CM rằng
Hay 
 Vớivà ,
 Nếu thì hiển nhiên . Nếu , khi đó từ hệ quả Bất đẳng thức Schur bậc ba ta có, khi đó 
	 (do ),vậy ta có điều phải chứng minh.
___________________________________________________© by Kim Dinh Son