Toán học - Phần Phương trình nghiệm nguyên

Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN
Lời nói đầu	Trang
Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên	4
Phương pháp 1:Xét số dư của từng vế.	5
Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng.	5
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức .	6
Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư .	8
Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương	11
Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn	14
Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng	15
Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng	15
Phương pháp 9: Hạ bậc	16
Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên	18
Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn 	19
Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn	19
Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.	21
Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên	23
Dạng 5: Phương trình dạng phân thức	24
Dạng 6: Phương trình dạng mũ	25
Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ	26
Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên	28
Dạng 9: Hệ phương trình Pytago	28
Dạng 10: Phương trình Pel	30
Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên.	32
Phần 3: Bài tập áp dụng	33
Phụ lục	48
Lời cảm ơn	52
Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học.
Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. 
Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên”. Chuyên đề này là sự tập hợp các phương pháp cũng như các dạng phương trình khác nhau của phương trình nghiệm nguyên, do chúng em sưu tầm từ các nguồn kiến thức khác nhau. Chúng em mong muốn quyển chuyên đề sẽ giúp ích một phần cho việc tìm hiểu của các bạn học sinh về vấn đề nêu trên.
Quyển chuyên đề này gồm có 3 phần chính. Đầu tiên chúng em xin giới thiệu các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên, sau đó là việc tìm hiểu cách giải các dạng phương trình khác nhau của nó và cuối cùng là phần bài tập. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn khi xem xong quyển chuyên đề này hãy đóng góp ý kiến để giúp những chuyên đề sau được hoàn thành tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Nhóm biên tập
PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) 
b) 
Giải:
a) Dễ chứng minh chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b) chia cho 4 có số dư 0, 1 nên chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
Giải
Biến đổi phương trình: 
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên chia cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: , với k nguyên
Khi đó: 
Thử lại, , thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số với k là số nguyên tùy ý
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 (1)
Giải: 
 (1)
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:
 hoặc 
Giải các hệ trên phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), (1 ; 2), (2 ; 1)
PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức 
Phương pháp sắp thứ tự các ẩn
Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Giải:
Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có:
 (1)
Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 
Do đó: 
Chia hai vế của bất đảng thức cho số dương z ta được: 
Do đó 
Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại)
Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 3
Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì 
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.
Cách 2: Chia hai vế của (1) cho được:
Giả sử ta có
Suy ra do đó nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):
x – 1
2
y – 1
1
Ta có nên 
x
3
y
2
Suy ra 
Ba số phải tìm là 1; 2; 3
Ví dụ 5:
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt .
Giải
Vì vai trò của x, y, z, t như nhau nên có thể giả thiết 
 x ≥ y ≥ z ≥ t.
Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10
Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay
 (2x – 5)(2y – 5) = 65 .
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là 
 (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).
Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của các bộ số này.
Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn
Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Giải:
Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử . Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y).
Hiển nhiên ta có nên (1)
Mặt khác do nên . Do đó:
 nên (2)
Ta xác định được khoảng giá tri của y là 
Với y = 4 ta được: nên x = 12
Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên
Với y = 6 ta được: nên x = 6
Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6)
Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên
Ví dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
Giải:
Viết phương trình dưới dạng:
 (1)
Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại.
Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng
Với thì nên:
 loại
Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1
Sử dụng diều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
Ví dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 (1)
Giải
Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x:
 (2)
Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 
Do đó suy ra: 
y – 1
-1
0
1
y
0
1
2
Với y = 0 thay vào (2) được 
Với y = 1 thay vào (2) được 
Với y = 2 thay vào (2) được 
Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1)
Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)
PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ, để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn..
Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn:
Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên:
 3x + 17y = 159
Giải: 
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và 2x đều chia hết cho 3 nên 17y3 do đó y3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau)
Đặt y = 3t (). Thay vào phương trình ta được:
3x + 17.3t = 159
 x + 17t = 53
Do đó: ( )
 Đảo lại, thay các biểu thức của x và y vào phương trình ta được nghiệm đúng.
Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyênđược xác định bằng công thức:
 (t là số nguyên tùy ý)
Ví dụ 10:
Chứng minh rằng phương trình : (1) không có nghiệm là số nguyên.
Giải 
Một số nguyên x bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng x = 5k hoặc x = 5k ± 1 hoặc x = 5k ± 2 trong đó 
Nếu x = 5k thì :
Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 
Nếu x = 5k ± 1 thì :
 Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 
Nếu x = 5k ± 2 thì :
 Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí 
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên
Ví dụ 11:
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
 19x2 + 28y2 = 729.
Giải
Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng
 (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1)
Từ (1) suy ra x2 + y2 chia hết 3, do đó x và y đều chia hết cho 3. Đặt 
 x = 3u, y = 3v 
Thay vào phương trình đã cho ta được : 19u2 + 28v2 = 81. (2)
Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra u = 3s, v = 3t 
Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = 9. (3)
Từ (3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0, do đó
 19s2 + 28t2 ≥ 19 > 9.
Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Cách 2. Giả sử phương trình có nghiệm 
Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 ≡ -1 (mod 4), điều này không xảy ra với mọi số nguyên x. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Phương pháp đưa về phương trình ước số
Ví dụ 12: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 xy – x – y = 2
Giải:
Biến đổi phương trình thành:
x(y – 1) – y = 2
x(y – 1) – (y – 1) = 3
(y – 1)(x – 1) = 3
Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên x – 1 và y – 1 là các số nguyên và là ước của 23.
Do vai trò bình đẳng của x và y trong phương trình nên có thể giả sử xy, khi đó 
 x – 1y – 1
x – 1
3
-1
y – 1
1
-3
Ta có: 
Do đó: 
x
4
0
y
2
-2
Nghiệm nguyên của phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0)
Ví dụ 13:
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9.
Giải
Phương trình đã cho có thể đưa về dạng :
 (x + 1)(y + 1) = 10. (1)
Từ (1) ta suy ra (x + 1) là ước của 10 hay 
Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là :
 (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2).
Ví dụ 14:
 Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau
Giải
 Để sử dụng được hằng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho 3 .
Từ phương trình đã cho ta suy ra (mod 7).
Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong khi đó khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, hoặc 6 nên không thề có đồng dư thức (mod 7).
Vậy n = 3m với m là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được 
 (1)
Từ (1) ta suy ra là ước của 3367
Hơn nữa, nên 
Xét, thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 1) = 2 × 561, vô nghiệm.
Xét , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 13) = 2 × 15, vô nghiệm.
Xét , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 7) = 24 × 32. Từ đó ta có 
 m = 4; n = 3m = 12, và x = 9.
Vậy (x; n) = (9; 12)
Phương pháp tách ra các giá trị nguyên:
Ví dụ 15: Giải phương trình ở ví dụ 2 bằng cách khác
Giải:
Biểu thị x theo y:
 x(y – 1) = y + 2
Ta thấy y1 ( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 vô nghiệm)
Do đó: 
Do x là số nguyên nên là số nguyên, do đó y – 1 là ước của 3. Lần lượt cho y – 1 bằng -1, 1, -3, 3 ta được các đáp số như ở ví dụ 2.
PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương
Ví dụ 16: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp
Giải:
Cách 1: Giải sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên thì:
36x + 20 = 
Số chính phương chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chi hết cho 9.
Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x + 5 = n(n + 1).
Cách 2: Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên
Biến đổi 
Để phương trình bậc hai đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là là số chính phương.
Nhưng chi hết cho 3 nhưng không chia hết hco 9 nên không là số chính phương.
Vậy không tồn tại số nguyên n nào để 9x + 5 = n(n + 1), tức là không tồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Tạo ra bình phương đúng:
Ví dụ 17: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải :
Ta thấy y lẻ
Ta lại có nên chỉ có thể 
Khi đó (2) có dạng: 
Ta được: x + 1 = , do đó: 
Các cặp số (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Xét các số chính phương liên tiếp:
Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn t5ai số nguyên dương x sao cho:
Giải:
Giả sử với k nguyên, x nguyên dương.
Ta có:
Do x > 0 nên (1)
Cũng do x > 0 nên 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
 vô lý
Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2)
Ví dụ 19: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương: 
Giải:
Đặt = (1) với 
Ta thấy:
Ta sẽ chứng minh với a = 
Thật vậy:
Do nên 
Với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho bằng 
Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương
Ví dụ 20: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:
 (1)
Giải:
Trước hết ta có thể giả sử (x , y , z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số thỏa mãn (1) và có ƯCLN bằng d, giả sử thì cũng là nghiệm của (1).
Với (x , y , z) = 1 thì x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số x, y, z có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d.
Ta có mà (x, y) = 1 nên với a, b 
Suy ra: do đó, z = ab
Như vậy: với t là số nguyên dương tùy ý.
Đảo lại, hiển nhiên các số x, y, z có dạng trên thỏa mãn (1)
Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1)
Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0
Ví dụ 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 (1)
Giải:
Thêm xy vào hai vế:
 (2)
 Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.
Xét xy = 0. Từ (1) có nên x = y = 0
Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1)
Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho.
PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN
Ví dụ 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Hiển nhiên . Đặt với nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được:
 (2)
Do đó . Đặt với nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được:
 (3)
Do đó . Đặt với nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 được:
 (4)
Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của (1) trong đó .
Lập luận tương tự như trên, cũng là nghiệm của (1) trong đó .
Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: x, y, z chia hết cho với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉa xảy ra khi x = y = z = 0.
Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1)
Ví dụ 23:
 Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x, y, z thỏa mãn :
 Giải
 Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z.
 Áp dụng bất đẳng thức :
Với mọi x, y, z ≥ 0 ta suy ra x + y + z ≤ 9.
 Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.
 Vậy x + y + z ≤ 8. (1)
Mặt khác: x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x, y, z 
Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này
PHƯƠNG PHÁP XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
 (1)
Giải: Cho x lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay2 nghiệm nguyên dương (x ; y) củ phương trình là (1 ; 1), (3 ; 3)
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 
 1! + 2! + 3! + 4! +  + x! = 33 + 5! +  + x! có chữ số tận cùng bằng 3.
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3.
Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) là (1 ; 1) và (3 ; 3)
Ví dụ 25: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 
 (1)
Giải:
 Cho x các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của chì nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy là lũy thừ bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9.
Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương.
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG
Cách giải
 Xét phương trình (1) 
trong đó , 
Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng (a, b, c) = 1. Thật vậy, nếu thì ta chia hai vế của phương trình cho d.
Ta có hai định lý:
Định lý 1: Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì (a, b) = 1 (*)
Chứng minh: Giả sử là nghiệm nguyên của (1) thì 
Nếu a và b có ước chung là thì , trái với giả thiết (a, b, c) = 1.
Vậy (a, b) = 1
Định lý 2: Nếu là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng:
trong đó t là một số nguyên tùy ý .
Chứng minh:
Bước 1: Mọi cặp số đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy là nghiệm của (1) nên 
Ta có: 
Do đó là nghiệm của (1)
Bước 2: Mọi nghiệm (x, y) của (1) đều có dạng với 
Thật vậy, do và (x, y) là nghiệm của (1) nên
Trừ từng vế: (2)
Ta có mà (a, b) = 1 ( theo định lý 1) nên 
Vậy tồn tại số nguyên t sao cho:
 = bt
Tức là: .
Thay vào (2): 
Vậy tồn tại số nguyên t sao cho: 
Ví dụ:
Ví dụ 26: Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:
 3x – 2y = 5
Giải:
Cách 1: Ta thấy là một nghiệm riêng.
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
 (t là số nguyên tùy ý)
Cách 2: Ta thấy là một nghiệm riêng
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
 (t là số nguyên tùy ý)
Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phương trình.
Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình , ta có thể dùng phương pháp thử chọn: lần lượt cho x bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ rồi tìm giá trị tương ứng của y.
PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC
Ví dụ 27:
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 x3 + 2y3 – 4z3 = 0 (1)
 Giải
(1) x3 = 4z3 – 2y3 (2)
Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên x3 2 do đó x 2. Đặt x = 2x1 (x1). Thay vào (2) ta có :
 (2) 8x13 = 4x3 – 2y3 y3 = 2z3 – 4x13 (3)
Lập luận tương tự ta có y 2, đặt y = 2y1 (y1). Biến đổi tương tự, ta được:
 z3 = 4y13 + 2x13 (4)
Lập luận tương tự ta có z 2, đặt z = 2z1 (z1). Biến đổi tương tự, ta lại có:
 (4) 8z13 = 4y13 + 2x13 x13 + 2y13 – 4z13 = 0 (5)
Rõ ràng nếu bộ số (x0; y0; z0) là nghiệm của (1) thì bộ số cũng là nghiệm của (1), hơn nữa x0, y0, z0 là số chẵn và cũng là số chẵn. Quá trình này có thể tiếp tục mãi và các số là số chẵn với mọi n là số nguyên dương.
Vậy x = y = z = 0
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 11x + 18y = 120
Giải:
Ta thấy nên . Đặt x = 6k (k nguyên). Thay vào (1) và rút gọn ta được:
 11k + 3y = 20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt = t với t nguyên suy ra k = 3t + 1. Do đó:
Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm nguyên của (10 được biểu thị bởi công thức:
 với t là số nguyên tùy ý
Cách giải: 
Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.
Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và 
Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 5x – 3y = 2xy – 11
Giải: Biểu thị y theo x:
 (2x + 3)y = 5x + 11
Dễ thấy 2x + 3 0 ( vì x nguyên ) do đó:
Để phải có 
Ta có:
2x + 3
1
-1
7
-7
x
-1
-2
2
-5
y
6
-1
3
2
Thử lại các cặp giá trị trên của (x , y) đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Cách 1: Đưa về phương trình ước số:
Ta có các nhận xét:
Vì (1) chùa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng . Thế thì 
 nên và cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
 Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:
x – 1 + y
6
-2
x – 1 - y
2
-6
Do đó: 
x - 1
4
-4
y
2
2
x
5
-3
Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2)
Cách 2:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:
 là số chính phương 
Giả sử thì k + y k – y và k + y 0
(k + y) – (k – y) = 2y nên k + y và k – y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
Từ các nhận xét trên ta có:
Do đó: y = 2
Thay vào (2): 
Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2)
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 (1)
Giải:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
 (2)
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương 
 (3)
 Giải (3) với nghiệm nguyên ta được 
Với y = 5 thay vào (2) được . Ta có: 
Với y = -3 thay vào (2) được . Ta có 
Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TRỞ LÊN CÓ HAI ẨN:
Ví dụ 5: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 (1)
Giải:
Nếu y thỏa mãn phương trình thì – y cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử 
(1) 
Đặt , ta được:
Suy ra a + y = a – y, do đó y = 0
Thay vào (1) được: 
Đáp số: (0 ; 0), (-1 ; 0), (-2 ; 0), (-3 ; 0)
Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 (1)
Giải:
Cách 1: 
Dễ thấy , vì nếu x = y thì (1) trở thành , loại.
Do x, y nguyên nên 
Suy ra: 
Do đó: (2)
Xét hai trường hợp:
xy + 8 < 0. Khi đó (2) trở thành:
 , loại
. Khi đó (2) trở thành:
 (3)
Do đó: 
Nếu x = 0 thì từ (1) có nên y = 2
Nếu y = 0 thì từ (1) có nên x = 2
Nếu x, y khác 0 thì . Do nên chỉ có:
 hoặc 
Như vậy trong hai số x và y có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của (1) lẻ còn vế phải của (1) chẵn, không xảy ra.
Đáp số: (0 ; -2), (2 ; 0)
Cách 2: (1)
 (2)
Ta thấy , , là lập phương của 3x, 3y, còn 27xy là ba bần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức:
Với a = 3x, b = -3y, c = , ta biến đổi (2) thành:
 (3)
Đặt biểu thức trong dấu móc của (3) là A. Ta thấy A > 0 nên A và là ước tự nhiên của 215. Phân tích ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nen 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215.
Do chi cho 3 dư 2 nên 
Xét hai trường hợp:
 và 
Trường hợp 1: từ (4) suy ra x – y = 2. Thay y = x – 2 vào (5) được:
Rút gọn được: x(x – 2) = 0 
Với x = 0 thì y = 2. Với x =2 thì y =0
Trường hợp 2: Từ A = 1 suy ra:
Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1. Số bằng 0 không thề là 1 – 3y hoặc 3x + 1, do đó 3x + 3y = 0. Nghiệm nguyên của hệ:
 là x = y = 0, không thỏa mãn 3x – 3y – 1 = 215.
Đáp số: (0 ; -0), (2 ; 0)
Cách 3: 
Đặt x – y = a, xy = b ta có:
Suy ra: 
Do nên 
Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43
Do đó 
Do 3a – 1 chia cho 3 dư 2 nên 
Ta có: 
3a – 1
1
5
43
215
a
0
2
14
72
8
0
64
1736
Chú ý rằng nên , do đó trong bốn trường hợp trên chỉ có . Ta được: x – y = 2; xy = 0
Đáp số: (0 ; -2) và (2 ; 0)
PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC CÓ BA ẨN TRỞ LÊN
Ví dụ 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Ta thấy nên . Đặt z = 3k ta được:
Đưa về phương trình hai ẩn x, y với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Đặt = t với t nguyên. Ta có:
Nghiệm của phương trình: với t, k là các số nguyên tùy ý.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
 (1)
Giải:
Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1.
Tổng là số lẻ nên trong ba số phải có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ.
Trường hợp trong ba số có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của (1) chia cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999chia cho 4 dư 3, loại.
Trong trường hợp ba số đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dư 3, còn vế phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC
Ví dụ 9: Tìm các nghei65m nguyên dương của phương trình:
Giải:
Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
Đưa về phương trình ước số:
Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử , thế thì .
Chỉ có một trường hợp:
Đáp số: (43 ; 7), (7 ; 43)
Ví dụ 10: Tìm các số nguyên x sao cho là bình phương của một phân số
Giải:
Giải sử với .
Xét a = 0 thì x = 17
Xét . Không mất tính tổng quát, giả sử (a, b) = 1. Do nên:
 (1)
 (2) k nguyên
Từ (1) và (2) suy ra:
Ta thấy b + a và b – a là ước của 8. Chú ý rằng (b + a) – (b – a) = 2a nên b + a và b – a cùng tính chẵn lẻ. Ta lại có b + a > b – a và b + a > 0. Có các trường hợp:
b + a
b – a
k
b
a
4
2
1
3
1
18
4
2
1
1
3
8
2
2
2
0, loại
2
4
1
1, loại
Có ba đáp số:
x = 17 thì 
x = 18 thì 
x = 8 thì 
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MŨ
Ví dụ 11: Tìm các số tự nhiên x và các số nguyên y sao cho:
Giải:
Lần lượt xét các giá trị tự nhiên của x:
Nếu x = 0 thì nên 
Nếu x = 1 thì , không có nghiệm nguyên
Nếu thì , do đó vế trái chia cho 4 dư 3, còn y lẻ nên vế phải chia cho 4 dư 1. Mâu thuẫn.
Kết luận: Nghiệm của phương trình là (0 ; 2), (0 ; 2)
Ví dụ 12: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:
 (1)
Giải:
Xét hai trường hợp:
x lẻ. Đặt x = 2n + 1 . Ta có:
Khi đó vế trái của (1) là số chia cho 3 dư 2, còn vế phải là số chính phương chia cho 3 không dư 2, loại.
x chẵn. Đặt x = 2n . Ta có:
Ta thấy > 0 nên > 0 và > 
Do đó có các trường hợp:
57
19
1