Toán học - Phần: Số chính phương

1. Định nghĩa: 
 Số nguyên A được gọi là số chính phương Û ( )2A a a Z= Î 
2. Một số tính chất áp dụng khi giải toán: 
 ( ), 1A B = và AB là số chính phương thì ,A B là số chính phương. 
 Số chính phương tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9. 
 Nếu A là số chính phương thì : 
 ( )1 mod8 A º nếu 
 +Còn 1 số tính chất về số dư khi chia cho 5,6 ,7 các bạn có thể tự suy ra 
bằng cách đặt số ban đầu là nk+q (Ví dụ 5k+1,5k+2,5k+3). 
 Số chính phương không tận cùng bằng 2 số lẻ. 
3.Một số cách nhận biết số không chính phương: 
 A p và 2A p/ (p là số nguyên tố) 
 2B A< < 2( 1)B + với B ZÎ 
 A có chữ số tận cùng là 2,3 ,7 ,8. 
4.Một số điều cần lưu ý: 
>>>Khi giải các bài toán về số chính phương ta có thể áp dụng phương pháp môđun, 
nghĩa là xét số dư của các số chính phương khi chia cho 1 số nguyên nào đó. 
Ta xét ví dụ sau: 
 Tìm k để 24 3k a+ = . 
 Giả sử 24 3k a+ = 
 Þ 2a 3º (mod 4) (1) 
 lại có nếu a là số chính phương thì 
 A 0,1(mod 4)º (2) 
 Từ (1) và (2) Þ vô lý 
 Vậy không k$ để 4 3k + là số chính phương. 
>>> Số chính phương có thể dùng để giải toán về phương trình nghiệm nguyên. 
 Ví dụ:Tìm *a NÎ để phương trình sau có nghiệm nguyên: 
 2 2ax-3a=0x + 
 Xét ' 2 3a aD = + 
 Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2 3a a+ là số chính phương 
 Lại có 
2 2 2
2 2 2
3 4 4
3 ( 2)
a a a a a
a a a a
< + < + +
Þ < + < +
 Do đó 
2 23 2 1
1
a a a a
a
+ = + +
Þ =
 Với 1a = phương trình có nghiệm 1x = hay 3.x = - 
5. Một số bài tập ví dụ: 
Bài 1:Tìm a để 17 8a + là số chính phương. 
Theo đề bài y N$ Î để 217 8a y+ = 
 Þ 217( 1) 25a y- = - 
 Þ 17( 1) ( 5)( 5)a y y- = - + 
5 17
5 17
y
y
-é
Þ ê +ë


17 5y nÞ = ± 
Þ 217 10 1a n n= ± + 
Bài 2:Chứng minh số 3n 63+ không chính phương (n , 0, 4)N nÎ ¹ 
Xét n lẻ .Đặt 2 1.n k= + 
Có 2 13 k + 2 1( 1) 1(mod 4)k +º - º - 
2 1
63 3(mod 4)
3 63 2(mod 4)k +
º
Þ + º
3 63nÞ + không chính phương 
Xét n chẵn .Đặt 2n k= ( 0)k ¹ 
Giả sử 3 63n + là số chính phương tức là 
3 63n + = 2y *( )y NÎ 
3yÞ  
Đặt 3y t= ta có: 
2 2
2 2 2
2 1 2
1 1
1
`
1
1
3 63 9
3 7
(3 ) 7
( 3 )( 3 ) 7
3 1
3 7
2.3 6
3 3
2
k
k
k
k k
k
k
k
k
t
t
t
t t
t
t
k
-
-
- +
-
+
-
-
+ =
Þ + =
Þ - =
Þ - + =
ì - =ïÞ í
+ =ïî
Þ =
Þ =
Þ =
4nÞ = (trái với giả thiết đề bài) 
Vậy 3 63n + không là số chính phương 0, 4n n" ¹ ¹ . 
Bài 3:Chứng minh rằng phương trình 2 2 21x y z+ + = có vô số nghiệm nguyên. 
*n N" Î , ta chọn 2 22 ; 2 ; 2 1.x n y n z n= = = + 
Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 21 (2 ) (2 ) 1 (2 1)x y n n n z+ + = + + = + = 
Do đó phương trình có vô số nghiệm 
Bài 4: 
Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên ( )1n > . 
Chứng minh rằng 1p - không phải là số chính phương. 
Giả sử 1p - là số chính phương. Do p là tích của số nguyên tố đầu tiên ( )1n > suy ra 
3p . Do đó 1 1(mod3)p - º - 
Đặt 1 3 1p k- = - . 
Một số chính phương không có dạng 3 1k - .Từ đây ta có điều mâu thuẫn. 
Bài 5: Chứng minh 7 34 5n n+ + không chính phương. 
Bổ đề: { }2 (mod 7); 0,1,2,4x i iº Î 
Theo định lý Fermat ta có: 7 (mod 7)n nº 
7
7
34 5 35 5(mod 7)
34 5 5(mod 7)
n n n
n n
Þ + + º +
Þ + + º
Giả sử 7 234 5 , .n n x x N+ + = Î 
Suy ra 2 5(mod 7)x º (vô lý) 
Do đó 7 34 5n n+ + không phải là số chính phương. 
Bài 6: Cho 1 2 3 ...k k k< < < là những số nguyên dương, không có hai số nào liên tiếp và 
đặt 1 2 ... , 1, 2,...n nS k k k n= + + + " = . 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương, khoảng [ )1,n nS S + chứa ít nhất một số chính 
phương. 
Nhận xét: khoảng [ )1,n nS S + có ít nhất một số chính phương khi và chỉ khi khoảng 
)1,n nS S +éë có ít nhất một số nguyên dương, tức là: 1 1.n nS S+ - ³ 
Ta có: 
( )
( )
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2 1
n n
n n
n n n
n n
S S
S S
S k S
k S
+
+
+
+
- ³
Û ³ +
Û + ³ +
Û ³ +
Theo đề bài rõ ràng: 
*
1
1
2,
( 1)
n n
n n
k k n N
S nk n n
+
+
³ + " Î
Þ £ - +
Ta cần chứng minh: 
( )
( )
1 1
2
1 1 1
22
1 1
2
1
2 ( 1) 1
2 1 4 4 ( 1)
2(2 1) 2 1 0
2 1 0.
n n
n n n
n n
n
k nk n n
k k nk n n
k n k n
k n
+ +
+ + +
+ +
+
³ - + +
Û - + ³ - +
Û - + + + ³
Û - - ³
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng. 
Do đó với mọi n khoảng [ )1,n nS S + chứa ít nhất một số chính phương. 
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, tồn tại một số nguyên dương n sao 
cho là số chính phương và là số lập phương. 
 Chọn 2 3 3n m m= + + thì: 
2 2
3
1 ( 2)
1 ( 1)
m n m
mn m
+ + = +
+ = +
J 
6. Bài tập luyên tập. 
Bài 1: Nếu ,a b ZÎ và 
2 2
1
a b Z
ab
+
Î
+
 thì 
2 2
1
a b Z
ab
+
Î
+
 là số chính phương. 
Bài 2: Tìm tất cả bộ số nguyên dương ( ), ,x y z sao cho 
2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1)x y z xy x z y z+ + + + - + + là số chính phương. 
Bài 3: Tìm a để 19 7a + là số chính phương. 
Bài 4:Chứng minh rằng: 2 *19 5 2000( )n n n N+ + Î không phải là số chính phương. 
Bài 5: Tìm n để tổng bình phương các số từ 1 đến n là số chính phương. 
Bài 6: Với mọi số nguyên dương n , hãy xác định (phụ thuộc theo n ) số tất cả các cặp 
thứ tự hai số nguyên dương ( ),x y sao cho 2 2 2 210 .30 nx y- = . 
Ngoài ra chứng minh số các cặp này không là số chiứnh phương. 
Bài 7:Cho dãy { } 0n na ³ là dãy số mà 0 1 5a a= = và 
*1 1 , .
98
n n
n
a aa n N- ++= " Î 
Chứng minh rằng ( )1
6
na + là số chính phương , *.n N" Î 
Bài 8: Cho các số 
 11...11A = ( 2m chữ số 1) 
 11...11B = ( 1m + chứ số 1) 
 66...66C = ( m chữ số 6 ) 
Chứng minh rằng: là một số chính phương. 
Bài 9: Một số có tổng các chữ số là 2000 có thể là số chính phương hay không.