Toán học - Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
=======================
	I/ LÍ THUYẾT:
	1/ Các phương pháp đã học lớp 8: (Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử)
	2/ Phương pháp tách hạng tử:
	a/ Phân tích đa thức ax2 + bx + c ta tách bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac.
	+ Tìm tích ac
	+Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b1, b2 bất kỳ
	+ Chọn cặp thừa số sao cho: b1 + b2 = ac.
Ví dụ: Phân tích 3x2 – 8x + 4 có a = 3; b = -8; c = 4
ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta chọn cặp số -2 và -6 vì (-2) + (-6) = (-8)
Nên: 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Lưu ý: Nếu a = 1 thì x2 + bx + c = (x + b1)(x + b2) với b1 + b2 = b và b1.b2 = c
	b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:
Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x – 3)(2x + 1)
	c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a.
	+ Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do (hạng tử không chứa x)
	+ Trường hợp đặc biệt nếu f(x) = anxn + an-1xn-1 +  + ax + a
* có tổng các hệ số: an + an-n +  + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f(x)
	* Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f(x).
Ví dụ: 4x3 – 13x2 + 9x – 18 
	Ta thấy f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau:
4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)
	= (x – 3)(4x2 – x + 6)
	3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng:
	a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:
Ví dụ: x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 36x2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 – 6x +9)(2x2 + 6x + 9)
	b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung:
Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) =
	= x(x3 + 1)(x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[ x(x3 + 1)(x – 1) + 1] =
	= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)
* Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+2 + x3n+1 + 1 luôn chứa thừa số x2 + x + 1
	4/ Phương pháp đổi biến:
Ví dụ: Phân tích: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 =
	= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
	Đặt y = x2 +10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành :
	(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 122 + 128 = y2 – 16 = (y – 4)(y + 4) 
 	= (x2 +10x + 12 – 4)( x2 +10x + 12 + 4) = (x2 +10x + 8)( x2 +10x + 16)
= (x + 2)(x + 8) (x2 +10x + 8)
	5/ Phương pháp hệ số bất định:
	Sử dụng khi không tìm được nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ
Ví dụ: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 (1)
 	Nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì 2 nhân tử phải là bậc 2 và có dạng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
	Đồng nhất thức với (1) ta được hệ điều kiện: 
	Xét bd = 3 với b,d Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành:
	=> 2c = -14 –(-6) = -8; Do đó c = -4; a = -2.
Vậy đa thức đã cho là: (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
	II/ BÀI TẬP:
Phân tích thành nhân tử:
1/ a/ a3 + 4a2 – 7a – 10 	b/ x3 – 6x2 + 11x – 6	d/ x3 + x2 – x + 2
d/ x3 + 5x2 + 8x + 4	e/ x3 – 9x2 + 6x + 16	f/ x4 – 4x2 – 5 
2/ a/ 6x2 – 11x + 3	b/ 2x2 – 5xy – 3y2	c/ 2x2 + 3x – 27 
d/ 2x2 – 5xy + 3y2	e/ x3 + 2x – 3	f/ x3 – 7x + 6
g/ x2 + 8x – 20	h/ x3 – x2 – 4
3/ a/ x2 + 7x + 12	b/ x2 + 13x + 36	c/ x2 – 8x + 15
d/ t2 – 9x + 20	e/ x2 + 9x + 8	f/ y2 + 11y + 28
g/ b2 + 5b + 4	h/ 2t + 99 – t2	i/ m2 – 2m – 15 
4/ a/ 3x2 – 10x – 8 	b/ 2x2 – 7x – 4	c/ 3x2 – x – 4
d/ 5x2 + x – 18	e/ 3x2 – 4x – 15	f/ 6x2 + 23x + 7
5/ a/ (x2 – 1 + x)(x2 – 1 + 3x) + x2	b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
c/ (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 – 10 	d/ (2x2 + 3x – 1) – 5(2x2 + 3x + 3) + 24
e/ (x2 + x) – 2(x2 + x) – 15	f/ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 
g/ x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 	h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24 
6/ a/ a3 + 9a2 + 11a – 21 	b/ x3 – 6x2 – x + 30	d/ 9x3 – 15x2 – 32x -12
d/ x4 + 2x3 – 16x2 - 2x + 15	e/ 2x4 - x3 – 9x2 + 13x - 5 	
7/ a/ 4x4 – 5x2 + 1	b/ a4 + 4	c/ a4 + a2 + 1	d/ a8 + a4 + 1
e/ x5 + x4 + 1	f/ x4 + 2x3 + 1	g/ x7 + x5 + 1	h/ 2x4 – x2 -1 
8/ a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc	b/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
c/ (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3	d/ x(x2 –z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
e/ (x + y + z)3 – x3 – v3 – z3	f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2	
9/ CMR: A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên dương.
10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.
11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c)
12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x3 + ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử được (x + a)(x + b)(x + c)
13/ Cho đa thức P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x + 6
	a/ Phân tích P(x) thành nhân tử
	b/ CMR: P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z
14/ Cho đa thức P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 - 9x + 6
	a/ Trong trường hợp x là một số nguyên dương. CMR: P(x) 6
	b/ Tìm giá trị của x để P(x) = 0
15/ Cho a + b + c = 1 và a2 + b2 + c2 = 1
	a/ Nếu ; CMR xy + yz + zc = 0
	b/ Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c.
Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT
	b/ Aùp dụng kết quả câu 8e
16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a4(b – c) + b4(c –a) + c4(a –b) luôn khác 0
Gợi ý: Phân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] nên khác 0
17/ Phân tích thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4
	CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0
Gợi ý: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chứng minh A>0