Toán học - Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số - Lê Xuân Đại

Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè
 LÊ XUÂN ĐẠI
 (GV Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, chúng ta gặp khá nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức (BĐT) đại số. Và đây cũng là bài toán thuộc dạng khó với các thí sinh. Để giúp các em có cách nhìn phong phú hơn về các phương pháp chứng minh BĐT, tôi xin giới thiệu thêm về phương pháp lượng giác để chứng minh BĐT đại số mà cơ sở xuất phát của chúng bắt nguồn từ các BĐT quen biết trong tam giác.
Do khuôn khổ của bài viết nên các kết quả và BĐT cơ bản trong tam giác không chứng minh lại.
Sau đây, tôi xin đưa ra một số dạng bài toán điển hình thể hiện cho phương pháp này
Dạng 1: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z là các số dương thoả mãn x+y+z= xyz ”
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC.
Thật vậy, tồn tại sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC.
Từ 
Thí dụ 1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz.
Chứng minh rằng 
Lời giải. Ta có . Tương tự và .
Khi đó BĐT cần chứng minh (đây là BĐT cơ bản trong tam giác). 
Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều, hay .
* Để ý thêm rằng và do , nên ta có bài toán sau:
Thí dụ 2. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz. 
 Chứng minh rằng 
Dạng 2: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z là các số dương thoả mãn xy+yz+zx= 1 ”
Khi đó tồn tại tam giác ABC sao cho (HS tự chứng minh)
Thí dụ 3. Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xy+yz+xz=1. Chứng minh rằng
Lời giải. Ta có (đpcm).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Thí dụ 4. Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.
Chứng minh rằng: 
Lời giải. Viết lại giả thiết như sau: (*)
Tồn tại tam giác ABC sao cho: 
Lúc đó . 
Cùng với BĐT cơ bản trong tam giác , ta suy ra đpcm.
Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là đưa giả thiết x+y+z=1 về dạng (*). Cùng với ý tưởng như vậy ta giải được bài toán sau:
Thí dụ 5. Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải. Với phép đổi biến như thí dụ 4, ta biến đổi P như sau:
Ta có 
Do đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Dễ thấy khi đó . Vậy .
Thí dụ 6. Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+a+c=b. Chứng minh rằng
.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra , nên tồn tại tam giác ABC sao cho
. Khi đó 
 . Khi đó .
Dạng 3: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z là các số dương thoả mãn ”
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho (HS tự chứng minh)
Thí dụ 7. Cho các số dương x,y,z thoả mãn . 
a) Chứng minh rằng: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải. Tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho . 
a) Ta có (đpcm).
b) 
Ta có: và 
Áp dụng BĐT cô si: , cùng các BĐT tương tự ta suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/2. Vậy .
Dạng 4: Một số dạng giả thiết khác
Thí dụ 8. Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải. Đặt 
Vế trái của BĐT trở thành 
Ta có , suy ra đpcm.
Thí dụ 9. Cho a,b,c,d dương thoả mãn 
 Chứng minh rằng .
Lời giải. Đặt , trong đó .
Giả thiết đã cho trở thành 
Áp dụng BĐT Côsi cho các số thực dương ta được 
. Suy ra . Nhân từng vế của các BĐT tương tự ta được:
. 
Cuối cùng xin đưa ra một số bài tập cho các bạn luyện tập. 
Bài 1. Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz.
 	Chứng minh rằng 
Bài 2: Cho các số thực dương x,y,z dương thỏa mãn . Chứng minh
a) 	b) 
Bài 3: Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng
Bài 4. Cho các số dương a,b,c thoả mãn 2009ac+ab+bc=2009. Tìm giá trị lớn nhất của 
.
Email: lexuandaicvp@gmail.com; DT: 0912960417