Toán học - Phương trình lượng giác đơn giản cos23anpha = a có nhiều vận dụng

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
cos23a = a CÓ NHIỀU VẬN DỤNG
 Nguyễn Lái
 GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH
 Xét phương trình : cos23a = a	 (0 £ a £1)	(1).
Ứng với một giá trị , giả sử a = x là một nghiệm phương trình (1) nghĩa là
 cos23x = a ( đúng ) a = ( - x) và a = ( +x) cũng là nghiệm phương trình (1) ,
vì	cos23( - x) = cos23x = a ; cos23( + x) = cos23x = a.
Phương trình (1) viết lại : (4cos3a - 3cosa)2 = a Û 16cos6a - 24cos4a + 9cos2a - a = 0
Đặt t = cos2a, tÎ [ 0; 1] . Phương trình trở thành: 16t3 – 24t2 + 9t – a = 0	(2)
Nhận xét : Nếu a = x là nghiệm phương trình (1) thì : 
t1 = cos2x ;t2 = cos2(- x ) ; t3 = cos2( + x) là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. 
Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có:
t1+t2+t3 = ; t1.t2+t2.t3+t3.t1 = ; t1.t2.t3 = .
Từ đó ta có nhiều sự vận dụng lý thú sau:
Ví dụ 1 .Chứng minh rằng các biểu thức sau đây độc lập với x ,
S1 = cos2x+cos2( - x) +cos2( + x).
S2= cos2x.cos2( - x) + cos2( - x). cos2( + x) + cos2( + x).cos2x.
S3= cos4x + cos4( - x) +cos4( + x) .
Lời giải :Ta có S1 = cos2x+cos2( - x) +cos2( + x) = t1+t2+t3 = .
S2= cos2x.cos2(- x)+cos2(- x).cos2( + x)+cos2( + x).cos2x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 = 
S3= cos4x+cos4( - x)+cos4(+x)= t12+t22+t32 = (t1 + t2 + t3)2 –2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) = .
Ví dụ 2:Chứng minh rằng : 
Lời giải :Ta có cos6x + cos6( - x) + cos6( +x) = t13 + t23 + t33 = 
=(t1 + t2 + t3)3 –3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 = (*)
Cho từ phương trình (1) ta có : .
Vậy (*) tương đương:
Ví dụ 3 : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 .
Lời giải :Như trên,ta có :cos4x + cos4( + x) +cos4( - x) = .
cos6x + cos6( + x) + cos6( - x) = .
Do đó : y =
Đẳng thức xảy ra khi và ch? khi a = 0 cos23x = 0 x = +k ( kÎ Z ) 
Mặt khác y =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1 cos23x = 1x = k. ( kÎ Z ) .
Vậy : GTNN : y = khi x = +k; GTLN: y = khi x = k. ( kÎ Z ) 
Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau đây có nghiệm:
	 .
Lời giải :Điều kiện : t1 = cos2x¹ 0 	t2 = cos2(+ x) ¹ 0 ; 	 t3 = cos2(- x) ¹ 0 
Từ phương trình (2) Þ a ¹ 0 và phương trình viết lại ( 0 < a £ 1 )
hay : aX3 - 9 X2 + 24X - 16 = 0 ( với X = ) 	(3).
Theo định lý Viét cho phương trình (3)vế trái của phương trình đã cho là: -
 Do đó phương trình trở thành : .
Đặt f(a) = là hàm số ẩn a xác định trong ( 0 ; 1 ]. 
Ta có đạo hàm: f’(a)=.
Lập bảng biến thiên ta sẽ có :f’(a)< 0 ; "aÎ (0;1]Þ f(a) nghịch biến trong (0 ; 1 ]
Þ f(a) ³ f(1) = 129.
Mặt khác : 	.	
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi mÎ [ 129 ; +µ). 
Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau: 
Bài 1: (Được đăng trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ)
 Cho 3 số thực liên tiếp: a,b,c lập thành một cấp số cộng có công sai bằng .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 2: Cho một dãy cấp số cộng có 2007 số hạng đầu tiên x1, x2, x3..., x2007 .Cấp số cộng đó có công sai bằng và thoả mãn điều kiện 
Tính số hạng x2007 của dãy,biết rằng số hạng đầu tiên x1 là một số dương nhỏ nhất.
 Bài 3 : Giải hệ phương trình :