Toán học - Số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1) Định nghĩa: Là số có dạng .
2) Tính chất:
Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1
Nếu a=3k thì ; Nếu thì 
Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào
Số chính phương không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8.
Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương.
Nếu a, b chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.
 HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d
 + Do 
 + Do 
Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia hết cho p2 thì a không là số chính phương.
3) Bài tập
Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương.
HD: 
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ không chính phương.
 HD: 
Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không thể phân tích thành hiệu 2 số chính phương.
 HD: 
Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b) cùng chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4.
Chứng minh phương trình 13x2 +2 =y2 không có nghiệm nguyên.
 HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ
 + Khi y chẵn: 
 + Khi y lẻ : 
Tìm để là chính phương.
 HD: + 
 + n=2: 25 là chính phương.
 + n=0 hoặc 1 thì không thoả mãn
Chứng minh rằng không tồn tại để 24n+41 là chính phương.
 HD: G/s 24n+41=t2
 + Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3
 + Nếu t không chia hết cho 3 thì 
Chứng minh không tồn tại để 7.10n+4 là chính phương.
 HD: 
Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không chính phương.
HD: có n2 < n(n+1) < n2+2n+1 = (n+1)2
Tìm n2 + 3n là chính phương.
HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng.
Ngoài ra, có n2+2n+1< n2+3n < n2+4n+4 hay (n+1)2 < n2+3n< (n+2)2
Tìm để n2 + 3 chia hết cho 5.
 Tìm để n! + 97 là chính phương.
 HD: Nếu thì n!+97 có tận cùng là 7 nên không chính phương.
 Nếu n = 4 thì 24+97 = 121= n2
 Nếu thì đều không thoả mãn.
 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương.
Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay không?
HD: a) . Vì nên nếu S(N)=1994 thì 
 b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995.
 Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương.
HD: nhưng không chia hết cho 25.
 Chứng minh rằng không tồn tại để n2+n+2 chia hết cho 3.
 HD: G/s để n2+n+2=3k khi đó n2+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên dương
 Có là số chính phương. Điều này vô lí vì 
 Gọi N=2.3.4Pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng cả 3 số N, N-1, N+1 đều không là số chính phương.
 HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương.
 Nếu N+1=k2 thì k lẻ khi đó 
 Nếu th ì N-1 không chính phương.
Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương.
Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6.
 HD: xét (10n+b)2 = 20n(5n+b) + b2 ; Với chữ số hàng chục của 20n(5n+b) chẵn do đó chữ số hàng chục của b2 lẻ nên b=4; 6.
 Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn.
HD: Xét (10a+b)2 = 20a(5a+b)+b2 với b lẻ, 
ĐPCM
 Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng trăm là chẵn.
HD: Xét (10a+5)2 =100a(a+1)+25. Vì a(a+1) chẵn . Ta có ĐPCM.
 Tìm để 2x + 5y chính phương.
HD: G/s 
 + Nếu x=0 thì 1+5y=k2 suy ra k chẵn
 + Nếu k lẻ và k không chia hết cho 5.
y=0: 
, vì k không chia hết cho 5 nên 
Từ giả thiết suy ra x chẵn, x=2n
Và từ giả thiết suy ra 
 + Nếu y=2t thì 2n+1=25t-1 chia hết cho 3
 + Nếu y lẻ thì 2n+1=4(5y-1+5y-2++ 5+1)
 nếu y>1 thì 5y-1+5y-2++5+1 lẻ.
Vậy y=1 suy ra x=2. Đáp số x=1; y=2.
Tìm 1 số có 2 chữ số biết:
Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương.
Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương.
HD:a) , vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11. do đó a+b chia hết cho 11.
+) 
Vì 0<(a-b)<8, chính phương hay (a-b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4
ĐS: số 65
 Tìm số chính phương biết 
 HD:.
Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91.
(VĐ Balan) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2+a = 3b2 + b thì a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương.
 HD: Có 2a2-2b2+a-b=b2(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b2.
Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1).
Mặt khác (1).
Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1. Từ đó ta được ĐPCM

* Lưu ý: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a2 nên (3a+3b+1) là chính phương
(HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là số chính phương.
 HD: G/s 1+p+p2+p3+p4=n2. Dễ thấy 4p4+4p3p2<4n2<4p4+p2+4+4p3+4p+8p2 hay 
(2p2+p)2<(2n)2<(2p2+p+2)2 suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3.
 Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên p, q là tổng của hai số chính phương thì tích pq cũng là tổng của 2 số chính phương.
 Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính phương thì tích m.n cũng là tổng của 4 số chính phương.
 HD: (a2+b2+c2+d2)(m2+n2+p2+p2)=(am-bm-cp-dq)2+
+(an+bm-cq+dp)2+(ap+bq+cm-dn)2+(aq-bp+cn-dm)2.
 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không chính phương.
 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp không chính phương.
 Tìm để a2+a+1589 chính phương.
 Chứng minh rằng nếu 8n+1 và 24n+1 là chính phương thì 8n+3 là hợp số
 Chứng minh rằng n3+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1.
 Tìm biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương.
 Chứng minh rằng nếu thì không chính phương
 Tìm tất cả các số chính phương có dạng . 
 ĐS: 198025 và 198916
 Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương.
ĐS: a=26m2+22m+4 hoặc a=26m2+30m+8
 Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược lại.
 Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính phương thì số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương.