Toán học - Tài liệu hỗ trợ môn Hình vi phân

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
KHOA TOÁN – TIN HỌC 
Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN 
Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh 
sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An 
Học phần 
MẶT TRONG KHÔNG GIAN 3¡ 
Tp. Hồ chí minh – 8/2008
 2 
 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Mặt tham số. 
Cho U là tập mở trong 2¡ , hàm véctơ 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi 
trên U . Khi đó ( )r U là giá của mặt tham số. 
Hai mặt tham số ~~3 3: , :r U r U® ®¡ ¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~:U Uj ® sao cho 
~
0r r j= , ký hiệu ~r r: . Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau. 
2. Mặt đơn. 
Cho mặt ( )S có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( )S là mặt đơn. 
3. Mặt chính qui. 
Cho mặt ( )S có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
. Khi đó ( )0 0,M r u v= là điểm chính qui của 
mặt ( )S nếu hai véctơ ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( )S chính qui tại mọi 
điểm ( ),M r u v= , với ( ),u v UÎ thì ( )S là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. 
Tính chính qui của mặt ( )S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). 
Nếu tại điểm ( )0 0,M r u v= là điểm chính qui của mặt ( )S thì phương trình mặt phẳng tiếp 
xúc hay tiếp diện tại điểm ( )0 0 0, ,M x y z nhận ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v làm cặp véctơ chỉ phương có 
dạng ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
= . 
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm ( )0 0,M r u v= là pháp tuyến có 
phương trình 0 0 0x x y y z z
a b c
- - -
= = với , , a b c được tính bởi ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
y u v z u v
a
y u v z u v
= , 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
z u v x u v
b
z u v x u v
= , 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' , ' ,
' , ' ,
u u
v v
x u v y u v
c
x u v y u v
= , hơn nữa không gian sinh bởi 
( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v tại điểm ( )0 0,M r u v= là không gian tiếp xúc với mặt ( )S tại điểm M , 
ký hiệu ( )MT S . Khi đó ( ) ( )
( )
M
M S
T S T S
Î
= U là tập tất cả các không gian tiếp xúc. 
4. Đường trên mặt. 
Phaàn 1 
 3 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
và ( )x là đường trong U có tham số 
( )
( )
u u t
v v t
ì =ï
í
=ïî
, t IÎ qua r cho ta đường cong ( ) ( )Sx Ì có 
( ) ( ) ( )( )
3:
,
I
t t r u t v t
j
j
®
=
¡
a
. 
Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau. 
Trường hợp 1. 0v v= tương ứng với đường 
( ) ( )
0
ru u t
v v
x
ì =ï ¾¾®í
=ïî
 có ( ) ( )( )0,t u t vj = . Ta nói 
đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( )S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là 
( )' ,ur u v . 
Trường hợp 2. 0u u= tương ứng với đường ( ) ( )
0 r
u u
v v t
x
=ìï ¾¾®í =ïî
 có ( ) ( )( )0 ,t u v tj = . Ta nói 
đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( )S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là 
( )' ,vr u v . 
5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
, theo trên hai mặt tham số hóa gọi là 
tương đương nếu tồn tại vi phôi ~:U Uj ® sao cho ~0r r j= . Như ta đã biết 
~ ~
~ ~
~~
~ ~
' ' ' 'u v
u v
J
d u d v
du dvr r r r
d u d v
dv du
Ù = Ù
14243
, nếu 0J > thì ( )S là mặt định hướng được. 
Cho mặt ( )S định hướng ta luôn có 
~ ~
~ ~
' ' ' '
' ' ' '
u v u v
u v
u v
r r r r
r r r r
Ù Ù
=
Ù Ù
. Tại mọi điểm ( ),M r u v= ta luôn có 
một véctơ đơn vị ( ) ' ',
' '
u v
u v
r r
n u v
r r
Ù
=
Ù
 là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( )S . 
6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
. Xét dạng toàn phương 
( )
( )
:
,
MI T S
a I a a a
®
=
¡
a
. Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng 
 4 
( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + với , , E F G được xác định bởi ( )( )
2
' ,uE r u v= , 
( ) ( )' , . ' ,u vF r u v r u v= , ( )( )
2
' ,vG r u v= . 
Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng 
( ) ( ) ( )2 22I a E du Fdudv G dv= + + . 
7. Công thức tính độ dài cung trên mặt. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
 và đường cong ( )x có tham số 
( ) ( ) ( )( ) [ ], , ,t r u t v t t a bj = Î . Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là 
( ) ( )2 2' 2 ' ' '
b
t t t t
a
l E u Fu v G v dt= + +ò , với , , E F G được xác định như trên. 
8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
 và hai đường cong 
( )1x có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 11 1 1 1 1 1, , ' ' ' ' 'u vt r u t v t t r u r vj j= = + 
( )2x có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2, , ' ' ' ' 'u vt r u t v t t r u r vj j= = + 
( 1 2 1 2, , ,u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ). 
Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( )1x và ( )2x là 
·( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2
1, 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' '
os
' 2 ' ' ' ' 2 ' ' '
Eu u F u v u v Gv v
c
E u Fu v G v E u Fu v G v
x x
+ + +
=
+ + + +
. 
Trong trường hợp đặc biệt. 
Nếu ( )1x có ( ) ( )( )1 0,t r u t vj = , ( )2x có ( ) ( )( )2 0 ,t r u v tj = thì ( )1' ' 'u tt r uj = , 
( )2' ' 'v tt r vj = . Khi đó ·( )1, 2os Fc
EG
x x = . 
9. Ánh xạ Weingarten. 
Xét ánh xạ ( ) ( ): M Mh T S T S® thỏa mãn 
( )
( )
' ' '
' ' '
h
u u u
h
v v v
r h r n
r h r n
ì ¾¾® = -ï
í
¾¾® = -ïî
và ( ) ( ) ( ): ' ' ' ' ' 'hu u v v u u v v u u v vM Sa T a a r a r a a n a n a n a nÎ = + ¾¾® = - + - = - - . 
ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( )S ). Khi đó 
[ ]det h là độ cong Gauss của ( )S và các giá trị riêng của ma trận [ ]h gọi là độ cong chính. 
Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào 
tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng của ma trận h nếu 
0A Il- = . Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp. 
 5 
10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
Ánh xạ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
:
, , . .
M MII T S T S
a b I a b h a b a h b
®
= =a
là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó 
( ) ( ) ( ), . .II a a a h a h a a= = là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng 
( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + , với , , L M N được tính bởi ( ) ( )' , ' ,u uL n u v r u v= - , 
( ) ( ) ( ) ( )' , ' , ' , ' ,u v v uM n u v r u v n u v r u v= - = - , ( ) ( )' , ' ,v vN n u v r u v= - . 
Nếu mặt ( )S có tham số hóa dạng ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= thì , , L M N được tính 
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
uu uu uu
u u u
v v v
x y z
L x y z
EG F x y z
=
-
,
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
uv uv uv
u u u
v v v
x y z
M x y z
EG F x y z
=
-
,
2
'' '' ''
1
' ' '
' ' '
vv vv vv
u u u
v v v
x y z
N x y z
EG F x y z
=
-
11. Độ cong pháp dạng. 
Lấy ( ) : ' 'M u u v va T S a a r a rÎ = + . Độ cong pháp dạng của ( )S tại điểm M theo phương a 
được ký hiệu ( )MK a và ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
u u v v
M
u u v v
L a Ma a N aII a
K a
I a E a Fa a G a
+ +
= =
+ +
. 
Lưu ý. ( ) ( )M MK a K al = 
12. Phương chính. 
Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( )S , ( ) , 0Ma T S aÎ ¹ . Ta nói a là phương chính của 
mặt ( )S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay ( )h a al= với l là độ cong 
chính. 
Thấy rằng ( ) ( ) ( ): ' , ' ,M u u v va T S a a r u v a r u vÎ = + ta sẽ xác định ,u va a dựa vào định thức 
2 2
0
v u v ua a a a
E F G
L M N
-
= . 
Khi đó 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
 là độ cong Gauss, 
( )2
2
2
EN GL FM
H
EG F
+ -
=
-
 là độ cong trung bình. 
 6 
Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt ( )S ta có thể dựa vào phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = để ý rằng 1 21 2. , 2K H
l ll l += = . 
13. Phân loại điểm trên mặt. 
Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa 
( ) ( )
3:
, ,
r U
u v r u v
® ¡
a
 và độ cong Gauss tại điểm 
( ) ( ),A r u v S= Î có công thức 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
, độ cong chính tương ứng là 1 2,l l . 
Nếu 0K > thì A là điểm Eliptic. Nếu 0K < thì A là điểm Hyperbolic. Nếu 0K = thì A là 
điểm Parabolic. 
Nếu 1 2l l= thì A là điểm rốn. Nếu 1 2 0l l= ¹ thì A là điểm cầu. Nếu 1 2 0l l= = thì A là 
điểm dẹt. 
 BÀI TẬP MINH HỌA 
Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong 3¡ . 
a) Mặt Elipxoit tròn xoay. 
b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay. 
c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay. 
d) Mặt Paraboloit tròn xoay. 
Giải. 
a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( )0x có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b b
+ + = . 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2
2
cos
sin
x y
u
a b
z
u
b
ì
= +ïï
í
ï =ïî
. Khi đó ta được 
.cos .cos
.cos .sin
.sin
x a u v
y b u v
z b u
=ì
ï =í
ï =î
. 
Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( )0x là 
( ) ( ), .cos .cos , .cos .cos , .sinr u v a u v b u v b u= . 
Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( )0y có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b a
+ + = . Tương 
tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục 
( )0y là ( ) ( ), .cos .cos , .cos .cos , .sinr u v a u v b u v a u= . 
b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b a
- + = . 
Phaàn 2
 7 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2
2
os
sin
x y
c u
a b
z
u
a
ì
= -ïï
í
ï =ïî
. Khi đó ta được 
.cos .
. os.
.sin
x a u chv
y b c shv
z a u
=ì
ï =í
ï =î
. Do vậy phương trình tham số hóa 
của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là ( ) ( ), .cos . , .cos . , .sinr u v a u chv b u shv a u= . 
c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng 
2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b b
- - = . 
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2
2
x y
ch u
a b
z
sh u
a
ì
= -ïï
í
ï =ïî
. Khi đó ta được 
. .
. .
.
x a chu chv
y b chu shv
z b shu
=ì
ï =í
ï =î
. Do vậy phương trình tham số hóa của 
Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là ( ) ( ), . . , . . , .r u v a chu chv b chu shv a shu= . 
d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng 2 2 2x y pz+ = . 
Đặt 
21
2
os.c
.siny u
z u
p
x u
v
v
ì
ï
ïï
í
ï =
=
î
=
ï
ï
. Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là 
( ) 21.c , sin ,,
2
os .r u v u v u v u
p
æ ö
= ç ÷
è ø
. 
Bài 2. Cho [ ] [ ]0,2 0,2U p p= ´ và hai hàm véctơ ~~3 3: , :r U I r U U® Ì = ®¡ ¡ xác định bởi 
công thức 
( ) ( ) ( )( )
( ) ~ ~ ~ ~~ ~
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
, 2 cos cos , 2 cos sin ,sin
r u v u v u v u
r u v v u v u v
ì = + +
ï
í æ öæ ö æ ö= + +ï ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè øî
a) Chứng minh rằng r và ~r là các mặt tham số hóa và ( ) ~~r U r Uæ ö= ç ÷
è ø
. 
b) r và ~r có tương đương không? Vì sao? 
Giải. 
a) Dễ dàng kiểm tra được r , ~r là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm os, sinc u là các hàm số sơ cấp. 
Do ~U U= nên ( ) ~~r U r Uæ ö= ç ÷
è ø
. 
 8 
b) Giả sử r và ~r tương đương tức là tồn tại phép biến đổi tham số ~:U Uj ® sao cho ~ 0r rj= . 
Khi đó j là vi phôi bảo toàn hướng từ ~U lên U tức là det 0Jj > với 
1 1
2 2
~ ~
~ ~
u vJ
u v
j
j j
j j
æ ö¶ ¶
ç ÷¶ ¶ç ÷=
ç ÷¶ ¶
ç ÷
¶ ¶è ø
. 
Ta lại có ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ 1 20, , , , , ,r u v r u v r u v r u v u vj j jæ öæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö= Û =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è ø è ø è øè ø
~ ~ ~ ~ ~ ~1 2
~ ~ ~ ~ ~ ~1 2
~ ~ ~1
2 cos cos 2 os , os ,
2 cos sin 2 os , sin ,
sin sin ,
v u c u v c u v
v u c u v u v
u u v
j j
j j
j
ì æ öæ ö æ ö æ ö+ = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ï ç ÷è ø è ø è øè øï
ï æ öïæ ö æ ö æ öÛ + = +íç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè øï
ï æ ö=ï ç ÷
è øïî
. Suy ra 
~ ~ ~1
~ ~ ~2
,
,
u v v
u v u
j
j
ì æ ö =ç ÷ïï è ø
í
æ öï =ç ÷ï è øî
Do đó 1 1
1 0
Jj
æ ö
= ç ÷
è ø
 có det 1 0Jj = - < (mâu thuẫn). 
Vậy ta có điều cần chứng minh. 
Bài 3. Cho U mở trong ¡ , mặt ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi ( ) ( )2 2, , ,r u v u v u v= - , với mọi 
( ),u v UÎ . 
a) Chứng minh r là tham số hóa chính qui. 
b) Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( )0,1A r= với mặt ( )S . 
Giải. 
a) Xét tại điểm tùy ý ( ),A r u v U= Î . 
Lấy đạo hàm theo biến , u v cho ta ( ) ( ) ( ) ( )' , 1,0,2 , ' , 0,1, 2u vr u v u r u v v= = - . 
Suy ra ( )( ) ( )' ' , 2 ,2 ,1u vr r u v u vÙ = - 
Theo trên ta lại được ( )( ) ( )2 2' ' , 4 4 1 0, ,u vr r u v u v u v UÙ = + + ¹ " Î . 
Do đó 2 véctơ ( ) ( )' , , ' ,u vr u v r u v độc lập tuyến tính. 
Vậy r là tham số hóa chính qui hay ( )S là mặt chính qui. 
b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại ( ) ( )0,1A r S= Î có dạng là 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 0
' 0,1 ' 0,1 ' 0,1
u u u
v v v
x x y y z z
x y z
x y z
- - -
= (3.1), trong đó 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 00,1 , , 0,1, 1
' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0
' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2
u u u
v v v
A r x y z
x y z
x y z
ì = = = -
ï
= = =í
ï = = = -î
. 
 9 
Thế vào (3.1) ta được 
1 1
1 0 0 0
0 1 2
x y z- +
=
-
 hay 2 1 0y z+ - = . 
Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p là 2 1 0y z+ - = . 
Lấy ( ) ( )
2 2
, , ,
x u
M x y z r u v y v
z u v
ì =
ïÎ Û =í
ï = -î
. Khi đó mặt ( ) 2 2:S z x y= - . 
Từ đó cho ta 
2 2
2 1 0
z x y
y z
ì = -
í
+ - =î
 suy ra 
1 0
2 1 0
1 0
2 1 0
x y
y z
x y
y z
é + - =ì
íê + - =îê
ê - + =ìêí + - =êîë
Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p với ( )S là cặp đường thẳng có phương trình 
1 0
2 1 0
1 0
2 1 0
x y
y z
x y
y z
é + - =ì
íê + - =îê
ê - + =ìêí + - =êîë
. 
Bài 4. Trong 3¡ với mục tiêu trực chuẩn 0xyz cho ( ) 2: 0,P y z ax= = 
a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( )P quay quanh trục 0z . 
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay. 
Giải. 
a) Quay ( )
2 1
:
0
x z
P a
y
ì =ï
í
ï =î
 quanh trục 0z cho ta mặt tròn xoay ( )S có phương trình 2 2 1x y z
a
+ = . 
b) Phương trình tham số hóa của mặt ( )S là ( ) ( )2, cos , sin ,r u v u v u v au= . 
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,A r u v S= Î có dạng 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
' , ' , ' , 0
' , ' , ' ,
u u u
v v v
x x y y z z
x u v y u v z u v
x u v y u v z u v
- - -
= (4.1). 
Với ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , cos , sin ,A r u v x y z u v u v au= = = 
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0' , ' , ' , ' cos ,sin ,2u u u ur u v x y z v v au= =
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' sin , cos ,0v v v vr u v x y z u v u v= = - . 
Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng ( )p là ( ) ( )2 2 30 0 0 0 0 02 cos 2 sin 0au v x au v y u z au+ - - = . 
 10 
Bài 5. Cho f là hàm trơn trên tập mở 2U Ì ¡ và mặt ( )S có tham số hóa 3:r U ® ¡ xác định 
bởi ( ) ( )( ), , , ,r u v u v f u v= , với mọi ( ),u v UÎ . 
a) Tìm dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của r . 
b) Tính độ cong Gauss K của ( )S tại một điểm tùy ý. 
Giải. 
a) Dạng cơ bản thứ nhất của r có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (5.1) 
Với ( )( ) ( )2 2' , 1 'u uE r u v f= = + , ( ) ( )' , ' , ' . 'u v u vF r u v r u v f f= = 
( )( ) ( )2 2' , 1 'v vG r u v f= = + . 
Thế vào (5.1) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 ' 2 ' ' 1 'u u u v u v v vI a f a f f a a f aé ù é ù= + + + +ë û ë û . 
Dạng cơ bản thứ hai của r có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (5.2). 
Với 
( ) ( )2 2 2
'' '' ''
''1
' ' '
1 ' '' ' '
uu uu uu
u
u u u
u v
v v v
x y z
f
L x y z
EG F f fx y z
= =
- + +
( ) ( )2 2 2
'' '' ''
''1
' ' '
1 ' '' ' '
uv uv uv
uv
u u u
u v
v v v
x y z
f
M x y z
EG F f fx y z
= =
- + +
( ) ( )2 2 2
'' '' ''
''1
' ' '
1 ' '' ' '
vv vv vv
vv
u u u
u v
v v v
x y z
f
N x y z
EG F f fx y z
= =
- + +
Thế vào (5.2) ta được ( )
( ) ( )
( ) ( )( )2 22 21 '' 2 '' ''
1 ' '
u u uv u v v v
u v
II a f a f a a f a
f f
= + +
+ +
. 
b) Độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
 theo câu a) ta 
được ( )
( ) ( )
2
2 2
'' '' ''
1 ' '
u v uv
u v
f f f
K
f f
-
=
+ +
. 
Bài 6. Cho [ ] [ ]0,2 0,2U p p= ´ và mặt xuyến ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi công thức 
( ) ( ) ( )( ), 2 cos cos , 2 cos sin ,sinr u v u v u v u= + + 
a) Xác định các đường tọa độ ( ) ( )0 0, , ,r u v r u v của r . 
b) Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tiếp xúc tại 2 điểm ( )0,0 , ,0
2
A r B r
pæ ö= = ç ÷
è ø
. 
Giải. 
 11 
a) Với 0v v= tương ứng với đường 
( ) ( )
0
ru u t
v v
x
ì =ï ¾¾®í
=ïî
. Với mọi điểm ( )M xÎ cho ta 
( )
( )
0
0 0
0
2 cos cos
sin cos 0
2 cos sin suy ra 
sin 0
sin
x u v
x v y v
y u v
z u
z u
ì = +
- =ï ì
= +í í - =îï =î
Do vậy họ tham số 0v v= là những đường thẳng có phương trình 0 0
sin cos 0
sin 0
x v y v
z u
- =ì
í
- =î
. Khi 
0v thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất. 
Với 0u u= tương ứng với đường ( ) ( )
0 r
u u
v v t
x
=ìï ¾¾®í =ïî
. Với mọi điểm ( )M xÎ cho ta 
( )
( )
0
0
0
2 cos cos
2 cos sin
sin
x u v
y u v
z u
ì = +
ï
= +í
ï =î
 suy ra 
( )22 2 0
0
2 cos
sin 0
x y u
z u
ì + = +ï
í
- =ïî
. Do vậy họ tham số 0u u= là những 
đường tròn giao giữa mặt phẳng 0sin 0z u- = và mặt trụ. Khi 0u thay đổi các đường thẳng 
này tạo thành lưới tọa độ thứ hai. 
b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )Ap tại điểm ( ) ( )0,0A r S= Î có dạng 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
' 0,0 ' 0,0 ' 0,0 0
' 0,0 ' 0,0 ' 0,0
u u u
v v v
x x y y z z
x y z
x y z
- - -
= (6.1) với 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0, , 3,0,0
' 0,0 0,0,1
' 0,0 0,3,0
u
v
x y z
r
r
ì =
ï
=í
ï =î
. 
Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là 3 0x - = . 
Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc ( )Bp tại điểm ( ),02B r S
pæ ö= Îç ÷
è ø
 là 3 0x z+ - = . 
Bài 7. Cho [ ] [ ] 20,2 0,2U p p= ´ Ì ¡ và mặt giả cầu ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi công thức 
( ), sin cos , sin sin , cos ln tan
2
u
r u v a u v a u v a u
æ öæ ö= +ç ÷ç ÷è øè ø
. 
a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt ( )S . 
b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của ( )S . 
c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S . 
Giải. 
a) Dạng cơ bản nhất của mặt ( )S có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (7.1). 
Với ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2' , cot , ' , ' , 0, ' , sinu u v vE r u v a an u F r u v r u v G r u v a u= = = = = = . 
 12 
Thế vào (7.1) cho ta ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2cot sinu vI a a an u a a u a= + . 
Dạng cơ bản thứ hai của mặt ( )S có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (7.2). 
Với ( ) ( ) ( ) ( )' , ' , cot an , ' , ' , 0 u u u vL n u v r u v a u M n u v r u v= - = - = - = 
( ) ( ) 1' , ' , sin 2
2v v
N n u v r u v a u= - = . 
Thế vào (7.2) cho ta ( ) ( )( ) ( )2 21cot an sin 2
2u v
II a a u a a u aæ ö= - + ç ÷
è ø
. 
b) Độ cong Gauss được tính theo công thức 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
 theo câu a) ta tính được 1K
a
= - . 
Độ cong trung bình được tính theo công thức 
( )2
2EN LG FM
H
EG F
+ -
=
-
 theo câu a) ta tính được 
1
cot an sin 2
2 2
a
H u uæ ö= - +ç ÷
è ø
. 
Độ cong chính l của mặt ( )S tại một điểm tùy ý là nghiệm của phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = (7.3) theo câu a) ta thế vào (7.3) cho 
ta phương trình ( )2 2os sin cos cot an os 0a c u a u u u c ul l- - - = điều kiện cos 0u ¹ . 
Với 
2
2 0sin
a
u
D = > khi ,20,u p p¹ cho ta 2 nghiệm 
( )
( )
1 2
2 2
sin cos cot an
sin
2 cos
sin cos cot an
sin
2 cos
a
a u u u
u
a u
a
a u u u
u
a u
l
l
é
- +ê
ê =
ê
ê
- -ê
ê =
êë
Vậy độ cong chính của mặt là 
( )
( )
1 2
2 2
sin cos cot an
sin
2 cos
sin cos cot an
sin
2 cos
a
a u u u
u
a u
a
a u u u
u
a u
l
l
é
- +ê
ê =
ê
ê
- -ê
ê =
êë
 khi 0, ,
3
22
, ,2u
p pp p¹ . 
c) Vì 
1
0K
a
= - < với mọi ( ),u v UÎ nên điểm nào của mặt ( )S luôn là điểm Hyperbolic. 
Bài 8. Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa ( ) ( ) ( ) ( )( ), cos , cos ,r u v u v u u uj j x= , với ,j x là 
các hàm một biến trơn thỏa ( ) ( )2 20, ' ' 0j j x> + ¹ . 
a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( )S . 
b) Tính độ cong Gauss tại điểm tùy ý của ( )S . 
 13 
Giải. 
a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (8.1). 
Ta lại có ( ) ( )( )' , 'cos , 'cos sin , 'ur u v v u u uj j j x= - , ( ) ( )( )' , sin ,0,0ur u v u vj= - 
Suy ra ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2' , 'cos 'cos sin 'uE r u v v u u uj j j x= = + - + 
( ) ( ) ( )' , ' , ' sin cosu vF r u v r u v u v vj j= = - , ( )( ) ( )( )
2 2
' , sinvG r u v u vj= = 
Thế vào (8.1) ta được ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2'cos 'cos sin ' uI a v u u v aj j j xé ù= + - + +ë û 
( )( )2 ' sin cos u vu v v a aj j- ( )( ) ( )
2 2
sin vu v aj+ 
Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (8.2). 
Hơn nữa ( ) ( ) ( )( )'' , ''cos , ''cos ' sin cos cos , ''ur u v v u u u u uj j j j x= - + - 
( ) ( ) ( ) ( )( )'' , 'sin ,0,0 , '' , sin ,0,0uv vr u v v r u v u vj j= - = - 
Suy ra 0, 0M N= = thế vào (8.2) cho ta ( ) ( )2uII a L a= , với L được tính như trên. 
b) Độ cong Gauss được tính theo công thức 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
 theo câu a) ta được 0K = . 
Bài 9. Cho [ ] [ ] 20,2 0,2U p p= ´ Ì ¡ và mặt xuyến ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi công thức 
( ) ( ) ( )( ), 2 cos cos , 2 cos sin ,sinr u v u v u v u= + + , với mọi ( ),u v UÎ . 
a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( )S . 
b) Tìm phương chính, độ cong Gauss và độ cong chính của ( )S . 
c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S . 
d) Trên ( )S có điểm rốn không? Tại sao? 
Giải. 
a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (9.1). 
Với ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2' , 1, ' , ' , 0, ' , 2 cosu u v vE r u v F r u v r u v G r u v u= = = = = = + . 
Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng cơ bản thứ nhất là ( ) ( ) ( ) ( )2 222 osu vI a a c u a= + + . 
Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (9.2) 
Với ( ) ( ) ( ) ( )'' , cos cos , cos sin , sin , '' , sin sin , sin cos ,0u uvr u v u v u v u r u v u v u v= - - - = - 
( ) ( ) ( )( )'' , 2 cos cos , 2 cos sin ,0vr u v u v u v= - + - + nên theo công thức tính , ,L M N cho ta 
21, 0, 2cos cosL M N u u= = = + . 
Thế vào (9.2) ta công thức dạng cơ bản thứ hai là ( ) ( ) ( )( )2 222cos osu vII a a u c u a= + + . 
 14 
b) Độ cong Gauss được tính theo công thức 
2
2
LN M
K
EG F
-
=
-
 theo kết quả câu a) ta được 
cosK u= . 
Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt ( )S là nghiệm của phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = theo kết quả câu a) cho ta phương 
trình ( ) ( )22 cos 2cos 2 cos 0u u ul l+ - + + = suy ra 
1
cos
2 cos
u
u
l
l
=é
ê
ê =
+ë
. Do vậy độ cong chính 
của mặt ( )S tại điểm bất kỳ là 
1
cos
2 cos
u
u
l
l
=é
ê
ê =
+ë
. 
Gọi phương chính của mặt ( )S tại điểm bất kỳ là ( ) ( )' , ' ,u u v va a r u v a r u v= + (9.3). 
Dựa vào 
( ) ( )2 2
0
v u v ua a a a
E F G
L M N
-
= và kết quả câu a) ta được 0u va a = . 
Trường hợp 1. 0ua = suy ra ( ) ( )( )2 cos sin , 2 cos cos ,0v va a u v a u v= - + + nên ta có thể 
chọn phương chính tại điểm bất kỳ là ( ) ( )( )2 cos sin , 2 cos cos ,0a u v u v= - + + . 
Trường hợp 2. 0va = suy ra ( )sin cos , sin sin , cosu u ua a u v a u v a u= - - nên ta có thể chọn 
phương chính tại điểm bất ký là ( )sin cos , sin sin ,cosa u v u v u= - - . 
c) Nếu 0 cos 0 ,
2 2
K u u
p pæ ö> Û > Û Î -ç ÷
è ø
 thì tại mọi điểm ( ),A r u v= thỏa ,
2 2
u
p pæ öÎ -ç ÷
è ø
 là 
điểm Eliptic. 
Nếu 0 cos 0
2 2
3
,K u u
p pæ ö< Û < Û Îç ÷
è ø
 thì tại mọi điểm ( ),A r u v= thỏa 3,
2 2
u
p pæ öÎç ÷
è ø
 là 
điểm Hyperbolic. 
Nếu 0 c ,os 0
2
K u u k k
p p= Û = Û = + ΢ thì tại mọi điểm ( ),A r u v= thỏa 
2
,u k k
p p= + ΢ là điểm Parabolic 
d) Giả sử mặt ( )S có điểm rốn tức là 1 2
cos
1
2 cos
u
u
l l= Û =
+
 (vô lí). Vậy mặt ( )S không có 
điểm rốn. 
 15 
Bài 10. Cho mặt ( )S trong 3¡ được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng 
( ) ( ) ( )2 2u vI a a G a= + . Chứng minh rằng độ cong Gauss của ( )S cho bởi 
1
2
1
2
1
uu
K G
G
æ ö
= - ç ÷
è ø
. 
Giải. Như ta đã biết độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức 
1 1 1
.
2
E G
K
v v u uEG EG EG
æ ö¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö= +ç ÷ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø è øè ø
. 
Theo giả thiết ta có 1E = nên ( )
1
2
2
1
2
1 1 1 1 1
2 42
uu
uu u
G
G
K G G
u u G GG G
G
æ ö
ç ÷
æ ö¶ ¶æ ö æ ö è ø= - = - + = -ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ è øè øè ø
. 
Bài 11. Mặt trong 3¡ gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm. Chứng 
minh rằng mặt ( )S có