Toán học - Tích phân

Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 1 
Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 
1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: 
 a) 
®
=
x 0
sin xlim 1
x
 Heä quaû: 
®
=
x 0
xlim 1
sin x
®
=
u(x) 0
sin u(x)lim 1
u(x)
®
=
u(x) 0
u(x)lim 1
sin u(x)
 b) 
x
x
1lim 1 e, x R
x®¥
æ ö+ = Îç ÷
è ø
 Heä quaû: 
1
x
x 0
lim (1 x) e.
®
+ = 
x 0
ln(1 x)lim 1
x®
+
= 
x
x 0
e 1lim 1
x®
-
= 
2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: 
(c)’ = 0 (c laø haèng soá) 
1(x )' xa a-= a 1(u ) ' u u 'a a-= a 
2
1 1'
x x
æ ö = -ç ÷
è ø
 2
1 u''
u u
æ ö = -ç ÷
è ø
( ) 1x '
2 x
= ( ) u'u '
2 u
= 
x x(e )' e= u u(e )' u'.e= 
x x(a )' a .ln a= u u(a ) ' a .lna . u '= 
1(ln x )'
x
= u'(ln u )'
u
= 
a
1(log x ')
x.ln a
= a
u'(log u )'
u.ln a
= 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 
2
2
1(tgx)' 1 tg x
cos x
= = + 22
u'(tgu)' (1 tg u).u'
cos u
= = + 
2
2
1(cot gx) ' (1 cot g x)
sin x
-
= = - + 22
u'(cot gu)' (1 cot g u).u'
sin u
-
= = - + 
3. Vi phaân: 
 Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x (a; b)Î . Cho soá 
gia Dx taïi x sao cho x x (a; b)+ D Î . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa 
haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). 
dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx 
 AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì 
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx 
 Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 2 
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN 
1. Ñònh nghóa: 
 Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x 
thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). 
 Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: 
F '(a ) f(x) vaø F '(b ) f(b)+ -= = 
2. Ñònh lyù: 
 Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : 
 a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân 
khoaûng ñoù. 
 b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå 
vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. 
 Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø f (x)dx.ò Do 
ñoù vieát: 
f(x)dx F(x) C= +ò 
 Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 
3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: 
 · ( )f(x)dx ' f(x)=ò 
 · af(x)dx a f(x)dx (a 0)= ¹ò ò 
 · [ ]f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx+ = +ò ò ò 
 · [ ] [ ]f(t)dt F(t) C f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))= + Þ = + = + =ò ò 
4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: 
· Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. 
§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 3 
BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM 
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp 
thöôøng gaëp 
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp 
(döôùi ñaây u = u(x)) 
dx x C= +ò du u C= +ò 
1xx dx C ( 1)
1
a+
a = + a ¹ -
a +ò 
1uu du C ( 1)
1
a+
a = + a ¹ -
a +ò 
dx ln x C (x 0)
x
= + ¹ò 
du ln u C (u u(x) 0)
u
= + = ¹ò 
x xe dx e C= +ò u ue du e C= +ò 
x
x aa dx C (0 a 1)
lna
= + < ¹ò 
u
u aa du C (0 a 1)
lna
= + < ¹ò 
cosxdx sin x C= +ò cos udu sin u C= +ò 
sin xdx cosx C= - +ò sin udu cos u C= - +ò 
2
2
dx (1 tg x)dx tgx C
cos x
= + = +ò ò 22
du (1 tg u)du tgu C
cos u
= + = +ò ò 
2
2
dx (1 cot g x)dx cot gx C
sin x
= + = - +ò ò 22
du (1 cot g u)du cot gu C
sin u
= + = - +ò ò 
dx x C (x 0)
2 x
= + >ò 
du u C (u 0)
2 u
= + >ò 
1cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
a
+ = + + ¹ò 
1sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a
+ = - + + ¹ò 
dx 1 ln ax b C
ax b a
= + +
+ò 
ax b ax b1e dx e C (a 0)
a
+ += + ¹ò 
dx 2 ax b C (a 0)
aax b
= + + ¹
+ò 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 4 
Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA 
Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) f(x) vôùi x (a; b)= " Î 
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
 Xaùc ñònh F’(a+) 
 Xaùc ñònh F’(b–) 
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng 
F '(x) f(x), x (a ; b)
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
+
-
= " Îì
ï =í
ï =î
Ví duï 1: CMR haøm soá: 2F(x) ln(x x a)= + + vôùi a > 0 
 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 
2
1f(x)
x a
=
+
 treân R. 
Giaûi: 
Ta coù: 
2 2
2
2 2
2x1
(x x a)' 2 x aF '(x) [ln(x x a)]'
x x a x x a
+
+ + += + + = =
+ + + +
2
2 2 2
x a x 1 f(x)
x a(x x a) x a
+ +
= = =
+ + + +
Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. 
Ví duï 2: CMR haøm soá: 
x
2
e khi x 0
F(x)
x x 1 khi x 0
ì ³ï= í
+ + <ïî
 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 
xe khi x 0
f(x)
2x 1 khi x 0
ì ³
= í
+ <î
 treân R. 
Giaûi: 
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: 
a/ Vôùi x 0¹ , ta coù: 
xe khi x 0
F '(x)
2x 1 khi x 0
ì >
= í
+ <î
b/ Vôùi x = 0, ta coù: 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 5 
· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. 
2 0
x 0 x 0
F(x) F(0) x x 1 eF '(0 ) lim lim 1.
x 0 x- -
-
® ®
- + + -
= = =
-
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. 
x 0
x 0 x 0
F(x) F(0) e eF '(0 ) lim lim 1.
x 0 x+ +
+
® ®
- -
= = =
-
 Nhaän xeùt raèng F '(0 ) F '(0 ) 1 F '(0) 1.- += = Þ = 
 Toùm laïi: 
xe khi x 0
F '(x) f(x)
2x 1 khi x 0
ì ³
= =í
+ <î
 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. 
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 
treân (a ; b). 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: 
 F '(x) f(x) vôùi x (a; b)= " Î 
 Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá. 
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
 Xaùc ñònh F’(a+) 
 Xaùc ñònh F’(b–) 
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: 
F '(x) f(x), x (a ; b)
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
+
-
= " Îì
ï =í
ï =î
 Þ giaù trò cuûa tham soá. 
Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
· Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C 
· Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. 
 Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm. 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 6 
Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: 
2x khi x 1
F(x)
ax b khi x 1
ì £
= í
+ >î
 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 
2x khi x 1
f(x)
2 khi x 1
£ì
= í >î
 treân R. 
Giaûi: 
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: 
a/ Vôùi x 1¹ , ta coù: 
2x khi x 1
F '(x)
2 khi x 1
<ì
= í >î
b/ Vôùi x = 1, ta coù: 
 Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do 
ñoù : 
x 1 x 1
lim F(x) lim F(x) f(1) a b 1 b 1 a (1)
- +® ®
= = Û + = Û = - 
 · Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1. 
2
x 1 x 1
f(x) F(1) x 1F'(1) = lim lim 2.
x 1 x 1-® ®
- -
= =
- -
 · Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0. 
x 1 x 1 x 1
F(x) F(1) ax b 1 ax 1 a 1F '(1 ) lim lim lim a.
x 1 x 1 x 1+ + +
+
® ® ®
- + - + - -
= = = =
- - -
 Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 F '(1 ) F '(1 ) a 2.- +Û = Û = (2) 
 Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1. 
 Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1. 
 Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1) 
 Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). 
Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: -= + +2 2xF(x) (ax bx c)e laø moät nguyeân haøm cuûa 
2 2xF(x) (2x 8x 7)e-= - - + treân R. 
Giaûi: 
Ta coù: 2x 2 2xF '(x) (2ax b)e 2(ax bx c)e- -= + - + + 2 2x2ax 2(a b)x b 2c e-é ù= - + - + -ë û 
Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R 
 F '(x) f(x), x RÛ = " Î 
 Û - + - + - = - + - " Î2 22ax 2(a b)x b 2c 2x 8x 7, x R 
a 1 a 1
a b 4 b 3
b 2c 7 c 2
= =ì ì
ï ïÛ - = Û = -í í
ï ï- = - =î î
Vaäy -= - +2 2xF(x) (x 3x 2)e . 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 7 
BAØI TAÄP 
Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá xF(x) ln tg
2 4
pæ ö= +ç ÷
è ø
 Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá 1f(x)
cos x
= . 
Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá 
2ln(x 1) , x 0F(x) x
0 ,x 0
ì +
¹ï= í
ï =î
 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 
2
2 2
2 ln(x 1) , x 0f(x) x 1 x
1 , x 0
ì +
- ¹ï= +í
ï =î
Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá 2 xF(x) (ax bx c).e-= + + laø moät nguyeân haøm cuûa 
haøm soá 2 xf(x) (2x 5x 2)e-= - + treân R. 
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. 
Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm 
3 2
2
x 3x 3x 7F(x) cuûa f(x) vaø F(0) 8.
(x 1)
+ + -
= =
+
 b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa 2 xf(x) sin vaø F .
2 2 4
p pæ ö= =ç ÷
è ø
ÑS: a/ 
2x 8F(x) x ;
2 x 1
= + +
+
 b/ 1F(x) (x sin x 1)
2
= - + 
Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: 
 2F(x) (ax bx c) 2x 3= + + - laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 
220x 30x 7 3f(x) treân khoaûng ;
22x 3
- + æ ö= + ¥ç ÷
è ø-
 b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0. 
ÑS: a/ a 4; b 2; c 1;= = - = b/ 2G(x) (4x 2x 10) 2x 3 22.= - + - - 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 8 
Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG 
CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN 
Ví duï 1: CMR , neáu f(x)dx F(x) C= +ò thì 
1f(ax b)dx F(ax b) C vôùi a 0.
a
+ = + + ¹ò 
Giaûi: 
Ta luoân coù: 1f(ax b)dx f(ax b)d(ax b) vôùi a 0.
a
+ = + + ¹ 
AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: 1 1f(ax b)dx (ax b)d(ax b) F(ax b) C (ñpcm)
a a
+ = + + + +ò ò . 
Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: 
 f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C, vôùi u u(x)= + Þ = + =ò ò 
Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 
 a/ 3(2x 3) dx+ò b/ 4cos x.sin xdxò c/
x
x
2e dx
e 1+ò d/
2(2 ln x 1) dx
x
+
ò 
Giaûi: 
a/ Ta coù: 
4 4
3 31 1 (2x 3) (2x 3)(2x 3) dx (2x 3) d(2x 3) . C C.
2 2 4 8
+ +
+ = + + = + = +ò ò 
b/ Ta coù: 
5
4 4 cos xcos x.sin xdx cos xd(cos x) C
5
= - = - +ò ò 
c/ Ta coù: 
x x
x
x x
2e d(e 1)dx 2 2 ln(e 1) C
e 1 e 1
+
= = + +
+ +ò ò 
d/ Ta coù: 
2
2 3(2 ln x 1) 1 1dx (2 ln x 1) d(2 ln x 1) (2 ln x 1) C.
x 2 2
+
= + + = + +ò ò 
Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 
 a/ 2 x2sin dx
2ò b/
2cot g xdxò c/ tgxdxò d/ 3
tgx dx
cos xò 
Giaûi: 
a/ Ta coù: 2 x2sin dx (1 cosx)dx x sin x C
2
= - = - +ò ò 
b/ Ta coù: 2 2
1cot g xdx 1 dx cot gx x C
sin x
æ ö= - = - - +ç ÷
è øò ò 
c/ Ta coù: sin x d(cosx)tgxdx dx ln cosx C
cosx cosx
= = - = - +ò ò ò 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 9 
d/ Ta coù: 33 4 4 3
tgx sin x d(cosx) 1 1dx dx cos x C C.
cos x cos x cos x 3 3cos x
-= =- = - + = - +ò ò ò 
Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 
 a/ 2
x dx
1 x+ò b/ 2
1 dx
x 3x 2- +ò 
Giaûi: 
a/ Ta coù: 
2
2
2 2
x 1 d(1 x ) 1dx ln(1 x ) C
1 x 2 1 x 2
+
= = + +
+ +ò ò 
b/ Ta coù: 2
1 1 1 1dx dx dx
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1
æ ö= = -ç ÷
- + - - - -è øò ò ò 
 x 2ln x 2 ln x 1 C ln C.
x 1
-
= - - - + = +
-
BAØI TAÄP 
Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 
a/ 2 xf(x) cos ;
2
= b/ 3f(x) sin x. 
ÑS: a/ 1 (x sin x) C ;
2
+ + b/ 31cos x cos x C.
3
- + + 
Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh : 
a/ x xe (2 e )dx;--ò b/ 
x
x
e dx ;
2ò c/ 
2x x x
x
2 .3 .5 dx
10ò . 
d/ 
2 5x
x
e 1dx;
e
- +
ò e/ 
x
x
e dx
e 2+ò 
ÑS: a/ x2e x C;- + b/ 
x
x
e C;
(1 ln 2)2
+
-
 c/ 
x6 C
ln 6
+ 
 d/ 2 6x x1 e e C;
6
- -- - + e/ xln(e 2) C+ + . 
Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh : 
a/ 4 4x x 2 dx-+ +ò ; b/ 3 5x xdxò ; c/ 2x x 1dx+ò ; 
d/ 2001(1 2x) dx;-ò e/ 
3 4 ln xdx
x
-
ò 
ÑS: a/ 
3x 1 C;
3 x
- + b/ 5 75 x C;
7
+ c/ 2 21 (x 1) x 1 C
3
+ + + ; 
 d/ 
20021 (1 2x). C;
2 2002
-
- + e/ 1 (3 4 ln x) 3 4 ln x C.
6
+ + + 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 10 
Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH 
Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu 
thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù 
coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát. 
Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng 
mình töø moät vaøi minh hoaï sau: 
· Vôùi 3 2 6 3f(x) (x 2) thì vieát laïi f(x) x 4x 4.= - = - + 
· Vôùi 
2x 4x 5 2f(x) thì vieát laïi f(x) x 3
x 1 x 1
- +
= = - +
- -
. 
· Vôùi 2
1 1 1f(x) thì vieát laïi f(x)
x 5x 6 x 3 x 2
= = -
- + - -
· Vôùi 1 1f(x) thì vieát laïi f(x) ( 3 2x 2x 1)
22x 1 3 2x
= = - - +
+ + -
· Vôùi x x 2 x x xf(x) (2 3 ) thì vieát laïi f(x) 4 2.6 9 .= - = - + 
· Vôùi 3f(x) 8cos x.sin x thì vieát laïi f(x) 2(cos3x 3cosx).sin x= = + 
2 cos3x.sin x 6 cosx.sin x sin 4x sin 2x 3sin 2x sin 4x 2sin 2x.= + = - + = + 
· 2 2tg x (1 tg x) 1= + - 
· 2 2cot g x (1 cot g x) 1= + - 
· 
n 2
n
2 2
x (1 x ) 1 1x
1 x 1 x
+ +
= +
+ +
. 
Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình. 
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: 2002I x(1 x) dx.= -ò 
Giaûi: 
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x) 
ta ñöôïc: 2002 2002 2002 2003x(1 x) [1 (1 x)](1 x) (1 x) (1 x) .- = - - - = - - - 
Khi ñoù: 
2002 2003 2002 2003
2003 2004
I (1 x) dx (1 x) dx (1 x) d(1 x) (1 x) d(1 x)
(1 x) (1 x) C.
2003 2004
= - - - = - - - + - -
- -
= - + +
ò ò ò ò
Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I x(ax b) dx, vôùi a 0a= + ¹ò 
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 1x .ax [(ax b) b]
a a
= = + - 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 11 
Ta ñöôïc: 
 11 1x(ax b) [(ax b) b)(ax b) [ (ax b) d(ax b) (ax b) d(ax d)]
a a
a a a+ a+ = + - + = + + - + +ò ò 
Ta xeùt ba tröôøng hôïp : 
· Vôùi a = 2, ta ñöôïc: 1 22
1I [ (ax b) d(ax b) (ax b) d(ax b)]
a
- -= + + - + +ò ò 
 2
1 1[ln ax b ] C.
a ax b
= + + +
+
· Vôùi a = –1, ta ñöôïc: 
 12 2
1 1I [ d(ax b) (ax b) d(ax b)] [ax b ln ax b ] C.
a a
-= + - + + = + - + +ò ò 
· Vôùi R \ { 2; 1},a Î - - ta ñöôïc: 
2 1
2
1 (ax b) (ax b)I [ ] C.
a 2 1
a+ a++ +
= + +
a + a +
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: 2
dxI
x 4x 3
=
- +ò 
Giaûi: 
Ta coù: 2
1 1 1 (x 1) (x 3) 1 1 1. .
x 4x 3 (x 3)(x 1) 2 (x 3)(x 1) 2 x 3 x 1
- - - æ ö= = = -ç ÷- + - - - - - -è ø
Khi ñoù: - -æ ö= - = - = - - - +ç ÷
- - - -è øò ò ò ò
1 dx dx 1 d(x 3) d(x 1) 1I . [ ' .(ln x 3 ln x 1) C
2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2
 -= +
-
1 x 3ln C.
2 x 1
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: dxI
x 2 x 3
=
+ + -ò 
Giaûi: 
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 
1 1
2 2
3 3
1 1I ( x 2 x 3)dx [ (x 2) d(x 2) (x 3) d(x 3)]
5 5
2 [ (x 2) (x 3) ] C.
15
= + + - = + + + - -
= + + - +
ò ò ò
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: 2
dxI .
sin x.cos x
= ò 
Giaûi: 
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 2 2sin x cos x 1,+ = 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 12 
Ta ñöôïc: 
2 2
2 2 2 2
2
1
1 sin x cos x sin x 1 sin x 12 . .x xsin x.cos x sin x.sin x cos x sin x cos x cos tg
2 2
+
= = + = + 
Suy ra: 2 2
2
x1 d tgsin x d(cosx) 1 x22I dx dx ln tg C.x x xcos x cos x cosx 2cos tg tg
2 2 2
æ ö
ç ÷
è ø= + = - + = + +ò ò ò ò 
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: 4
dxI .
cos x
= ò 
Giaûi: 
Söû duïng keát quaû: 2
dx d(tgx)
cos x
= 
ta ñöôïc: 2 2 32 2
1 dx 1I . (1 tg x)d(tgx) d(tgx) tg xd(tgx) tgx tg x C.
cos x cos x 3
= = + = + = + +ò ò ò ò 
BAØI TAÄP 
Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 
a/ 2 3f(x) (1 2x ) ;= - b/ 
3 x 2
3
2 x x e 3xf(x)
x
- -
= ; 
c/ 
2(2 x)f(x) ;
x
+
= d/ 1f(x)
3x 4 3x 2
=
+ - +
ÑS: a/ 3 5 712 8x 2x x x C
5 7
- + - + ; b/ x4 e ln x C;
3x x
- - + + 
 c/ 3 32 2624 36 x x x x x C;
7 5
+ + + d/ 3 31 (3x 4) (3x 2) C.
9
é ù- + + +ë û 
Baøi 10. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 
a/ 2
1f(x) ;
x 6x 5
=
- +
 b/ 
24x 6x 1f(x) ;
2x 1
+ +
=
+
c/ 
3 24x 4x 1f(x) ;
2x 1
+ -
=
+
 d/ 
3
2
4x 9x 1f(x) ;
9 4x
- + +
=
-
ÑS: a/ 1 x 5ln C;
4 x 1
-
+
-
 b/ 2 1x 2x ln 2x 1 C;
2
+ - + + 
 c/ 3 22 1 1 1x x x ln 2x 1 C
3 2 2 4
+ - - + + ; d/ 
2x 1 2x 3ln C.
2 12 2x 3
-
- +
+
Baøi 11. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 13 
a/ 2(sin x cos x) ;+ b/ cos 2x .cos 2x ;
3 4
p pæ ö æ ö- +ç ÷ç ÷ è øè ø
 c/ 3cos x; 
d/ 4cos x; e/ 4 4sin x cos x;+ f/ 6 6sin 2x cos 2x.+ 
ÑS: a/ 1x cos2x C
2
- + ; b/ 1 7 1sin 5x sin x C
10 12 2 12
p pæ ö æ ö+ + - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 c/ 3 1sin x si n3x C;
4 12
+ + d/ 3 1 1x si n2x si n4x C;
8 4 31
+ + + 
 e/ 3 sin 4xx C;
4 16
+ + f/ 5 3x sin8x C.
8 64
+ + 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 14 
Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ 
Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát 
ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau: 
Ñònh lyù: 
a/ Neáu f(x)dx F(x) C vaø u (x)= + = jò laø haøm soá coù ñaïo haøm thì f(u)du F(u) C= +ò . 
b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù 
(j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: f(x)dx f[ (t)]. '(t)dt.= j jò ò 
Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau: 
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I f(x)dx.= ò 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: 
+ Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp. 
+ Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt 
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt 
+ Böôùc 4: Khi ñoù I g(t)dt.= ò 
Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: 
Daáu hieäu Caùch choïn 
2 2a x- 
x a sin t vôùi t
2 2
x x cos t vôùi 0 t
p pé = - £ £ê
ê
= £ £ pêë
2 2x a- 
ax vôùi t ; \ {0}
sin t 2 2
ax vôùi t [0; ] \ { }
cos t 2
é p pé ù= Î -ê ê úë ûê
pê = Î pêë
2 2a x+ 
x a tgt vôùi t
2 2
x a cot gt vôùi 0 t
p pé = - < <ê
ê
= < < pêë
a x a xhoaëc
a x a x
+ -
- +
 x = acos2t 
(x a)(b x)- - x = a + (b – a)sin2t 
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: 
2
dxI .
(1 x )
=
-
ò 
Giaûi: 
Ñaët x sin t; t
2 2
p p
= - < < 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 15 
Suy ra: 3 22 3
dx cos tdt dtdx cos tdt & d(tgt)
cos t cos t(1 x )
= = = =
-
Khi ñoù: 
2
xI d(tdt) tgt C C.
1 x
= = + = +
-ò
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: 2 3 3
2
x(1 x ) cos t vaø tgt
1 x
- = =
-
 laø bôûi: 
2
2 2
cos t cos t
t cos t 0
2 2 cos t 1 sin t 1 x
ì =p p ï- Þ í
= - = -ïî
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: 
2
2
x dxI
x 1
=
-ò
Giaûi: 
Vì ñieàu kieän x 1> , ta xeùt hai tröôøng hôïp : 
· Vôùi x > 1 
 Ñaët: 1x ; 0 t
sin 2t 4
p
= < < Suy ra: 2
2 cos2tdtdx
sin 2t
= 
 ú 
2 2 2 2
3 3 32
x dx 2dt 2(cos t sin t) dt
sin 2t 8sin t cos tx 1
+
= - = -
-
2 2
2 2 2
1 1 1 1(cot gt. tgt. )dt
4 sin t cos t sin t cos t
1 1 1 2 1(cot gt. tdt. )
4 sin t cos t tgt cos t
1 d(tgt)[ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 ].
4 tgt
=- + +
= - + +
= - - + +
 Khi ñoù: 1 d(tgt)I [ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 ]
4 tgt
= - - + +ò ò ò 
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1( cot g t tg t 2ln tgt ) C (cot g t tg t) ln tgt C
4 2 2 8 2
1 1x x 1 ln x x 1 C.
2 2
= - - + + + = - - +
= - - - - +
· Vôùi x < –1 Ñeà nghò baïn ñoïc töï laøm 
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: 2 2 2 2cot g t tg t 4x x 1 vaø tgt x x 1- = - = - - 
 laø bôûi: 
4 4 2
2 2
2 2 2 2 2
cos t sin t 4 cos2t 4 1 sin 2t 4 1
cot g t tg t 1
cos t.sin t sin 2t sin 2t sin2t sin 2t
- -
- = = = = - 
 tgt = -= = = -
2 2
2
sin t 2sin t 1 cos2t 1 cos 2t
cos t 2sin t.cos t sin 2t sin 2t sin 2t
= - -2
1 1 1
sin2t sin 2t
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 16 
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: 2 3
dxI
(1 x )
=
+ò 
Giaûi: 
Ñaët: x tgt; t
2 2
p p
= - < < . Suy ra: 
3
2 22 3
dt dx cos tdtdx & cos tdt.
cos t cos t(1 x )
= = =
+
Khi ñoù: 
2
xI cos tdt sin t C C
1 x
= = + = +
+ò
Chuù yù: 
1. Trong ví duï treân sôû dó ta coù: 
2 2
1 xcos t vaø sin t
1 x 1 x
= =
+ +
 laø bôûi: 
2
2
cos t cos t
t cos t 0 x2 2 sin t tgt.cos t
1 x
ì =
p p ï- Þ í
= =ï
+î
2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt: 
2 2 2k 1
dxI , vôùi k Z.
(a x ) +
= Î
+
ò 
Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I f(x)dx.= ò 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: 
+ Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp 
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân = ydt '(x)dx. 
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt 
+ Böôùc 4: Khi ñoù I g(t)dt.= ò 
Daáu hieäu Caùch choïn 
Haøm soá maãu coù t laø maãu soá 
Haøm soá f(x, (x)j t (x)= j 
Haøm a.sin x b.cosxf(x)
c.sin x d.cosx e
+
=
+ +
 x xt tg (vôùi cos 0)
2 2
= ¹ 
Haøm 1f(x)
(x a)(x b)
=
+ +
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët: 
 t x a x b= + + + 
· Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët: 
 t x a x b= - + - - 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 17 
Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: 3 2 8I x (2 3x ) dx.= -ò 
Giaûi: 
Ñaët: 2t 2 3x= - . Suy ra: dt 6xdx= 
 3 2 8 2 2 8 8 9 82 t 2 t 1 1x (2 3x ) dx x (2 3x ) xdx .t . dt (t 2t )dt.
3 3 6 18
- - æ ö- = - = = - = -ç ÷
è ø
Khi ñoù: 9 8 10 9 10 91 1 1 2 1 1I (t 2t )dt t t C t t C
18 18 10 9 180 81
æ ö= - = - + = - +ç ÷
è øò 
Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: 
2x dxI
1 x
=
-ò 
Giaûi: 
Ñaët: 2t 1 x x 1 t= - Þ = - 
Suy ra: 
2 2 2
4 2x dx (1 t ) ( 2tdt)dx 2tdt & 2(t 2t 1)dt
t1 x
- -
=- = = - +
-
Khi ñoù: 4 2 5 3 4 21 2 2I 2 (t 2t 1)dt 2 t t t C (3t 10t 15)t C
5 3 15
æ ö= - + = - - + + = - - + +ç ÷
è øò 
2 22 2[3(1 x) 10(1 x) 15] 1 x C (3x 4x 8) 1x C
15 15
=- - - - + - + = - + + - + 
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: 5 2 23I x (1 2x ) dx.= -ò 
Giaûi: 
Ñaët: 
3
3 2 2 1 tt 1 2x x
2
-
= - Þ = . Suy ra: 232xdx t tdt,
2
=- 
3
5 2 2 2 2 2 2 2 7 43 3 1 t 3 3x (1 2x ) dx x (1 2x ) xdx .t t dt (t t )dt.
2 4 8
- æ ö- = - = - = -ç ÷
è ø
Khi ñoù: 7 4 8 5 6 3 23 3 1 1 3I (t t )dt t t C (5t 8t )t C
8 8 8 5 320
æ ö= - = - + = - +ç ÷
è øò 
 2 2 2 2 233 [5(1 2x ) 8(1 2x )] (1 2x ) C
320
= - - - - + 
 4 2 2 233 (20x 4x 3) (1 2x ) C.
320
= - - - + 
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: 3I sin x cos xdx.= ò 
Giaûi: 
Ñaët: 2t cosx t cosx= Þ = 
 dt = sinxdx, 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 18 
3 2 2
4 6 2
sin x cosxdx sin x cos x sin xdx (1 cos x) cosx sin x dx
(1 t ).t.(2tdt) 2(t t )dt.
= = -
= - = -
Khi ñoù: 6 2 7 3 6 21 1 2I 2 (t t )dt 2 t t C (3t 7t )t C
7 3 21
æ ö= - = - + = - +ç ÷
è øò 
 32 (cos x 7cosx) cosx C.
21
= - + 
Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: 
3
2
cosx.sin xdxI
1 sin x
=
+ò 
Giaûi: 
Ñaët: 2 2t 1 x x 1 t at 1 sin x= - Þ = - = + 
Suy ra: dt 2sin x cosxdx,= 
3 2
2 2
cosx.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t 1)dt 1 11 dt.
1 sin x 1 sin x 2t 2 t
- æ ö= = = -ç ÷+ + è ø
Khi ñoù: 2 21 1 1I 1 dt f12(t ln t C [1 sin x ln(1 sin x)] C
2 t 2
æ ö= - = - + = + - + +ç ÷
è øò 
Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: 
2
8
cos xdxI .
sin x
= ò 
Giaûi: 
Ñaët: t = cotgx 
Suy ra: 2
1dt dx,
sin x
= - 
2 2
2 2 2 2
8 6 2 4 2 2
2 2 2
cos xdx cos x dx 1 dx dxcot g x cot g x.(1 cot g x)
sin x sin x sin x sin x sin x sin x
t .(1 t ) dt.
= = = +
= +
Khi ñoù: 2 2 6 4 2 7 5 31 2 1I t .(1 t )dt (t 2t t )dt t t t C
7 5 3
æ ö= + = + + = + + +ç ÷
è øò ò 
 7 5 31 (15cot g x 42 cot g x 35cot g x) C.
105
= + + + 
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: x x / 2
dxI
e e
=
-ò 
Giaûi: 
Ñaët: x / 2t e-= 
Suy ra: x / 2 x / 2
1 dxdt e dx 2dt ,
2 e
=- Û - = 
x / 2
x x / 2 x x / 2 x / 2 x / 2
dx dx e dx 2tdt 12(1 )dt
e e e (1 e ) e (1 e ) 1 t t 1
-
- -
-
= = = = +
- - - - -
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 19 
Khi ñoù: x / 2 x / 21I 2 1 dt 2(e ln e 1) C.
t 1
- -æ ö= + = + + +ç ÷-è øò 
Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán x / 2t e ,-= 
tuy nhieân vôùi caùch ñaët x / 2t e= chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn. 
Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: 
x
dxI
1 e
=
+ò
. 
Giaûi: 
Caùch 1: 
Ñaët: x 2 xt 1 e t 1 e= + Û = + 
Suy ra: x 2 2 2x
2tdt dx 2tdt 2tdt2tdt e dx dx & .
t 1 t(t 1) t 11 e
= Û = = =
- - -+
Khi ñoù: 
x
2 x
dt t 1 1 e 1I 2 ln C ln C
t 1 t 1 1 e 1
- + -
= = + = +
- + + +ò
Caùch 2: 
Ñaët: x / 2t e-= 
Suy ra: x / 2 x / 2
1 dxdt e dx 2dt ,
2 e
-= Û - = 
x x x x / 2 x 2
dx dx dx 2dt
1 e e (e 1) e