Toán học - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số – Phần 4

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo) 
Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1,
1
−
=
−
xy
x
 có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao 
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3). 
Ví dụ 2: Cho hàm số 2 ,
2
=
−
xy
x
 có đồ thị là (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với 2=AB OA 
Đ/s: d: x + y – 8 = 0 
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số). 
Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và 
E vuông góc với nhau. 
Đ/s: 9 65
8
−
=m 
Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) 
Cho hàm số 1,
2 1
− +
=
−
xy
x
 có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm 
phân biệt A, B với mọi giá trị của m. Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B. Tìm k để tổng 1 2+k k 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Đ/s: ( )1 2 min1; 2= − + = −m k k 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số 1 ,
2
+
=
−
xy
x
 có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C). 
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
Bài 2: Cho hàm số ( )2 1 , .
1
−
=
+
xy C
x
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có 
tích hệ số góc bằng −9. 
Bài 3: Cho hàm số 3 22 3.= − + −y x x Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k. 
a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B. 
b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. 
Bài 4: Cho hàm số 3 – 3 1= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3. 
Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. 
Bài 5: Cho hàm số 3 2– 3 4= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k. 
Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau. 
Bài 6: Cho hàm số 3 22 5( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −y x m x m x có đồ thị ),( mC m là tham số. 
Tìm m để trên )( mC có hai điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y thỏa mãn 1 2. 0>x x và tiếp tuyến của )( mC tại mỗi 
điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0.− + =d x y 
Bài 7: Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +y x m x m x m (1) với m là tham số. 
Tài liệu bài giảng: 
01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4 
Thầy Đặng Việt Hùng 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1cosα .
26
= 
Bài 8: Cho hàm số 3
1
−
=
+
xy
x
 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục 
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB. 
Bài 9: Cho hàm số 3 2( ) 6 9 3= = + + +y f x x x x (C). 
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua 
các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA OB2011.= . 
Đ/s: 9 ; 6039.
2
= =k k 
HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ 
Bài 1: Cho hàm số 1 ,
2
+
=
−
xy
x
 có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C). 
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM. 
Ta có 2
1 2 3 3 31
2 2 2 ( 2)
+ − +
′= = = + → = −
− − − −
x xy y
x x x x
Gọi ( ) ( ) 3 3; 1 ;1 .
2 2
 
∈ ⇒ = + → + 
− − 
o o o o
o o
M x y C y M x
x x
Ta có 2
1lim
2
1lim 1
2
→
→∞
+
= ∞ −

+
=

−
x
x
x
x
x
x
 , từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang. 
Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1). 

 Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ( ) 23( 2)′= = − −tt o ok y x x 

 Đường thẳng IM có hệ số góc 2
31 1
2 3
2 ( 2)
 
− + 
−
−  
= = =
− − −
oI M
IM
I M o o
xy yk
x x x x

 Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường IM khi 2 2
3 3
. 1 . 1( 2) ( 2)= − ⇔ − = −− −tt IM o o
k k
x x
2 2 3 2 3( 2) 3
2 3 2 3
 
− = = +
⇔ − = ⇔ ⇔ 
− = − = −  
o o
o
o o
x x
x
x x
+ Với ( )3 32 3 1 1 1 3 2 3;1 32 3= + ⇒ = + = + = + → + +−o o ox y Mx 
+ Với ( )3 32 3 1 1 1 3 2 3;1 32 3= − ⇒ = + = + = − → − −− −o o ox y Mx 
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Bài 2: Cho hàm số ( )2 1 , .
1
−
=
+
xy C
x
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có 
tích hệ số góc bằng −9. 
Hướng dẫn giải : 
Ta có ( )2
3
.
1
′ =
+
y
x
 Gọi ( )2 1;
1
− 
∈ + 
aM a C
a
Tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc: ( )2
3( ) .
1
′= =
+
ttk y a
a
Giao điểm hai đường tiệm cận I(−1; 2). 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
Đường thẳng IM có hệ số góc là ( )2
3
.
1
− −
= =
− +
M I
IM
M I
y yk
x x a
Theo bài ta có ( ) ( ) ( )
4
2 2
03 3
. 9 . 9 1 1
21 1
=−
= − ⇔ = − ⇔ + = → 
= −+ + 
tt IM
a
k k a
aa a
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; −3), M(−2; 5). 
Bài 3: Cho hàm số 3 22 3.= − + −y x x Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k. 
a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B. 
b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. 
Hướng dẫn giải : 
a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 1) − 2. 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 22 3 ( 1) 2 2 1 ( 1)− + − = − − ⇔ − + − = −x x k x x x k x 
2
2 2
1( 1)( 1) ( 1)
1 ( ) 1 0, (1)
=
⇔ − − + + = − ⇔ 
− + + = ⇔ = − + − =
x
x x x k x
x x k g x x x k
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 1. 
Ta có điều kiện
50 1 4( 1) 0
4(1) 0 (1) 1 0 1
∆ > − − > <  
⇔ ⇔  
≠ = − ≠   ≠
k k
g g k k
Vậy với 
4
5
1

<

 ≠
k
k
 thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt, trong đó có điểm M(1 ; −2). 
b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) ⇒ x1 ; x2 là hai nghiệm của g(x) = 0, theo định lí Vi-ét ta có 1 2
1 2
1
1
+ =

= −
x x
x x k
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có hệ số góc là 
( )
( )
2
1 1 1
2
2 2 2
3 4
3 4
 ′= = − +

′= = − +
A
B
k y x x x
k y x x x
Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau khi ( )( )2 21 1 2 2. 1 3 4 3 4 1= − ⇔ − + − + = −A Bk k x x x x 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 29 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + =x x x x x x x x k k k k k 
Phương trình trên vô nghiệm, vậy không có giá trị k nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Bài 4: Cho hàm số 3 – 3 1= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3. 
Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. 
Hướng dẫn giải : 
• Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 3 – ( 3) – – 2 0+ =x m x m 
2
2
1 3( 1)( – – – 2) 0 ( ) 2 0
= − ⇒ =
⇔ + = ⇔ 
= − − − =
x y
x x x m
g x x x m
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 91;3 , , , 0
4
M N P m m− ⇔ > − ≠ 
Khi đó xN ; xP là các nghiệm của phương trình 2
12 0 2
+ =
− − − = ⇒ 
= − −
N P
N P
x x
x x m
x x m
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k1 và k2 thỏa mãn 
2
1
2
2
3 3
3 3
 = −

= −
N
P
k x
k x
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi 21 2
3 2 2
3
. 1 9 18 1 0
3 2 2
3

− +
=
= − ⇔ + + = ⇔
− −
=
m
k k m m
m
Đối chiếu với điều kiện ta được 3 2 2
3
m
− ±
= là các giá trị cần tìm. 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 
Bài 5: Cho hàm số 3 2– 3 4= +y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k. 
Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau. 
Hướng dẫn giải : 
Phương trình đường thẳng (d): y = k(x − 2). 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 3 2 23 4 ( 2) ( 2)( 2 ) 0x x k x x x x k− + = − ⇔ − − − − = 
( )2
2
( ) 2 0, 1
Ax x
g x x x k
= =
⇔ 
= − − − =
Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 
0 9 0(2) 0 4 kf
∆ >
⇔ ⇔ − < ≠
≠
 (*) 
Theo định lí Viet ta có: 
1
2
M N
M N
x x
x x k
+ =

= − −
Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau khi ( ) ( ). 1 . 1M NM N x xk k y y′ ′= − ⇔ = − 
⇔ 2 2 2
3 2 2(3 6 )(3 6 ) 1 9 18 1 0
3M M N N
x x x x k k k − ±− − = − ⇔ + + = ⇔ = 
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 2 2
3
m
− ±
= là các giá trị cần tìm. 
Bài 6: Cho hàm số 3 22 5( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −y x m x m x có đồ thị ),( mC m là tham số. 
Tìm m để trên )( mC có hai điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y thỏa mãn 1 2. 0>x x và tiếp tuyến của )( mC tại mỗi 
điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0.− + =d x y 
Hướng dẫn giải: 
Ta có hệ số góc của 1: 3 1 0 .
3
− + = ⇒ =dd x y k Do đó 1 2,x x là các nghiệm của phương trình ' 3= −y , hay 
2 22 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0− + − + − = − ⇔ − − − − =x m x m x m x m (1) 
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 0>x x 
2 3' ( 1) 2(3 1) 0
13 1 1 .0 32
 
 ⇔ ⇔
− − 
−  
mm m
m
m
Vậy kết quả của bài toán là 3< −m và 11 .
3
− < < −m 
Bài 7: Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +y x m x m x m (1) với m là tham số. 
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết 1cosα .
26
= 
Hướng dẫn giải: 
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp 1 ( ; 1)= −



n k 
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là 2 (1;1)=



n 
Ta có 
11 2 2
2
1 2
2
3
. 11 2
cosα 12 26 12 0
226 2 1
3

=
−
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ 
+
=



 




 


kn n k
k k
n n k k
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình: 1' =y k (1) và 2' =y k (2) có nghiệm x 
⇔
2
2
33 2(1 2 ) 2
2
23 2(1 2 ) 2
3

+ − + − =

 + − + − =

x m x m
x m x m
 ⇔
/
1
/
2
0
0
∆ ≥

∆ ≥
có nghiệm 
có nghiệm 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 
⇔
2
2
8 2 1 0
4 3 0

− − ≥

− − ≥
m m
m m
⇔
1 1
;
4 2
3
; 1
4
 ≤ − ≥

 ≤ − ≥

m m
m m
⇔
1
4
≤ −m hoặc 1 .
2
≥m 
Bài 8: Cho hàm số 3
1
−
=
+
xy
x
 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục 
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB 
Hướng dẫn giải: 
Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có 1tan
4
= =
OBA
OA
⇒ tiếp tuyến AB có hệ số góc là 1
4
= ±k 
 Phương trình 2
34 1
' ...
54( 1)
=
= ⇔ = ⇔ ⇔ 
= −+ 
x
y k
xx
+ với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình 1 ( 3)
4
= −y x 
+ với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình 1 1 13( 5) 2
4 4 4
= + + ⇔ = +y x y x