Toán học - Tọa độ và phép biến hình

Mục lục Trang
Mục lục...1
A. Đặt vấn đề .2
 I. Lời nói đầu....2
 II.Thực trạng của vấn đề...2
	1. Thực trạng...2
 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên.....2
B. Giải quyết vấn đề4
 I. Các giải pháp thực hiện.4
 Chương 1: Đại cương về phép biến hình.4
	1. Đại cương về phép biến hình..4	2. Phép chiếu theo phương lên đường thẳng .5
 3. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng..7
 Chương 2: Các phép dời hình11
 1.Khái niệm phép dời hình11
 2.Một số phép dời hình thường gặp...11
 2.1.Phép đối xứng trục.11
 2.2.phép quay16
Phụ lục..20
C. kết luận...21
 1. Kết quả nghiên cứu.21
 2. Kiến nghị, đề xuất...24
 Tài liệu tham khảo25
A. đặt vấn đề
I. lời nói đầu
	Chủ đề về các phép biến hình trong mặt phẳng là một chủ đề rộng của hình học, bao gồm: đại cương về các phép biến hình, các phép dời hình (Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép dời hình), các phép đồng dạng(Phép vị tự, phép đồng dạng). Trong đề tài này tác giả chỉ giới hạn nghiên cứu sâu hơn về một số phép dời hình trong mặt phẳng (Không đề cập các phép đồng dạng) dưới góc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, phù hợp với đối tượng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dưới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện đại. 
Nội dung tài này được chia thành hai chương:
	- Chương 1: Đại cương về phép biến hình
Trong chương này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình: phép chiếu theo phương lên đường thẳng ( Còn gọi là phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đường thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao)
- Chương 2: Các phép dời hình
Trong chương này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình: phép đối xứng trục, phép quay.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chuyên môn đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành đề tài này, cũng như các đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp ý kiến, giúp đỡ và động viên tác giả để đề tài hoàn thiện hơn. Mặc dù tác giả đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và trình bày, song không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của độc giả!
II. thực trạng của vấn đề
1. Thực trạng:
	Trong chương trình Hình Học 10 (SGK chỉnh lí và hợp nhất năm 2000- NXBGD) đã trình bày đại cương về các phép biến hình (Chương III), sau này trong chương trình Hình Học 11( Chương trình chuẩn và nâng cao- NXBGD năm 2007) trong đó có trình bày về biểu thức tọa độ của các phép: tịnh tiến, đối xứng trục (Với trục đối xứng là Ox hoặc Oy), không trình bày biểu thức tọa độ của phép quay, trong SGV Hình Học nâng cao có nói đến biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục đi qua gốc tọa độ, nhưng chưa nói rõ cách xác định hay giá trị của cos và sin. Ngoài ra trong giáo trình Toán tập 7 của tác giả Jean Marie Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ của phép đối xứng trục, nhưng việc áp dụng nó vào trong chương trình THPT không đơn giản. Chưa đề cập đến biểu thức tọa độ của phép quay.
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:
	Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tòi sáng tạo của học sinh và giáo viên, chưa tiếp cận được với Hình Học cao cấp và Toán học hiện đại, một số chỗ còn chưa nói lên rõ được bản chất (cốt lõi) của vấn đề (Định lí thì không được nêu, còn hệ quả của nó thì được phát biểu thành định lí), đặc biệt là chưa tiếp cận được với xu hướng thi trắc nghiệm môn Toán. Chẳng hạn ta xét một tình huống ''Tìm ảnh d' của đường thẳng d: 2x + y - 2 = 0 qua phép tịnh tiến theo véc tơ = (3;-1)''. Thông thường (theo phương pháp cũ) để giải quyết tình huống này ta làm như sau:
+Lấy M(1;0) thuộc d và xác định ảnh M' = T(M): M'(4;-1)
+Vì d' // d (hoặc trùng d) và d' đi qua M' nên phương trình d' là:
2.(x- 4) +1.(y+1) = 0 d': 2x + y - 7 = 0.
Qua đó đòi hỏi học sinh phải nắm được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và tính chất ''Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó''. ở đây tác giả đã giải quyết tình huống trên như sau:
+Lấy tích vô hướng của = (2;1) và = (3;-1): 
+Phương trình d' là: 2x + y - 2 - 5 = 0 2x + y - 7 = 0. 
Vậy tình huống được giải quyết đơn giản hơn nhiều. Kết quả được trình bày dạng tổng quát ở định lí 1 như sau:
*định lí 1 
	Cho = (a; b) và đường thẳng : Ax + By +C = 0. Khi đó T biến thành đường thẳng có phương trình : : () - . = 0 
() - là vế trái của đường thẳng .
	Về phép đối xứng tâm ta có định lí 2
*định lí 2 
	Cho I (a; b) và đường thẳng : Ax + By +C = 0. Khi đó ĐI biến thành đường thẳng có phương trình là:
: () -20 = 0 trong đó 0 = aa + Bb + C.
 Một tình huống khác là " Ngoài các phương pháp cộng đại số, (phương pháp Gauss), phương pháp định thức (phương pháp Cramer), phương pháp thế, phương pháp đồ thị, phương pháp đoán nhận nghiệm Còn phương pháp nào để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn một cách tương đối ngắn gọn hay không?". Trong chương 1 chúng ta có một cách giải mới... 
Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn tìm tòi, nghiên cứu và đưa ra sáng kiến với mục tiêu nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình trong mặt phẳng dưới góc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, phù hợp với đối tượng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dưới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện đại . Trong đề tài này chúng ta cung cấp một số kiến thức mới bổ xung về các phép biến hình trong mặt phẳng, đưa ra một số phương pháp giải toán, rèn luyện tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tiếp cận với phương pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo trong học tập, nghiên cứu của giáo viên và học sinh trong đó có các ví dụ, các bài tập vận dụng nhằm minh họa hay rèn luyện những kĩ năng nhất định. Đặc biệt có thể đáp ứng với nhu cầu đổi mới phương pháp dạy và học trong xu hướng tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đúng đắn và chính xác các bài toán với thời gian mỗi câu rất ngắn.
b. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện
	Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng ta cần nắm được các kiến thức cơ bản, tương đối thành thạo những kĩ năng nhất định trong chương trình Hình Học 10 (Chương trình chuẩn và nâng cao- NXBGD 2006). Từ đó chúng ta đưa ra các bài toán nhỏ hay các ví dụ minh họa hay dẫn dắt tới các khái niệm, định nghĩa, định líđược trình bày trong các chương 1 và chương 2. Trong mỗi chương có các bài tập tự giải theo các phương pháp đã nêu trong đề tài (có thể giải theo phương pháp cũ để kiểm chứng).
chương 1: đại cương về phép biến hình
1.đại cương về phép biến hình
1.1.Ví dụ mở đầu
	Trong mặt phẳng cho một đường thẳng cố định và một véc tơ sao cho không là véc tơ chỉ phương của .Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M nhận làm véc tơ chỉ phương và M’ = d 
Như vậy theo cách trên với bất kì điểm M đều xác định được M’ duy nhất. 
 1.2.Định nghĩa 1
	Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.
ờĐiểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)
ờĐiểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M.
Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’. Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M M’.
Ví dụ 1
	Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo phương lên đường thẳng .Ta có thể kí hiệu là: (M) = M’.
Ví dụ 2
Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu là véc tơ pháp tuyến của thì ta gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đường thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao). Kí hiệu là: 
 M
 M'
*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình
	Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M’=F(M) với MH} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H’.
1.4.Tích của hai phép biến hình 
Cho hai phép biến hình f và g, g(M) = M’ và f(M’) = M’’. Khi đó phép biến hình biến M thàmh M’’ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình g và f được gọi là tích (hay: hợp thành) của f và g.Ký hiệu là fg.
*Định nghĩa 2
Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình f và g là phép biến hình h có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình g và f.Ký hiệu là:H = fg.
 Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = fg(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng cho tích của một số phép biến hình). 
Sau đây chúng ta nghiên cứu kĩ hơn về phép chiếu theo phương lên đường thẳng và phép chiếu vuông góc lên đường thẳng 
2.phép chiếu theo phương lên đường thẳng
	Trong ví dụ mở đầu ta mô tả về phép chiếu theo phương lên đường thẳng . Sau đây ta định nghĩa chính xác về phép biến hình này.
2.1.Định nghĩa 3
	Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ không là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:
 	(I)
gọi là phép chiếu theo phương lên đường thẳng . Kí hiệu là: . 
}Ký hiệu
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By + C = 0. Ký hiệu = (A;B) là véc tơ pháp tuyến của và = (B;-A) là véc tơ chỉ phương của .
-Với mỗi điểm M(xM ; yM), ta ký hiệu (M) = AxM + ByM + C là số thực khi thay tọa độ của M vào vế trái ; 
-Nếu M0(x0;y0) thì = Ax0 + By0 + C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (): =(M): = Ax + By + C .
ợBài toán 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x = x0 + at , y = y0 + bt và đường thẳng : Ax + By +C = 0. Hãy xác định tọa độ giao điểm d và biết rằng aa +Bb 0.
 Giải
Đặt = (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó . = aa +Bb 0.Ta cần xác định giá trị t0 thỏa mãn : A(x0 + at) +B(y0 + bt) + C =0
(aa +Bb)t0 + (Ax0 + By0 + C) = 0t0 = - = - .
Thay giá trị t0 vào phương trình d ta xác định được tọa độ giao điểm: 
	x’0 = x0 + at0 , y’0 = y0 + bt0.
2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương 
Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau
*Định lí 3
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 và = (a;b) sao cho . = aa +Bb 0. Khi đó có biểu thức véc tơ là: (Ia)
trong đó k = - , () = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định = (A;B) theo phương trình của và giữ nguyên nó trong mệnh đề 1. Chẳng hạn : : 6x – 9y +2 = 0 thì ta lấy =(6; - 9) mà không lấy =(2; - 3). Muốn lấy =(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng 
: .
2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương 
Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau
*hệ quả : Nếu biến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì : (Ib)
trong đó k = - , () = Ax + By +C và = (a;b).
Ví dụ 1
Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và : 2x – y + 3 = 0.
Giải
Kí hiệu = =(1;-2) và =(2; - 1) ta có: . =4 0. Lấy M0(0;1) trên d 0 = 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k0 =- = - 
Vậy hay d = (-; 2).
*ý nghĩa
Từ nay ta có thêm một phương pháp mới để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Nó khác với các phương pháp đã biết như: phương pháp cộng đại số, (phương pháp Gauss), phương pháp định thức (phương pháp Cramer), phương pháp thế, phương pháp đồ thị Hiển nhiên mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng và đều phải cho cùng một kết quả, vì về bản chất chúng phải tương đương nhau.
	Ưu điểm của phép chiếu theo phương là: Ta có thể chọn điểm M0(x0;y0) bất kì d sao cho việc tính toán = Ax0 + By0 + C là thuận tiện và dễ dàng nhất: Nếu . = aa +Bb = 0 và 0 thì hai đường thẳng song song tức là hệ vô nghiệm ; Nếu . = aa +Bb = 0 và = 0 thì hai đường thẳng trùng nhau, tức là hệ có vô số nghiệm.
	Ngoài ra phần sau ta sẽ có một ứng dụng quan trọng của phép chiếu theo phương .
Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đường thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và : 4x+5 y -6 = 0.
Giải
 Xét = =(3;-2) và =(4; 5) . =2 0. Lấy M0(1;-1) d0 = -7. Khi đó k0 =- = .Vậy hay d = (;-8).
*nhận xét
Từ phép chiếu theo phương lên đường thẳng , chúng ta có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trượt với trục đối xứng .
3.phép chiếu vuông góc lên đường thẳng
3.1.Định nghĩa 4 	
Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ pháp tuyến. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho: 	(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng . Kí hiệu là: .
*Lưu ý : ta thường vẫn sử dụng H thay cho M’ 
3.2.Biểu thức véc tơ 
*Định lí 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0. Khi đó biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi: 	(IIa)
trong đó k = - , () = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai điều: cùng phương với (1), và H (2).Thật vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0.Khi đó từ (IIa) dễ dàng suy ra HM.
- Nếu M . Khi đó hiển nhiên (IIa) suy ra (1).
Từ k = - k= - () (3). Nhân vô hướng hai vế của (IIa) với và so sánh với (3) ta có : . = - () A(xH- x) +B(yH- y) = - ( Ax + By +C)
 AxH + ByH +C=0 suy ra (2) đúng (đpcm).
*Chú ý : Trong định lí 3 chọn = ta có ngay định lí 4.
3.3.Biểu thức tọa độ 
	Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ sau
*hệ quả 1: 
Nếu biến M(x;y) thành H(xH;yH) thì : 	(IIb)
trong đó k = - , () = Ax + By +C.
Ví dụ 1
	Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên .
Giải:	Tính giá trị k0 =- =- =-.
 biến M(x;y) thành H(xH;yH) H(-;).
Ví dụ 2
	Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân đường cao AH của tam giác.
Giải
Phương trình đường thẳng BC: : 2x-3y+19 =0.
M0 A(0;1) suy ra k0 =-=- =- .
Suy ra tọa độ của H : H().
3.4.Các hệ quả khác
*hệ quả 2
Hai điểm M1 và M2 cùng phía đối với đường thẳng :(M1).(M2) > 0.
*hệ quả 3
	Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M, ) =MH = = .
Từ các hệ quả trên và phép chiếu theo phương lên đường thẳng ta chứng minh được định lí 5 sau đây. Nội dung và ý nghĩa của định lí 5 là : khi biết phương trình ba cạnh của tam giác, ta dựa vào véc tơ pháp tuyến để viết được phương trình đường phân giác trong của một góc trong tam giác mà không cần giải tìm tọa độ ba đỉnh để xét dấu.
ợký hiệu
	Với = (a1, a2) và = (b1, b2) ta ký hiệu T = = = a1b2- a2b1 là định thức cấp hai tạo bởi và .
*Định lí 5
	Cho một tam giác mà ba cạnh có phương trình :
D1: A1x +B1y+C1=0; D2: A2x +B2y +C2=0; D3: A3x +B3y +C3=0. Gọi d1 là đường phân giác trong của góc đối diện cạnh 1. Khi đó
a)Nếu T1 = . < 0 thì phương trình d1 là : ;
b) Nếu T1 = . > 0 thì phương trình d1 là : .
}Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:
Cho D1: 3x + 4y – 6 = 0 ; D2: 4x +3y – 1 = 0 ; D3: y = 0 . Gọi A = D1 D2 ;
B = D2 D3 ; C = D3 D1. Hãy viết phương trình đường phân giác trong của góc A. 	(Đề 16 – Bộ đề thi tuyển sinh)
}Ta sẽ giải ví dụ 3 trước và chứng minh định lí 5 sau: 
Giải : Do A đối diện với D3 nên ta xét T3 = . = = 12 > 0. Do đó phương trình đường phân giác trong của góc A là 
d3: d3: x + y – 1 = 0.
(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phương trình d3 theo phương pháp cũ).
}Bây giờ ta chứng minh định lí 5
 Gọi A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác đối diện với các cạnh D1, D2, D3 và d1 là đường phân giác trong của góc A.
- Phép chiếu theo phương lên D2 biến B thành A, ta có:
 nhân các vế lần lượt với A1, B1 cộng lại và cộng thêm C1, và do B thuộc D1 ta có: 
D1(A) = - = - 	 (a)
- Tương tự (đối với C):
D1(A) = - 	(b)
- Với chú ý rằng thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:
(D1(A))2 = - > 0 T1.D2(B)D3(C) < 0. 	(c)
- Ta giả thiết M thuộc d1 và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng), khi đó: 	d(M, D2) = d(M, D3) 	(d) 
đồng thời 
 hoặc D2(M)D3(M)D2(B)D3(C) > 0 (e)
- Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T1.(D2(M).D3(M)) < 0 	(f)
Cuối cùng tùy theo dấu của T1 mà từ (f) và (d) khẳng định của định lí 5. 
(Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng , ta cũng có thể chứng minh được định lí 5)(Xem[6]).
Chúng ta sẽ mở rộng nghiên cứu về phép chiếu theo phương lên mặt phẳng ( Còn gọi là phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đường thẳng, mặt phẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao) trong không gian trong đề tài khác.
Chương 2: Các phép dời hình
1.khái niệm phép dời hình
Ví dụ về phép dời hình
	Cắt một mảnh giấy theo một hình tùy ý (Chẳng hạn: hình trái tim), đặt hình này lên trang giấy rồi di chuyển hình đó trên trang giấy một cách tùy ý. Kết quả là: hình đó chỉ thay đổi vị trí còn tất cả các yếu tố khác của hình đều không thay đổi.Tính chất này có được là do “khoảng cách giữa hai điểm bất kì không thay đổi” khi di chuyển. ở vị trí (1) ta di chuyển đến vị trí (2) ta đã thực hiện một phép dời hình.
1.1.Định nghĩa 1
Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình.
*Cho F là phép biến hình biến mỗi cặp điểm M, N lần lượt thành M’, N’.Để chứng minh F là phép dời hình ta chứng minh: M’N’ = MN.
*Nhận xét
	-Theo định nghĩa dễ dàng suy ra: tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
	-Hiển nhiên: Phép đồng nhất là một phép dời hình.
1.2.Tính chất
*Định lí 
	Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng của ba điểm đó.
Chứng minh
	Giả sử phép dời hình F biến ba điểm thẳng hàng A, B, C với B giữa A và C lần lượt thành A’, B’, C’(1) .Ta phải chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ giữa A’ và C’(2).Thật vậy: (2) A’B’ +B’C’ = A’C’ AB + BC = AC (1)(Vì theo định nghĩa và (1) ta có: A’B’ = AB, B’C’ = BC, A’C’ = AC)(đpcm).
1.3.Định nghĩa 2
	Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
*Nhận biết hai hình bằng nhau trong thực tế: đó là hai hình chỉ khác nhau về vị trí (Nếu có).
	Từ các định nghĩa và tính chất trên ta có hệ quả sau
*hệ quả
	Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng , tia tành tia, góc, đa giác, đường tròn thành hình bằng nó. 	
2.một số phép dời hình thường gặp
2.1.phép đối xứng trục (phép đối xứng qua đường thẳng)
2.1.1.Định nghĩa 5 	
Trong mặt phẳng cho đường thẳng. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc thành M, mỗi điểmM không thuộc thành M’ sao cho là trung trực của MM’ gọi là phép đối xứng qua đường thẳng (gọi tắt phép đối xứng trục). Kí hiệu là: Đ.
*Nhận xét 1:	Đ (M) = M’ Đ (M’) = M.
Ví dụ 1Cho hình thoi ABCD. Khi đó ĐAC biến: 
A thành A, C thành C, B thành D, D thành B vì AC BD tại trung điểm của mỗi đường.
2.1.2.Biểu thức véc tơ 
*định lí 6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0. Khi đó Đ biến M(x;y) thành M(x’; y’) có biểu thức véc tơ xác định bởi:
 	(IIIa)
trong đó k = - , () =(M) = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai điều: cùng phương với (1), và trung điểm của MM’ nếu M (2).Thật vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIIa) dễ dàng suy ra M’M.
- Nếu M . Khi đó hiển nhiên (IIIa) suy ra (1).
Từ k = - k= -() (3). Nhân vô hướng hai vế của (IIIa) với và so sánh với (3) ta có : . = -2() A(x’-x) +B(y’-y) = -2( Ax + By +C)
 A()+ B() +C=0 suy ra (2) đúng (đpcm).
2.1.3.Biểu thức tọa độ 
	Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ sau
*hệ quả 1
Nếu Đ biến M(x;y) thành M(x’; y’) thì : 	(IIIb)
trong đó k = - , ()=(M) = Ax + By +C.
*Nhận xét 2
-Nếu Ox có phương trình : y = 0 thì A = 0, B = 1 và k = - y nên từ 
(IIIb) x’ = x, y’ = - y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng ĐOx .
-Nếu Oy có phương trình : x = 0 thì A = 1, B = 0 và k = - x nên từ 
 (IIIb) x’ = - x, y’ = y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng Đ .
-Nếu là đường phân giác thứ nhất: x – y = 0 thì A = 1, B = - 1, 
2k = y – x nên (IIIb) x’ = y, y’ = x. Ta có M(x; y) và M’(y; x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x quen thuộc.
Ví dụ 2
	Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua .
Giải:	Tính giá trị k0 = - = - = - .
Đ biến M(1; 2) thành M(x’; y’) M’(- ; - ).
Ví dụ 3
	Cho điểm M(1; 5) và d: x – 2y + 4 = 0. Hãy tìm ảnh của M qua Đd.
(Xem ví dụ 2 trang 12-SBT HH 11 NXBGD 2007)
Giải
Tính giá trị k0 = - = - = - 1.
Đd biến M(1; 5) thành M(x’; y’) M’(3; 1).
 *định lí 7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0. Khi đó Đ biến véc tơ thành xác định bởi: = - 2	(IVa)
trong đó = , =( A; B).
Chứng minh
Chú ý rằng khái niệm hai véc tơ bằng nhau không phụ thuộc vị trí của chúng, nên ta chứng minh hai điều: ( + ) (1), và = (2). Thật vậy: 
-Cộng cả hai vế của (IVa) với rồi nhân vô hướng của biểu thức nhận được với (Để ý định nghĩa ) ta có ( + ). = 2 . - 22 = 2 . - 2 . = 0 suy ra (1) được chứng minh.
-Bình phương vô hướng (IVa) ta có: 
 2 =2+422- 4. =2+422- 422 = 2 (2) đúng(đpcm).
Từ cách chứng minh ý (2) của định lí 7 ta có hệ quả sau
*hệ quả 2
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
(Phép đối xứng trục là một phép dời hình).
Từ nhận xét 1 và hệ quả 1 ta có nhận xét 3 sau đây
*Nhận xét 3
	Đ (M(x; y)) = M’(x’; y’) Đ (M’) = M 
 	(IIIc)
trong đó k’ = - , (’) = Ax’ + By’ +C.
Bởi vậy, giả sử M(x; y) 1 : A1x + B1y + C1 = 0 thì từ (IIIc) ta có:
0 = A1x + B1y + C1 =1(M’) + 2k’() = 1(M’)- 21.(M’).
Ta có định lí 8 
*định lí 8
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : Ax + By +C = 0 và đường thẳng 1 : A1x + B1y + C1 = 0. Khi đó Đ biến 1 thành ’1 có phương trình : ’1 : 21() - (1) = 0 	(IVb)
trong đó 1 = , 1 =( A1; B1), =( A; B).
Ví dụ 4
	Trong mặt phẳng Oxy cho d: 3x – y + 2 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d’ = Đ (d). (Xem BT2 SGK HH11 trang 11 NXBGD 2007)
Giải:Ta có phương trình Oy: x = 0, 1 =( 3;- 1) , =( 1; 0) 1 = = 3. Vậy theo định lí 8 phương trình d’ = Đ(d) là: 
2.3(x) – (3x – y + 2) = 0 d’: 3x + y – 2 = 0.
Ví dụ 5
	Hãy tìm các đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 5x + y – 14 = 0, và d’2 đối xứng với d2: 5x + 3y + 10 = 0 qua đường thẳng có phương trình :
: 5x + 3y – 4 = 0.
Giải:Ta có: 1 =( 5; 1), 2 =(5; 3), =( 5; 3) suy ra 1 = = và 
2 = = 1. Do đó theo định lí 8 ta có các phương trình d’1 và d’2 là:
d’1: 2. .(5x + 3y – 4) – (5x + y – 14) = 0 d’1: 55x + 67y + 126 = 0.
d’2: 2.1.(5x + 3y – 4) – (5x + 3y + 10) = 0 d’2: 5x + 3y – 18 = 0.
(Có thể kiểm tra lại rằng song song và cách đều d2 và d’2 ; là một đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d’1).
Ví dụ 6
	Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết B(2; - 1), đường cao và phân giác trong đi qua hai đỉnh A và C lần lượt có phương trình:
d1 : 3x - 4 y + 27 = 0 ; d2: x + 2y - 5 = 0.
d
A
B
C
(Đề 84- Bộ đề thi tuyển sinh)
Giải
Phương trình đường thẳng BC đi qua B và d1 là :
 4(x - 2) 3(y + 1) = 04x + 3y - 5 =0.
Do CA đối xứng với CB qua d2 nên có phương trình:
2. ( x + 2y - 5) – (4x + 3y - 5) =0 CA: y – 3 = 0.
Do đó CA d1 = A(- 5; 3). Từ đó ta có phương trình AB: 4x +7y – 1 = 0.
2.1.4.Các hệ quả khác
	Từ hệ quả 2 và định lí 8 ta có hệ quả sau
*hệ quả 3
	Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng giữa chúng.
	Phép đối xứng trục biến tia thành tia, góc, đa giác, đường tròn thành hình bằng nó. 	
Ví dụ 6
	Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc chúng. Hãy xác
 định các điểm C c và D d sao cho ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy (không cần biện luận). 
Giải
Gọi a là trung trực của AB thì a cố định. ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy (Khi đó CD cũng là cạnh đáy) Đa(A) = B, Đa(D) = C. Bởi vậy: D d C d’ = Đa(d), kết hợp C c ta có C = d’ c. Vậy C được xác định, và do đó D = Đa(C).
2.1.5.Phương pháp giải toán
*Để vận dụng phép đối xứng trục trong giải toán ta phải xác định được trục của phép đối xứng (Đặc điểm là: có sự xuất hiện hoặc tạo ra đường trung trực của đoạn thẳng)
ợTrong mặt phẳng tọa độ 
-Viết được biểu thức tọa độ
-Biểu diễn tọa độ x; y theo x’; y’
-Thay tọa độ x, y vào phương trình đường (C) ta có tập hợp x’, y’ chính là ảnh (C’) của (C) (ở đây (C) có thể là đường thẳng , đường tròn, parabol).
ợGiả sử được xác định và là trung trực của MM’ .Khi đó: 
M thuộc (H) M’ thuộc (H’) =Đ (H).
2.1.6.Các bài tập
2.1.1. Cho I(1;-1) và : 3x + 4y +1 =0.Viết phương trình I’ = Đ (I).
2.1.2. Cho I(3;-2) và : 3x - 2y +1 =0. Viết phương trình I’ = Đ (I).
2.1.3. Cho đường tròn(C) có phương trình: x2 + y2 – 4x + 6y – 2 = 0, 
và : 3x - 2y +1 =0 .Viết phương trình (C’) = Đ ((C)).
2.1.4. Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 0) và đường thẳng 
: x - y +2 =0.
a. Tìm điểm đối xứng của O qua ;
b. Tìm M để đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
	2.1.5. Hãy tìm các đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 2x - y + 4 = 0, và d’2 đối xứng với d2: 3x + 4y - 1 = 0 qua đường thẳng có phương trình :
: 2x - y + 1 = 0.
	2.1.6.Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(0; 4) và d2 đi qua B(5; 0) sao cho d1 và d2 tạo với nhau một góc nhận : 2x -2y + 1 = 0 làm đường phân giác. 
	2.1.7. Viết phương trình d đi qua P(3;0) và cắt hai đường thẳng D1: 2x – y – 2 = 0; D2: x+ y + 3 = 0 tại A và B sao cho PA = PB.
***************************
2.2.phép quay
2.2.1.Định nghĩa 6	
M
M’
Trong mặt phẳng cho điểm I và góc lượng giác . Phép biến hình biến I thành I, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho IM’ = IM và (IM’, IM) = gọi là phép quay tâm I, góc quay . Kí hiệu là: Q(I,).
*Chú ý
	Ta gọi I là tâm quay, là góc quay và IM là bán kính quay.
*Nhận xét 1:
	a.Các phép quay tâm I với các góc quay và + k2
cùng biến M thành M’. Bởi vậy ta chỉ cần xét - .
	Như vậy ta có Q(I,)(M) = M’ Q(I, - ) (M’) = M.
b.Nếu đặt = , = thì = , . = 2cos.
C
A
B
Ví dụ 1
Cho tam đều ABC. Khi đó: Q(A, 60) biến: A thành A, B thành C.
Nhưng Q(A, - 60) biến: A thành A, C thành B.
2.2.2.Biểu thức tọa độ 
	Từ nhận xét 1b ta sẽ có biểu thức tọa độ sau
*định lí 9
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,) .Khi đó Q(I,) biến véc tơ 
 =(A; B) thành =(A’; B’) xác định bởi: 
 	(IVa)
Chứng minh