Toán học - Ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải bài toán cực trị

ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Cơ sở lí thuyết:
 Có nhiều cách giải cho một bài toán cực trị đại số, nhưng ở đây tôi muốn giới thiệu đến các bạn học sinh một cách giải khác đó là ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải bài toán cực trị. Hy vọng rằng, các em có thêm một phương pháp khác (nhất là các bạn học sinh THCS) để giải dạng toán này.
Trước hết xin nhắc lại công thức tính độ dài đoạn thẳng AB là: AB,
trong đó: .
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d đi qua hai điểm A1 và An. Một đường gấp khúc liên tiếp nhau gồm n đoạn thẳng mà điểm đầu của đoạn thẳng thứ nhất trùng với A1, điểm cuối của đoạn thẳng thứ n trùng với An. Thế thì, ta luôn có kết quả sau:
 . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các điểm A1, A2, , An-1, An đều thuộc đường thẳng d.
Một vài bài toán minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số :
 .
Lời giải.
Ta biểu diễn hàm số y như sau:
Do đó, trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các điểm ; ; và (bạn dọc tự vẽ hình). Khi đó: .
Dễ kiểm tra AB = AC = BC = ; OA = OB = OC = 1. 
Suy ra tam giác ABC đều với tâm là gốc tọa độ O.
Mặt khác: nếu tam giác ABC đều thì(Bổ đề tam giác đều).
Do đó: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy min y = 3 khi x = 0.
Bài 2: Tìm GTNN của hàm số 
Lời giải. 
Ta có .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét các điểm: ; ; ( dễ thấy A, B nằm khác phía đối với trục hoành và 3 điểm A, O, B thẳng hàng) và điểm . 
Khi đó. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy khi x = 0.
Bài 3: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z . Chứng minh rằng:
Lời giải.
Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là u, ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, ta có .
Vì vậy, trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta xét các điểm : 
 ; ; ; . 
Khi đó: ; ; 
Để ý rằng: 
 = 
(Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và x + y + z ).
Khi đó, ta luôn có 
 Hay : . Từ đó suy ra đpcm.
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau:
Áp dụng bất đẳng thức với mọi a, b, c, d.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Do đó: 
Đặt . Hơn nữa, vì 
 nên .
Mặt khác, hàm số là hàm số nghịch biến trên nửa khoảng . 
Do đó min= .
Vậy (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 4: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn . 
 Chứng minh rằng: 
Lời giải.
Đặt , ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, ta có . 
Vì vậy, trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta xét các điểm sau: 
 ; ; ; . 
Khi đó, ; ; ; .
 .
 Hay . Từ đó suy ra đpcm.
 Đẳng thức xảy ra 2 điểm A1, A2 đều thuộc đường thẳng d đi qua 2 điểm O và A3.
Dễ thấy phương trình của đường thẳng d là: (Bạn đọc tự vẽ hình).
Điều kiện để A1, A2 thuộc (d) là: 
Như vậy, đây chỉ mới một phần nhỏ trong việc ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải bài toán cực trị mà thôi. Hy vọng rằng, chúng ta chịu khó để tìm được nhiều ứng dụng thú vị khác của độ dài đoạn thẳng. Chúc các bạn thành công. Sau đây xin giới thiệu bài tập áp dụng.
Bài tập: a) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn . 
 Tìm GTNN của hàm số sau : 
 b) Tìm để phương trình sau có nghiệm: 
ĐỖ QUANG MINH
(GV. THCS Nguyễn Bá Ngọc, An Xuân, Tuy An, Phú Yên)
x
y
O