Toán học - Vấn đề 6: Cực trị của hàm số

Vấn đề 6. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Định nghĩa
Giả sử hàm số xác định trên tập và .
1) được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và .
Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số .
2) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và .
 Khi đó, được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
II. Điều kiện để hàm số có cực trị
1) Điều kiện cần
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại thì .
2) Điều kiện đủ
Dấu hiệu 1. Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó:
Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểmthì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểmthì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Dấu hiệu 2. Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng chứa điểm , và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm . Khi đó:
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
III. Các phương pháp tìm cực trị của hàm số
Phương pháp 1. 
Tìm .
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Lập bảng xét dấu . Nếu đổi dấu khi x qua thì hàm số đạt cực trị tại .
Phương pháp 2. 
Tìm .
Giải phương trình tìm các nghiệm .
Tính .
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1) .
2) 
Giải
1) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
Vậy giá trị cần tìm là: và .
2) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác –1 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
1) .
2) 
Giải
1) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Xét :
 đổi dấu khi x đi qua 
Hàm số có cực trị không thỏa
Xét :
Hàm số không có cực trị không đổi dấu phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Vậy giá trị cần tìm là .
2) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1) 
Hàm số không có cực trị không đổi dấu phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Xét :
 thỏa
Xét :
Yêu cầu bài toán : vô nghiệm 
Vậy giá trị cần tìm là: .
 Ví dụ 3. Cho hàm số . Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Vậy luôn luôn có hai nghiệm phân biệt 
Hàm số luôn luôn có cực trị
Tọa độ các điểm cực trị 
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
 = const (đpcm)
Ví dụ 4. Cho hàm số . Định m để hàm số đạt cực đại tại .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Điều kiện cần
Hàm số đạt cực đại tại 
Điều kiện đủ
+ Với : 
Bảng biến thiên
 x 	0	1 2 
 	 +	0 - - 0	+
 CĐ	
 y
	 	CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại 
 không thỏa.
+ Với :
Bảng biến thiên
 x 	2	3 4 
 	 +	0 - - 0	+
 CĐ	
 y
	 	CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại 
 thoả yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là: .
Cách khác
Ta có:
Tập xác định: 
Hàm số đạt cực đại tại 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 5. Cho hàm số . Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại và .
Giải
Hàm số xác định khi .
Điều kiện cần
Hàm số đạt cực trị tại và 
Điều kiện đủ
Với , ta có:
Bảng biến thiên
 x 	0	2 4 
 	 +	0 - - 0	+
 CĐ	
 y
	 	CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 6. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 7. Cho hàm số (a là tham số). Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung.
	 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 8. Cho hàm số . Định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ .
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Yêu cầu bài toán hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 9. Cho hàm số .Định m để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 Yêu cầu bài toán hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
 (a)
 (b)
Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 10. Cho hàm số . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): .
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 
Đặt 
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn 
 (do )
Cách khác
Phương trình đường tròn được viết lại:
 có tâm và bán kính 
Ta có:
Điểm B nằm ở ngoài 
Do đó:
Điểm A nằm phía trong đường tròn 
 .
Ví dụ 11. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thoả .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) và (3), ta có: 
Thế vào (2), ta được:
 (do )
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 12. Cho hàm số . 
 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
.
Ví dụ 13. Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
Ta có:
Tương tự ta cũng có: 
Yêu cầu bài toán 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 14. Cho hàm số . 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB 
Do là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:
, 
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 
Đường thẳng và AB có hệ số góc lần lượt là:
.
Với :
Đồ thị hàm số có hai cực trị là 
Trung điểm của AB là: 	
T a có: 
Vậy: thoả yêu cầu bài toán.
Ví dụ 15. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
Khi đó :
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là và hai điểm cực tiểu là 
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều 
 (do )	
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 16. Cho hàm số . Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số chỉ có một cực trị có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 17. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 	
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 18. Cho hàm số .Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên parabol .
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	 (*)
Khi đó:
Bảng biến thiên
 x 	1	 	
 y’ + 0	-	 - 0	+
 y
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
 Điểm cực tiểu là 
 (thỏa (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 19. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số đã cho có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Ta có:
, đạt được khi .
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 20. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
 (Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000)
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Hai giá trị cực trị cùng dấu 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Cách khác
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 và đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó
 (*)
Hai giá trị cực trị cùng dấu Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt hay có hai nghiệm phân biệt khác 1
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 21. Xác định p sao cho hàm số có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m với .
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác 4 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
 Khi đó:
Bảng biến thiên
 x 	4	 	
 y’ - 0	+	 + 0	-
 y
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
Do đó:
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 22. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Bảng biến thiên
 x 0 2m 
 y’ + 0 - - 0 +	
 CĐ 
 y
 CT
Hàm số đạt cực tiểu tại hay có hai nghiệm phân biệt thoả: 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 23. 1) Cho hàm số . Chứng minh rằng nếu và thì ta có: .
2) Chứng tỏ rằng nếu hàm số: đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại thì ta có :
Giải
Ta có:
Do đó: 
 (đpcm)
Theo kết quả ở câu 1) nên ta có:
, 
 (đpcm)
Ví dụ 24. Cho hàm số .
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng bằng nhau.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác -1 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có: 
Mặt khác: , 
Đặt 
Yêu cầu bài toán 
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 25. Cho hàm số .
1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu là . Chứng minh: . 
Giải
1) Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác -1 
Vậy giá trị cần tìm là: . 
2) Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có 
Mặt khác: , 
Do đó: 
Xét hàm số: 
Bảng biến thiên
 x	 	 
 	+
Từ bảng biến thiên, ta thấy .
Vậy: (đpcm)
Ví dụ 26. Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ của mặt phẳng toạ độ.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001)
Giải
Ta có: 
 Tiệm cận xiên: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (*)
Giả sử là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán 
 (a)
 Đồ thị hàm số không cắt trục Ox 
 hay vô nghiệm 
 (b)
 (c)
Từ (a), (b) và (c) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 27. Cho hàm số . 
1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn có các điểm cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của m. Xác định toạ độ các điểm cực trị đó.
2) Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ độ của A.
 (Trích ĐTTS vào TTĐT Cán bộ Y tế TPHCM, 2000)
Giải
1) Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Ta có: 
Do đó:
Vậy đồ thịhàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 
Toạ độ các điểm cực trị là: .
2) Đặt 
Giả sử ứng với giá trị thì A là điểm cực đại và ứng với giá trị thì A là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Ta có:
; 
Do đó:
Vậy chỉ có một điểm A duy nhất thoả yêu cầu bài toán là: .
Ví dụ 28. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát Nhân dân, 2000)
Giải
Cách 1
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay (1) có hai nghiệm phân biệt khác m 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Toạ độ điểm A thoả hệ:
Tương tự ta cũng có toạ độ của B:
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 
Cách2
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 
Toạ độ các điểm cực trị thoả hệ:
 là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu.
Cách 3
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 
 Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Đặt 
Ta có:
Tương tự ta cũng có: 
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: .
Ví dụ 29. Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại:
 . 	
Giải
Tập xác định: 
Hàm số đạt cực đại 
Với nên từ (1) suy ra 
Xét hàm số: , với 
Bảng biến thiên
 	-
Yêu cầu bài toán phương trình (1) có nghiệm .
BÀI TẬP
Bài 1. Xác định tham số m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
1) . 	 
 Đáp số: .
2) . 	 
 Đáp số: .
3) . 	 
 Đáp số: .
Bài 2. 1) Tìm m để hàm số 
đạt cực tiểu tại .	 
 Đáp số: .
2) Cho hàm số . 
Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại .	 
 Đáp số: .
3) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại .	 
 Đáp số: .
Bài 3. 1) Cho hàm số . Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi và đạt cực trị tại và giá trị cực trị là – 3.
 Đáp số: .
Cho hàm số . Tìm a và b để hàm số đạt cực trị tại và có tiệm cận xiên là . 	 
 Đáp số: .
3) Cho hàm số . Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại và đường tiệm cận xiên của dồ thị vuông góc với đường thẳng .	 
Đáp số: .
Bài 4. 1) Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu. 	 
 Đáp số: . 
 Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định.
 Đáp số: . 
Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi a, hàm số luôn luôn đạt cực trị tại hai điểm với không phụ thuộc vào tham số a. Định a để . 	 
 Đáp số: .
Bài 5. 1) Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại hai điểm thoả điều kiện: 
	. 	 
 Đáp số: .
 Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số
có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ của các điểm cực trị đó thoả mãn điều kiện:
. 	
 Đáp số: .
3) Cho hàm số . Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu thoả điều kiện: 
	. 	 
 Đáp số: .
Bài 6. 1) Cho hàm số .
a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu tại và: 
	. 	 
 Đáp số: .
b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng .
 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thoả mãn điều kiện: 
. 	 
 Đáp số: . 
Bài 7. 1) Cho hàm số . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các giá trị cực trị cùng dấu. 
 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực trị đó của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox.
 Đáp số: .
3) Cho hàm số . Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. 
 Đáp số: .
Bài 8. 1) Cho hàm số . Định m để hàm số có cực trị với hoành độ các điểm cực trị đều nhỏ hơn 2. 	 
 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Định m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho . 	 
 Đáp số: .
Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ trong khoảng . 	 
 Đáp số: .
Bài 9. 1) Cho hàm số . Định m để hàm số có ba cực trị với hoành độ thuộc đoạn . 	 
 Đáp số: .
Cho hàm số . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số chỉ có một cực trị thuộc đoạn . 	 
 Đáp số: .
Cho hàm số , với m là tham số khác -1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng . 
 Đáp số: .
Bài 10. 1) Cho hàm số .
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu trên đoạn . 
	 Đáp số: .
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại sao cho , với và . 	 
	 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. 	 
	 Đáp số: .
3) Tìm a và b để các cực trị của hàm số đều là những số dương và là điểm cực đại. 	 
	 Đáp số: .
 Bài 11. 1) Cho hàm số . Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về hai phía của trục tung. 
	 Đáp số: .
2) Cho hàm số .
Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối với trục hoành. 
	Đáp số: .
Tìm m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều trục Ox. 
	 Đáp số: .
Bài 12. 1) Cho hàm số .Tìm m để hàm số có các cực trị luôn luôn nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. 
	 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (I) và một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (III) của mặt phẳng toạ độ. 	 
	 Đáp số: .
Bài 13. 1) Xác định m để hàm số có ba cực trị. 
	 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Định m để hàm số có đúng một cực trị. 	 Đáp số: .
3) Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. 	 
	 Đáp số: .
Cho hàm số . Tìm m để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu.	 
	 Đáp số: .
Bài 14. 1) Cho hàm số . Tìm a để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng .	 
	 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng .
	 Đáp số: .
Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng .	 
	 Đáp số: .
Bài 15. 1) Cho hàm số . Tìm m để hàm số có hai cực trị. Gọi là các điểm cực trị, tìm m để và thẳng hàng. 
	 Đáp số: .
2) Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối cực đại, cực tiểu luôn luôn đi qua một điểm cố định. 
	 Đáp số: . 
Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu nhỏ nhất.	 
	 Đáp số: .
Bài 16. Xác định tham số k để hàm số sau có cực tiểu:
 . 	 
	 Đáp số: .	
Câu 309. Cho hàm số . Khẳng định nào đúng?
y đạt cực đại tại , cực tiểu tại ; 
y chỉ có một cực đại tại ;
y đạt cực tiểu tại , cực đại tại ; 
y không có cực trị.
Câu 311. Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là:
; 
 ;
 ; 
 .
Câu 5. Cho hàm số y =x3-12x-7, đồ thị hàm số có cực đại tại điểm có hoành độ là
–2.
2.
0.
4.
Câu 6*. Tìm m để có cực trị
.
m ³2.
. 
m<2.
Câu 9*. Tìm m để y = x3 – mx2 + mx -2 có cực trị
m3.
m³3 hoặc m £0.
0<m<3.
0 £m£3.
Câu 16. Điểm cực đại của hàm số là :
.	
.
Không có.
Câu 17*. Giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu là:
.
.
 .
 Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 18. Nếu hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại thì giá trị của là:
.
.
.
 Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 19*. Giá trị của m để hàm số có cực trị là:
.
.
 .
 Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 21. Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
Không có điểm cực trị.
 .
.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 22. Điểm cực trị M của đồ thị hàm số là:
M.
M.
Không có điểm cực trị.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 23*. Hàm số có:
Một cực tiểu và một cực đại.	
Hai cực tiểu.
Hai cực đại.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 24*. Hàm số có:
Một cực tiểu.
Một cực tiểu và một cực đại.
 Một cực đại.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 25*. Hàm số có:
Hai cực tiểu.	
Hai cực đại.
Hai cực tiểu và hai cực đại.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 26*. Hàm số có:
Ba cực trị.
Hai cực trị.
Một cực trị.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 27. Giá trị cực đại của hàm số là:
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
.
.
.
Câu 28. Giá trị cực đại của hàm số là:
.	
 .
.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 31. Giá trị tuyệt đối của hiệu giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số là:
.
.
 .
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 32. Nếu đồ thị của hàm số đi qua điểm thì giá trị của m là:
.
.
.
Tất cả các câu trả lời khác đều sai.
Câu 33. Hàm số có giá trị cực tiểu và giá trị cực đại . Khi đó, là :
.
.
.
.
Câu 224 Cho hàm số y =x3-3x-7, đồ thị hàm số có cực tiểu tại điểm có hoành độ là
1.
-1.
0.
2.
Câu 228. Đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu