Toán học - Vấn ðề 10: Bất đẳng thức

VẤN ðỀ 10. BẤT ðẲNG THỨC 
Dạng 1. Chứng minh bất ủẳng thức bằng ủịnh nghĩa 
Chứng minh rằng: 
1. a) 2 22 2 10 0, , .a b ab b a b+ + + + > ∀ b) 2 2 24 3 14 2 12 6 .a b c a b c+ + + > + + 
2. a) Nếu 0a b+ ≥ thỡ ( ) 3 3.ab a b a b+ ≤ + b) Nếu 0a b+ ≥ thỡ 
33 3
.
2 2
a b a b+ + ≥  
 
c) Nếu 0, 0a b> > thỡ .a b a b
b a
+ ≥ + d) Nếu 0, 0, 0a b a b+ ≥ ≠ ≠ thỡ 2 2
1 1
.
a b
b a a b
+ ≥ + 
3. a) ( )2 2 2 2 2 , , , , , .a b c d e a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + ∀ 
b) Nếu 0a b c+ + ≥ thỡ 3 3 3 3 .a b c abc+ + ≥ Hướng dẫn: Chứng tỏ rằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 23 13 3 .
2
H a b c ab a b abc a b c a b b c c a = + + − + − = + + − + − + −
 
4. a) 4 2 31 2 2 , .a a a a+ ≥ + ∀ b) 4 4 3 3 , , .a b a b ab a b+ ≥ + ∀ 
c) 
22 2 2
, , , .
3 3
a b c a b c
a b c+ + + + ≥ ∀ 
 
 d) Nếu a b c< < thỡ 2 2 2 2 2 2 .a b b c c a a c b a c b+ + < + + 
Dạng 2. Sử dụng phương phỏp biến ủổi tương ủương 
5. a) Cho 3 số , ,a b c bất kỳ, chứng minh rằng 2 2 2 .a b c ab bc ca+ + ≥ + + 
b) Cho 3 số , ,a b c thoả món 2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh rằng 1 1.
2
ab bc ca− ≤ + + ≤ 
Hướng dẫn: Phải chứng minh ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 .2 a b c ab bc ca a b c− + + ≤ + + ≤ + + 
c) Biết 0, 0, 0.a b c> > > Chứng minh rằng 
8 8 8
3 3 3
1 1 1
.
a b c
a b c a b c
+ + ≥ + + 
6. a) Cho bốn số , , ,a b c d tuỳ ý. Chứng minh rằng ( ) ( )( )2 2 2 2 2 .ac bd a b c d+ ≤ + + 
b) Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 2 2 2 2 , , , , .a c b d a b c d a b c d+ + + ≤ + + + ∀ 
7. (ðại học – A – 1980) Cho , , 0.a c b c c> > > Chứng minh rằng ( ) ( ) .c a c c b c ab− + − ≤ 
Hướng dẫn: Bỡnh phương hai vế ủể ủưa bất ủẳng về dạng ( )( )( )2 0.c a c b c− − − ≥ 
8. a) 1 1 12a b c
bc ca ab a b c
 
+ + ≥ + − 
 
 với mọi a, b,c dương. 
b) Cho , ,a b c thuộc [ ]0;1 . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 21 .a b c a b b c c a+ + ≤ + + + 
Hướng dẫn: Sử dụng ( )( )( )2 2 20 1 1 1 .a b c≤ − − − 
9. a) Cho hai số dương ,x y thoả món 1.xy ≤ Chứng minh rằng 1 1 2 .
1 1 1x y xy
+ ≤
+ + +
b) Áp dụng chứng minh rằng nếu 0 1, 0 1, 0 1x y z< ≤ ≤ < < ≤ thỡ 
2 2 2
1 1 1 3
.
1 1 1 1x y z xyz
+ + ≤
+ + + +
10. a) Cho 0.z y x≥ ≥ > Chứng minh rằng ( ) ( )1 1 1 1 1 .y x z x z
x z y x z
   
+ + + ≤ + +   
   
b) Cho 1, 1.a b< < Chứng minh rằng 1 .a b ab+ < + 
Dạng 3. Sử dụng cỏc bất ủẳng thức ủó biết 
Chứng minh rằng (1 – 6): 
11. a) Nếu , , , 0a b c d ≥ thỡ 4 .
4
a b c d
abcd+ + + ≥ b) Nếu , , 0a b c > thỡ ( ) 1 1 1 9.a b c
a b c
 
+ + + + ≥ 
 
c) 1 !,
2
n
n
n
+ 
> 
 
 với , 1.n n∈ >ℕ d) Nếu 1, 1a b≥ ≥ thỡ 1 1 .a b b a ab− + − ≤ 
12. a) Nếu cỏc số ,a b thoả món 3 4 7a b+ = thỡ 2 23 4 7.a b+ ≥ 
b) Nếu cỏc số , ,x y z thoả món 2 2 2 9x y z+ + = thỡ 2 3 4 3 29.x y z− + ≤ 
c) Cho 2.a b+ = Chứng minh rằng 4 4 2.a b+ ≥ 
d) Nếu , , , , ,a b c x y z dương và 1a b c
x y z
+ + = thỡ ( )2 .x y z a b c+ + ≥ + + 
13. a) Nếu a và b là hai số dương thỡ 4 .
1
ab
a b
ab
+ ≥
+
b) Nếu 1 2, , ..., 0na a a ≥ và thoả món 1 2... 1na a a = thỡ ( )( ) ( )1 21 1 ... 1 2 .nna a a+ + + ≥ 
c) Nếu 0a b> > thỡ ( )
1 3.a
b a b
+ ≥
−
d) 3 3 23 7 9 , 0, 0.a b ab a b+ ≥ ∀ ≥ ≥ 
14. a) Nếu , , ,a b c là ba số dương và 1a b c+ + = thỡ 1 1 11 1 64.a
a b c
   
+ + + ≥   
   
b) (ðHBKHN, 1990) Nếu , ,a b c là cỏc số dương thỡ 3 3 3 2 2 2 .a b c a bc b ac c ab+ + ≥ + + 
15. a) Nếu 2 3 5x y+ = thỡ 2 22 3 5.x y+ ≥ b) Nếu 2 2 1x y+ = thỡ 3 4 5.x y+ ≤ 
16. a) Nếu , , , ,x y z p q là cỏc số dương thỡ 3 .x y z
py qz pz qx px qy p q
+ + ≥
+ + + +
b) Nếu , ,a b c là ba cạnh của một tam giỏc thỡ 3 .p p a p b p c p< − + − + − ≤ 
Dạng 4. Áp dụng bất ủẳng thức ủể tỡm min, max 
17. a) Tỡm max của ( )1 2A x x= − với 10 .
2
x≤ ≤ ðỏp số: max
1 1
.
8 4
A x= ⇔ = 
 b) Tỡm min của ( )13 , 2 .
2
B x x
x
= + >
−
 ðỏp số: min
36 2 3 2 .
2
B x= + ⇔ = + 
c) Với 0 3, 0 1,x y≤ ≤ ≤ ≤ tỡm max của ( )( )( )3 1 4 7 .C x y x y= − − + ðỏp số: max 18C = 
17 2
, .
12 21
x y⇔ = = 
18. a) (ðề 115.II) Cho 4.xy yz zx+ + = Tỡm min của 4 4 4.F x y z= + + 
b) Cho 3, 4, 2.a b c≥ ≥ ≥ Tỡm max của 2 3 4 .ab c bc a ca bf
abc
− + − + −
= 
19. a) Tỡm min của 15
3
M x
x
= +
−
 với 3.x > 
b) Tỡm max của ( )1 3N x x= − với 10 .
3
x≤ ≤ 
c) Với 0 5, 0 3, 0 1,x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ tỡm min của ( )( )( )( )5 3 1 2 5 .P x y z x y z= − − − + + 
20. a) (ðề 73. III) Cho 2 236 16 9.x y+ = Tỡm max và min của 2 5.A y x= − + 
b) (ðề 53. III) Cho 2 2 1.x y+ = Tỡm max của 1 1 .A x y y x= + + + 
21. (ðề 94. II) Cho 
2 2
2 2
16
25
20.
x y
u v
xu yv
 + =

+ =
 + ≥

 Tỡm giỏ trị lớn nhất của .u v+