Toán học - Xét tính hữu tỉ và tính vô tỉ của một số để giải các bài toán có liên quan

XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VÔ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng:
1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ là số hữu tỉ
Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số .Tập hợp số hữu tỉ và tập hợp số vô tỉ và ta đã biết được rằng :Nếu x là số hữu tỉ thì x không phải là số vô tỉ và ngược lại, nếu x là số vô tỉ thì x không phải là số hữu tỉ.Từ đây ta cũng có các nhận xét sau
2.tổng của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ
3.tích của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ.
Thật vậy, nếu xQ và yR\Q mà x+yQ thì x+y+(-x) =yQ Vô lí.
Cũng vậy, nếu xQ và yR\Q mà xyQ thì xy(x -1) =y Q Vô lí . Áp dụng các nhận xét trên ta sẽ giải được một số bài toán có liên quan, sau đây là các ví dụ minh họa
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng 
 Giải
Gỉả sử x2+px+q (p,q là các số hữu tỉ )là phương trình phải tìm .
Do số == -4+ là nghiệm của phương trình nên 
 (-4++p(-4+) +q = 0, tức là (31-4p+q)+(p-8)=0. Ta thấy:vì p,q là số hữu tỉ và là số vô tỉ nên với nhận xét trên phương trình cuối chỉ tồn tại khi và chỉ khi đồng thời có 
31-4p+q=0 và p-8=0. Suy ra p=8,q=1.Vậy phương trình bậc hai phải tìm là: x2 +8x -1 = 0
Bài 2: tìm nghiệm hữu tỉ của phương trỉnh: - = .
Giải
Giả sử y và z là hai nghiệm hữu tỉ của phương trình trên.Sau khi bình phương hai vế ta được: y +z -2 =2 -3 hay (y+z-2) =2 -3 (1) 
Từ (1) ta thấy (x+z-2)2.3 = 9+12yz -12 nên số là số hữu tỉ .Do đó cũng từ (1) ta phải có y+z-2=0 và 2 -3 =0. Vì vậy các số y,z phải thỏa mãn các đẳng thưc: y+z=2 và yz= hay chúng là nghịêm của phương trình x2 -2x +=0. Do y>z nên phương trình trên chỉ có một nghiệm là .Đó là nghiệm hữu tỉ của nó.
Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn phương trình: =+
Gỉải
Giả sử x,y,z là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho:
=+. Bình phương hai vế ta được
 x+2= y+z+2 x-(y+z) +2 = 2 tiếp tục bình phương hai vế ta được
[x-(y+z) ]2 + 4[x-(y+z)] +12=4yz (1)
từ (1) suy ra x=y+z vì nếu x ≠ y+z thì = là số hữu tỉ,vô lí.
Vậy x=y+z thì yz=3 y=3,z=1 hoặc y=1 ,z=3 
*Với y = 3, z = 1 ta được x = 4
*Với y=1, z = 3 ta được x=4 
Thử lại ta được (4,3,1) và (4,1,3) là nghiệm
Bài 4 Chứng minh rằng nếu u,v Q mà s = u + vQ thì u = v = 0
Giải
Nếu v = 0 ta suy ra ngay u =s =0 (vì là số vô tỉ) 
Nếu v ≠ 0 ta có = p + q (1) ( p,q là các số hữu tỉ). Nhân hai vế của (1) cho ta được: 3 = p + q (2) thay ở (1) vào (2) ta đươc
 3 = p + q(p + q) = p + pq + q2 = pq +( p+q2) 
Từ đây suy ra :3= pq +( p+q2) . Để đẳng thức này sảy ra ta phải có 
 Pq = 3 và P+q2 =0 do đó p = -q2 nên 3 = -q3 q3 = -3 hay
 q = -. Điều này không xảy ra (vì là số vô tỉ mà q là số hữu tỉ) tức giả xử v ≠ 0 không xảy ra đươc . Vậy v = u = 0.
Bài 5: Tìm đa thức f(x) với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ nhất mà 
 f() = 3 + 
giải
Xét f(x) = ax +b với a,b là các số hữu tỉ.Ta có f() = 3 + a() +b =3 + (a-1) +a = 3-bQ.
 Theo bài 4 ta có : a-1=0 vô nghiệm. Vậy không có đa thức bậc nhất nào thỏa 
 a=0 mãn
Xét f(x) = ax2+bx +c. ta có f() = 3+
a()2+b()+c=3+
(a+b) + (3a+b-1)= 3-6a-c . Đến đây áp dụng kết quả bài 4 ta có:
 a+b=0 a=
 3a+b-1=0 b= - Vậy f(x)= x2 - x là đa thức phải tìm
 3-6a-c=0 c=0
Bài 6 Chứng minh rằng mọi đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận làm nghiệm đều chia hết cho x2-3
 Giải
Giả sử f(x) = (x2-3).h(x) + r(x). Vì x2 -3 bậc hai nên r(x) = ax + b .Ta ph ải chứng minh r(x)=0.
Thật vậy ,ta có f() = .h() + a + b 0 = a + b (a,b Q)
Do là số vô tỉ vậy từ a + b = 0 ta có a=b=0 r(x) =0 v ây f(x) chia hết cho x2-3
Bài 7 Hãy biểu thị dưới dạng a+b với a,b là số hữu tỉ
 Giải
Giả sử = a+b với a,b Q ,b≠0 
Lập phương hai vế ta được:
 2+=a3 + 3a2b +15ab2 +5b3 (1-3a2b-5b3) = a3+15ab2-2 
Biểu thức c=(1-3a2b-5b3) là số hữu tỉ, nếu c≠0 thì c là số vô tỉ, mâu thuẫn với vế phải là số hữu tỉ 
 Vậy : 3a2b+5b3 =1 
 a3+15ab2 =2 
Suy ra 6a2b+10b3 = a3 + 15ab2 a3 - 6a2b + 15ab2 -10b3 =0
Do b0 nên chia hai vế cho b3 ta được: - 6+ 15 -10 =0
 =1 a=b . Thay vào hệ trên ta được a = b = 
Vậy = 
Trên đây là một số bài toán mà lời giải có liên quan đến các nhận xét đã nêu ở phần đầu.Các bạn thử áp dụng các nhận xét trên để giải một số bài tập sau
1.Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a + b+ c= 0 .
 Chứng minh a = b = c = 0
2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a + b + c= 0
 chứng minh a = b = c = 0.
3. Chứng minh rằng nếu a,b,c và là những số hữu tỉ thì cũng là những số hữu tỉ 
4. Cho a,b là hai số hữu tỉ .Xác định đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + 1 . Biết rằng đa thức này có nghiệm là 2 + 
 5.Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng 
6. Chứng minh rằng mọi đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận làm nghiệm đều chia hết cho x2-5
7. Chứng minh rằng không thể biểu diễn được ở dạng p+qtrong đó p , q ,r Q, r >0
8.Cho a và b là các số hữu tỉ, c và d là các số hữu tỉ dương,không phải là bình phương của các số hữu tỉ nào khác.chứng minh rằng nếu :
 a + = b + thì a=b và c=d 
 TRẦN THANH HƯNG
 Trường THCS Nguyễn Du ,xuân Quang 3, Đồng Xuân ,Phú Yên