Toán - Một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3 
 Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1) 
 với a+b=c+d và m ≠ 0 
Cách giải: 
Phương trình (1) được viết lại: 
[x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m 
Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc 
đó phương trình (1) được viết lại như sau: 
(t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 
Giải phương trình theo t  x 
Ví dụ: giải phương trình sau 
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120 
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120 
 (x2 +5x +4)(x
2
 +5x+6)=120 
Đặt t = x2 +5x Lúc đó phương trình được viết lại: 
(t+4)(t+6)=120 
 t2 +10t-96 =0 
 t=6, t=-16 
Với t=6 thì x2 +5x-6=0  x=1, x=-6 
Với t=-16 thì x2 +5x+16=0 ( vô nghiệm) 
BÀI TẬP 
1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 
2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 
3. (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8 
4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 
5. (16(x2 -1)(x
2
 +8x+15)=105 
Tìm m để phương trình sau 
6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm 
7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt. 
8. (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân 
biệt 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4 
 Dạng 2: mxax2 +bx+c
 + 
nx
ax2 +dx+c
 =k 
Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không 
Cách giải: 
Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của 
phương trình đã cho. 
Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x, 
lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau: 
m
ax+b+
c
x
 + 
n
ax+d+
c
x
 =k (2.1) 
Đặt t= ax+
c
x lúc đó phương trình (2.1) được viết lại: 
m
t+b + 
n
t+d =k (2.2) 
Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t 1, t
2 rồi 
từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách 
giải các phương trình 
ax+ 
c
x = t
1 , ax+ 
c
x = t
2 
Ví dụ: giải phương trình 
4x
4x2 -8x+7
 + 
3x
4x2 -10x+7
 =1 (2.3) 
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình 
đã cho. 
Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức 
cho x ta được 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5 
4
4x-8+
7
x
 +
3
4x-10+
7
x
 =1 (2.4) 
Đặt t = 4+ 
7
x khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là 
4
t-8 + 
3
t-10 =1 
Quy đồng mẫu thì ta có phương trình 
t2 -25t +144=0. 
Phương trình này có hai nghiệm t 1=16, t
2=9 
Với t 1=16 ta có phương trình 4x+ 
7
x =16 
 4x2 -16x +7=0  x
1 = 
7
2 , x
2 = 
1
2 
Với t 2 =9 ta có phương trình 
4x + 
7
x =9  4x
2
 -9x+7=0 (không có nghiệm thực) 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 = 
7
2, x
2 = 
1
2 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau 
1. 
2x
3x2 -x+1
 + 
x
3x2 -4x+1
 = 
3
2 
2. 
2x
2x2 -5x+3
 + 
13x
2x2 +x+3
 =6 
3. 
2x
x2 +8x+5
 + 
6x
x2 +x+5
 =1 
4. 
3x
x2 -4x+1
 - 
2x
x2 +x+1
 = 
8
3 
Cho phương trình sau 
2x
x2 +8x+5
 + 
6x
x2 +x+5
 =m 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6 
Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện 
sau: 
5. Phương trình đã cho có nghiệm 
6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 
8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 
9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt 
10. Với giá trị nào của m thì phương trình 
3x
x2 -4mx+1
 + 
2x
x2 +mx+1
 =1 có 4 nghiệm dương phân biệt 
x 1, x
2, x
3, x
4 thoả mãn x
1+x
2+x
3+x
4 = 14 
 Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình 
cùng họ hàng với dạng toán trên. 
1
x2 +9x+20
 + 
1
x2 +11x+30
 + 
1
x2 +13x+42
 = 
1
18 (*) 
Giải như sau: 
Ta thấy (*) được viết lại: 
1
(x+4)(x+5) + 
1
(x+5)(x+6) + 
1
(x+6)(x+7) = 
1
18 
 
1
x+4 - 
1
x+5 + 
1
x+5 - 
1
x+6 + 
1
x+6 - 
1
x+7 = 
1
18 
 
1
x+4 - 
1
x+7 = 
1
18  x
2
 +11x-26 =0  x
1= 2, x
2= -13 
Tương tự giải phương trình sau: 
1
x2 +3x+2
 + 
1
x2 +5x+6
 + + 
1
x2 +(2n-1)x+n
2
 -n
 = k 
Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy 
thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, 
Z=im lặng (Albert Einstein's). 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7 
 Dạng 3 (x+a)
4 
 + (x+b)
4 
 =c (3) 
Cách giải: Đặt t= x+
a+b
2 lúc đó phương trình (3) được 
viết lại như sau: 






t+
a-b
2
4
+ 






t-
a-b
2
4
 =c 
 2t4 +3(a-b)
2
 t
2
 + 
(a-b)4 
8 -c=0 
Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ 
t suy ra giá trị của x 
Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)
4
 = 272 
Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được 
viết lại là: (t-1)4 +(t+1)
4
 =272 
 t4 +6t
2
 -135=0 Đặt X=t
2
  0 khi đó ta có 
X2 +6X-135=0  X=9, X=-15<0 (loại) 
Khi X=9  t2 =9  t
1=3, t
2=-3  x
1= 1, x
2 = -5 
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1=1,x
2=-5 
BÀI TẬP 
Giải phương trình sau: 
1. (x-2)4 + (x-4)
4
 =2 
2. (x+4)4 + (x+6)
4
 =82 
3. (x+3)4 + (x+5)
4
 =2 
Tìm m để phương trình (x+1)4 +(x+5)
4
 =m 
4. có nghiệm 
5. có 2 nghiệm phân biệt 
6. có 4 nghiệm phân biệt 
7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 
8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
(x+1)4 +(x+m)
4
 =82 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8 
 Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này 
thông qua ví dụ sau: 
Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)6 + (x-4)
6
 =64 
Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau: 
(t+1)6 + (t-1)
6
 =64  t
6
 +15t
4
 +15
2
 -31=0 
Đặt X=t2  0 lúc đó phương trình viết lại như sau: 
X3 +15X
2
 +15X-31=0 
 (X-1)(X2 +16X+31)=0 
 X 1=1, X
2=-8+ 33 <0( loại) X
3=-8- 33<0(loại) 
Với X=1  t2 =1  t
1=1, t
2=-1  x
1=4, x
2=2 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x 1=4, x
2=2 
Tương tự giải phương trình sau: 
1. (x-1)6 +(x-2)
6
 =1 
2. (x+2)6 + (x+4)6 =64 
3. Tìm m để phương trình (x-1)6 + (x-3)
6
 =m có nghiệm 
NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH 
Lối vào tim em như một đường hàm số 
Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin 
Anh tìm vào tọa độ trái tim 
Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó 
Ôi mắt em phương trình để ngỏ 
Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha 
Mái tóc em dài như định lí Bunhia 
Và môi em đường tròn hàm số cos 
Xin em đừng bảo anh là ngốc 
Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay 
Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay 
Anh giận em cả con tim thổc thức 
Mãi em ơi phương trình không mẫu mực 
Em là nghiệm duy nhất của đời anh. 
Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích. 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9 
 Dạng 4: af2 (x) + bf(x)g(x) + cg2 (x) =0 (4) 
Với dạng này ta xét hai trường hợp: 
TH1: g(x)=0 , gọi x= x o là nghiệm của phương trình 
g(x)=0 
Lúc đó nếu f(x o)=0 thì x=x
o là nghiệm của phương trình 
(4) đã cho. 
Ngược lại nếu f(x o)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương 
trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã 
cho. 
TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã 
cho g(x).Khi đó ta có: 
a





f(x)
g(x)
2
+ b





f(x)
g(x) +c =0 (4.1) 
Đặt t= 
f(x)
g(x) khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành 
at2 +bt +c=0 (4.2) 
Giải phương trình này ta tìm được t 
Giả sử t=t o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó 
nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của 
phương trình 
f(x)
g(x) =t
o  f(x)=t
og(x) 
Ví dụ:Giải phương trình: (x2 +6)
2
 -8x(x
2
 +6)+7x
2
 =0 
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương 
trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương 
trình cho x2 . Lúc đó phương trình được viết lại như sau 
(x2 +6)
2
x2 
 -8
(x2 +6)
x +7=0 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10 
Đặt t= 
(x2 +6)
x khi đó phương trình đã cho được viết lại 
như sau: t2 -8t+7=0  t
1=1, t
2=7 
Khi t 1=1 thì ta có phương trình x
2
 - x +6 =0 (Vô 
nghiệm) 
Khi t 2=7 thì ta có phương trình x
2
 -7x+6 =0 
 x 1 =1, x
2 =6 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1=1, x
2 =6 
BÀI TẬP 
 Giải các phương trình sau: 
1. (x+3)2 - x
2
 -x+6 = 2(x-2)
2
2. 2(x2 +x+1)
2
 -7(x-1)
2
 =13(x
3
 -1) 
3. 4x + 6
x
 = 9
x
4. 2(x-1)2 + 3(x
2
 -1)=5(x+1)
2
5. 2010
2x
 -3.4002
x
 +2.4
x
 =0 
6. 3.16
x
+2.81
x
=5.36
x
7. 2.4
1
x +6
1
x =9
1
x 
8. Giải và biện luận các phương trình sau: 
a. 2(x2 +x+1)
2
 +(m-1)(x
3
 -1) +(x-1)
2
 =0 
b. 49
x
- 4.21
x
 +m.9
x
=0 
9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 
x 1, x
2 thoả mãn 2< x
1 x
2  5 



2+ 5
2x
+ 


5-2
2x
 + m = 0 
- Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's) 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 11 
 Dạng 5 
m
x+a + 
m
x+b - 
m
x+c - 
m
x+d = n (5) 
Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho 
là xác định. 
Vói loại này ta có phương pháp giải như sau: 
Đưa phương trình về dạng: 
m
x+a - 
m
x+c + 
m
x+b - 
m
x+d =n quy đồng ta được: 
m(c-a)
x2 +px+ac
 + 
m(d-b)
x2 +px+bd
 =n 
Khi đó đặt t=x2 +px ta được phương trình có dạng 
k
t+
 + 
h
t+
 =n 
Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng 
nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra 
nghiệm của (1) 
Ví dụ: 
Giải phương trình 
1
x+3 + 
1
x+4 - 
1
x+5 - 
1
x+6= 
59
420 (5.1) 
Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5) 
tương đương với phương trình sau: 
3
x2 +9x+18
 + 
1
x2 +9x+20
 = 
59
420 
Đặt t = x2 +9x khi đó ta có phương trình sau 
3
t+18 + 
1
t+20 = 
59
420 
Giải phương trình trên ta có nghiệm là 
-1152
59 , 10 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 12 
Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho 
là: 1, -10, 
-9
2 + 
3 1121
118 , 
-9
2 - 
3 1121
118 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau 
1. 
1
x+2 + 
1
x+5 - 
1
x+4 - 
1
x+7 = 
29
252 
2. 
4
x2 -3
 + 
4
x2 -5
 - 
4
x2 +7
 - 
4
x2 +9
 = 
43
36 
3. Giải và biện luận phương trình sau: 
3
x2 +1
 + 
3
x2 +2
 - 
3
x2 +3
 - 
3
x2 +4
 =m (5.2) 
4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt 
mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2) 
có 4 nghiệm phân biệt. 
- Ai đó ví người theo nghề giáo như những người 
chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ 
người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại... Thầy 
cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để 
dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi 
những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không 
mong nhận lại điều gì... 
- Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với 
những gì đang có. 
- Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ 
sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo 
lối mòn cũ. 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 13 
 Dạng 6* x4 =ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c 
là hằng số. 
Với dạng này ta có phương pháp giải như sau: 
Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn 
(2m+a)x2 +bx +c+m
2
 = (x+)
2
 (6.1) 
Thực chất để xảy ra (6.1) thì điều kiện cần và đủ là 
b2 -4(2m+a)(c+m
2
 )=0 
Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm 
được giá trị m cần tìm. 
Ta có x4 =ax
2
 +bx+c 
 x4 +2mx
2
 +m
2
 =(2m+a)x
2
 +bx +c+m
2
Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về 
dạng (x2 +m)
2
 = (x+)
2
 (x2 -x-+m)(x
2
 +x++m)=0 
Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ 
dàng 
Ví dụ: Giải phương trình: x4 =6x
2
 - 37x +3 (6.2) 
Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho 
37-4(2m+6)(m2 +3)=0 
Phương trình này có một nghiệm thực duy nhất là 
m=- 
5
2 
Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có 
x4 -5x
2
 + 
25
4 = x
2
 - 37x+ 
37
4 
 






x2 -
5
2
2
 = 






x-
37
2
2
 






x2 +x-
5
2-
37
2 





x2 -x+
37
2 -
5
2 =0 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 14 
, , , 
1
2
11 2 37
2
 
1
2
11 2 37
2

1
2
11 2 37
2

1
2
11 2 37
2
Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là: 
Chú ý đối với phương trình x4 =6x
2
 +bx+3 thì ta 
chọn giá trị m cần chọn là m= 
(b2 -64)
1
3
2 -1 
BÀI TẬP 
Giải phương trình sau 
1. x4 = 6x
2
 + 56x+3 
2. x4 =x
2
 +2x- 
19
5 
3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm 
phân biệt 
x4 = 6x
2
 + (8m
3
 +64) x +3 (6.3) 
4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương 
phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2] 
- Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ 
đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình 
cờ, hai trong số họ gặp nhau. Nói với nhau vài câu 
rồi rời đi. Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè. 
Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa, 
nâng đỡ tâm hồn nhau. Bao nhiêu phương án có thể 
xảy ra. Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến 
thật tâm mình rung động, yêu thương không tính 
toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và 
thiêng liêng làm sao... (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên) 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15 
,5 1  1 5
 Dạng 7 a(ax2 +bx+c)2 +b(ax2 +bx+c) +c=x (7) 
Đặt t= ax2 +bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau: 


ax2 +bx+c=t 
at2 +bt+c=x
Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của 
phương trình đã cho. 
Ví dụ: Giải phương trình sau: 
(x2 +3x-4)
2
 +3(x
2
 +3x-4) =x+4 (7.1) 
Đặt t=x2 +3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau: 


x2 +3x-4=t 
t2 +3t-4=x
 (7.2) 
Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ 
phương trình thứ hai khi đó ta có 
(x2 -t
2
 )+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0 
Với t=x thì ta có các nghiệm là 
Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4 
Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là 
0, 4, 5-1, - 5-1 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau 
1. (x2 +4x+2)
2
 +4(x
2
 +4x+2)=x-2 
2. (x2 -4x+3)
2
 -4x
2
 +15x-9=0 
Cho phương trình (x2 +5x+m)
2
 +5x
2
 +24x+6m=0 
3. Giải phương trình khi m=-12 
4. Giải phương trình khi m=-22 
5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho. 
6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it 
nhất hai nghiệm dương phân biệt. 
Cho phương trình sau: 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 16 
2m(2mx2 +3x+m)
2
 +6mx
2
 +8x+4m=0 
7. Giải phương trình khi m=- 
2
3 
8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có 
hai nghiệm phân biệt. 
9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
(x2 -2x+2)
2
 +2(1-m)(x
2
 -2x+2)+m
2
 -2m+4=0 
Yêu Toán nhất 
Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007 
(Tôi chỉ trích dẫn) 
Bạn ơi, Toán học là gì? 
Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn! 
Là tư duy lôgic, ma lanh, 
Giúp cho đời những giải pháp nhanh, 
Rút ngắn thời gian và đầu tư công của, 
Để thu về cuộc sống optimal! 
Chính vì thế mà ta đã yêu! 
Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán! 
Toán cho ta một bầu trời trí tuệ, 
Một kho tàng chìa khóa để tư duy. 
Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa, 
Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta. 
Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi, 
Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống! 
Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực 
Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời! 
Hà Nội, 30/7/2007 
- Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt. 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17 
 Dạng 8: ax2 +bx+c= px2 +qx+r 
trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là 
không âm 
Với loại này ta có cách giải như sau: 
Viết phương trình đã cho dưới dạng: 
a.






x2 +
b
ax+
c
a = p x
2
 +
q
px+
r
p (8.1) 
Khi đó đặt t = x2 + 
b
ax= x
2
 + 
q
p x (do aq=bp≠ 0) 
Phương trình (8.1) được viết lại là: 
a
p






t+
c
a = t+
r
p (việc giải phương trình này đã dễ 
dàng hơn rồi bạn nhỉ !). 
Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó 
suy ra nghiệm x của phương trình đã cho 
Ví dụ Giải phương trình sau 
x2 -3x+2= 2x
2
 -6x+28 (8.2) 
Đặt t= x2 -3x khi đó phương trình đã cho viết lại 
như sau: 
t+2= 2 t+14  


t+20 
(t+2)2 =2(t+14)
  t 1=4, t
2=-6 
Khi t=4 thì ta có x2 -3x =4  x
1=-1, x
2=4. 
Khi t=-6 thì ta có x2 -3x=-6  phương trình không có 
nghiệm thực. 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau: 
1. 2x2 -3x+2= 4x
2
 -6x+28 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 18 
2. x2 -7x +2= 2x
2
 -14x+84 
Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x
2
 -21x+85 =0 
3. Giải phương trình khi m=19 
4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương 
trình. 
Cho phương trình 6x2 -12x+5= 2x
2
 -4x+m (8.3) 
5. Giải phương trình khi m= 85, m=2. 
6. Giải phương trình khi m= 
119
72 
7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai 
nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương. 
8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn 
nghiệm phân biệt. 
- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài 
năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời 
nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là 
những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng 
vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng 
tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc 
lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta 
là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này 
qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy, 
nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà 
giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có 
năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ 
sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên 
không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là 
nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh. 
- Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và 
nâng niuNếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới 
bầu trời Việt Nam. 
(Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP 
Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009) 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 19 
 Dạng 9 





1
f(x)+a
2
 + 





1
f(x)+b
2
 = c 
(9) 
Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không. 
Với loại này ta đặt X= f(x)+ 
a+b
2 và = 
b-a
2 khi đó 
phương trình đã cho được viết lại như sau: 





1
X-
2
 + 





1
X+
2
= c 
Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau: 
cX4 -2(c
2
 +1)X
2
 + c
4
 -2
2
 =0 (9.1) 
Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương 
theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng . 
Khi tìm được X = X 0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt 
X ta đưa phương trình đã cho về dạng: 
f(x) + 
a+b
2 =X
0 
Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách 
giải phương trình trên. 
Lưu ý: Dạng phương trình 





k
f(x)+a
2
+ 





k
f(x)+b
2
=c ta 
luôn đưa về được dạng phương trình (9) 
Ví dụ: Giải phương trình: 





1
sin(x)-1
2
 + 





1
sin(x)-2
2
 = 
40
9 (9.2) 
Đặt t=sin(x)- 
3
2 khi đó phương trình (9.2) viết lại 
như sau: 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 20 





1
t+
1
2
2
 + 





1
t-
1
2
2
 = 
40
9  18t
2
 + 
9
2 = 40t
4
 -20t
2
 + 
5
2 
 40t4 -38t
2
 -2= 0  t
1=-1, t
2=1 
Với t=-1 sin(x)= 
1
2  x= (-1)
k

6 + k (kZ) 
Với t=1  sin(x)= 
5
2 ( vô nghiệm) 
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là 
x= (-1)k 

6 + k (kZ) 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau: 
1. 





1
x2 -3
2
 + 





1
x2 -2
2
 = 
5
4 
2. 





3
2cos2 (x)-2
2
 + 





3
2sin2 (x)+1
2
 =40 
3. 





4
e2x +1
2
 + 





4
e2x +3
2
 =5 
4. 





3
x+4 x-2
2
 + 





3
x+4 x-6
2
=10 
Cho phương trình 





12
x2 -3x+5
2
+





12
x2 -3x+6
2
=m (9.3) 
5. Giải phương trình khi m=25. 
6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3). 
- Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi 
chung trên một con đường...rồi cuối cùng sẽ gặp nhau. 
- Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh 
hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu 
hết mình. 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 21 
 Dạng 10 (Phương trình phản phương) 
ax4 +bx
3
 +cx
2
  bx+a=0 (a≠ 0) (10) 
Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là 
nghiệm của phương trình đã cho 
Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2 
khi đó ta được ax2 +bx+c  
b
x + 
a
x2 
 =0 
 a






x
1
x
2
+b






x
1
x +c 2=0 
Đặt t= x  
1
x khi đó ta có phương trình mới 
at2 +bt +c 2=0 (10.1) 
Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t 
sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x. 
Ví dụ: Giải phương trình x4 -4x
3
 +x
2
 +4x+1= 0 
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương 
trình đã cho. 
Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình 
cho x2 khi đó ta có 






x-
1
x
2
 -4






x-
1
x +3=0 
Đặt t=x- 
1
x lúc đó ta có phương trình 
t2 -4t+3=0  t
1=1, t
2 =3 
Với t=1 thì ta có phương trình 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 22 
x2 -x-1=0  x
1= 
1+ 5
2 , x
2= 
1- 5
2 
 Với t=3 thì ta có phương trình 
x2 -3x-1=0  x
3= 
3+ 13
2 , x
4= 
3- 13
2 
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm 
x 1= 
1+ 5
2 , x
2= 
1- 5
2 , x
3= 
3+ 13
2 , x
4= 
3- 13
2 
BÀI TẬP 
Giải phương trình 
1. 9x4 -9x
3
 -52x
2
 -9x+9=0 
2. x4 + 2x
3
 -6x
2
 -2x+1=0 
3. x4 +10x
3
 +26x
2
 +10x+1=0 
Cho phương trình x4 +5x
3
 +mx
2
 +5x+1=0 (10.2) 
4. Giải phương trình khi m=-12. 
5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình. 
6. Cho phương trình sau 
x4 - (m+1)x
3
 +(m+2)x
2
 - (m+1)x+1=0 
Tìm m để phương trình có nghiệm. 
7. Cho phương trình sau 
x4 +mx
3
 +x
2
 +mx +1=0 
Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác 
nhau. 
8. Biết phương trình x4 -bx
3
 - cx
2
 - bx+1=0 có nghiệm 
Chứng minh rằng: b2 +(c+2)
2
 >3 
Con đường phía trước vẫn còn nhiếu khó khăn , 
nhưng quan trọng ta có bản lĩnh đề vượt qua hay 
không ? Chính niềm đam mê sẽ góp thêm sức mạnh 
cho ta 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 23 
 Dạng 11 (Phương trình hồi quy) 
 ax4 +bx
3
 +cx
2
  dx+k=0 (11) trong đó kb
2
 =ad
2
Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì 
phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba. 
Với loại này ta có cách giải như sau 
Trước hết để thuận tiện ta đặt = 
d
b = 
k
a 
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của 
phương trình (11). 
Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho 
x2 thì thu được phương trình sau: 
ax2 +bx +c  
d
x + 
k
x2 
 =0 
 a






x2 +
2 
x2 
+b






x

x +c =0 
 a






x

x
2
+b






x

x +c  2a=0 
Đặt t= x  

x khi đó ta có phương trình bậc hai 
at2 +bt+c  2a=0 Việc giải phương trình này ta có 
thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm 
được x dựa vào cách đặt t. 
Ví dụ: Giải phương trình: x4 +x
3
 -8x
2
 +2x+4=0 
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương 
trình đã cho. 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 24 
Tiến hành chia hai vế của phương trình đã cho cho 
x2 khi đó ta thu được: 





x2 +
4
x2 
 + 






x+
2
x -8=0 
Đặt t= x+
2
x lúc đó ta sẽ có được phương trình là: 
t2 +t-12=0  t
1 =3, t
2=-4 
Với t=3 thì ta có phương trình 
x2 -3x+2=0  x
1 =1, x
2=2 
Với t= -4 thì ta có phương trình 
x2 +4x+2=0  x
3 =-2+ 2 , x
4=-2- 2 
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là: 
x 1 =1, x
2=2, x
3 =-2+ 2 , x
4=-2- 2 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau 
1. 4x4 +2x
3
 -8x
2
 +3x+9=0 
2. x4 + x
3
 -8x
2
 -3x+9=0 
Cho phương trình x4 +x
3
 +mx
2
 +2x+4=0 
3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm 
phân biệt. 
4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm. 
Cho phương trình 9x4 +3x
3
 -2m
2
 x
2
 +4x+16=0 
5. Giải phương trình khi m=4 
6. Giải phương trình khi m= 12-2 3