Toán - Một số vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
q Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thị :
Phương pháp: 
1) Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C1): , với các ghi nhớ:
 * (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox
 * Viết 
 * Đồ thị (C1) : được vẽ bằng các bước:
 + Giữ lại đồ thị (C) nằm phía trên Oõx
 + Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox 
 + Hợp 2 phần đồ thị ta được đồ thị (C1): 
2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C2): với các ghi nhớ
 * là hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy
 * Ta vẽ đồ thị (C2) qua các bước: 
 + Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy 
 + Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C) 
 + Hợp 2 phần đồ thị ta có đồ thị (C2): 
3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C3): bằng cách kết hợp dạng 1 và dạng 2 
 + Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy. Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thị (C2)
 + Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thị (C2) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên Ox 
 + Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thị của hàm (C3): 
4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản
 Từ đồ thị (C) : (giả sử a > 0) suy ra đồ thị (C4) 
 Qua các bước :
 + Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thị của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
 + Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d): vừa bỏ đi qua d 
Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1)
Tương tự với các đồ thị (C4) hay ... và các đồ thị hay 
5) Dạng 5:Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C5): 
 hay (C5): qua các bước 
 + Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox
 + Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất) 
Khảo sát và vẽ đồ thị 
Suy ra đồ thị 
Giải: Đồ thị (C)
Đồ thị (C1)
Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
	Vẽ đồ thị 
Đồ thị (C2)
Bài toán 3: (Phép suy thứ ba) 
	Vẽ đồ thị 
Đồ thị (C3) 
Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
	Vẽ đồ thị 
Đồ thị (C4)
Bài toán 5: (Phép suy thứ năm) 
	Vẽ đồ thị 
q Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:
Phương pháp : Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y= g(x)
Biện luận sự tương giao của (C1) với (C2) 
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)
 f(x) = g(x) f(x) – g(x) = 0 (1)
* Giải và biện luận phương trình (1)
* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) với (C2)
 - Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C1) cắt (C2)
 - Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C1) tiếp xúc (C2)
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có 
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D) 
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
 	(C) : y = x3 – 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) 
	 x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4
ĩ (x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 m = 9 
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4 
	Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2
	Ta có 
	m < 0	: (2) vô nghiệm
	m = 0 	: (2) có nghiệm kép x = – 1
	0 < m ≠ 9	: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
Kết luận:
m < 0	: (D) cắt (C) tại 1 điểm 
m = 0 	: (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại 1 điểm 
0 < m ≠ 9	: (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 	: (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)
Bài toán 2: Cho hàm số y = (C)
	Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thị 
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
	 x2 + 4x + 1 = mx2 + 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)
	 (1 – m)x2 + (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
	(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)
	 (*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2 
	Kết luận : thì (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 
một nhánh của (C) 
Bài toán 3:Cho hàm số . Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị (C) và đối 
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1 
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc 
 đường thẳng (d’) y = –x + m 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C) 
	x2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
	2x2 – (m + 1)x + m = 0 (*)
Ta có = (m + 1)2 – 8m > 0 
	 m2 – 6m + 1 > 0
Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:
	 A và B đối xứng qua (d) 
 I thuộc (d): y = x – 1 
 m = – 1
	Lúc đó (*) thành trở thành : 2x2 – 1 = 0 x = 
	Vậy 	
Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao 
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
 	a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
	b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x
	Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) 
	x2 – 2x – 3 = 2x + m
	x2 – 4x – 3 – m = 0 
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B 
	 = 7 + m > 0 
	m > –7
	Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có 
	S = xA + xB = 4
	P = xA xB = – 3 – m
	a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc ĩ f’(xA )f’(xB) = –1
	 	(2 xA –2)(2 xB –2) = – 1
	4P – 4S + 5 = 0
	4(–3 –m) –16 + 5 = 0
	m = (nhận vì m > –7)
b) A, B thuộc (d) yA = 2 xA + m 
	 yB = 2 xB + m
Ta có AB2 = 100	(xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100
	(xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100
	(xA – xB)2 = 20
	S2 – 4P = 20
	16 + 4(3+m) = 20
	m = – 2 (nhận vì m > –7)
Bài toán 5 : Cho hàm số 
	Tìm a để đường thẳng : y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành 
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và :
	 cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu 
	 (*) có 2 nghiệm phân biệt 
q Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :
Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x0; y0)
 Tính y’ = f’(x) y’(x0) = f’(x0)
 Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x0;y0) là: (y – y0) = f’(x0)(x – x0) 
2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A
- Cách 1: 
 * Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(xA; yA) và có hệ số góc k : (D) : y =k(x – xA) + yA 
 * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – xA) + yA (1)
 * (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác định đuợc k. Từ đó viết được phương trình (D)
- Cách 2:
 * Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm 
 * Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)
 * (D) đi qua điểm A nên : (yA – y0) = f’(x0)(xA – x0) (1)
 Giải (1) tìm được x0, từ đó tìm được phương trình của (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước 
- Cách 1: 
 * Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k
 (D) : y = kx + m (1)
 * Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m
 * (D) là tiếp tuyến của (C) (1) có nghiệm kép. Từ đó tìm được giá trị của m , từ đó viết được phương trình của (D)
- Cách 2: 
 * Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x0; y0) là tiếp điểm:
 (D) có hệ số góc k 
 (D) có hệ số góc f’(x0) 
 f’(x0) = k (1)
 * Giải (1) tìm được x0 ; y0 = f(x0). Từ đó viết được phương trình của (D) 
Bài toán 1: Cho hàm số (C) . M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp 
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B . 
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm 
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải: 
	tiếp tuyến tại M là (d) 
Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1
Tiệm cận xiên của (C) là (d2) : 
Ta có :
Vậy M là trung điểm của AB 
Giao điểm của 2 tiệm cận là 	
	Vậy SIAB không phụ thuộc vào M	
Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C) . 
Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất 
Giải : Gọi M(x0; y0) : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x0) = 
 	Ta có . Dấu “=” xảy ra khi x0 = – 1
	Vậy Min k = – 12 M(–1; 16)
	Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số 
góc nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)
	Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao 
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau 
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm) 
	x3 + mx2 + 1 = – x + 1
	 	x(x2 + mx + 1) = 0 (*)
	Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt 
	 g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
	Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0
	Tiếp tuyến tại B và C vuông góc 
	 (nhận so với điều kiện)
Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A1, B1, C1 lần luợt là giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
	Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H) 
	Gọi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC)
	 giao điểm A1, B1, C1 của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)
	* A, B, C thẳng hàng :
	* A1, B1, C1 thẳng hàng :
	Vậy : A, B, C thẳng hàng A1, B1, C1 thẳng hàng
q Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình bằng đồ thị:
Phương pháp : 
1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)
 * Đưa về dạng : g(x) = m 
 * Vẽ đồ thị (C) : y = g(x) và (D) : y = m
 * Xét sự tương giao của (C) và (D) trên đồ thị theo tham số m
 * Kết luận : số giao điểm trên đồ thị là số nghiệm của phương trình (1) 
 2)Dạng 2: f(x) = g(m)
 * y = g(m) là đường thẳng luôn qua M(x0; y0) cố định
 * y = g(m) là đường thẳng có hệ số góc khôâng đổi 
 * g(m) = f(m)
Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
Giải: a) Đồ thị (C)
	b) 
Đặt t = sinx , 
Xét y = t3 – 3t với 
Nhìn vào đồ thị (C) ta thấy 
Bài toán 2: Cho hàm số (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức 
Giải: a)Đồ thị (C)
	b) Đặt 
	Vậy với 
	Nhìn vào đồ thị hàm số (1) ở trên khi xét ta thấy:
Bài toán 3: Cho hàm số (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị 
Biện luận theo m số nghiệm của:
Giải: a)
b) (*)
	Xét hàm số với 
	Nhìn vào đồ thị ta thấy khi thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ 
không âm
Vậy khi có nghiệm x = t2 = 0
	(*) có nghiệm kép 
	 thì (*) có 2 nghiệm 
	 thì () vô nghiệm	
Bài toán 4:Cho hàm số (C)
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị
	b) Biện luận theo m số nghiệm của với 
Giải:a) Đồ thị (C)
b) Xét phương trình với 
	 (*)
	Vì không là nghiệm của (*)
	Vậy với 
Xét đường y = m và với 
	Nhìn vào đồ thị ta thấy 
	 : (*) có 2 nghiệm
	: (*) có 1 nghiệm
	 : (*) vô nghiệm
Bài toán 5: Cho hàm số (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 
Biện luận số nghiệm của phương trình 
Giải: a) Đồ thị (C)
	b) (*)
	Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có 
	Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)
	Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :
	 (C) : 
	(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép 
	Vậy tiếp tuyến của (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1 
	* Kết luận
	 : (d) tiếp với (C) phương trình (*) có nghiệm kép 
	 :(d) cắt (C) tại 2 diểm phân biệt phương trình 
(*)có 2 nghiệm đơn
	 : phương trình vô nghiệm
Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình
Giải: 
	Đặt (d) : 
	Xét (C) : 
	* Dựa vào đồ thị ta có
	 : phương trình đã cho vô nghiệm
	 : phương trình có 1 nghiệm
	 : phương trình có 2 nghiệm
Bài toán 7: Cho hàm số (C)
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Giải: a) Đồ thị (C) : 
b) 
Xét (C)
Nhìn vào đồ thị ta thấy :
Khi : (*) có 2 nghiệm kép 
 : (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0 
 và 2 nghiệm đơn 
	 : (*) có 4 nghiệm phân biệt
 : (*) có 2 nghiệm đơn
Vấn đề 5: Biện luận số đường cong đi qua diểm cho trước:
Phương pháp: cho đường (Cm) = f(x, m) và điểm M(x0; y0) cho trước. Biện luận theo m số đường (Cm) đi qua M
 * M(x0; y0) thuộc (Cm) y0 = f(x0, m)
 * Biến đổi phương trình có ẩn m , và x0; y0 là tham số
 Am + B = 0 (1) hay Am2 + Bm + C = 0 (2)
 * Biện luận số nghiệm của phương trình (1) và (2) theo m . Từ đó suy ra số(Cm) đi qua M
Bài toán 1: Cho hàm số (Cm)
	Biện luận theo m số đường (Cm) đi qua điểm cho sẵn
Giải: 
	 (*)
 * Nếu thì (*) có 1 nghiệm 
 Vậy thì có một đương (Cm) đi qua M
* Nếu 
 - Nếu thì (*) vô= nghiệm . 
	Vậy thì không có (Cm) đi qua M
 - Nếu thì có vô số (Cm) đi qua 
	Nhận xét : M1, M2 chính là 2 điểm có định của (Cm)
Bài toán 2:Cho hàm số có đồ thị (Cm) 
	CMR luôn tìm được 2 giá trị của m để đồ thị (Cm) đi qua M(x0; y0) với 
x0 > 1
Giải: 
 (*)
	Ta giải (*) để tìm nghiệm m 
	Ta cần chứng minh 
	Đặt ta được
	 (*) luôn có 2 nghiệm m 
	Vậy: có 2 đường (Cm) đi qua M(x0; y0) với x0 > 1
Vấn đề 6: Tìm điểm cố định của họ đường cong:
Phương pháp: 
Cho (Cm): y = f(x, m) . Tìm các điểm cố định của (Cm) khi m thay đổi 
 * Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (Cm) luôn đi qua 
 * M(x0; y0) tuộc (Cm) y0 = f(x0) 
 * Biến đổi y0 = f(x0,m) Am + B = 0 hoặc Am2 + Bm + C = 0 về dạng 
 hoặc 
 Giải hệ ta được các cặp nghiệm (x0; y0). Đó chính là toạ độ các điểm cần tìm 
Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) (Cm)
	Tìm điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua với mọi m . ĐỊnh m để (Cm) 
tiếp xúc với Ox
Giải: a) y = x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) 
 ( 2x – 4)m2 + (x2 – 3x + 2)m + y – x3 + x2 + 2x = 0
Toạ độ điểm cố định là nghiệm của hệ : 
Kết luận : (Cm) luôn đi qua điểm M(2; 0) với mọi m
b) M(2; 0) là điểm cố định của(Cm) nên M(2; 0) vừa thuộc (Cm) vừa thuộc 0x 
nên: x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) = 0
 ĩ (x – 2)[x2 – (m – 1)x – (2m2 – m)] = 0 
Để (Cm) tiếp xúc với Ox thì g(x) = x2 – (m – 1)x – 2m2 + m = 0 có nghiệm 
x = 2 hoặc có nghiệm kép khác 2 
Bài toán 2: cho đường cong (Cm): y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1
Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m thay đổi 
Giải : y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1
Bài toán 3: cho hàm số (Hm)
	Chứng minh rằng (Hm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay 
đổi ,ngoại trừ một vài giá trị m mà ta phải xác định 
Giải: 	
Vậy: khi m thay đổi , với thì (Hm) luôn đi qua hai điểm cố định 
Bài toán 4: Cho hàm số y = mx3 + (1 – m)x + 1 có đồ thị (Cm)
Tìm tất cả các điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua với mọi m
Giải: Gọi M (x0; y0) là điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua
	M(x0; y0) không thuộc (Cm) (x3 – x)m + x + 1 – y ≠ 0 với mọi m
	 	Kết luận : Đồ thị (Cm) không bao giờ đi qua các điểm của (0; a) , (1; b) , 
(-1; c) với a ≠1 V b ≠2 V c ≠ 0 
Bài toán 5 : Cho họ đường cong (Cm) y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x + 1
	CMR: (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng 
Giải : 	y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x + 1 
	 	(x3 – 3x2 – 6x + 1)m + (3x3 – 9x2 – x + 1 – y) = 0
Toạ độ điểm cố định (nếu có) sẽ là nghiệm của hệ 
	Đểâ chứng minh (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thẳng hàng ta cần chứng minh 
(1) có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số y = x3 – 3x2 – 6x + 1 (C) có hai giá trị 
cực trị trái dấu
Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 6 y’ = 0 
Suy ra yCĐyCT = 
Kết luận : (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thược đường thẳng (d): y = 17x – 2
Vấn đề 7: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích):
Phương pháp: điểm M di động thoả các điều kiện cho trước 
 * Tính toạ độ điểm M phụ thuộc theo một tham số m , t ...
 x = f(m) & y = g(m) 
 * Khử m (hay t) giữa x và y, ta có một hệ thức độc lập đối với m có dạng sau gọi là phương trình quỹ tích :
 F(x, y) = 0 (hay y = h(x) )
 * Giới hạn : dựa lvào điều kiện của tham sô m, ta tìm được điều kiện của x và y để M(x, y) tồn tại . Đó là sự giới hạn của quỹ tích.
Bài toán 1: Cho hàm số 
	Gọi là đường thẳng qua gốc tạo độ và có hệ số góc k . Với những 
giá trị nào của k thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, O ? Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.
Giải: qua gốc toạ độ nên có dạng :y = kx 
	Phương trình hoành độ giao điểm của và (C) là :
	Đặt 
 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B,Og(x) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
	Vì xA, xB là nghiệm của g(x) 
	Gọi I là trung điểm của AB 
	Giới hạn : 
	Vậy tập hợp của I là đường thẳng có phương trình 
	với 	
Bài toán 2: Cho hàm số (C) . Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ 
độ để từ đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc 
Giải: Gọi M(x0; y0) 
	Phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k
	y = k(x – x0) + y0
	Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) 
	(d) tiếp xúc (C)
	Từ M vẽ 2 tiếp tuyến đến (C) vuông góc nhau
	 (1) có 2 nghiệm phân biệt 
	Vậy tập hợp các điểm thoả yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình 
	loại bỏ 4 giao điểm của đường tròn với 2 đường tiệm cận
Bài toán 3:Cho Parabol(Pm) .Tìm quỹ tích đỉnh của (Pm)
	 (Pm) có đỉnh S:
	Thế vào (2) , ta được :
	Vậy quỹ tích đỉnh S của (P) : 
Bài toán 4: Cho hàm số (Cm) :
	Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị (Cm) của hàm số
Giải: TXĐ : D = R
	Ta có 
	(Cm) có điểm uốn 
	Thế m = x vào (2) ta có : 
	Vậy quỹ tích của I là đường cong 
Bài toán 5: Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 
Khi đó, hãy tìm quỹ tích của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị 
Giải: 
	 m > 0 thì hàm số có CĐ – CT 
	Gọi M1, M2 thứ tự là toạ độ CĐ – CT , ta có
	và	
	 	và	
Vậy quỹ tích điểm CĐ và CT của đồ thị là một nửa parabol
	 	hay