Toán - Phương pháp lượng giác hóa

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Trần Phạm Hoàng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như
Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
I/ Lời mở đầu
	Để giải các bài toán đại số và một số bài toán giải tích như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khảo sát các giá trị của hàm số, tìm giới hạn của dãy số,...trong một số trường hợp ta có thể chuyển chúng sang các bài toán lượng giác, công việc đó được gọi là lượng giác hóa.Việc lượng giác hóa 1 bài toán được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến tham gia trong bài toán, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và các công thức lượng giác thông dụng. Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản nhằm góp phần giúp chúng ta phát hiện và định hướng phương pháp lượng giác hóa hiệu quả hơn.
II/ Các dấu hiệu
	Ta có các dấu hiệu:
 Nếu có điều kiện của biến là , ta có thể đặt:
	 , với hoặc , với .
Trong trường hợp riêng:
Nếu , ta có thể đặt:
	, với hoặc, với .
Nếu , ta có thể đặt :
	, với hoặc, với .
Nếu có điều kiện của biến là , ta có thể đặt:
	, với hoặc , với .
Nếu biến , ta có thể đặt:
	, với hoặc , với .
	Trong trường hợp riêng:
Nếu , ta có thể đặt:
	, với hoặc , với .
Nếu , ta có thể đặt :
	, với hoặc ,với .
Nếu hai biến thỏa mãn điều kiện , với , ta đặt :
 Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của và ta có thể hạn chế góc , ví dụ nếu có thì .
III/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa
Biểu thức
Cách lượng giác hóa biểu thức
 với hoặc
 với 
 với hoặc
 với 
 với hoặc
 với 
 hoặc 
 , với 
IV/ Các ví dụ
1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình:
Lời giải
Hệ tương đương với. 
Nếu vô lí; vô lí.
Đặt ;	; . Ta có
; ; 
Khi đó: 	
Thay vào (4):	
Ta có các trường hợp sau:
Nếu	
Nếu	
Nếu	
Nếu	
1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình
Tìm nghiệm của hệ để max
Lời giải
Đặt ; ; ; 	. Khi đó:
Mà	
	vì 
Khi đó: 
Kết hợp với (1) nghiệm là:
Kết hợp với (2) nghiệm là:
1.3 Bài toán 3: Giải phương trình:
Lời giải
Ta có :( phần CM xin để cho các bạn)
Do đó 
Vậy phương trình đã cho tương đường với 
1.4 Bài toán 4: Giải phương trình
Lời giải
Ta có
Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ:
1.5 Các bài toán tự giải:
1.5.1 Giải phương trình
1.5.2 Giải hệ phương trình
1.5.3 Giải hệ phương trình
1.5.4 Giải hệ phương trình
1.5.5 Giải hệ phương trình
2. Bất đẳng thức
2.1 Bài toán 1: Cho bốn số thoã mãn điều kiện 
Chứng minh rằng
Lời giải 
Đặt và .
Ta có 
Vậy (điều phải chứng minh)
2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng
Lời giải
Điều kiện có nghĩa 
Đặt với 
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng
2.3 Các bài toán tự giải
2.3.1 Bài toán 1: Cho . Chứng minh rằng
2.3.2 Bài toán 2: Cho các số thoả mãn 
Chứng minh rằng
2.3.3 Bài toán 3: Cho liên hệ bởi 
Chứng minh rằng 	
3. Chứng minh đẳng thức
3.1 Bài toán 1: Cho thoả mãn điều kiện sau 	(1)
Chứng minh rằng
Lời giải
Đặt , , với 
Khi đó (1) có dạng
Do nên hay 
Vì nên . Vậy
Ta có
Tương tự
Suy ra
3.2 Bài toán 2: Cho thoả mãn 
Chứng minh rằng
Lời giải 
Đặt , , với 
Do nên
Do mà nên 
Vậy . Ta có
Tương tự ta có
Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng
Suy ra điều phải chứng minh
3.3 Các bài toán tự giải
3.3.1 Bài toán 1:Cho . Chứng minh rằng:
3.3.2 Bài toán 2: Cho và thoả điều kiện 
Chứng minh rằng 
3.3.3 Bài toán 3: Cho và 
Chứng minh rằng