Toán - Phương trình và hệ phương trình đại số

Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ 
I. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0. 
* Các bước giải và biện luận: 
 i) a = 0 = b : Mọi x là nghiệm 
 a = 0 ≠ b : Vơ nghiệm 
 ii) a ≠ 0 : Phương trình gọi là phương trình bậc nhất, cĩ nghiệm duy 
nhất: bx
a
= − 
* Nhận xét: Phương trình ax + b = 0 cĩ hơn một nghiệm khi và chỉ khi mọi 
x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = 0. 
* Các phương trình chuyển về phương trình ax + b = 0 : 
 1. Phương trình cĩ ẩn ở mẫu: 
PP Giải: ðặt ðK mẫu thức khác khơng. Quy đồng, bỏ mẫu. Giải phương 
trình. ðối chiếu kết quả với điều kiện. Kết luận nghiệm. 
VD1. Giải và biện luận phương trình: 
2 2 1
2 1 4
x m x
x x m
− +
=
− −
HD. ðK: 1 ,
2 4
m
x x≠ ≠ 
2 2 1
2 1 4
x m x
x x m
− +
=
− −
2 2 2 24 9 2 4 1 9 2 1x mx m x mx m⇔ − + = − ⇔ = + (1) 
i) m = 0: (1) vơ nghiệm 
ii) 0m ≠ : 
22 1(1)
9
m
x
m
+
⇔ = . 
22 1
9
m
x
m
+
= là nghiệm của phương trình đã cho 
⇔
2
2
2 1 1
9 2
2 1
9 4
m
m
m m
m
 +
≠

+ ≠

⇔
2
2 2
4 2 9
8 4 9
m m
m m
 + ≠

+ ≠
⇔
2
2
14 9 2 0 2,
4
4 2
m m m m
m
m
 − + ≠ ≠ ≠ 
⇔ 
≠  ≠ ±
1
4
2
m
m
 ≠
⇔ 
 ≠ ±
KL: •
10,
4
2
m m
m
 ≠ ≠

 ≠ ±
: 
22 1
9
m
x
m
+
= 
 •
10 2 :
4
m m m= ∨ = ∨ = ± Vơ nghiệm. 
VD2. Giải và biện luận phương trình: 
1 1 ( ) 1
a b a b
ax bx a b x
+
+ =
− − + −
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
2
HD. ðK: 
ax-1 0
bx-1 0
(a+b)x-1 0
≠

≠
 ≠
ax 1 (1)
bx 1 (2)
(a+b)x 1 (3)
≠

⇔ ≠
 ≠
Phương trình tương đương: 
[ ]
2
2 2 2 2
2
2 ( )
( ) 1 ( ) 1
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 0 ( ) 2 0 
0 (4)
( ) 2 0 (5)
abx a b a b
abx a b x a b x
ab a b x a b x abx a b ab a b x a b x a b
ab a b x abx x ab a b x ab
x
ab a b x ab
− + +
⇔ =
− + + + −
⇔ + − + − + + = + − + + +
⇔ + − = ⇔ + − =
=
⇔  + − =
 i) (4) cho x = 0 là nghiệm với mọi a, b. 
 ii) Giải (5): 
+ a = 0: ∀ x là nghiệm của (5). 
 b = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình đã cho. 
 0b ≠ : 1x
b
∀ ≠ của phương trình đã cho. 
+ b = 0: ∀ x là nghiệm của (5). 
 a = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình đã cho. 
 0a ≠ : 1x
a
∀ ≠ của phương trình đã cho. 
+ a = - b: (5) ⇔ 0x + 2b2 = 0. 
 b = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình đã cho. 
 0b ≠ : (5) vơ nghiệm. Phương trình đã cho cĩ nghiệm x = 0. 
+ 0a ≠ ∧ 0b ≠ :a b∧ ≠ − 2(5) x
a b
⇔ =
+
. 
2
x
a b
=
+
là nghiệm của phương trình đã cho khi chỉ khi: 
2 1
2 1
2 1
a b a
a b b
a b a b
 ≠ +


≠
+

≠ + +
a b⇔ ≠ . 
KL. • a = b = 0: ∀ x 
 • a = 0 ≠ b: 1x
b
∀ ≠ 
 • b = 0 ≠ a: 1x
a
∀ ≠ 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
3
 • a ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ b, a ≠ - b: 2x
a b
=
+
 • a ≠ 0, a ≠ 0, a = b, a = - b: x = 0 
* Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Giải và biện luận theo m phương trình : ( 1) ( 1) 1 0
3
m x m x
x x m
− − +
− =
+ −
Bài 2. Giải và biện luận theo a, b phương trình : ax b x b
x a x a
+ −
=
− +
Bài 3. Giải và biện luận theo a, b phương trình : a b
x b x a
=
− −
Bài 4. Giải và biện luận theo a, b phương trình : 
2
2
1 ( 1)
1 1 1
ax b a x
x x x
− +
+ =
− + −
Bài 5. Giải và biện luận theo a, b phương trình : 
1 1
1 2 1 2
x a x a x b x b
x a x a x b x b
− − − − − −
− = −
− − − − − − − −
Bài 6. Giải và biện luận theo a, b phương trình : a x b x a x b x
a x b x a x b x
− − + +
+ = +
+ + − −
. 
 2. Phương trình cĩ giá trị tuyệt đối. 
 Dạng 1. ( ) ( )f x g x= 
PP Giải: Phương trình tương đương ( ) ( )( ) ( )
f x g x
f x g x
=

= −
 Dạng 2. ( ) ( )f x g x= 
PP Giải: 
Cách 1: Phương trình tương đương 
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x
f x g x
g x
 =
 ≥

= −
 ≥
Cách 2: Phương trình tương đương 
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x
f x g x
f x
 =
 ≥

− =
 ≤
 Vấn đề là ở chỗ, ở cách 1, ta phải giải bất phương trình ( ) 0g x ≥ ; ở cách 2, 
ta phải giải bất phương trình ( ) 0f x ≥ . Tuỳ thuộc vào bậc của f(x) hay g(x) 
để lựa chọn thích hợp. 
 Dạng 3. Nhiều giá trị tuyệt đối. 
Ta phá giá trị tuyệt đối theo định nghĩa, và giải phương trình trên từng tập 
con. 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
4
VD. Giải phương trình 2 1 3 2 2 3 10x x x− + − − + = 
 HD. 1 32 1 0 ; 3 0 3; 2 3 0
2 2
x x x x x x− = ⇔ = − = ⇔ = + = ⇔ = − 
3
2
− 
1
2
 3 
2 1x − 1 - 2x 1 - 2x 2x - 1 2x - 1 
3 x− 3 - x 3 - x 3 - x x - 3 
2 2 3x + - 4x - 6 4x + 6 4x + 6 4x + 6 
VT x + 10 - 7x - 2 - 3x - 4 - x - 10 
 i) 3
2
x ≤ − : x + 10 = 1 ⇔ x = - 9 : Thoả 
 ii) 3 1
2 2
x− < < : - 7x - 2 = 1 ⇔ x = 3
7
− : Thoả 
3i) 1 3
2
x≤ ≤ : - 3x - 4 = 1 ⇔ x = 5
3
− : Khơng thoả 
4i) 3x > : - x - 10 = 1 ⇔ x = - 11: Khơng thoả 
 3. Phương trình cĩ căn thức. 
Dạng 1. ( ) ( )f x g x= 
Biến đổi tương đương ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) ( ) 0 (hay g(x) 0)
f x g x
f x
=
⇔  ≥ ≥
("hay" ở đây 
cĩ nghĩa là sự thay thế, lựa chọn một trong hai, lựa chọn bất phương trình 
đơn giản hơn) 
Dạng 2. ( ) ( )f x g x= 
Biến đổi tương đương ( ) ( )f x g x=
2( ) ( )
 ( ) 0 
f x g x
g x
 =
⇔ 
≥
Dạng 3. Nhiều căn thức khơng thuộc các dạng trên. 
 • Bình phương hai vế nhiều lần theo nguyên tắc: 
2 20, 0 :A B A B A B≥ ≥ ≥ ⇔ ≥ 
2 20, 0 :A B A B A B≤ ≤ ≥ ⇔ ≤
 
 Ngồi phương pháp biến đổi tương đương nĩi trên, các phương trình 
chuyển về bậc nhất cĩ thể giải bằng cách biến đổi về tích,đặt ẩn phụ hay sử 
dụng các phương pháp khác (Xem Phương trình khơng mẫu mực) 
VD. Giải phương trình: 1 1x x+ + = (XBang) 
HD. Cách 1(Biến đổi tương đương): 
 1 1 1 1x x x x+ + = ⇔ + = − 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
5
( )2 2 1 2 01 (1 ) 1 1 2
1 0 1 0 1
x x x xx x x x x
x x x
  + − =+ = − + = − +  
⇔ ⇔ ⇔  
− ≥ − ≥  ≤  
00
1 5 01 2 0 1,
2
1 0 1
x
x
xx x x x x
x
x
=
= 
  ±⇔ ⇔ ⇔ =+ − = = − =    ≤   ≤ ≤
Cách 2(Biến đổi tương đương): 
2 21 1 1 11 1 1 1 1
4 4 2 4
x x x x x x x x
   
+ + = ⇔ + + = + − + + ⇔ + = + −   
   
Cách 3(Biến đổi về dạng tích): 
( ) ( )1 1 ( 1) 1 0 1 1 1 0x x x x x x x x x x+ + = ⇔ − + + + + = ⇔ + + − + + =
Cách 4(ðặt ẩn phụ): 
ðặt ( )( )11 1 0
1
y x
y x y x x y x y y x
x y
 = +
= + ⇒ ⇒ − = + ⇔ + − − =
= −
II. PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0. 
 1. Các bước giải và biện luận. 
 i) a = 0: Phương trình trở thành: bx + c = 0 
 b = 0 = c : Mọi x là nghiệm 
 b = 0 ≠ c : Vơ nghiệm 
 b ≠ 0 : Phương trình trở thành phương trình bậc nhất, cĩ 
nghiệm duy nhất: cx
b
= − 
 ii) a ≠ 0: Phương trình đã cho gọi là phương trình bậc hai. 
2
2 14 , '
2
b ac b ac ∆ = − ∆ = − 
 
 • ∆ < 0 ( '∆ < 0): Phương trình vơ nghiệm. 
 • ∆ = 0 ( '∆ = 0): Phương trình cĩ hai nghiệm bằng nhau 
2
b
x
a
= − 
 • ∆ > 0 ( '∆ > 0): Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: 
 1,2
1
'
2
x
2
b
b
a a
 
− ± ∆ 
− ± ∆  
= = 
* Nhận xét: Phương trình ax2 + bx + c = 0 cĩ hơn hai nghiệm khi và chỉ khi 
mọi x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = c = 0. 
 2. Dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0). 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
6
 ðặt P = c
a
, S = b
a
− 
 • P < 0: Phương trình cĩ hai nghiệm 1 20x x< < 
 •
1 2
1 2
00
0 0
x x
P x x
< ≤∆ ≥ 
⇔ > ≤ < 
 • 1 2
0
 0 0 
0
x x P
S
∆ ≥


 >
, 
 • 1 2
0
 0 0 
0
x x P
S
∆ ≥
≤ 
 <
*** Chú ý: 
 i) P = 0 ⇔ 1 20,x x S= = 
 ii) 1 2
1 2
x 00
x0
xP
xS
< << 
⇔ 
  
; 1 2
1 2
x 00
x0
xP
xS
< << 
⇔ 
><  
 3i) 1 20 0
S
x x
=
⇔ = −∆ ≥
 4i) Các dấu hiệu cần, nhiều khi rất cần cho việc xét dấu các nghiệm: 
i S < 0 : Nếu phương trình cĩ nghiệm thì cĩ ít nhất một nghiệm âm. 
i S > 0 : Nếu phương trình cĩ nghiệm thì cĩ ít nhất một nghiệm dương 
VD. Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình sau cĩ khơng ít hơn 2 
nghiệm âm phân biệt: 4 3 2 1 0x mx x mx+ + + + = . 
HD. Thấy ngay x = 0 khơng thoả phương trình. 
 Chia hai vế của phương trình cho 2 0x ≠ : 
2
2
1 11 0x mx m
x x
+ + + + = ⇔ 2 2
1 1 1 0x m x
x x
 
+ + + + = 
 
 (1) 
ðặt 21 1 0x X x Xx
x
+ = ⇒ − + = (2) 
2 2
2
1 2, 2x X X
x
⇒ + = − ≥ 
(1) trở thành 2 1 0X mX+ − = (3) 
(3) cĩ hai nghiệm trái dấu với mọi m. 
Với 2X ≥ thì (2) cĩ hai nghiệm cùng dấu, nên để cĩ nghiệm âm thì X < 0 
Suy ra X < -2. 
Tĩm lại phương trình (3) phải cĩ hai nghiệm 1 22 0X X< − < < 
Nếu được dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì cần và đủ là: 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
7
 2
( 2) 0 33 2 0
2( ) 1
f
m mf X X mX
− <
⇔ − 
= + −
Nhưng chương trình hiện hành khơng cĩ định lý đảo về dấu của tam thức 
bậc hai, nên: 
Cách 1: ðặt X + 2 = Y ⇒ Y < 0: 
2 2 21 0 ( 2) ( 2) 1 0 ( 4) 3 2 0X mX Y m Y Y m Y m+ − = ⇔ − + − − = ⇔ + − + − = 
Phương trình này cĩ hai nghiệm trái dấu chỉ khi 3 - 2m 3
2
. 
Cách 2: 
2
2 11 0 XX mX m
X
−
+ − = ⇔ = 
ðặt 
2 2 2 2
2 2
1 2 1 1( ) '( ) 0, 0X X X Xf X f X X
X X X
− − − + − −
= ⇒ = = < ∀ ≠ . 
Thấy ngay phương trình cĩ nghiệm X 3
2
. 
 3. So sánh nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) với 
một số thực khác khơng. 
 3.1. Nếu dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. 
 ðặt f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
af( )<0 x 0
af( )>0
0 
af( )>0 af( )>0
0 ; 0
S S
2 2
x
x x
x x
x x x x
α
αα
α
α α
α α
α α
⇔ < <
< ≤
⇔ ∆ ≥ ≤ < 
 
 
 ∆ ≥ ⇔ < ≤ ∆ ≥ ⇔ ≤ < 
 
 > <
 
***Một số điều kiện cần và đủ về nghiệm của 
 f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 
 3.1.1. f(x) cĩ nghiệm thuộc [ ];α β : 
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 1 nghiệm thuộc [ ];α β là một trong 4 điều 
kiện: 
x - ∞ - 2 2 + ∞ 
f '(X) - - 
f(X) 
+∞ 
3
2
-
3
2
 - ∞ 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
8
 ( ) ( ) 0f fα β• < [ ]
( ) 0
;
f
S
α
α α β
=
•
− ∉
 [ ]
( ) 0
;
f
S
β
β α β
=
•
− ∉
 [ ]
0
;
2
b
a
α β
∆ =

•
− ∈
 Cần và đủ để 
 f(x) cĩ đúng 2 nghiệm thuộc [ ];α β : 
 Nếu khơng cần phải tách bạch như thế 
thì cần và đủ để f(x) cĩ nghiệm thuộc [ ];α β : 
3.1.2. f(x) cĩ nghiệm thuộc ( );α β : 
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 1 nghiệm thuộc ( );α β là một trong bốn 
điều kiện: 
 ( ) ( ) 0f fα β• < ( )
( ) 0
;
f
S
α
α α β
=
•
− ∈
 ( )
( ) 0
;
f
S
β
β α β
=
•
− ∈
 ( )
0
;
2
b
a
α β
∆ =

•
− ∈
 Cần và đủ để 
 f(x) cĩ đúng 2 nghiệm thuộc ( );α β là : 
 3.1.3. f(x) cĩ nghiệm thuộc ( );α +∞ : 
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 1 nghiệm thuộc ( );α +∞ là một trong ba điều 
kiện: 
 ( ) 0af α• < ( ) 0f
S
α
α α
=
•
− >
0
2
b
a
α
∆ =

•
− >
0
( ) 0
( ) 0
2
af
af
S
α
β
α β
∆ >
 ≥
•  ≥

 < <

( ) ( ) 0
0
( ) 0
( ) 0
2
f f
af
af
S
α β
α
β
α β
• ≤
 ∆ ≥
 ≥
• ≥

 ≤ ≤

0
( ) 0
( ) 0
2
af
af
S
α
β
α β
∆ >
 >
•  >

 < <

Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
9
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 2 nghiệm thuộc ( );α +∞ : 
3.1.4. f(x) cĩ nghiệm thuộc [ ; )α +∞ : 
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 1 nghiệm thuộc [ ; )α +∞ là một trong ba điều 
kiện: 
 a ( ) 0f α• < ( ) 0f
S
α
α α
=
•
− <
0
2
b
a
α
∆ =

•
− ≥
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 2 nghiệm thuộc [ ; )α +∞ : 
 3.1.5. f(x) cĩ nghiệm thuộc ( );α−∞ : 
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 1 nghiệm thuộc ( );α−∞ là một trong ba điều 
kiện: 
 ( ) 0af α• < ( ) 0f
S
α
α α
=
•
− <
0
2
b
a
α
∆ =

•
− <
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 2 nghiệm thuộc ( );α−∞ : 
3.1.6. f(x) cĩ nghiệm thuộc ( ; ]α−∞ : 
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 1 nghiệm thuộc ( ; ]α−∞ là một trong ba điều 
kiện: 
 ( ) 0af α• < ( ) 0f
S
α
α α
=
•
− >
0
2
b
a
α
∆ =

•
− ≤
 Cần và đủ để f(x) cĩ đúng 2 nghiệm thuộc ( ; ]α−∞ : 
0
( ) 0
2
af
S
α
α β

∆ >

• >

 < <

0
( ) 0
2
af
S
α
α β

∆ >

• ≥

 < <

0
( ) 0
2
af
S
α
α

∆ >

• >

 <

0
( ) 0
2
af
S
α
α

∆ >

• ≥

 <

Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
10
3.2. Nếu khơng dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. 
• Phương pháp tốt nhất là khảo sát sự biến thiên của hàm số (xem VD ở 
phần trên) 
• Nếu chỉ so sánh nghiệm với một số thực α khác khơng thì cĩ thể đặt 
y = x - α . 
VD. Tìm a để phương trình sau cĩ hơn 1 nghiệm thuộc 0;
2
pi 
 
 
: 
2 2(1 ) tan 1 3 0
cos
a x a
x
− − + + = 
HD. 2 2
2 1 2(1 ) tan 1 3 0 (1 ) 1 1 3 0
cos os cos
a x a a a
x c x x
 
− − + + = ⇔ − − − + + = 
 
 ⇔ 2
1 2(1 ) 4 0
os cos
a a
c x x
− − + = (1) 
 ðặt 1 (1; )
cos
X X
x
= ⇒ ∈ +∞ 
(1) ⇔ 2(1 ) 2 4 0a X X a− − + = (2) 
Phương trình đã cho cĩ hơn một nghiệm thuộc 0;
2
pi 
 
 
⇔ phương trình (2) cĩ 
hai nghiệm (1; )X ∈ +∞ . 
Cách 1. ðặt X - 1 = Y > 0 : 
(2) trở thành 2 2(1 )( 1) 2( 1) 4 0 (1 ) 2 3 1 0a Y Y a a Y aY a− + − + + = ⇔ − − + − = (3) 
(3) cĩ hai nghiệm dương 
2
11 0 14 4 1 0
' 0 2
3 1 0 10 12 30 0
1
a
a
aa a
aP
aaS
a
≠
− ≠   ≠− + >  ∆ >  
⇔ ⇔ ⇔  
− >
>   < <
  > > 
−
Cách 2. Khơng phải khi nào cũng cĩ thể nhận ra X = 2 là một nghiệm của 
(2). Nhưng nếu nhận ra được thì: 
 Với 1a ≠ thì nghiệm kia là 2 22
1 1
a
a a
− =
− −
. 
Ta phải cĩ 
2 1
1
2 2
1
a
a
a
a

>
−

 ≠

−
 ⇔
13 1 10 3
 1
12 1
2
a a
a
a a

−  
⇔
− 
 ≠ ≠ 
• Cĩ thể dùng phương pháp phần bù: Tìm các giá trị tham số để phương 
trình cĩ nghiệm thì ta tìm các giá trị làm cho phương trình vơ nghiệm. 
VD. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm: 
4 3 24 2 4 1 0x x mx x+ + + + = 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
11
HD. Phương trình đã cho tương đương với : 
2
2
4 2 2 0 (1)
1 0 (2)
2 (3)
X X m
x Xx
X
 + + − =

− + =
 ≥
 Phương trình đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) cĩ nghiệm 
thoả (3) 
Ta tìm tất cả các giá trị m để phương trình (1) khơng cĩ nghiệm thoả (3). 
ðiều này chỉ khi phương trình (1) vơ nghiệm hoặc cĩ hai nghiệm thuộc (- 2 ; 
2) 
 i) Phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ 4 2 2 0 3m m− + 
 ii) Phương trình (1) cĩ hai nghiệm thuộc (- 2 ; 2). Trường hợp này khơng 
xảy ra vì 
2
b
a
− = - 2 khơng thuộc khoảng (- 2 ; 2). Suy luận này khá hay: Nếu 
hai nghiệm thuộc khoảng (- 2 ; 2) thì 
2
b
a
− = - 2 thuộc khoảng (- 2 ; 2).Vơ lý. 
 Bỏ những m > 3 ta cịn tất cả các giá trị cần tìm là 3m ≤ . 
** Bạn nên luơn luơn hướng tới việc dùng đạo hàm để khảo sát phương 
trình nếu cĩ thể thì bạn sẽ tránh được nhiều rắc rối. 

 Các phương trình chuyển về bậc hai, tương tự như đã nĩi về các 
phương trình chuyển về bậc nhất. 
VD. Giải phương trình 2 7 7x x+ + = 
HD. Cách 1(Biến đổi tương đương) 
2 2
2 2 1 1 1 17 7 7 7 7
4 4 2 2
x x x x x x x x
   
+ + = ⇔ + + = + − + + ⇔ + = + −   
   
 Cách 2(Biến đổi về dạng tích) 
2 27 7 ( 7) ( 7) 0 ( 7)( 7 1) 0x x x x x x x x x x+ + = ⇔ − + + + + = ⇔ + + − + + = 
 Cách 3(ðặt ẩn phụ, đưa về hệ phương trình) 
 ðặt 
2
2 2
2
7
7 ( )( 1) 0
7
y x
y x y x x y x y y x
x y
 = +
= + ⇒ ⇒ − = + ⇔ + − − =
= −
* Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Cho phương trình 2ax 0bx c+ + = cĩ hai nghiệm 1 2,x x . 
ðặt 1 2
n nS x x= + . Chứng minh: n 1 2S 0, ( 3)n na bS cS n− −−+ + = ≥ 
Bài 2. Cho phương trình 2 2 4 0x mx+ + = . 
 a) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm khơng âm 1 2,x x . Khi đĩ tính theo 
m: 
 1 2 1 2, N = M x x x x= + − 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm 1 2,x x sao cho: 4 41 2 32x x+ ≤ 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
12
Bài 3. Tìm nghiệm (x; y) sao cho y lớn nh ất: 2 2yx 8 7 0x y x− − + + = 
Bài 4. Biết rằng phương trình 2ax 0bx c+ + = cĩ đúng một nghiệm dương 
( gọi là 1x ). 
 Chứng minh rằng phương trình 2cx 0bx a+ + = cĩ đúng một nghiệm dương 
( gọi là 2x ), đồng thời : 1x + 2x ≥ 2. 
Bài 5. Gọi 0x là nghiệm của phương trình 2ax 0bx c+ + = . Chứng minh: 
 0 1 max ; , 0.
b c
x a
a a
 
< + ≠ 
 
Bài 6. Cho phương trình 2 2(1 ) tan 1 3 0
cos
a x a
x
− − + + = 
 a) Giải phương trình khi a = 1
2
. 
 b) Tìm tất cả các giá trị a để phương trình cĩ hơn một nghiệm thuộc 
khoảng 0;
2
pi 
 
 
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm: 
2( 1)( 5)( 3) 0x x x m− + + − = 
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm: 
 1 ( 2) 0x x m− − + = 
Bài 9. Tìm tất cả các giá trị p để phương trình sau cĩ nghiệm: 
2
2
2 4 2
4 2 1 0
1 2 1
x px p
x x x
+ + − =
+ + +
Bài 10. Giải và biện luận theo m phương trình: 
2 2 2x x m x x+ + = − + + 
Bài 11. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất: 
lg 2
lg( 1)
mx
x
=
+
Bài 12. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm: 
4 4( 2)x x m+ + = 
Giải phương trình khi m = 82. 
Bài 13. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau cĩ nghiệm: 
4 3 22 3 3 2 0x x mx x− + − + = 
III. PHƯƠNG TRÌNH ax + by + c = 0. 
 a = b = c = 0: Mọi (x; y) là nghiệm. 
 a = b = 0 ≠ c: Vơ nghiệm. 
 a = 0, b ≠ 0: x tuỳ ý; y = c
b
− 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
13
 a ≠ 0, b = 0: x = - c
a
, y tuỳ ý. 
 a ≠ 0, b ≠ 0: x tuỳ ý, ax
b
cy
b
= − − (hay by
a
c
x
a
= − − , y tuỳ ý) 
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 
 Dạng 
ax + by = c
a'x + b'y = c'



Phương pháp giải: 
1. Phương pháp thế. 
2. Phương pháp cộng đại số. 
3. Dùng máy tính bỏ túi. 
4. Phương pháp định thức Crame. 
VD. Giải và biện luận theo m hệ phương trình: ( 1)( 1)
m x y m
mx m y m
− + =

+ − =
HD. 
2 2 21 1 1 1 m2 ; 2 ; 2
1 m-1 m m-1 1 mx y
m m m
D m m D m m D m m
− −
= = − = = − = = − 
i) 0 0 2 : 1D m m x y≠ ⇔ ≠ ∧ ≠ = = 
ii) m = 0: 0x yD D D= = = ⇒ Hệ tương đương với một phương trình: x - y = 0 
;
x t
y t t
=
⇔ 
= ∈ R
iii) m = 2: 0x yD D D= = = ⇒ Hệ tương đương với một phương trình: 
 x + y +2 = 0 
2 ;
x t
y t t
=
⇔ 
= − − ∈ R
* Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Cho hệ phương trình: 
24 4
( 3) 2 3
mx y m
x m y m
 + = +

+ + = +
 a) Với giá trị nào của m rthì hệ cĩ nghiệm duy nhất và nghiệm đĩ thoả 
x y≥ . 
 b) Với m tìm được ở a), tìm min(x + y). 
Bài 2. Cho hệ phương trình: 
 2
1
1
ax y a
x ay a
+ = −

+ = −
 Với giá trị nào của a rthì hệ cĩ nghiệm (x ; y) thoả 2x + y > 0. 
Bài 3. Tìm b sao cho với mọi a hệ sau cĩ nghiệm: 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
14
 2
2
(1 )
x ay b
ax a y b
+ =

+ − =
Bài 4. Cho hệ phương trình: 
(2 1) 1
(1 ) 1
a x y
x a y
− − =

+ + = −
Giải hệ khi a =0, a = - 1
2
. 
Bài 5. Giải và biện luận theo a, b hệ phương trình: 
( ) ( )
(2 ) (2 )
a b x a b y a
a b x a b y b
+ + − =

− + + =
Bài 6. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 
6 (2 ) 3
( 1) 2
ax a y
a x ay
+ − =

− − =
Gọi (x; y) là nghiệm. Tìm hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc a. 
Bài 7. Cho hệ phương trình: 
 2
ax y b
x ay c c
+ =

+ = +
 a) Với b = 0, giải và biện luận hệ theo a và c. 
 b) Tìm b sao cho với mọi a, luơn tìm được c để hệ cĩ nghiệm. 
Bài 8. Biết rằng hệ phương trình sau cĩ nghiệm: 
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =

+ =
 + =
Chứng minh 3 3 3 3a b c abc+ + = . 
V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. 
 1. Hệ cĩ một phương trình bậc nhất. 
 Phương pháp: PP thế (Rút x hoặc y từ phương trình bậc nhất thay vào 
phương trình bậc hai) 
VD. Cho hệ phương tr×nh 
3 3 ( )
1
x y m x y
x y
 − = −

+ =
 1) Giải hệ khi m = 3. 
 2) Tìm m để hệ cĩ 3 nghiệm (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3)sao cho x1; x2; x3 
lập thành một cấp số cộng. 
HD. Hệ đã cho tương đương: 
2 2 2 2( ( ) ( ) ( ( ) 0
1 1
x y x y xy m x y x y x y xy m
x y x y
 − + + = − − + + − =
⇔ 
+ = + = 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
15
 ⇔
2 2
2 2
0 1
1 2
10
( 1 ) ( 1 ) 01
x y
x y
x y
y xx y xy m
x x x x mx y
 − = 
= = − + = ⇔ = − − + + − =
  + − − + − − − =+ = 
2
1
 (1)
2
1 2)
1 0 (3)
x y
y x
x x m

= = −
⇔
= − −
 + + − =
* Bài tập luyện tập. 
Bài 1. Giải hệ phương trình: 
 2 2
2 1 0
1 0
x y
x y xy
− + =

− + − =
Bài 2. Cho hệ phương trình: 
 2 2 2
1
2 3
x y m
x y xy m m
+ = +

+ = − −
 a) Giải hệ khi m = 3. 
 b) Chứng minh hệ cĩ nghiệm với mọi m. (ðHQuy Nhơn - A99) 
Bài 3. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 
8
x y
a
y x
x y

+ =

 + =
 (HVQHQT - D97) 
Bài 4. Giải và biện luận theo m hệ phương trình: 
2 0
x y m
y xy
− =

+ =
 (ðH ðà Nẵng- B98) 
Bài 5. Cho hệ phương trình: 
 2( 1) ( 2)
x y m
x y xy m y
+ =

+ + = +
 a) Tìm m để hệ cĩ hơn hai nghiệm. 
 b) Giải hệ khi m = 4 (ðHQG Thfố HCM- A97) 
Bài 6. Cho biết hệ phương trình sau cĩ nghiệm với mọi b: 
2 2( )a x y x y b
y x b
 + + + =

− =
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
16
 Chứng minh a = 0. (ðH Luật HN - A97) 
 2. Hệ phương trình đưa được về dạng tích. 
 Phương pháp: 
Dạng 1. 
( , ) 0
( , ) 0( , ). ( , ) 0
( , ) 0 ( , ) 0
( , ) 0
F x y
H x yF x y G x y
H x y G x y
H x y
 =

== ⇔ = =

=
 Dạng 2. 
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0( , ). ( , ) 0
( , ). ( , ) 0 0 ( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
F x y
H x y
F x y
K x yF x y G x y
H x y K x y G x y
H x y
G x y
K x y
 =

=

=

==  
⇔ 
= = =  =

=

=
VD 1. Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
5 6 0
2 1
x xy y
x y
 − + =

+ =
Hệ đã cho tương đương 
2 2
2 2
2 2
2 0
2 1( 2 )( 3 ) 0
2 1 3 0
2 1
x y
x yx y x y
x y x y
x y
 − =

+ =− − = ⇔ + = − = 
 + =
VD 2. Giải hệ phương trình: 
2 2 2 2
4 4 4 4 4
2 2
4 4 4 4 4
log ( ) log 2 1 log ( 3 ) log 4( ) log 2 ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1 log 4( 1) log (4 2 2 4)
x y x x y x y x x y
x x
xy y y x xy y y x
y y
 + − + = + + = +
 
⇔ 
+ − + − + = − + = + − + 
 
2 2
2 2
2 2
4( ) 2 ( 3 ) 3 2 0 ( )( 2 ) 0
4( 1) (4 2 2 4) ( )( 2) 02 2
x y x x y
x xy y x y x y
x
xy y y x x y yy xy x x
y
 + = +
 − + = − − = 
⇔ ⇔ ⇔  
+ = + − + − − == − + 

Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 
Phương trình và Hệ phương trình ðại số 
17
0
0
0
2
2 0
0 4
2 0
4 2
0 2
2 0
2 0
x y
x y
x y
x y
x y x y
y
x y x
x y
x y
x y
y
x y
y
 − =

− =
=
− =  = = = 
− =  = =⇔ ⇔ ⇔ = 
− =   = =  
− =   = 
− =

− =
3. Hệ phương trình đối xứng loại 1. 
Là hệ phương trình dạng ( , ) 0( , ) 0
f x y
g x y
=

=
 trong đĩ vai trị của x, y trong từng 
phương trình và do đĩ trong hệ phương trình như nhau: 
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=

=
Thấy ngay (x; y) là nghiệm khi và chỉ khi (y; x) là nghiệm. 
Cách giải: 
• Dạng 1. Thơng thường người ta đặt ẩn phụ: 
 S = x + y, P = xy 
Ví dụ: Giải hệ : 
2 2 6
5
x y xy
xy x y
 + =

+ + =
ðặt S = x + y; P = xy và hệ đã cho trở thành: 
2 2
3 36
5 3 3
2 2
S x y
P xySP
S P S x y
P xy
 =  + = 
  
= ==   ⇔ ⇔  + = = + = 
  
= =   
⇒ nghiệm (1,2); (2,1) 
• Dạng 2. Biến đổi hệ về ( ) ( ), ( ). ( )x y x yϕ ϕ ϕ ϕ+ . 
 ðặt ( ) ( ), ( ). ( )S x y P x yϕ ϕ ϕ ϕ= + = 
Ví dụ 1: Giải hệ